KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

KALKULUS LANJUT

Pertemuan ke-4

Plot Materi

Integral Tentu Notasi Jumlah & Sigma Pendahuluan Luas Jumlah Rieman

Notasi Jumlah & Sigma

Purcell, et all. (page 226,2003):

Sebuah fungsi yang daerah asalnya hanya terdiri dari bilangan bulat positif (atau suatu himpunan bagian lain dari bilangan positif) disebut sebagai barisan.

Notasi dari sebuah barisan diantarnya a(n) atau a_n .

Sebagai contoh barisan {a_n } ditentukan oleh a_n = n2 _{dan barisan} {b_n } ditentukan oleh b_n = 1/n.

Contoh :

a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , …

1, 4, 9, 16, …

Notasi Jumlah & Sigma

Perhatikan jumlah dari barisan berikut :

12 ₊₂2 ₊₃2 ₊₄2 ₊₅2 _+…+1002

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + … + a_n

Untuk menunjukkan jumlah ini dalam bentuk yang kompak, barisan pertama dapat dituliskan sebagai berikut :

Sedangkan untuk barisan kedua dapat dituliskan menjadi

100 2 1 i

i





1 n i i

a





Notasi Jumlah & Sigma

Σ berpadanan dengan S yang menyatakan untuk

menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan dengan indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, mulai dengan bilangan bulat yang diperlihatkan di bawah Σ dan berakhir dengan bilangan bulat di atas tanda Σ tersebut.

4 2 2 3 3 4 4 2 1 4 2 2 2 2 2 1

1

1

1

1

1

1

2

3

1

2

3

4

1

1

1

2

1

3

1

4

1

i i i n j k

a b

a b

a b

a b

j

n

k

k

  







    

























Notasi Jumlah & Sigma

Untuk n ≥ m

Jika semua c_i dalam memiliki nilai yang sama atau

konstan, anggap c maka :

Contoh :

 

 



1





2



 

n i m F i F m F m F m F n        



1 n i i c   1 n i i _{n suku} c c c c c n c nc         



 

 

100 1 4 100 4 400 i     



Notasi Jumlah & Sigma

TEOREMA A (Purcell, et all. page 227,2003):

Kelinearan Σ

Andaikan {a_i } dan {b_i } menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta, maka :

 

 





 





1 1 1 1 1 1 1 1 n n i i i i n n n i i i i i i i n n n i i i i i i i

i

ca

c

a

ii

a

b

a

b

iii

a

b

a

b

       



























 

Notasi Jumlah & Sigma

Contoh : Andaikan Hitunglah Penyelesaian : 100 100 1 1 60 11 i i i i a dan b    









100 1 2 _i 3 _i 4 i a b   







  

 



100 100 100 100 1 1 1 1 100 100 100 1 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 60 3 100 4 100 487 i i i i i i i i i i i i i a b a b a b                   











 

Notasi Jumlah & Sigma

Rumus Jumlah khusus (Purcell, et all. page 228,2003):



































1 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 3 1 3 2 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 2 ₂ 2 1 1 1. 1 2 3 2 1 2 1 2. 1 2 3 6 1 3. 1 2 3 2 1 6 9 1 4. 1 2 3 30 5. 6. 1 1 1 n i n i n i n i n n i n i n i n n i n n n n i n n n i n n n n n n i n a a a a i i n                                _{  }                 _{ }  _{  }  













Notasi Jumlah & Sigma

Contoh Hitunglah : Penyelesaian : 10 10 2 4 1 1 1 . . . n i i i a i b i c i   







      





10 10 1 1 10 2 1 3 2 10 10 4 4 4 2 1 10 10 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 55 2 10 10 1 20 1 . 385 6 10 10 1 60 90 10 1 . 1 1 25.332 30 i i i i i a i atau i b i c i i                         _{   }    _{ } _{ }        _{ }











Pendahuluan Luas

Purcell, et all. (page 233,2003)

Sifat-sifat luas :

1. Luas sebuah daerah rata adalah bilangan (real) tak negatif. 2. Luas segi empat adalah hasil kali panjang dan lebarnya

(keduanya diukur dalam satuan sama). Hasil dalam suatu persegi misalnya kaki persegi atau sentimeter persegi.

3. Daerah-daerah yang sama dan sebangun mempunyai luas

sama.

4. Luas gabungan dua daerah yang hanya berimpit menurut

sebuah ruas garis sama dengan jumlah luas kedua daerah tersebut.

5. Jika sebuah daerah terkandung di dalam daerah yang

kedua, maka luas daerah pertama lebih kecil daripada atau sama dengan luas yang kedua.

Pendahuluan Luas

Luas Daerah dengan batas melengkung

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Tinjaulah daerah R yang dibatasi parabola y=f(x)=x2 _{, sumby-x} dan garis tegak x=2. R adalah daerah di bawah kurva y=x2 _di antara x=0 dan x=2. 1 2 R 4 3 1 2 y=f(x)=x2 x y

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Luas A(R) dapat dicari dengan langkah berikut.

Buatlah selang [0,2] menjadi n selang bagian, masing-masing dengan panjang Δx menggunakan titik-titik n+1.

0 1 2 3 4 1

0



x

 

x

x



x



x





x

_n



2

x0 0 2 x1 x2 x3 xn-1 xn       0 1 2 3 1 0 2 4 2 6 3 2 2 1 1 2 2 i n n x x x n x x n x x n i x i x n n x n x n n x n x n                            

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Perhatikan segi empat dengan alas [x_i-1 , x_i ] dan tingginya f(x_i-1) Luasnya adalah f(x_i-1)Δx .

Gabungan dari R_n dari semua segi empat yang demikian

membentuk poligon dalam dengan luas A(R_n) dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua segi empat.

xi-1 xi

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Dimana : Maka :

 

n

 

0

 

1

 

2

 

3



n 1



A R  f x  x f x  x f x  x f x   x f x _ x





lim

 

_n n A lingkaran A P                     1 0 1 2 3 1 0 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 3 3 1 8 8 8 8 8 0 1 2 3 1 8 8 1 2 2 1 8 n n n i i n i A R f x x f x x f x x f x x f x x f x x n n n n n n n i n n                                  _{   } _{   } _{   } _{  } _{ }  _                        _{ }   _{ }      _ _{   }       





   









3 2



3 3 2 2 2 3 1 2 1 1 ₈ 6 6 8 1 1 8 4 4 2 3 6 3 3 n n n n n n n n n n n n           _{    }    _ _ _ _    _   _     

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Purcell, et all. (page 233,2003):

Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas P_n . Jadi jika A(F)

menyatakan luas daerah F maka :

Dengan demikian :





lim

 

_n n

A lingkaran

A P





 

 

2 lim 8 4 4 lim 3 3 8 3 n n n A R A R n n       _   _   

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

Perhatikan segi empat dengan alas [x_i-1 , x_i ] dan tingginya f(x_i) Luasnya adalah f(x_i)Δx .

Gabungan dari S_n dari semua segi empat yang demikian membentuk poligon luar dengan luas A(S_n) dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua segi empat.

xi-1 xi

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

Dimana : Maka :

 

n

 

1

 

2

 

3

 

n A S  f x  x f x  x f x   x f x x





lim

 

_n n A lingkaran A P                      







1 2 3 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 3 3 1 3 8 8 8 8 1 2 3 1 8 8 1 2 2 1 1 2 1 1 8 6 n n n i i n i A S f x x f x x f x x f x x f x x n n n n n n i n n n n n n                           _{   } _{   } _{  } _{ }  _                    _{ }   _{ }      _ _{   }              _{ }    _{  }







3 2



3 2 2 2 3 8 6 8 1 1 8 4 4 2 3 6 3 3 n n n n n n n n              _   _     

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

Purcell, et all. (page 233,2003):

Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas P_n . Jadi jika A(F)

menyatakan luas daerah F maka :

Dengan demikian :





lim

 

_n n

A lingkaran

A P





 

 

2 lim 8 4 4 lim 3 3 8 3 n n n A R A S n n       _   _   

Jumlah Riemann

Purcell, et all. (page 239,2003):

Pandanglah sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tutup [a,b]. Fungsi itu boleh bernilai positif ataupun negatif pada selang tersebut dan bahkan tidak perlu kontinu.

Tinjaulah suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak perlu sama panjang) menggunakan titik-titik

Dan andaikan Δx_i =x_i - x_{i -1} . Pada tiap selang bagian [x_i-1, x_i], ambilah sebuah titik sebarang (yang mungkin saja sebuah titik ujuk), titik itu disebut sebagai titik sampel untuk selang bagian ke-i

0 1 2 3 4 n 1

a



x

 

x

x



x



x





x

_



b

i

Jumlah Riemann

Contoh untuk n=6 Terbentuklah penjumlahan

 

1 n p i i i

R

f x

x









Jumlah Riemann

Contoh :

Hitunglah jumlah Riemann R_p untuk :

Pada selang [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan titik-titik parsial :

Dan titik sampel berpadanan

  







3 2 1 2 4 5 2 8 f x  x  x x  x  x  x

0 1,1 2



 

3, 2

 

4

5

1 0, 5 2 1, 5 3 2, 5 4 3, 6 5 5 x  x  x  x  x                             5 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0, 5 1,1 0 1, 5 2 1,1 2, 5 3, 2 2 3, 6 4 3, 2 5 5 4 23, 9698 p i i i R f x x f x x f x x f x x f x x f x x f f f f f                        



Jumlah Riemann dan Integral Tentu

Definisi Integral Tentu

Purcell, et all. (page 239,2003):

Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], jika

Ada, katakan f adalah terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut

disebut integral tentu (integral riemann) f dari a ke b diberikan oleh

 

1

lim

n i i P i

f x

x

 





 

b a f x dx



 

 

1 lim b _n i i P i a f x dx f x x   







Integral Tentu

 

 

 

 

0

,

b atas bawah a a a b a a b

f

x dx

A

A

f

x dx

f

x dx

f

x dx a

b







 











Contoh : 2 2 6 3 3 3 2 6 2

0

x dx



x dx

 

x dx







Integral Tentu

TEOREMA A (Purcell, et all. page 242,2003):

Teorema Keintegrasian

Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu disana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada

[a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka

f terintegrasikan pada [a,b].

Fungsi-fungsi yang terintegrasikan pada selang [a,b] :

1. Fungsi polinomial

2. Fungsi sinus dan kosinus

3. Fungsi rasional, asalkan selang [a,b] tidak mengandung

Integral Tentu

Contoh :

Hitunglah

Penyelesaian :

Buatlah partisi selang [-2,3] menjadi n selang bagian yang sama, masing-masing dengan panjang Δx =5/n. dalam setiap selang bagian [x_i-1, x_i], gunakan

sebagai titik sampel :





3 2 3 x dx  



i

x

0 1 2 3

2

5

2

2

10

2 2

2

15

2 3

2

5

2

2

5

2

2

3

i n

x

x

x

n

x

x

n

x

x

n

i

x

i x

n

n

x

n x

n

 

      

      

      

      

      



Integral Tentu

Jadi Sehingga :

 

5 3 1 i i i f x x n                 1 1 1 2 1 1 2 3 1 2 5 5 1 5 5 1 1 5 5 2 25 1 5 1 2 3 lim 25 1 lim 5 1 2 35 2 n n i i i i i i n i n n i i n i i P i P f x x f x x i n n i n n n n n n n n x dx f x x n       _           _  _{ }        _{  }         _{   }         _  _          _  _  _            

Integral Tentu

TEOREMA B (Purcell, et all. page 244,2003):

Sifat Tambahan pada Selang

Jika f terintegrasikan pada sebuah selang yang mengandung titik-titik a, b, dan c, maka

Tidak perduli apapun orde a, b, dan c.

Contoh :

 

 

 

c b c a a b

f x dx



f x dx



f x dx







2 1 2 2 2 2 0 0 1

x dx



x dx



x dx





