PENAKSIR DUAL RATIO-CUM-PRODUCT UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

(1)

1

PENAKSIR DUAL RATIO-CUM-PRODUCT UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA

SAMPLING ACAK SEDERHANA Christina Panjaitan1*, Firdaus2, Haposan Sirait2

1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

*

christina.panjaitan@unri.ac.id

ABSTRACT

This paper discusses three estimators for the population mean in simple random sampling i.e dual ratio estimator, dual product estimator and dual ratio-cum-product estimator. These estimators are biased estimators. The mean square error for each estimator is evaluated and compared to obtain the most efficient one. This comparison shows that the dual ratio-cum-product estimator is more efficient than the dual ratio estimator and dual product estimator.

Keywords: dual ratio estimators, dual product estimators, dual ratio-cum-product

estimators, bias, mean square error

ABSTRAK

Tulisan ini membahas tiga penaksir untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana yaitu penaksir dual ratio, penaksir dual product dan penaksir dual

ratio-cum-product. Ketiga penaksir merupakan penaksir bias. Mean square error masing-masing

penaksir dibandingkan untuk mendapatkan penaksir yang lebih efisien. Perbandingan tersebut menunjukkan penaksir dual ratio-cum-product lebih efisien daripada penaksir

dual ratio dan penaksir dual product.

Kata kunci: penaksir dual ratio, penaksir dual product, penaksir dual

ratio-cum-product, bias, mean square error

1. PENDAHULUAN

Untuk meningkatkan ketelitian suatu penaksir, diperlukan teknik untuk memperkirakan nilai parameternya. Oleh karena itu, dibutuhkan variabel pendukung x dimana _i* x*_i

(2)

2

diteliti untuk setiap sampel. Dengan perbandingan Y dan x* setara dengan perbandingan y dan X . Teknik ini disebut dengan metode dual ratio.

Dalam metode dual product terdapat variabel pendukung z dimana i*

*

i

z adalah

sampel diluar z dalam populasi Z yang berhubungan dengan _i y_i yang akan diteliti untuk setiap sampel. Dengan perkalian Y dan z setara dengan perkalian y dan Z . *

Dan dalam metode dual ratio-cum-product terdapat variabel pendukung _{x dan}_i* *

i

z yang berhubungan dengan y_i yang akan diteliti untuk setiap sampel. Dengan mengambil hubungan antara _{x ,}_i* z_i* dan yi, dimana

*

i

x adalah unit dari populasi

berkarakter X, *

i

z adalah unit dari populasi berkarakter Z dan yi adalah unit dari populasi berkarakter Y.

Dalam penelitian ini dibandingkan tiga penaksir pada sampling acak sederhana yaitu penaksir dual ratio

 

Y_R* , dual product

 

Y_P* untuk rata-rata populasi Y yang diajukan oleh Srivenkataramana [4] dan penaksir dual ratio-cum-product

 

Y_RP* yang diajukan oleh Singh dan Singh [3]. Ketiga penaksir ini telah dibahas sebelumnya oleh Tailor et.al [6].

2. SAMPLING ACAK SEDERHANA

Penarikan sampel acak sederhana merupakan suatu metode untuk mengambil n unit sampel dari N unit populasi dimana setiap unit memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai unit sampel. Penarikan sampel ini adalah penarikan sampel acak tanpa pengembalian agar karakteristik unit-unit lebih akurat. Probabilitas terpilihnya unit n dari N unit populasi sebagai unit sampel pada pengambilan pertama yaitu n N. Probabilitas pada pengambilan kedua adalah



n1

 

N 1



, sampai probabilitas pada pengambilan ke- yaitu 1



Nn1



. Sehingga peluang seluruh unit-unit tertentu yang terpilih dalam pengambilan adalah



_NC_n



1.

Untuk menentukan penaksir yang efisien untuk rata-rata populasi dibutuhkan materi pendukung sebagai berikut

Definisi 2.1 [1: h. 73] Misalkan ˆ adalah penaksir untuk , variansi ˆ dinotasikan dengan V

 

ˆ diberikan sebagai

2 )) ˆ ( ˆ ( ) ˆ ( E  E  V   .

Definisi 2.2 [1: h. 174 ] Kovariansi dari pasangan variabel dan dengan rata – rata untuk masing – masing dan yang dinotasikan dengan Cov

 

X ,Y adalah

(3)

3

Definisi 2.3 [2: h. 271] Misalkan ̂ adalah penaksir untuk parameter . Bias ̂ dinotasikan dengan ( ̂) didefinisikan sebagai ( ̂) ( ̂) dan rata-rata kesalahan kuadrat dinotasikan dengan MSE ( ̂) yang didefinisikan sebagai

   

ˆ Eˆ 2 .

MSE

Deret Taylor untuk n variabel [5: h. 210] Misalkan f



x₁,x₂,...,x_n



adalah suatu fungsi n_{variabel dan} f,f',f",...,f k _{adalah kontinu pada interval} _I_dan _fk1_ada pada I dengan



x1,x2,,...,xn



I , maka



 









 

2 20



1 0 20 10 1 10 1 0 20 10 2 1 ,..., , ! 1 ,..., , ,..., , x x x x x x f x x r x x x f x x x f n k r n n _      









_

_{ }





1



! 1 ,..., , ... ,..., , ₁₀ ₂₀ 0 2 20 10              k x x x x f x x x x x x f r n no n n no



 

, ,...,

 

, ,...,



... 2 0 20 10 20 2 1 0 20 10 10 1 _           x x x x f x x x x x x f x x n n



 

, ,...,



. 1 0 20 10 0         k n n n n x x x x f x x

3. BIAS DAN MSE PENAKSIR DUAL UNTUK RATA-RATA POPULASI Penaksir dual ratio

 

Y_R* dan penaksir dual product

 

Y_P* untuk rata-rata populasi Y yang diajukan oleh Srivenkataramana [4] dirumuskan sebagai

X x y Y_R * *  * * z Z y Y_P 

dan penaksir dual ratio-cum-product

 

Y_RP* yang diajukan oleh Singh dan Singh [3] dirumuskan sebagai              * _* * z Z X x y Y_RP dengan



  n i i y n y 1 1

, x*



1g



X gx, z*



1g



Z gz adalah rata-rata sampel dari populasi Y ,X dan Z berturut-turut, dimana

n N n g   .

(4)

4

Masing-masing penaksir yang dibahas merupakan penaksir bias. Akan ditentukan besarnya bias dan MSE dari masing-masing penaksir. Suatu penaksir dikatakan efisien apabila memiliki MSE minimum.

Bias dan MSE penaksir dual ratio untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana adalah

 

Y

_R*

g

Y

K

_yx

C

_x2

,

B







 

_R* 1 Y2



C_y2 gC_x2



g 2K_yx





. n f Y MSE    

Bias dan MSE penaksir dual product untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana adalah

 

Y_P* Yg C_z2



g K_yz



, B   

 

P* 1 Y2



Cy2 gCz2



g 2Kyz





. n f Y MSE    

Bias dan MSE penaksir dual ratio-cum-product untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana adalah



Y_RP* Y



Yg



gK_xzC_z2 K_yzC_z2 K_yxC_x2 gC_z2



, E      

 

RP Y



Cy gCx



g Kyx



gCz



g



Kyz gKxz





n f Y MSE * 1 2 2  2 2  2 2  dimana N n f  , N n 1 1_   , Y S C_y  y , X S Cx  x , Z S C z z  , x y yx yx C C K  , z y yz yz C C K  , . z x xz xz C C K  

Selanjutnya akan ditentukan penaksir yang efisien dengan membandingkan MSE dari penaksir Y , penaksir_R* *

P

Y , dan penaksir Y . _RP*

1. Perbandingan antara penaksir Y dengan penaksir _R* Y _P*

diperoleh bahwa penaksir Y_R* lebih efisien daripada penaksir Y jika _P*

g C C g C g C C C g C C g C g C C _yx _y _yx _y _z _yz _y _z x z y yz z y yx y yx       2 2 2 2 2  2 2 2 2 2     

(5)

5

2. Perbandingan antara penaksir Y_RP* dengan penaksir Y _R*

diperoleh bahwa penaksir Y lebih efisien daripada penaksir _RP* Y_R* jika

xz y yz z x g C gC C   2 2   untuk



_xz



0

atau xz y yz z x g C gC C   2 2    untuk



xz 0

3. Perbandingan antara penaksir Y dengan penaksir _RP* Y _P*

diperoleh bahwa penaksir Y lebih efisien daripada penaksir _RP* Y jika _P*



 



g C g C C g C C_x 



yx y 



xz z 



yx y 



xz z  0 4. CONTOH

Misalkan sebuah data berkaitan dengan persentase bintik-bintik pada tubuh manusia yang disebabkan oleh penyakit pada 10 responden [3]. Dengan menggunakan data pada Tabel 1 akan ditentukan penaksir yang lebih efisien untuk menaksir rata-rata persentase bintik-bintik pada tubuh manusia dengan menggunakan syarat penaksir efisien yang diperoleh sebelumnya.

Tabel 1: Persentase Bintik-Bintik pada Tubuh Manusia yang dipengaruhi oleh Suhu dan Bunga pada Musim Panas Tertentu

Y

(Persentase Bintik-bintik pada Tubuh Manusia)

X

(Rata-rata Suhu di Bulan Januari)

Z

(Banyaknya Bunga dari Spesies Musim Panas Tertentu)

49 35 200 40 35 212 41 38 211 46 40 212 52 40 203 59 42 194 53 44 194 61 46 188 55 50 196 64 50 190

(6)

6 Dari Tabel 1 diperoleh nilai-nilai sebagai berikut

52  Y C2_y 0,024408 yx 0,796555 N 10 42  X Cx2 0,017007 yz 0,93639 n4 200  Z 2 0,002083 z C _xz 0,73333 g 4 6

Nilai MSE dari masing-masing penaksir dapat ditunjukkan pada Tabel 2. Tabel 2: Nilai MSE dari Masing-masing Penaksir

Dengan menggunakan informasi pada Tabel 2, diperoleh bahwa penaksir Y _RP*

memiliki nilai MSE terkecil.

5. KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas diperoleh bahwa penaksir Y lebih efisien daripada penaksir _RP*

*

R

Y dan penaksir Y lebih efisien daripada penaksir _R* Y . Jadi, dapat disimpulkan bahwa _P*

penaksir Y lebih efisien daripada penaksir _RP* Y dan penaksir _R* Y untuk rata-rata _P*

populasi pada sampling acak sederhana.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bain. L. J, & M. Engelhardt. 1991. Introduction to Probability and Mathematical

Statistics, Second Edition. Duxbury Press, California.

[2] Montgomery, D. C & G. C. Runger. 1999. Applied Statistics and Probability for

Engineers. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc., New York.

[3] Singh, H. P & R. Singh. 2005. On the Efficiency of a Dual to Ratio-Cum-Product Estimator in Sample Surveys. Mathematical Proceedings of the Royal Irish

Academy. 105A(2): 51-56.

[4] Srivenkatramana, T. 1980. A Dual to Ratio Estimator in Sample Surveys.

Biometrika. 67:194-204.

[5] Taylor, A. E & W. R. Mann. 1983. Advanced Calculus. Third edition. John Wiley & Sons. New York.

[6] Tailor, R., R. Tailor., R. Parmar., & M. Kumar. 2012. Dual to Ratio-Cum-Product Estimator Using Known Parameter of Auxiliary Variables. Journal of Reliability

and Statistical Studies. 5(1): 65-71.

Penaksir MSE * P Y 6,664444 * R Y 4,18904006 * RP Y 2,527241