STATISTIKA
Distribusi Normal
Distribusi Binomial
Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan
A) dari 4 kegiatan untuk didanai
Statistika Distribusi Normal 3
Distribusi Binomial
(2)
Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan
Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan
acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).
Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing
kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana).
Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan
dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?
Distribusi Binomial
(3) Setiap kali pemilihan
prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(As) = ¼ = 0.25 = p
prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q
Dalam 5 kali pemilihan
peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah
(
)
(
)
0.25 0.75 0.088 3 5 25 . 0 , 5 ; 3 , ; 3 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = X X x n p f fStatistika Distribusi Normal 5
Distribusi Binomial
(4) Dalam 5 kali pemilihan (n= 5)
1.000 ∑= 0.001 1 5 0.015 5 4 0.088 10 3 0.264 10 2 0.396 5 1 0.237 1 0 peluang terjadi jumlah kejadian jumlah sukses koefisien binomial 0.24 0.40 0.26 0.09 0.01 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0 1 2 3 4 5
frekuensi perolehan dana
pr ob abi lit a s Distribusi probabilitas
Kegiatan A mendapatkan dana
n
Statistika Distribusi Normal 7
Distribusi Binomial
Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu
yang lebih panjang
10 tahun 20 tahun ntahun
diperoleh n + 1 kemungkinan hasil
Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah
nkali, n – 1 kali, ... 0 kali
0.06 0.19 0.28 0.25 0.15 0.06 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
frekuensi perolehan dana
p ro b ab ilitas Distribusi probabilitas
Kegiatan A mendapatkan dana
n
= 10
tahu
Statistika Distribusi Normal 9 0.00 0.02 0.07 0.13 0.19 0.20 0.17 0.11 0.06 0.03 0.01 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
frekuensi perolehan dana
pr ob ab ili tas Distribusi probabilitas
Kegiatan A mendapatkan dana
n = 20 tahu n
Distribusi Binomial vs
Kurva Normal
Apabila pemilihan (experimen) dilakukan
sejumlah n kali dan n >>
histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan
A memperoleh dana) memiliki interval kecil
garis yang melewati puncak-puncak histogram →
kurva mulus berbentuk seperti lonceng
Statistika Distribusi Normal 11 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
frekuensi perolehan dana
pr ob ab ili tas Distribusi probabilitas
Kegiatan A mendapatkan dana
n = 20 tahu n
Kurva Normal
Distribusi Normal
Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu
tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut
Distribusi Normal
Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan
pendekatan distribusi normal
Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal
telah diketahui (didefinisikan)
tabel distribusi normal perintah dalam MS Excel
Statistika Distribusi Normal 13
Distribusi Normal
Karakteristik
simetri terhadap nilai rata-rata (mean)
scoremengumpul di sekitar nilai rata-rata
kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit
yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-rata
Distribusi Normal
μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ−3σ μ−2σ μ−σ –∞ +∞ X X Luas = 1 μ−4σ μ+4σStatistika Distribusi Normal 15
Distribusi Normal
μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ−3σ μ−2σ μ−σ –∞ +∞ X X Luas = 0.9973 Luas = 0.00135 Luas = 0.00135( )
( )
2 12 12(
)
22
πσ
− − −μ σ=
x Xx
e
p
Statistika Distribusi Normal 17
Statistika Distribusi Normal 19
Distribusi Normal
Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ
2), maka
probabilitas X ≤ x dapat dicari dengan:
(
)
( )
∫
( )
( )
∞ − σ μ − − −πσ
=
=
≤
x t Xx
e
t
P
x
X
2
d
prob
2 12 12 2 2luas di bawah kurva pdf Æ cdf
pdf - cdf
μ –∞ pX(x) PX(x) 0 1 +∞ pdf cdfStatistika Distribusi Normal 21
Distribusi Normal
Luas di bawah kurva
menunjukkan probabilitas suatu event menunjukkan percentile rank
prob(X≤ x) = prob(–∞ ≤ X ≤ x)
= luas di bawah kurva antara –∞ s.d. x prob(–∞≤ X ≤ +∞) = 1
= luas di bawah kurva antara –∞ s.d. +∞ prob(X ≥ x) = prob(+∞ ≥ X ≥ x)
= luas di bawah kurva antara x s.d. +∞ = 1 – prob(X≤ x)
Distribusi Normal
Probabilitas
prob(X≤ μ) = prob(X ≥μ) = 0.50 prob(μ−x ≤ X ≤ μ) = prob(μ ≤ X ≤ μ+x)
Statistika Distribusi Normal 23
Distribusi Normal
Probabilitas
prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x = 0
prob(X≤ x) = prob(X < x) prob(X≥ x) = prob(X > x)
prob(xa≤ X ≤ xb) = prob(xa< X < xb)
Distribusi Normal Standar
Distribusi normal umumnya disajikan dalam
bentuk distribusi normal standar
dipakai nilai z scores
σ
μ
−
=
X
z
XZ berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1)
Statistika Distribusi Normal 25
Distribusi Normal Standar
( )
−∞
≤
≤
+∞
π
=
e
−z
z
p
Z z2 22
1
(
)
( )
∫
∞ − −π
=
=
≤
z t Zz
e
t
P
z
Z
d
2
1
prob
2 2Distribusi Normal Standar
μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ−3σ μ−2σ μ−σ –∞ +∞ 0 1 2 3 −1 −2 −3 X X Z Z
Statistika Distribusi Normal 27
Tabel Distribusi Normal Standar
Tabel z vs ordinat kurva normal standar
z vsordinat pdf (probability density function)
Tabel z vs luas di bawah kurva
z vscdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. zx
luas kurva dari –∞ s.d. zx
Perintah (Fungsi) MS Excel
Distribusi Normal
NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative) x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya mean = nilai rata-rata (aritmetik)
standard_dev = nilai simpangan baku
cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung
cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf
NORMINV(probability,mean,standard_dev) probability = probabilitas suatu distribusi normal mean = nilai rata-rata (aritmetik)
Statistika Distribusi Normal 29
Perintah (Fungsi) MS Excel
Distribusi Normal Standar
NORMSDIST(z)
menghitung nilai cdf distribusi normal standar NORMSINV(probability)
kebalikan dari NORMSDIST(z)
mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui
Ingat
Distribusi Normal Standar mean = 0
simpangan baku = 1
Perintah (Fungsi) MS Excel
Contoh 1
NORMDIST(15,12,3,TRUE) rata-rata = 12 simpangan baku = 3 prob(X < 15) = NORMDIST(15,12,3,TRUE) = 0.841 NORMINV(0.8,12,3) prob(X < x) = 0.8 x= NORMINV(0.8,12,3) = 14.52Statistika Distribusi Normal 31
Perintah (Fungsi) MS Excel
Contoh 2 NORMSDIST(3) rata-rata = 0 simpangan baku = 1 prob(Z < 3) = NORMSDIST(3) = 0.9987 prob(0 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – 0.5 = 0.4987 prob(1 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – NORMSDIST(1) prob(Z > 1.5) = 1 – NORMSDIST(1.5)
NORMSINV(0.65) prob(Z < z) = 0.65
z= NORMSINV(0.65) = 0.385
Perintah (Fungsi) MS Excel
Tugas
Buatlah tabel distribusi normal standar
tabel pdf tabel cdf
Dapat memakai perintah MS Excel untuk
Statistika Distribusi Normal 33
Fungsi Linear Distribusi Normal
Variabel random X berdistribusi normal, N(μ,σ
2)
Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal
N(a + b μ, b
2σ
2)
Teorema Limit Sentral
X
i, i = 1,2,…,n Æ masing-masing variabel
random yang berdistribusi
normal N(μ,σ
2)
Jika n → ∞
Æ
distribusi s
nmendekati
(asimtotis) distribusi normal
N(nμ,nσ
2)
∑
==
n i i nX
s
1Statistika Distribusi Normal 35
Kurva Normal Data Pengamatan
Perbandingan antara data pengamatan vs
distribusi normal
Contoh
data debit maximum (lihat tabel) klas ke-2: 200 – 300 m3/s Æ 250 m3/s debit rata-rata 659 m3/s ≈ 660 m3/s
simpangan baku debit 212 m3/s ≈ 210 m3/s
Data Debit Puncak Sungai XYZ
Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s)
1 473 23 1110 45 843 2 544 24 717 46 450 3 872 25 961 47 284 4 657 26 925 48 460 5 915 27 341 49 804 6 535 28 690 50 550 7 678 29 734 51 729 8 700 30 991 52 712 9 669 31 792 53 468 10 347 32 626 54 841 11 580 33 937 55 613 12 470 34 687 56 871 13 663 35 801 57 705 14 809 36 323 58 777 15 800 37 431 59 442 16 523 38 770 60 206 17 580 39 536 61 850 18 672 40 708 62 829 19 115 41 894 63 887 20 461 42 626 64 602 21 524 43 1120 65 403
Statistika Distribusi Normal 37 Debit puncak Sungai XYZ selama 66 tahun
0 200 400 600 800 1000 1200 0 10 20 30 40 50 60 70 Tahun ke-Debi t (m 3/s)
Histogram Data Pengamatan
Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200 m3 /s F reku ens i Relatif
Statistika Distribusi Normal 39
Pengamatan vs Teoretik
Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200 m3/s F rek uens i Rel a ti f
Distribusi Normal Teoretik
Data Pengamatan
Pengamatan vs Teoretik
Expektasi frekuensi relatif
klas ke-2 ( )
(
)
( )(
)
( ) ( ) ( ) 0293 . 0 4564 . 0 4857 . 0 210 660 200 210 660 300 200 300 d 210 2 d 2 250 2 2 2 2 210 660 2 1 2 1 300 200 2 2 1 2 1 300 200 2 = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = ⋅ π ⋅ = π = = − − − − − − ∫ ∫ Z Z Q Q q s Q q Q Q F F F F q e q e s q f QStatistika Distribusi Normal 41
Pengamatan vs Teoretik
Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif
dalam suatu interval klas
( )
( )
( )
( )
( )
Q i Z i Z i Q i Q i i Q z p q z z p q p q p q q f σ = = ⋅ Δ = d dPengamatan vs Teoretik
Cara lain … (lanjutan)
( )
( )
0.028 210 0593 . 0 100 0593 . 0 95 . 1 210 660 250 m 250 m 100 : 2 3 3 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − = − = → = = Δ = i Q i Z i i i q f z p z s q s q iStatistika Distribusi Normal 43
Hitungan dan Penggambaran
Hitungan dan penggambaran dilakukan
dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit
Distribusi Normal vs Distribusi
Random Kontinu
Umumnya distribusi normal cukup baik untuk
mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik distribusi diskrit atau kontinu
khususnya di bagian tengah distribusi kurang baik di sisi pinggir (tail)
Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekati
distribusi diskrit, diperlukan koreksi
koreksi tengah interval, x – ½, x + ½
Statistika Distribusi Normal 45