A. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT MAJEMUK.

Standar Kompetensi

Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadratdan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidak samaan satu variable, logika matematika.

A. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT MAJEMUK. Kompetensi Dasar : 1.11. Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implika- si dalam pemecahan masalah.

A.1. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN DAN KALIMAT TER- BUKA.

Pengantar materi:

Dalam setiap pembicaraan, baik lisan maupun tulisan, kita sering menggunakan Kalimat. Kalimat dalam matematika dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: Kalimat Matematika Tertutup dan Kalimat Matematika Terbuka.

Salah satu jenis kalimat yang penting dan banyak digunakan dalam pembicaraan matematika adalah Kalimat deklaratif atau pernyataan atau Kalimat Matematika Tertutup.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah (Nilai Kebenaran) Sedang kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya dikenal dengan Kalimat Terbuka, yang dicirikan oleh adanya suatu variabel yang belum pasti.

Contoh 1 :

1. Dalam sebuah bidang, jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o_.

Ini merupakan pernyataan benar, sebab teori ini sudah dikenal dalam geometri Euclides.

2. Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B.

Ini bukan pernyataan akan tetapi merupakan kalimat matematika terbuka sebab nilai kebenarannya tidak dapat dipastikan.

Suatu kalimat matematika terbuka dapat berubah menjadi tertutup (pernyataan) jika variabelnya diganti dengan suatu unsur yang disebut konstanta.

Contoh 2 :

Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B. Jika B diganti konstanta Megawati SP, maka kalimatnya berubah menjadi pernyataan yang SALAH.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahami permasalahan berikut ini:

Masalah 1:

Diantara kalimat-kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan pernyataan dan mana yang bukan serta berikan alasan yang tepat. Jika pernyataan tentukan pula nilai kebenarannya !

1. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. 2. Benarkah 236 habis dibagi oleh 9?

4. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat cara.

5. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya ! 6. Tidak ada bilangan prima yang terbesar.

7. Mudah-mudahan kita sehat wal afiat.

8. Dalam himpunan bilangan rasional positif ada anggota yang terkecil. Penyelesaian:

1. Merupakan pernyataan yang salah, sebab 2 bilangan genap juga prima.

2. ... 3. ... 4. ... 5. Bukan pernyataan tetapi termasuk dalam katagori kalimat perintah / suruh, sehingga

nilai kebenarannya kabur.

6. ... 7. ...

8. ...

Masalah 2:

Dengan mengambil himpunan bilangan Asli sebagai semesta pembicaraan, tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing kalimat terbuka di bawah ini:

1. 2x + y = 6 5. 3x – 5 = x + 2

2. 2x – 3 = 3x – 1 6. x2 _{+ y}2 _{= 25}

3. x2 _{-2x -3 = 0 7. x}2 _{– y}2 _{= (x + y)(x – y)} 4. x adalah faktor dari 6 8. xy < 10

Penyelesaian :

1. Jika x dan y adalah variabel pada himpunan bilangan asli, maka HP dari 2x + y = 6 adalah : { (0, 6) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (3, 0) }

2. ………. ………. 3. ………. ………. 4. Jika x



B , maka HP = { 1, 2, 3, 6 } sebab bilangan tersebut merupakan factor dari

6. 5. ………. ………. 6. ………. ………. 7. ………. ………. 8. ………. ………. Dalam pembicaraan selanjutnya suatu Pernyataan biasa diwakili oleh suatu huruf/abjad alpabhet kecil, missal:

p



Surabaya kota pahlawan q



Amir sekolah di SMA N 1 Gondang

A.2. Ingkaran / Negasi atau pernyataan sangkalan. Pengantar materi:

Suatu pernyataan yang menyangkal atau membantah kebenaran suatu pernyataan dikenal dengan Negasi/ingkaran.

Dan biasa dilambangkan dengan : ~p atau



p

atau



p

atau  p dan biasa dibaca: bukan p atau tidak p bisa juga menggunakan kata yang mempunyai lawan katanya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan negasi dari pernyataan berikut ini:

Masalah 3:

Tentukan negasi atau ingkaran dari : a. Surabaya kota cosmopolitan.

b. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat cara.

c. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya ! d. Cuaca hari ini sangat cerah.

e. 2 + 9 > 15

Penyelesaian:

a. Surabaya bukan kota cosmopolitan

b. ... c. Tidak punya negasi sebab bukan pernyataan.

d. ... e. ...

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan beberapa kalimat di bawah, termasuk kalimat tertutup atau kalimat terbuka! a. 3 + 2 =

25

b. 2a + 16 = 20 c. Pada segitiga ABC siku-siku di A berla-

ku b2 _{+ c}2 _{= a}2 2. Negasi dari pernyataan berikut adalah :

a. Pada hari Senin siswa SMA X Mojokerto mengikuti Upacara Bendera. b. Joko merupakan siswa teladan yang berasal dari Desa Kampung Cendekia. c. 2 – 4 < 6

d. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki 2 faktor.

A.3. Pernyataan Majemuk.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan majemuk diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.

Pengantar materi:

Suatu pernyataan yang terdiri dari dua atau lebih gabungan pernyataan-pernyataan tungal dikenal dengan Pernyataan Majemuk.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang beberapa jenis pernyataan majemuk berikut ini:

A.3.1. Konjungsi.

Konjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu- nakan kata hubung ”DAN” atau ”TETAPI” atau ”MESKIPUN” atau ”WALAUPUN” Atau yang bermakna sama, dst

Biasa dilambangkan dengan tanda ”  ”

Missal: p



Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas q



Ani anak rajin

LKS-Mat.X-49

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Konjungsi sebagaimana tabel;

p q p  q

B B B

B S S

S B ... S S ...

Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Konjungsi dapat terwakili oleh pola arus listrik hubungan seri dari dua buah saklar, sebagai berikut:

p q

p q p  q P q Jaringan Listrik Arus

B B B 1 1 1 Ada

B S S ….. 0 ……. ……..

S B ... 0 ….. 0 Tidak

S S ... ….. ….. …….. ……..

A.3.2. Disjungsi.

Disjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu- nakan kata hubung ”ATAU”

Biasa dilambangkan dengan tanda ” V ”

Missal: p



Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas q



Ani anak rajin

maka p V q



Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas atau rajin. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Disjungsi bermakna pilihan bebas sebagaimana tabel; p q p V q B B ... B S B S B ... S S ...

Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Disjungsi dapat terwakili oleh pola arus listrik hubungan paralel dari dua buah saklar, sebagai berikut:

p

q

p q p v q P q Jaringan Listrik Arus

B B ... 1 1 1 Ada B S ... ... ... ... ... S B B ... 1 1 ... S S ... 0 ... ... Tidak Masalah 4: Diketahui:

p



Tari gadis pandai q



Tari anak orang kaya

Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini: a. p  q b. p ~q c. q v p d. ~p v ~q e. q v ~p

LKS-Mat.X-50

Penyelesaian:

a. p  q



Tari gadis pandai dan anak orang kaya. b. p



~q



c. q v p



d. ~p v ~q



e. q v ~p



A.3.3. Implikasi atau Kondisional.

Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu- nakan kata hubung ” Jika ... maka ...”

Biasa dilambangkan dengan tanda ” p



q ” di mana lambang ini juga dibaca: - p hanya jika q - p syarat cukup bagi q

- q jika p - q syarat perlu bagi p

Pernyataan p dikenal dengan Anteseden (Sebab) dan q dikenal dengan konsekuen (Akibat).

Missal: p



Ani salah satu siswa yang cerdas q



Ani anak rajin

maka p



q



Jika Ani salah satu siswa yang cerdas maka Ani anak rajin. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel;

p q p



q

B B ...

B S S

S B ...

S S B

A.3.4. Bi-Implikasi atau Bi-Kondisional.

Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu- nakan kata hubung ” ...Jika dan hanya jika ...”

Biasa dilambangkan dengan tanda ” p



q ” di mana lambang ini juga dibaca: - p bila dan hanya bila q - p syarat perlu dan cukup bagi q - Jika p maka q dan jika q maka p - q syarat perlu dan cukup bagi p Missal: p



Ani salah satu siswa yang cerdas

q



Ani anak rajin

maka p



q



Jika dan hanya jika Ani salah satu siswa yang cerdas maka Ani anak rajin.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel;

p q p



q B B ... B S S S B ... S S B Masalah 5: Diketahui:

p



Tari gadis pandai q



Tari anak orang kaya

Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini: a. p



q b. p



~q c. q



p d. ~p



~q e. q



~p

LKS-Mat.X-51

Penyelesaian:

a. p



q



Tari gadis pandai jika dan hanya jika Tari anak orang kaya. b. p



_~q



c. q



p



d. ~p



_{~ q}



e. q



~ p



Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Jika p



Aswan tidak suka menyanyi dan q



Aswan suka sepak bola Nyatakan dalam kalimat yang sesuai dari pernyataan berikut:

a. p v ~q c. ~p



_q e. ~q



_~p g. ~p



_q b. ~ p  q d. ~q



_{p f. q}  _~p h. ~p



_~q 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan:

a. Kucing binatang menyusui dan gajah binatang melata b. 3 x 3 x 3 = 3 x (3 + 3) atau 23 _{= 8}

c. Jika 3 bilangan prima maka 32 _{= 3 + 3}

d. Jika 2 bilangan genap maka Jakarta ibu kota RI. e. Jika jumlah sudut suatu segitiga 180o _{maka 1 + 3 = 4} f. 4 x 2 = 8



Solo di Pulau Bali

3. tentukan nilai x agar pernyataan berikut bernilai Benar ! a. Jika 2x = 12 maka 2 bilangan ganjil

b. Jika sin x = ½ , x sudut lancip maka cos 45o _{= ½} c. x2 _{= 9 jika dan hanya jika 2}2 _{= 4}

d. Sin x = ½ jika dan hanya jika tan 45o _{= -1} e. Cos 2x = 1 dan tan 2x = -1

f. 2x – 1 < 0 atau x > 0

A.3.4. Pernyataan majemuk yang ekuivalen.

Dua atau lebih suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama disebut dengan Pernyataan Majemuk ekuivalen.

Missal : Jakarta ibukota RI dan 2 + 3 = 5 ekuivelen dengan 4 + 1 < 9 atau gajah berkaki 3.

A.4. Nilai kebenaran suatu pernyataan. Pengantar materi:

Nilai Kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat dibuktikan dengan menggunakan kaidah tabel kebenaran masing-masing pernyataan induknya

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang aturan tabel kebenaran guna menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berikut ini:

Masalah 6:

Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan:

a. ( p  q )



_{p b. ~p} ~ ( p



q ) Penyelesaian: a. ( p



q )



_{p b. ~p}



~ ( p



q ) x y p q pq (pq)



_p p q ~p p



q ~ (p



q) x  y B B B ... B B S ... S ...

B S ... B B S S S ... ... S B ... ... S B B ... ... S S S S ... S S B ... ... ...

LKS-Mat.X-52

Jika diperhatikan hasil penyelidikan terhadap dua pernyataan majemuk di atas mendapatkan nilai kebenaran sebagai berikut:

a. ( p  q )



_{p, ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggal} nya, pernyataan ini selalu bernilai benar ( dan pernyataan seperti ini dikenal dengan Tautologi)

b. ~p ~ (p



q) , ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya, pernyataan ini selalu bernilai Salah ( dan pernyataan se- perti ini dikenal dengan kontradiksi )

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini: a. (p



q) ~ (p



q) b. ~ (~p  q )



_p 2. Selidiki apakah pernyataan majemuk ini ekuivalen:

a. q v (p  r) b. (p



q )



r dan r



(p



_{q) c. ~ (p}



q) dan p



~ q 3. Buktikan bahwa Negasi dari masing-masing pernyataan majemuk berikut benar

adanya ( Dalil d’Morgan) :

a. ~ (p  q)



~ p v ~ q c. ~ ( p



q )



(p ~ q) v (q ~ p) b. ~ (p v q)



~ p  ~ q d. ~ (p



q)



p  ~ q

A.5. Konvers, invers dan kontra posisi. Pengantar materi:

Dari suatu pernyataan majemuk implikasi dapat dilakukan suatu operasi bervariasi yang menghasilkan pernyataan baru dan biasa dikenal konvers, invers serta kontra posisi. Karakteristik masing-masing pernyataan tersebut dapat anda perhatikan dalam bahasan di bawah ini.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang konvers, invers dan kontra posisi berikut nilai kebenarannya:

Masalah 7:

Selidiki dan lengkapi nilai kebenaran dari beberapa pernyataan berikut ini :

p q ~p ~q p



_q q



_p ~p



~ q ~q



_{~ p}

Pernyataan tunggal Implikasi Konvers Invers Kontra posisi

B B S ... ... B ... ...

B S ... B ... ... B ...

S B ... ... ... ... ... B

S S ... ... B ... ... ...

Nilai logisnya sama Ini berarti ekuivalen Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Negasi dari pernyataan majemuk di bawah ini adalah : a. Segitiga ABC adalah siku-siku dan sama kaki

b. Garis a dan b sejajar atau berpotongan c. Harga barang naik dan sulit didapat

d. Jika mandor tidak datang maka kuli banyak yang pulang e. Jika x bilangan real dengan x < 2 maka x2 _{< 4}

f. Jika Ac tegal lurus BD maka ABCD layang-layang

2. Tentkan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan pada nomor 1 d s/d f. 3. Tunjukan dengan tabel kenearan bahwa pernyataan berikut ini ekuivalen:

a. p v (p v q)



p b. p



q



~ p v q c. p



q



(p



q)  (q



p)

LKS-Mat.X-53

A.5. Pernyataan Kuantor.

Pengalaman Belajar: 1.11.4. Mendiskusikan pengertian kuantor universal dan ekstensial

beserta ingkarannya.

1.11.5. Mempresentasikan hasil diskusi.

1.11.6. Menyimpulkan hasil diskusi secara kelompok.

1.11.7. Membuat pernyataan berkuantor universal dan ekstensial beserta ingkarannya

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan kuantor diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Pengantar materi:

Dalam bagian terdahulu telah kita pahami, bahwa kalimat matematika terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan, dengan mengganti variabel – nya dengan suatu anggota / unsur semesta pembicaraan.

Masih ada suatu langkah mengubah kalimat matematika terbuka menjadi tertutup/ pernyataan, yaitu dengan menggunakan kuantor, suatu ungkapan/kata yang menyatakan ”nominal atau berapa banyak”.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang pernyataan kuantor , perhatikan hal-hal berikut ini:

Pernyataan kuantor dibedakan menjadi dua, yaitu: a. Kuantor Universal:

Suatu kuantor yang menunjukan bahwa setiap atau semua elemen/unsur berlaku pada sistem /semesta pembicaraan.

Kuantor universal biasa diberi lambang: (x) dibaca: Untuk semua x, berlaku ... Semua x, berlaku ... Setiap x, berlaku ... b. Kuantor Ekstensial:

Suatu kuantor yang menunjukan bahwa (Tidak semua) / hanya ada atau beberapa elemen/unsur yang berlaku/memenuhi sistem /semesta pembicaraan.

Kuantor universal biasa diberi lambang:



(x

)

dibaca: Tidak semua x, berlaku ... Ada x, berlaku ...

Beberapa x, berlaku ... Catatan: Diantara ke dua jenis pernyataan kuantor tersebut keduanya memiliki sifat saling invers / sangkal / atau ingkarannya.

Masalah 8:

1. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam bentuk kalimat ! a. (x)R, x2 _{+ 1 > 0 c.} _(x)_{B, 5x – 3 = 12}

b. (x)R, 2x2 _{– 4 < 4 d.} _(x)_{R, 2 – x}2 _{= 4}

2. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam lambang-lambang kuantor ! a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8

b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 _{selalu genap.} c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 _{> 0}

d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x2 _{< 0}

3. Tentukan negasi dari masing-masing pernyataan kuantor berikut ! a. (x)R, x2 _{+ 1 > 0}

b. (x)R, 2 – x2 _{= 4}

c. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8

d. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 _{selalu genap.} e. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 _{> 0}

f. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 _{< 0}

LKS-Mat.X-54

Penyelesaian:

1. a.



(x

)



R, x2 _{+ 1 > 0 ; Untuk semua x anggota bilangan real berlaku x}2 _{+ 1 > 0} b. (x)R, 2x2 _{– 4 < 4 ; Beberapa x anggota real berlaku 2x}2 _{– 4 < 4}

c. (x)B, 5x – 3 = 12 ; ...

d.



(x

)



R, 2 – x2 _{= 4 ; ...} 2. a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8

) (x

 R, 3x – 2 = 8

b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 _{selalu genap.} ...

c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 _{> 0} ...

d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 _{< 0} ... 3. a. (x)R, x2 _{+ 1 > 0 negasinya :} _(x)_{R, x}2 _{+ 1}



₀ b. (x)R, 2 – x2 _{= 4 negasinya : ...} c. ... d. ... e. ... f. ...

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kuantor berikut ini: a. (x)R, x2 _{+ 2}



₀

b. (x)R,

x

= x

c. (x)R, x2 _{= 25}



_{x =5}

d. ((x)R)(( y)R), x2 _–y2 _{= (x +y)(x –y)} e. (x)R, x2 _{-5x + 6 = 0}

f.



(x

)



R, x + 4 > 7

g. ((x)C )( ( y)C ), x < y h. ((x)R )((x)R), x + y > xy

2. Nyatakan dalam bentuk pernyataan kuantor: a. x2 _{+ 1 = 0 tidak mempunyai akar real} b. Setiap bilangan bulat, genap atau ganjil

d. Setiap bilangan prima adalah ganjil.

3. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. (x)R, x3 _{> x}

b. (x)Q, 2x2_{-x -1 = 0}

c. ((x)R )( ( y)R ), sin ( x + y) = sin x + sin y

LKS-Mat.X-55

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !

1. Negasi dari ‚“ Pada hari minggu semua siswa tidak masuk ke sekolah,“ adalah ... a. Pada hari minggu semua siswa ke sekolah.

b. Pada hari minggu ada siswa ke sekolah

c. Pada hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah

d. Pada hari yang bukan minggu semua siswa tidak ke sekolah e. Pada hari yang bukan hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah

2. Negasi dari ”Jika saya ke Jakarta, maka saya mampir ke rumah Ayu” adalah ... a. Jika saya tidak ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah ayu.

b. Jika saya tidak mampir ke rumah Ayu, maka saya tidak ke Jakarta c. Jika saya ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah Ayu. d. Saya ke Jakarta dan saya tidak mampir ke rumah Ayu

e. Saya ke Jakarta dan saya mampir ke rumah Ayu.

3. Diketahui ” Jika jalan diperbaiki maka lalu linta lancar” Kontraposisi dari konvers pernyataan diatas adalah ...

a. Jika jalan tidak diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar b. Jika lalu lintas lancar, maka jalan diperbaiki

c. Jika lalu lintas tidak lancar, maka jalan tidak diperbaiki d. Jika jalan diperbaiki maka lalu lintas lancar

e. Jika jalan diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar.

4. Nilai x agar implikasi ” x2 _{= 25}



_{tan 45}o _{= 3” bernilai benar kecuali ...} a. x = 5 b. x = -5 c. x



5 d. x



-5 e. x



25 5. Jika pernyataan p dan q benar, maka pernyataan yang bernilai benar adalah ... a. p



q b. p v ~q c. p  q d. ~q p e. ~p



q 6. ~p



q mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan ...

a. p



_q b. q



_{~ p} c. ~p



_{~ q d. p} q e. p v q

7. Diketahui p, q, r, dan s , Jika p q , q



r, r



s dan s masing-masing bernilai Benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ………..

a. p v q b. ~p v q c. p



_q d. ~p



_{~ s} e. ~p



_{~ q} 8. Negasi dari (p



q)



r adalah …...

a. (p v q)



r b. p  q  _{~ r} c. (p  q)



r d. p v q v r e. p  _{q v r} 9. Perhatikan kalimat ” Jika ia berusaha, maka ia berhasil.” Kontra posisinya adalah …….

a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil b. Jika ia berhasil, maka ia berusaha.

c. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha. d. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil.

e. Ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhasil.

a. Jika Rina lulus, maka Rina kawin.

b. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina akan kawin. c. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina tidak kawin. d. Jika Rina kawin, maka Rina lulus ujian.

e. Jika Rina tidak kawin, maka Rina tidak lulus ujian. B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Tentukan ingkaran dari pernyataan:

a. Semua peserta ujian tulis lulus. c. Ada manusia yang dapat hidup di planet Mars b. Jika x bilangan Prima, maka x bilangan Ganjil.

2. Tentukan nilai kebenaran dari: a. x2 _{= x + 2}



_{3x + 1 = 7}

b. Sin2 _{x = ½ , x di kuadran dua maka tan x = 1}

3. Selidiki nilai kebenaran pernyataan berikut dengan tabel kebenaran:

a. ( p



_{q ) v (~p v q )} b. [~ ( p



_{q ) v ~p ]}



(~p_{~ q )}

LKS-Mat.X-56

B. PENARIKAN KESIMPULAN dan PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.

Kompetensi Dasar : 1.12. Menggunakan sifat dan prinsip logika untuk penarikan kesimpulan dan membuktikan sifat/teorema matematika

B.1. PENARIKAN KESIMPULAN.

Pengalaman Belajar: 1.12.1. Mengingat kembali tabel kebenaran, operasi logika.

1.12.2. Membuat argumentasi tentang kehidupan sehari-hari yang relevan dengan logika.

1.12.3. menarik kesimpulan dengan kaidah modus ponens, tollens, dan silogisme.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut penarikan kesimpulan diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi:

Salah satu tujuan penting dari logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan.

Yang dimaksud dengan argumentasi dalam pembahasan ini adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (premis), melalui langkah-langkah logis, dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar ( disebut kesimpulan atau konklusi ) Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar.

Terdapat beberapa model penarikan kesimpulan yang mengedepankan kaidah implikasi, yaitu:

b.1.1. Modus Ponens.

Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p



q : Benar

Premis 2 : p : Benar

Jadi : q : Benar (Konklusi) b.1.2. Modus Tollens.

Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p



q : Benar

Premis 2 : ~ q : Benar

Guna menyelidiki berlakunya Modus Ponens dan Tollens dapat diperhatikan tabel kebenaran di bawah ini:

p q p



q ~p ~q B B B S S Modus Ponens B S S S B S B B B S S S B B B Modus Tollens b.1.3. Silogisma.

Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p



q : Benar

Premis 2 : q



r : Benar

Jadi : p



r : Benar (Konklusi)

LKS-Mat.X-57

Berlakunya kaidah silogisma dapat diperhatikan pada tabel kebenaran berikut ini:

p q r p



q q



r p



r B B B B ... ... B B S ... S ... B S B ... ... B B S S S ... ... S B B ... ... ... S B S ... S ... S S B ... ... B S S S ... ... ... Masalah 9:

1. Selidiki sah tidaknya penarikan kesimpulan di bawah ini dan menurut pola apa a. Jika umar seorang haji, maka ia beragama Islam.

Umar adalah seorang haji.

--- Jadi Umar beragama Islam.

b. Jika ABCD sebuah belah ketupat, maka AC tegak lurus BD AC tidak tegak lurus BD

--- Jadi ABCD bukan belah ketupat.

c. Jika Burhan begadang pada malam minggu, maka ia masuk angin Jika Burhan masuk angin, hari Senin tidak masuk sekolah.

---

Jadi : Jika burhan begadang pada malam mingu, maka hari Senin ia tidak masuk Sekolah.

2. Kajilah sah tidaknya argumentasi berikut ini: a. p



q b. p v q p p --- --- Jadi: q Jadi: ~q Penyelesaian: 1. a. p



q : premis 1 c. p



... : premis 1 p : premis 2 ...



r : premis 1 Jadi: q : konklusi ...



... : Konklusi

Syah menurut Modus Ponens. Syah menurut ...

b. p



q : premis 1 ... : premis 2 Jadi: ... : konklusi

Syah menurut Modus ...

2. a. p



q b. p v q p p --- --- Jadi: q Jadi: ~q p q p



q p q ~q p v q B ... B B ... S ... ... S ... ... S ... B ... B S S ... S ... S ... ... ... ... ... ...

LKS-Mat.X-58

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan syah tidaknya argumentai berikut ini ! a. Jika Amir rajin belajar, maka Amir naik kelas.

Amir naik kelas . Jadi Amir rajin belajar

b. Jika Burhan lulus ujian, maka ia dibelikan sepeda motor. Burhan tidak dibelikan sepeda motor . Jadi Burhan tidak lulus ujian

c. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 a



0 dan b



0 --- Jadi ab



0

d. Setelah tamat SMA, saya bekerja atau kuliah di UNESA Saya tidak kuliah di UNESA . Jadi Saya bekerja.

2. Kajilah syah tidaknya pernyataan berikut !

a.1. p



q 2. p



q ~ r



~ q ~ q



~ r --- --- Jadi: ~r



~ p Jadi: r



p

b. Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang

Jadi: Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep tidak lulus ujian. c. Jika n bilangan prima ganjil maka n > 2

Jika n > 2 maka n2 _{> 4 .} Jadi: Jika n bilangan prima ganjil, maka n2



₄

B.2. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.

Pengalaman Belajar: 1.12.4. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung dan ti- dak langsung (Menggunakan kaidah kontraposisi/kontradiksi) 1.12.5. Membuktikan sifat matematika dengan induksi matematika. 1.12.6. Mengolah dan mendiskusikan informasi yang diperolehnya

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pembuktian dalam matematika diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi:

B.2.1. Bukti langsung.

Suatu model pembuktian yang menggunakan argumentai langsung dari beberapa premis yang ada.

Masalah 10:

Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2 _ganjil. Penyelesaian:

Misalkan: p



n bilangan Bulat ganjil, dan q



n2 _{bilangan Bulat ganjil} Harus dibuktikan bahwa p



q bernilai BENAR. Bukti:

Oleh karena n ganjil (p), maka dapat dimisalkan : n = 2a + 1, dengan a bilangan Bulat, Dengan demikian: n2 _{= ( 2a + 1 )}2

= ... + ... + 1 [ Bulat ganjil (q) ] Terbukti bahwa: p



q bernilai ...

LKS-Mat.X-59

B.2.2. Bukti tidak langsung.

Metode bukti tak langsung yang sering disebut reductio ad absurdum atau bukti dengan kemustahilan banyak digunakan dalam Geometri.

(i) Dengan Kontradiksi:

Misal akan dibuktikan : p



q bernilai BENAR.

Dari yang diketahui p benar, diandaikan q salah atau ~ q benar. Dengan langkah logis diturunkan bahwa ~ p benar.

Hal ini berarti terjadi kontradiksi (karena diketahui p benar), dengan demikian pengandaian bahwa q salah harus diingkar yang berarti benar.

Masalah 11:

Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n2 _{ganjil maka n ganjil.} Penyelesaian:

Misalkan: Diketahui n2 _{bilangan ganjil, akan dibuktikan n bilangan ganjil} Bukti:

Andaikan n bukan bilangan genap, karena n bilangan genap, Dapat dimisalkan : n = 2k, dengan k bilangan Bulat,

Dengan demikian: n2 _{= ( 2k )}2

= ... = 2 (... ) = 2 m , dengan m = ...

Karena n2 _{= 2m berarti n}2 _{bilangan genap. Hal ini bertentangan (kontradiksi)} dengan yang diketahui bahwa n2 _ganjil.

Oleh karena itu pengadaian harus diingkar yaitu yang benar adalah n bilangan ganjil. (terbukti)

(ii) Dengan Kontraposisi

Bukti dengan kontraposisi dapat dilakukan dengan langkah logis sbb: Misalkan harus dibuktikan p



q (BENAR)

Kita andaikan q Salah atau ~ q Benar, dengan langkah logis diturunkan p salah atau ~ p benar, maka diperoleh : ~ q



_{~ p (BENAR)}

Oleh karena : ~q



_{~ p}



p



_{q maka Jika ~ q}



_{~ p (BENAR),} akibatnya p



q juga BENAR.

Masalah 12:

Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2 _ganjil. Penyelesaian:

Diketahui : n2 _{bilangan bulat ganjil. ( p )} Harus dibuktikan : n bilangan bulat ganjil ( q ) Andaikan : n bukan bilangan bulat ganjil (~q ) Maka : n2 _{bukan bilangan bulat ganjil. (~p )}

Karena : ~q



_{~ p kontraposisi dari p}



q dan ekuivalen Maka terbukti bahwa pernyataan benar.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Gunakan bukti langsung guna membuktikan kebenaran masing-masing pernyataan di bawah ini!

a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 _genap. b. Setiap bilangan real x, jika x = 3 maka x2 _{= 9}

c. Terdapat bilangan real sehingga r2 _{> r}

d. Jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga ama dengan 180o e. Untuk setiap bilangan real x, 1 + cos x



0

2. Gunakan bukti tak langsung guna membuktikan kebenaran masing-masing pernyataan di bawah ini!

a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 _genap.

b. Untuk setiap himpunan A dan B, jika A  B = B maka A  B

LKS-Mat.X-60

c. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika ab ganjil maka a dan b

kedua-duanya ganjil.

d. Jika dua garis a dan b sejajar dipotong oleh garis ke tiga c, maka sudut-sudut dalam berseberangan sama besar.

e. Untuk setiap bilangan real x, Jika x2 _{> 1 maka x < -1 atau x > 1} B.2.2. Induksi matematika.

Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah jenis ini. Dengan prinsip sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) bernilai BENAR, dan apabila P(k) juga bernilai BENAR maka P(k +1) juga bernilai BENAR.

Maka dapat dipastikan P(n) bernilai BENAR untuk semua n bilangan Asli

Masalah 13:

Buktikanlah bahwa 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 _{, untuk semua bilangan Asli n.} Penyelesaian:

Misalkan: P(n) adalah ” 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 _”

(a). Untuk n = 1 , maka P(1) bernilai Benar, Sebab 1 = ( ….. )2 _{= 1} (b). Andai untuk n = k sehingga P(k) bernilai Benar, yaitu apabila:

1 + 3 + 5 + ... + (2 …. – 1) = ...2 _{, maka:} (c). Akan dibuktikan berlaku (Benar) untuk n = k +1

1 + 3 + 5 + ... + (2k -1) + (2 (k+1) – 1) = [1 + 3 + 5 + ... + (2k -1) + [(2k + ... – 1) ]

= ... 2 _{+ (... +1)}

= k2 _{+ ... +1 = ( ... + 1)}2

Jadi untuk P(k + 1) bernilai Benar, dengan demikian P(n) Benar.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

Buktikan kebenaran dari argumentasi di bawah ini dengan Induksi Matematika ! 1. Buktikan bahwa ” n3 _{+5n habis dibagi oleh 6”}

2. Buktikan bahwa ” 1 +2 +3 +4 + ... + n = ½ n (n +1) ” 3. Buktikan bahwa ” 1 +2 + 22 _{+ 2}3 _{+ ... + 2}n -1 _{= 2}n _{-1 ”} 4. Buktikan bahwa ” 33n _{+ 2}2n +2 _{habis dibagi 5 ”}

5. Buktikan bahwa ’’ 24n +3 _{+ 3}3n +1 _{habis dibagi oleh 11 “}

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !

1. Jika kita akan membuktikan kebenaran implikasi ” p



_{q “, kita dapat melakukannya dengan} bukti tidak langsung yaitu kontraposisi, hal ini sah karena ………

a. kedua ruas di negasi sehingga nilai kebenarannya sama b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi

c. invers ekuivalen dengan implikasi

d. pembuktian dengan kontraposis selalu bernilai benar e. kontraposisi sama dengan implikasi

LKS-Mat.X-61

02. Kesimpulan dario tiga premis:

















r

r

q

pvq

, adalah ... a. p b.



p c. q d.



q e. p





p

03. Ditentukan premis-premis : 1. Jika Adi rajin, maka ia disayang ibu.

2. Jika Adi disayang ibu, maka ia disayang bapak. 3. Adi tidak disayang bapak.

Kesimpulan yang sah dari ke-tiga premis tersebut adalah ... a. Adi rajin tapi tidak disayang ibu. d. Adi tidak rajin

b. Adi rajin e. Adi disayang nenek

c. Adi disayang ibu

04. Semua peserta UMPTN ingin diterima di Perguruan Tinggi Negeri. Soni tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri .

Kesimpulan: ... , Isian yang tepat adalah: a. Soni ingin diterima di perguruan tinggi negeri

b. Soni tidak ingin lulus UMPTN c. Soni peserta UMPTN

d. Soni bukan peserta UMPTN

e. Soni peserta UMPTN yang tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri. 05. Semua lelaki berrambut gondrong berjiwa seni.

Ali berjiwa seni

Amir berambut gondrong, Penarikan kesimpulan berikut:

1. Ali berambut gondrong. 3. Ali dan Amir berambut gondrong. 2. Amir berjiwa seni 4. Ali atau Amir berambut gondrong. Penarikan kesimpulan yang valid adalah ...

a. 1, 2 dan 3 b. 1 dan 3 c. 2 dan 4 d. 4 e. 1, 2, 3 dan 4 06. Pembuktian berikut termasuk bukti langsung, kecuali ...

a. Modus ponens c. kontraposisi e. Silogisme

b. Modus Tollens d. Induksi Matematika

07. Jika kita akan membuktikan bahwa 3 irrasional menggunakan bukti tak langsung, maka langkah yang benar adalah ...

a. lihat 3 dalam tabel c. 3 =

2 6

e. dengan menggunakan kalkulator

b. lihat 3 lewat kalkulator d. 3 =

b

a

, a , b bulat yang tidak punya faktor persekutuan. 08. Jika kita akan membuktikan kebenaran Implikasi ” p



q ” , kita dapat melakukanya dengan

bukti tak langsung melalui kontraposisi, hal ini syah karena ... a. ke-dua ruas dinegasi sehingga nilai kebenarannya sama.

b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi c. invers ekuivalen dengan implikasi

d. pembuktian dengan kontraposisi selalu bernilai benar. e. kontraposisi sama dengan implikasi.

B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Semua siswa kelas X memakai baju baru.

Semua siswa kelas X tidak memakai dasi.

Budi memakai dasi, Tentukan kesimpulan yang syah dari ke-tiga premis tersebut ! 2. Buktikan bahwa ” 2 +4 +6 +8 + ... + 2n = n (n +1)

3. Buktikan bahwa 72n +1 _{+ 1 habis dibagi 8 untuk semua n bilangan asli !}

LKS-Mat.X-62

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR

Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara pernyataan berikut):

Menyenangkan 1 2 3 4 5 Membosankan

Bermanfaat 1 2 3 4 5 Tidak Bermanfaat

Menarik 1 2 3 4 5 Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari 1 2 3 4 5 Tidak perlu dipelajari

Menantang 1 2 3 4 5 Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan Mempunyai korelasi dengan

masalah sehari-hari 1 2 3 4 5

Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

Petunjuk Penilaian:

1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa.

2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

Standar Kompetensi

Memahami dan Menggunakan aturan dan sifat perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

A. NILAI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI.

Kompetensi Dasar : 2.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri, rumus Sinus, dan rumus Cosinus dalam pemecahan masalah.

A.1. UKURAN SUDUT DALAM DERAJAT DAN RADIAN.

Pengalaman Belajar: 2.1. Mendefinisikan pengertian derajat dan radian.

2.1. Mengidentifikasi hubungan ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut ukuran sudut diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi:

Dalam setiap pembicaraan tentang trigonometri tidak terlepas dari apa yang dinamakan ukuran sudut. Pada hakekatnya ukuran sudut sering dinyatakan dalam dua hal, sebagai berikut:

A.1.1. UKURAN DERAJAT. Y

Jika Titik A bergerak mengelilingi keliling lingkaran penuh, berarti titik A menempuh sudut 360o

A Jika bergerak setengah putaran penuh, berarti X

Titik A menempuh sudut ... o

Jika bergerak seperempat putaran penuh, berarti Titik A menempuh sudut ... o

Jika titik A menempuh sudut 30o_{, maka A bergerak} mengelilingi keliling lingkaran _o

o

360

30

putaran = ... putaran.

Sehingga dapat ditarik hubungan ukuran derajat sebagai berikut: Besar sudut 10o ₌

o o

...

10

putaran Besar sudut 5o ₌

o o

...

...

putaran

Jadi pengertian dari: 1o ₌

...

...

putaran penuh.

A.1.2. UKURAN RADIAN.

Y Perhatikan gambar disamping: B

R Besar sudut AOB dapat dinyatakan dalam : O A radian jari Jari AB busur Panjang   

LKS-Mat.X-63

LKS-Mat.X-64

y Q Perhatikan gambar disamping ini:

R Jika panjang busur PQ sama dengan panjang jari-jari R Lingkaran. Maka



POQ besarnya 1 radian. R P Sehingga 360o _{= ....?.... radian.}

O x Telah diketahui bahwa 360o _{adalah besar sudut 1 putar} an penuh. Dalam perhitungan ukuran radian, maka:

360o ₌

_radian

jari

Jari

lingkaran

Keliling





=

R

radian

...

2



Jadi : 3600 _{= ... radian.} 1800 _{= ... radian.} 900 _{= ... radian.} Jika



mendekati

7

22

maka 1 radian =

x180

o

22

7

= ... o Masalah 14:

a. Nyatakan ukuran derajat berikut ke dalam ukuran radian ! i. 60o _{ii. 150}0 _{iii. 315}0 b. Nyatakan ukuran radian berikut ke dalam ukuran derajat !

i. 3



radian ii. ₂3



radian iii. 2 radian Penyelesaian: 9. i. 60o ₌

360

60

x 2



=

...

1

x 2



=

...



radian a. 1500 _{= ...} b. 3150 _{= ...} 10. i. 3



radian = 3 x 180o _{= ...} o ii. ₂3



_{radian = ...} iii. 2 radian = 2 x 57,27o _{= ...} o

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Ubah ukuran derajat berikut ini ke dalam ukuran radian !

a. 240o _{b. 330}o _{c. 310}o _{d. 210}o _{e. 75}o _{f. 20}o 2. Ubah ukuran radian berikut ini ke dalam ukuran derajat !

a.

3



rad b. 5 3



rad c. 6 7



rad d. 1,2 rad e. 3,5 rad f. 0,25 rad

A.2. NILAI PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI.

Pengalaman Belajar: 2.3. Mendefinisikan nilai perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku.

2.4. Menghitung nilai sinus sudut siku-siku dan sudut-sudut tertentu/ atau sudut khusus.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut nilai perbandingan fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

LKS-Mat.X-65

Pengantar materi:

Nilai perbandingan fungsi trigonometri pada hakekatnya dapat diturunkan dari konsep dasar tempat Kedudukan Titik pada koordinat cartesius (Ingat materi SLTP) dipadu dengan teorema Phytagoras, sebagaimana dapat diperhatikan pada gambar berikut:

Untuk setiap sudut di kuadran 1 (ao _{lancip) dapat diturun-} kan pengertian Fungsi Trigonometri, yang pada hake- P(x, y) katnya merupakan nilai perbandingan dari 3 sisi suatu se gitiga siku-siku ( perhatikan segitiga OAP ), sbb:

R y Sinus ao _{= Sin a}o ₌ miring sisi tegak sisi   = OP AP =

...

y

ao _{Cosinus a}o _{= Cos a}o ₌

miring

sisi

datar

sisi





=

OP

OA

=

...

...

O x A X Tangen ao _{= Tan a}o ₌ datar sisi tegak sisi   =

...

AP

=

...

...

Secans ao _{= Sec a}o ₌ datar sisi miring sisi   = OA OP =

...

...

= _o a . cos 1 Cosecans ao _{= Cosec a}o ₌ tegak sisi miring sisi   = AP ... =

...

...

= _o a . sin ... Cotangens ao _{= Cotan a}o ₌ tegak sisi datar sisi   =

...

OA

=

...

...

=

...

1

Masalah 15: B

Tentukan nilai-nilai perbandingan dari 24 fungsi trigonometri dari sebuah segitiga a

siku-siku di bawah ini

C A

Penyelesaian: 25

Dari gambar didapat: a =

25

2



...

= ...... = ... = ... Sehingga nilai-nilai fungsi trigonometri dapat diturunkan, sebagai berikut: Sin A = AC BC = 25 ... = ... Sin C = ... ... =

25

...

= ... Cos A = ... AB = ... ... = ... Cos C = ... BC =

...

...

= ... Tan A = AB ... = ... ... = ... Tan C = ... ... =

...

...

= ... Sec A = ... ... = ... ... = ... Cosec C = ... ... =

...

...

= ...

Sekarang bagaimana kita menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut khusus atau istimewa, dan perlu diketahui bahwa yang dimaksud sudut istimewa adalah nilai-nilai sudut pada kuadran I diantaranya 0o _{, 30}o _{, 45}o _{, 60}o _{dan 90}o

C Pada segitiga ABC siku-siku di B sama kaki dengan panjang sisi siku-sikunya p, berarti AB = BC = p Sehingga didapat AC = p2...2 =

2

...

2 = ...

...

p dan sudut A = 45o p A B Sehingga didapat: Sin A = Sin 45o ₌ AC BC = 2 p p =

...

1

= ... 2 1

LKS-Mat.X-66

CosA = Cos 45o ₌ ... AB = 2 ... p =

...

1

= ... ... ... C Tan A = Tan 45o ₌

AB

BC

=

...

...

= ...

Pada segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = p,



A = 60o _, D Maka



C = ….. o

Dibuat



ABD = 60o _{, maka}



_{ADB = ...}o _dan



_{CBD = …..}o 60o

A B Karena



A = 60o ₌



_{ABD, maka segitiga ABD sama sisi, se-} hingga AB = AD = …… = p

Karena



C =



CBD, maka segitiga BCD sama kaki, sehingga BD = …… = …….. Akibatnya AC = AD + CD = …… + ….. = …… dan BC = 2 2

AB

Sin A = sin 60o ₌ AC BC = ... ... = …… Sin C = sin 30o ₌ AC ... = ... ... = …… Cos A = sin 60o ₌ ... ... = ... ... = …… Cos C = Cos ....o ₌ ... ... = ... ... = …… Tan A = sin ....o ₌ ... ... = ... ... = …… Tan C = Tan ....o ₌ ... ... = ... ... = …… Dari beberapa temuan di atas dapat dibuat tabel dan coba lengkapilah tabel berikut:

Fungsi 0o ₃₀o ₄₅o ₆₀o ₉₀o Sin



0 ...

2

2

1

... 1 Cos



... 3 2 1 ... ... ... Tan



... ... ... ...  Sec



... ... ... ... ... Cosec



... ... ... ... ... Cotan



... ... ... ... ... Masalah 16:

Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari: sin 30o_{cos 60}o _{+ cos 30}o _{sin 60}o

Penyelesaian:

sin 30o_{cos 60}o _{+ cos 30}o _{sin 60}o _{= (}

2 1

x ... ) + ( ... x ... ) = ... + ... = ...

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan nilai perbandingan fungsi trigonometri lengkap dari gambar di bawah ini ! C Q C a 3 B P p 7 2 10 5 B 6 R A c A

2. Tentukan nilai dari :

a. Tan 30o _{+ cos 45}o _{– sin 45}o _{d. cos 30}o _{cos 60}o _{– sin 30}o_{sin 60}o b. sin 30o _{+ cos 60}o _{+ tan 45}o _{e. sin 60}o _{tan 30}o _{+ tan 60}o_{cos 30}o c. cos2 ₄₅o _{+ 2 cos 45}o _– 2 1 f. _{o o} o o o o

60

tan

30

tan

60

cos

45

cos

60

sin

45

sin

2 2 2 2







LKS-Mat.X-67

3. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC jika diketahui



C= 90o

dan: a.



A= 15o _{dan a = 10 cm b.}



_{B= 70}o _{dan c = 20 cm} 4. D

4cm Tentukan nilai p dari gambar disamping ! p C

30o

A 10 cm B

5. P Pada gambar disamping, jika



Q = 60o _{dan QR = 8 cm} ,



APQ =



ASP =



PRS = 90o

Tentukan panjang PQ, PR, PS dan QS ! R

A S Q

A.3. RELASI SUDUT FUNGSI TRIGONOMETRI.

Pengalaman Belajar: 2.5. Menunjukan letak sudut di beberapa kuadran

2.6. Menghitung nilai sinus, cosinus, tangen dari beberapa kuadran 2.7. Menghitung besarnya sudut dalam perbandingan trigonometri jika salah satu nilai trigonometrinya diketahui.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut relasi/hubungan sudut fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi:

A.3.1. Tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai kuadran.

Dengan mengingat kembali definisi fungsi trigonometri dan juga memperhatikan letak kaki sudut di kuadran tertentu, terdapat perbedaan tanda positif dan negatif pada setiap unsur x dan y, sehingga memiliki pengaruh pada nilai perbandingan fungsi trigonometri, coba perhatikan gambar dan tabel dibawah ini:

y Kuadran II Kuadran I x < 0 , y … 0 x > 0 , y > 0 R … 0 R > 0 x x … 0 , y …0 x … 0 , y … 0 R … 0 R ... 0 Kuadran III Kuadran IV

Nilai Perban- dingan Trigo- nometri Kuadran I II III IV x y x y x y x y + + - + - - + - Sinus + + Cosinus + - Tangen + +

A.3.2. Relasi sudut fungsi trigonometri di berbagai kuadran. y

Perhatikan gambar di samping, nampak bahwa P’ P hasil pencerminan Titik P terhadap sumbu y, di dapat titik P’ dan seterusnya, sehingga diturun- kan nilai sudut di berbagai kuadran yang mem- (180 -



)



x punyai korelasi satu sama yang lainnya, seba- (180 +



) (360 -



) gai berikut: atau (-



)

LKS-Mat.X-68

Kuadran II Sin (180 -



) = Sin



Cos (180 -



) = - Cos



Tan (180 -



) = - Tan



Kuadran I Sin



Cos



Tan



Kuadran III Sin (180 +



) = - Sin



Kuadran IV Sin (360 -



) = - Sin



Cos (180 +



) = - Cos



Tan (180 +



) = Tan



Cos (360 -



) = Cos



Tan (360 -



) = - Tan



A.3.3. Relasi sudut yang saling berkomplemen di berbagai kuadran.

Dengan menggunakan aturan refleksi/pencerminan terhadap garis y = x & y = -x dari suatu titik P(x, y) yang membentuk sudut



, kita dapat turunkan relasi dari beberapa sudut yang saling berkomplemen, sebagai berikut:

Kuadran II Sin (90 +



) = Cos



Cos (90 +



) = - Sin



Tan (90 +



) = - Cotan



Kuadran I Sin (90 -



) = Cos



Cos (90 -



) = Sin



Tan (90 -



) = Cotan



Kuadran III Sin (270 -



) = - Cos



Cos (270 -



) = - Sin



Tan (270 -



) = Cotan



Kuadran IV Sin (270 +



) = - Cos



Cos (270 +



) = Sin



Tan (270 +



) = - Cotan



Masalah 17:

1. Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari: a. sin 120o _{b. Cos 300}o _{– Tan 135}o _{c. Sec}2 ₂₁₀o

2. Jika sin 44o _{= 0,695 dan cos 46}o _{= 0,719, maka tentukan nilai dari fungsi trigono-} metri berikut ini (tanpa bantuan alat hitung) !

a. cos 226o _{b. Sin 224}o _{– sin 316}o

Penyelesaian:

1. a. Sin 120o _{= ( ingat 120}o _{berada pada kuadran II sehingga Sin + )} Sin 120o _{= Sin ( 180 - ... )}o _{= Sin ...}o _{= 3}

2 1

b. Cos 300o _{– Tan 135}o _{= Cos ( 360 - ... ) – Tan (180 - .... ) = Cos ... – ( -Tan .... )} = ... - ... = ...

c. Sec2 ₂₁₀o _{= Sec}2 _{( 180 + ... )}o _{= ( Sec …..}o ₎2 _{= ……}2 _{= ……} 2. Diketahui : sin 44o _{= 0,695 dan cos 46}o _{= 0,719}

Ditanya : a. cos 226o _{b. Sin 224}o _{– sin 316}o Jawab :

a. cos 226o _{= (berada di kuadran II berkomplemen )} cos 226o _{= cos ( 270 - ... )}o _{= - sin 44}o _{= - ……….}

b. Sin 224o _{– sin 316}o _{= Sin ( 270 - ... )}o _{- Sin (270 + ....)}o _{= - cos ... – cos ...} = -2 cos ... = - ...

LKS-Mat.X-69

A.3.4. Menentukan nilai perbandingan trigonomeri.

Menentukan nilai fungsi trigonometri di berbagai kuadran jika salah satu nilai fungsinya diketahui harus memperhatikan aturan nilai fungsi yang berlaku di masing-masing kuadran.

Jika sin A =

5 4

dan 90o _{< A < 180}o _{(kuadran II) maka Tentukan nilai dari:} a. cos A b. Tan A c. sec2 _{A d. 1 – cotan}2_A Penyelesaian:

Karena A pada kuadran II, maka x < 0 dan y > 0 maka R > 0 sin A = 5 4 =

R

y

, maka didapat y = 4 dan R = 5 sehingga x = R2 y2 maka x =

...

2



...

2 = ... = ... dan didapat :

a. cos A =

R

x

= ... ... c. sec2 _{A = [ sec A ]}2 _{= [} ... ... ]2 ₌ ... ... b. Tan A = ... ... = ... ... d. 1 – cotan2_{A = 1 - [} ... ... ]2 _{= 1 -} ... ... = ....

CATATAN: Khusus penggunaan alat bantu kalkulator untuk menentukan nilai fung si trigonometri, diharapkan guru mendemontrasikan dan menuntun sis- wa ke arah aplikasi klakulator sebagai alat bantu hitung.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tanpa alat bantu, tentukan nilai dari:

a. tan 240o _{(sin 30}o _{+ cos 45}o_{) c. tan 120}o _{– cotan 30}o _{+ sec 330}o b. tan 3 4



( sin 3 2



+ cos 6 11



) d. tan 4 3



- cotan 6 5



+ sin 6 11



+ cos 3 5



2. Jika diketahui A = 3 5



, maka nilai dari : sin A – cos A + tan2 _{A adalah ...} 3. Jika diketahui cos 15o _{= k, maka tentukan nilai dari Sin 15}o _!

4. Jika sin A =

7 4

dan A sudut lancip maka tentukan nilai dari :

a. sin A – 2 cos A b. Cos2 _{A – 2 sin}2 _{A c. cosec A – ½ cotan A} 5. Jika tan B =

24 7

dan B sudut tumpul 9pada kuadran III) maka tentukan nilai dari: a. cos B – sin B b. Cos2 _{B – 2 tan}2 _{B c. sec B – 2 cotan B}

A.4. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI.

Pengalaman Belajar: 2.8. Menggambar grafik fungsi sinus, cosinus dan tangen

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut grafik fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi:

Grafik fungsi trigonometri merupakan sketsa gambar fungsi trigonometri dalam bidang datar yang tertuang dalam sumbu salib cartesius, dan guna mendukung hal tersebut siswa diharapkan membuka lagi konsep periodisitas fungsi trigonomeri yang sudah disampaikan pada jenjang SLTP.

LKS-Mat.X-70

Grafik fungsi trigonometri dasar dinyatakan dalam:

Dengan bantuan nilai perbandingan fungsi trigonometri sudut-sudut istimewa di beberapa kuadran, maka garfik fungsi trigonometri tersebut dapat kita lukis / sketsa sebagaimana langkah berikut:

X 0 30 45 60 90 150 180 210 270 300 315 f(x) = sin x 0 _{.... ½}

₂

... 1 ... 0 -½ ... -½ _-½

₂

y 1 ½ y = sin x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -½ -1 X 0 30 45 60 90 150 180 210 270 300 315 f(x) = cos x 1 ½ 3 ... ½ 0 ... ... ... ... ½ ... y 1 ½ y = cos x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -½ -1 X 0 30 45 60 90 120 150 210 270 300 345 Y = tan x 0 1/3 3 ... ...



- 3 ... ... ... ... -1 y  3 1 y = cos x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -1 - 3 -

LKS-Mat.X-71

Dari grafik fungsi trigonometri di atas nampak bahwa fungsi trigonometri memiliki periode / satu putaran nilai yang berbeda, dan dapat diperhatikan sebagai berikut: Fungsi : f(x) = sin x dan f(x) = cos x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval : 0o



_x



₃₆₀o _{, dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembali} setelah 360o_{, Jadi fungsi sinus dan cosinus mempunyai periode 360}o atau biasa dinyatakan : x



k. 360o _{, di mana k}  _{Bil. Real.} f(x) = tan x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval : 0o



_x



₁₈₀o _, dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembali setelah 180o_,

Jadi fungsi tangen dan cotangen mempunyai periode 180o atau biasa dinyatakan : x



k. 180o _{, di mana k}  _{Bil. Real.} A.5. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK (KOORDINAT KUTUB).

Tempat kedudukan titik pada hakekatnya dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri dan biasa dikenal dengan Koordinat kutub, sistem ini dapat diturunkan dari hubungan pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri sebagaimana bagian terdahulu. Jika terdapat titik dalam koordinat Kartesius P ( x, y ) dapat diubah menjadi koordinat Kutub sebagi berikut P ( R ,



o _{) di mana R = jari-jari dan}



o _{sudut yang dibentuk R} terhadap sumbu datar.

y Perhatikan gambardi samping:

P(x, y) Telah diketahui bahwa:

Sin



o ₌ R ... maka y = R ... R y R = x3 y2



o _Cos



o ₌ ... x maka x = ... cos



o O x X Tan



o ₌ ... ...

maka



o _{= anti tan}

... ...

Masalah 19:

Nyatakan ke dalam koordinat kutub A( -1 , 3)

Penyelesaian:

A( -1 , 3) didapat x = -1 dan y = 3 berarti



o _{berada pada kuadran II.} Maka R =

...

2



...

2 =

...



...

= ... = ...

Dan



o _{= anti tan}

... ...

= ……o _{sehingga didapat P ( R,}



o ₎



_{P ( …. , …..}o ₎ A.6. PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR.

Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja dengan persamaan linier maupun kuadrat, di mana Himpunan penyelesaiannya merupakan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, bedanya dalam persamaan trigonomeri nilai pengganti x merupakan suatu sudut, beberapa bentuknya: sin x = c , cos x = c , tan x = c dst, dan c



Bil. Real. Masalah 19:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: sin x = ½ pada 0o



_x



₃₆₀o

Penyelesaian:

sin x = ½ karena sin x nilainya + maka x berada dalam kuadran I atau II, sehingga: i). sin x = sin 30o _{(Kuadran I) ii). sin x = sin (180 – 30)}o _{(Kuadran II)} x = ....o



_{k. 360}o _{x = ....}o



_{k. 360}o

untuk k = 0  x = 30o _{untuk k = 0  x = ....}o k = 1  x = 390o _{(Tidak memenuhi)}