MODUL
MEMERIKSA KEBENARAN TEOREMA PYTHAGORAS MATEMATIKA KELAS VIII
Disusun Oleh:
PRAPHASTHA JAYANTARA
PENDIDIKAN PROFESI GURU MATEMATIKA PRAJABATAN GELOMBANG 3 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah. Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena hanya atas rahmat dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan Modul Memeriksa Kebenaran Teorema Pythagoras ini. Modul merupakan salah satu media ilmu yang dapat digunakan sebagai penunjang dalam proses belajar mengajar. Dengan adanya handout diharapkan akan lebih membantu siswa dalam belajar dan juga dapat sebagai pedoman siswa dalam mempelajari konsep materi himpunan.
Memeriksa Kebenaran Teorema Pythagoras merupakan materi yang diberikan kepada peserta didik kelas VIII Semester II. Diharapkan dengan modul ini modul dapat memperdalam dan menyelesaian permasalahan pada materi Teorema Pythagoras secara umumnya.
Penulis menyadari bahwa modul ini masih banyak kekurangannnya, sehingga saran dan kritik yang membangun dari semua pihak sangat diharapkan untuk penyempurnaan kedepannya. Akhirnya semoga modul ini bermanfaat adanya.
Surakarta, September 2018 Penulis
PETUNJUK MODUL
1. Petunjuk Bagi Peserta didik
Untuk memperoleh hasil belajar secara maksimal, dalam menggunakan modul ini maka langkah-langkah yang perlu dilaksanakan antara lain :
a. Bacalah dan pahami dengan seksama uraian-uraian materi yang ada pada masing-masing kegiatan belajar. Bila ada materi yang kurang jelas, peserta didik dapat bertanya pada guru atau instruktur yang mengampu kegiatan belajar.
b. Kerjakan setiap evaluasi untuk mengetahui seberapa besar pemahaman yang telah dimiliki terhadap materi-materi yang dibahas dalam setiap kegiatan belajar.
c. Jika belum menguasai level materi yang diharapkan, ulangi lagi pada kegiatan belajar sebelumnya atau bertanyalah kepada guru atau instruktur yang mengampu kegiatan pembelajaran yang bersangkutan.
2. Petunjuk Bagi Guru
Dalam setiap kegiatan belajar guru atau instruktur berperan untuk : a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing peserta didik melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap belajar.
c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep, praktik baru, dan menjawab pertanyaan peserta didik mengenai proses belajar peserta didik.
d. Membantu peserta didik untuk menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar.
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ... 1
Petunjuk Modul ... 2
Daftar Isi ... 3
BAB I PENDAHULUAN A....Kompetensi Dasar (KD) ... 4
B.... Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) ... 4
C.... Tujuan Pembelajaran ... 4
BAB II PEMBAHASAN A.... Deskripsi Singkat Materi ... 5
B.... Soal dan Lembar Kerja ...14
C.... Latihan Soal ...27
D.... Rangkuman ...29
BAB I PENDAHULUAN A. Kompetensi Dasar (KD)
Kompetensi Dasar dari KI-3 Kompetensi Dasar dari KI-4 3.6 Menjelaskan dan membuktikan
teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
B. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)
IPK dari KD 3.2 IPK dari KD 4.2 3.6.1 Memeriksa kebenaran teorema
pythagoras.
4.6.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan teorema pythagoras.
C. Tujuan Pembelajaran
1. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat memeriksa kebenaran teorema Pythagoras.
2. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat menentukan nilai terpanjang dari sisi segitiga siku-siku jika diketahui dua sisi lainnya.
BAB II PEMBAHASAN
A. Deskripsi Singkat Materi B.
Teorema Pythagoras
Apakah manfaat teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari? Teorema Pythagoras banyak dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya pada dunia pertukangan, pernahkan kalian melihat seorang tukang bangunan yang akan membuat kerangka atap rumah yang berbentuk segitiga siku-siku? Atau seorang arsitek yang akan membuat rancangan bangunan perumahan atau berbagai bangunan lainnya? Dalam bekerja, mereka banyak memanfaatkan teorema Pythagoras. Khususnya pada bagian kerangka rusuk atap rumah, sebagian besar rusuk tegak lurus dengan rusuk lainnya sehingga membentuk segitiga siku-siku dengan kombinasi ukuran sisi 90 cm, 120 cm dan 150 cm misalnya.
siku-1. Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat suatu Bilangan
Teorema Pythagoras erat kaitannya dengan bentuk kuadrat. Bilangan kuadrat adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil perkalian dua bilangan yang sama (perkalian ganda) atau dinyatakan dengan pangkat dua yang sering disebut dengan kuadrat.
2 2 2 = ×
Contoh:
Sedangkan yang disebut dengan akar kuadrat dari bilangan adalah suatu bilangan tak negatif yang jika dikuadratkan sama dengan . Lambang akar dari bilangan dituliskan sebagai . Dapat pula didefinisikan seperti berikut ini.
2= , = ≥0
2. Luas Segitiga Siku-siku dan Luas Persegi a. Segitiga Siku-siku
Mengapa perlu memahami kembali segitiga siku-siku? Karena teorema Pythagoras merupakan sebuah teorema yang berhubungan dengan segitiga siku-siku. Masih ingatkah kalian mengenai definisi segitiga siku-siku?
Perhatikan segitiga siku-siku ABC (⊿ ) berikut!
Gambar 2. Segitiga Siku-siku ABC(⊿ )
Mengapa segitiga ABC (∆ABC) merupakan segitiga siku-siku? Karena sudut BCA (∠BCA) yang merupakan salah satu sudut pada ∆ABC merupakan sudut siku-siku (90°).
Sisi di depan sudut siku-siku (sisi ) merupakan sisi terpanjang dan dinamakan hipotenusa.
Contoh:
Tentukan panjang hipotenusadan sisi siku-siku dari setiap segitiga berikut ini!
1) 2) 3)
Jawab:
1) ∆ABC dengan sisi siku-siku = 5 cm dan = 12 cm, sedangkan
sisihipotenusa = 13 cm.
2) ∆DEF dengan sisi siku-siku = 8 cm dan = 6 cm, sedangkan
sisihipotenusa = 10 cm.
3) ∆GHI dengan sisi siku-siku = 15 cm dan = 20 cm, sedangkan
sisihipotenusa = 25 cm.
Perhatikan kembali Gambar 2 diatas. Hubungan antara sisi alas ( ) dengan sisi tinggi ( ) dengan luas adalah luas segitiga ( ) di dapat dari setengah perkalian antara sisi alas dengan sisi tinggi. Ditulis :
= 1
b. Persegi
Masih ingatkah kalian apa itu persegi, sifat-sifat persegi, dan luas persegi? Persegi adalah bangun datar yang dibatas oleh empat buah sisi yang sama panjang. Berikut disajikan contoh persegi.
Gambar 3. Persegi ABCD 1) Sifat-sifat Persegi
a) Mempunyai empat sisi yang berhadapan sama panjang. b) Mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar.
c) Tiap-tiap sudutnya sama besar.
d) Tiap-tiap sudutnya merupakan sudut siku-siku (90°).
e) Mempunyai empat buah sumbu simetri lipat dan empat buah simetri putar.
f) Diagonal-diagonal saling berpotongan tegak lurus dan sama panjang.
2) Luas Persegi
Jika s adalah sisi pada persegi, maka keliling dan luas persegi adalah sebagai berikut.
Contoh:
3. Teorema Pythagoras
Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569 – 475 sebelum Masehi. Sebagai ahli matematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi yang lain.
Perhatikan Gambar 4! Gambar tersebut menunnjukkan sebuah segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi miringc, panjang sisi siku-sikunya adalahadanb. Teorema Pythagoras yang diungkapkan oleh Pythagoras mengatakan bahwa:
Gambar 4. Segitiga Siku-siku
2+ 2 = 2
Gambar 5.
3) Tempel ketiga persegi tersebut di karton sedemikian sehingga dua dari empat sudut setiap persegi saling berimpit dan di dalamnya membentuk sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Gamabar 6.
4) Perhatikan luas ketiga persegi. Luas persegi yang terbesar sama dengan jumlah luas dua persegi lainnya.
6) Selanjutnya, perhatikan tabel berikut ini!
Segitiga ABC 2 2 2
Gambar 6. 5 4 3 25 16 9
Gambar 7. 10 8 6 100 64 36
7) Berdasarkan tabel pada langkah nomor 6) tampak hubungan: 2 = 2+ 2
Berdasarkan kegiatan diatas, dapat diperoleh simpulan bahwa, jika segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di C maka berlaku:
2 = 2+ 2 (I)
misal, AB =c, BC =a, dan AC =b. maka bentuk (I) dapat ditulis menjadi: 2= 2+ 2
atau
2+ 2 = 2 (II)
bentuk (II) inilah yang sering orang sebut sebagai ekspresi dari teorema Pythagoras. Berdasarkan bentuk (II) diatas kita dapat mendapatkan bentuk-bentuk dibawah ini:
= 2+ 2
= 2− 2
B. Soal dan Lembar Kerja C.
1. Soal dan Pembahasan
1) Tentukan panjanghipotenusasegitiga-segitiga di bawah ini.
a b C
Pembahasan:
a. Pada gambar a diberikan ∆ABC yang siku-siku di titik A. Hipotenusa merupakan sisi dihadapat sudut siku-siku. Sehingga, hipotenusa adalah sisi BC. Diketahui bahwa panjang AB =c= 5 cm, BC =a, dan AC =b= 12 cm. Perhatikan!
2 = 2+ 2= 122+ 52 = 144 + 25 = 1 69
= 169 = 1 3cm
Jadi, panjanghipotenusanya adalah 13 cm.
b. Pada gambar b diberikan ∆ DEF yang siku-siku di titik E. Hipotenusa merupakan sisi dihadapat sudut siku-siku. Sehingga, hipotenusa adalah sisi DF. Diketahui bahwa panjang DE =f= 8 cm, DF =e, dan EF =d= 6 cm. Perhatikan!
2 = 2+ 2 = 82+ 62 = 64 + 36 = 1 00
2 = ℎ2+ 2 = 202+ 152= 4 00 + 225 = 6 25
= 625 = 2 5cm
Jadi, panjanghipotenusanya adalah 25 cm.
2) Tentukan panjang sisi yang belum diketahui pada setiap segitiga berikut!
a b
Pembahasan:
a. Pada gambar a diberikan ∆ABC yang siku-siku di titik A. Diketahui bahwa panjang AB =c= 8 cm, BC =a= 17 cm, dan AC =b.
Akan ditentukan panjang sisib. Perhatikan!
2 = 2+ 2⇔ 2= 2− 2 ⇔ = 2− 2
= 2− 2 = 172−82= 289 − 64= 225 = 15 Jadi, panjang sisibadalah 13 cm.
b. Pada gambar b diberikan ∆DEF yang siku-siku di titik E. Diketahui bahwa panjang DE =f= 24 cm, DF =e= 25 cm, dan EF =d.
3) Ali dan Umar berdiri saling membelakangi untuk bermain tembak-tembakan pistol bambu. Ali berjalan 20 langkah ke depan kemudian 15 langkah ke kanan. Pada saat yang sama, Umar berjalan 16 langkah ke depan kemudian 12 langkah ke kanan. Umar berhenti kemudian menembak Ali.
a. Gambarkan situasi diatas dengan menggunakan bidang kartesius.
b. Berapa langkah jarak Ali dan Umar saat Umar menembak Ali dengan pistol bambu?
Pembahasan:
a. Akan digambar posisi Ali dan Umar sesuai permasalahan pada soal.
Keterangan Gambar:
b. Berdasarkan gambar yang diperoleh dari poin a diatas, akan ditentukan jarak Ali dan Umar saat Umar menembak Ali dengan pistol bambu. Artinya, kita akan menghitung panjang ruas garis BD.
Buat terlebih dahulu titik bantu, yaitu titik P sedemikian sehingga terbentuk∆ BPD yang siku-siku di P seperti gambar berikut.
Berdasarkan gambar tersebut diperoleh BQ = AO = 20, QP = OC = 16, dan CP = AB = 15. Akibatnya, BP = BQ + QP = 20 + 16 = 36, dan DP = DC + CP = 12 + 15 = 27.
2. Lembar Kerja
3.6. Menj elaskan dan membukt ikan t eor ema Pyt hagor as dan t r ipel
Pyt hagor as.
4.6 Menyelesaikan masalah yang ber kait an dengan t eor ema Pyt hagor as dan
t r ipel Pyt hagor as.
I ndikat or Pencapaian Kompet ensi
3.6.1. Memer iksa kebenar an t eor ema pyt hagor as.
4.6.1. Mener apkan t eor ema pyt hagor as unt uk menyelesaikan masalah kont ekst ual.
Tuj uan Pembelaj ar an
1. Set elah ber diskusi dan menggali inf or masi, peser t a didik dapat
memer iksa kebenar an t eor ema Pyt hagor as.
2. Set elah ber diskusi dan menggali inf or masi, peser t a didik dapat
menent ukan nilai t er panj ang dar i sisi segit iga siku- siku j ika diket ahui dua sisi lainnya.
P ET U N JU K
1. Ker j akan secar a ber kelompok!2. Siapkan alat per aga Pyt hagor as yang t er dir i dar i: a. st er of oam
b. Ker t as kar t on
c. 4 buah segit iga yang ident ik d. Spidol
3. Ker j akan dalam wakt u 30 menit !
1. Perhatikan gambar dibawah ini!
3. Tentukan panjang sisi pada persegi ABCD dan persegi PQRS!
4. Dengan menggunakan alat peraga yang telah disediakan, susunlah bentuk sesuai dengan gambar pada poin 1!
5. Susun kembali bentuk segitiga 1, 2, 3, dan 4 serta persegi PQRS yang sudah ada menjadi 2 buah persegi dan 2 buah persegi panjang! Kemudian gambar bentuk yang kalian dapatkan dan berikan ukuran sisinya pada bagian di bawah ini!
Jika ada, tuliskan hubungannya pada bagian dibawah ini!
8. Tinjau kembali hubungan yang telah kalian dapatkan dengan melihat hubungan antara luas persegi ABCD dengan luas keempat segitiga (segitiga 1, 2, 3, dan 4) dan luas persegi PQRS!
Ali dan Umar berdiri saling membelakangi untuk bermain tembak-tembakan pistol bambu. Ali berjalan 20 langkah ke depan kemudian 15 langkah ke kanan. Pada saat yang sama, Umar berjalan 16 langkah ke depan kemudian 12 langkah ke kanan. Umar berhenti kemudian menembak Ali.
a. Gambarkan situasi diatas dengan menggunakan bidang kartesius.
b. Berapa langkah jarak Ali dan Umar saat Umar menembak Ali dengan
P ET U N JU K
1. Ker j akan secar a ber kelompok!2. Siapkan alat per aga Pyt hagor as yang t er dir i dar i: a. St er of oam
b. Ker t as kar t on
c. 4 buah segit iga yang ident ik d. Spidol
3. Ker j akan dalam wakt u 30 menit !
1. Perhatikan gambar dibawah ini!
3. Tentukan panjang sisi pada persegi ABCD dan persegi PQRS!
4. Dengan menggunakan alat peraga yang telah disediakan, susunlah bentuk sesuai dengan gambar pada poin 1!
5. Susun kembali bentuk segitiga 1, 2, 3, dan 4 serta persegi PQRS yang sudah ada menjadi sebuah persegi yang diapit 4 buah segitiga 1, 2, 3, dan 4 di dalamnya! Kemudian gambar bentuk yang kalian dapatkan dan berikan ukuran sisinya pada bagian di bawah ini!
7. Adakah hubungan antara luas persegi besar yang terbentuk dengan luas keempat segitiga (segitiga 1, 2, 3, dan 4) dan luas persegi?
Jika ada, tuliskan hubungannya pada bagian dibawah ini!
8. Uraikan luas persegi besar yang terbentuk dengan luas keempat segitiga (segitiga 1, 2, 3, dan 4) dan luas persegi!
10. Setelah kalian menemukan teorema Pythagoras, selesaikan permasalahan berikut!
Ali dan Umar berdiri saling membelakangi untuk bermain tembak-tembakan pistol bambu. Ali berjalan 20 langkah ke depan kemudian 15 langkah ke kanan. Pada saat yang sama, Umar berjalan 16 langkah ke depan kemudian 12 langkah ke kanan. Umar berhenti kemudian menembak Ali.
a. Gambarkan situasi diatas dengan menggunakan bidang kartesius.
b. Berapa langkah jarak Ali dan Umar saat Umar menembak Ali dengan
C. Latihan Soal
D.
Kerjakanlah latihan soal berikut ini dengan jawaban yang jelas dan terperinci.
1. Tentukan nilaixpada kedua gambar berikut.
a. d.
b. e.
4. Sebuah kapal berlayar dari titik A ke arah timur sejauh 3 km. Kemudian,
kapal tersebut berbelok ke arah utara sejauh 4 km dan sampai di titik B. Dari titik B, kapal layar tersebut melanjutkan perjalanannya ke arah timur sejauh 6 km dan berbelok ke arah utara sejauh 8 km. Akhirnya, sampailah kapal tersebut di titik C. Tentukan:
a. Jarak titik A ke titik B
b. Jarak titik B ke titik C
c. Jarak titik A ke titik C
5. Seorang laki-laki harus berenang melintasi sungai selebar 12 m agar dapat
D. Rangkuman
E.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya.
Teorema Pythagoras ditulis sebagai berikut:
DAFTAR PUSTAKA
Agus, Nuniek Avianti, dkk. 2008. Mudah belajar matematika 2: untuk kelas VIII Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional. As’ari, Abdur Rahman, dkk. 2017.Matematika Siswa SMP/MTS Kelas VIII Semester 2. Jakarta :
Kemendikbud.
