BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Curah Hujan
Curah hujan adalah jumlah air yang jatuh di permukaan tanah datar selama periode tertentu yang diukur dengan satuan tinggi milimeter (mm) di atas permukaan horizontal. Curah hujan juga dapat diartikan sebagai ketinggian air hujan yang terkumpul dalam tempat yang datar, tidak menguap, tidak meresap dan tidak mengalir. Tinggi curah hujan diasumsikan sama di sekitar tempat penakaran, luasan yang tercakup oleh sebuah penakar hujan bergantung pada homogenitas daerahnya maupun kondisi cuaca lainnya. Ketepatan asumsi ini tergantung dari kecepatan angin, keterbukaan lapangan, luas alat penampung serta tinggi alat dari permukaan tanah.
Kumpulan data curah hujan di suatu tempat sangat bernilai. Curah hujan perlu diukur untuk mendapatkan data hujan yang sangat berguna bagi perencanaan hidrologis (perencanaan pembangunan bendung, dam, dan sebagainya) dan pengaturan neraca air (Juaeni, 2006). Neraca air sendiri merupakan neraca masukan dan keluaran air pada periode tertentu yang digunakan untuk mengetahui jumlah air di suatu wilayah berada pada kondisi surplus (berlebih) ataupun defisit (kekurangan). Kegunaan mengetahui jumlah air pada kondisi surplus dan defisit dapat mengantisipasi bencana yang kemungkinan terjadi dan untuk mendayagunakan air secara tepat.
2.2 Metode Deret Waktu (Time Series)
sifatnya untuk masa depan. Persamaan dan kondisi awal dalam peramalan deret waktu mungkin diketahui kedua-duanya atau mungkin saja hanya salah satunya sehingga dibutuhkan suatu aturan yang digunakan untuk menentukan perkembangan dan keakuratan sistem. Penentuan aturan tersebut mungkin mengacu dari pencocokkan data masa lalu.
2.3 Pola Data Deret Waktu
Untuk memilih suatu metode yang tepat yang digunakan dalam mengolah data deret waktu adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji (Makridakis, 1999). Pola data dapat dibedakan menjadi:
1. Pola Horizontal
Pola data yang terjadi bilamana nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan (data stasioner).
2. Pola Musiman
Pola data yang terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman yang signifikan sehingga data naik dan turun dengan pola yang berulang dari satu periode ke periode berikutnya (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu).
3. Pola Siklis
Pola data yang terjadi bilamana fluktuasi datanya berbentuk gelombang sepanjang periode yang tidak menentu.
4. Pola Trend
Pola data yang terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan pada suatu deret waktu dalam selang periode waktu tertentu.
2.4 Stasioneritas
Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat perubahan yang drastis pada data. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut (Makridakis, 1999).
waktu atau dengan kata lain rata-rata dan variansnya konstan. Kestasioneran data ini berkaitan dengan metode estimasi yang digunakan. Tidak stasionernya data akan mengakibatkan kurang baiknya model yang diestimasi. Selain itu apabila data yang digunakan dalam model ada yang tidak stasioner, maka data tersebut dipertimbangkan kembali validitas dan kestabilannya.
Salah satu penyebab tidak stasionernya sebuah data adalah adanya autokorelasi. Bila data distasionerkan maka autokorelasi akan hilang dengan sendirinya, karena itu transformasi data untuk membuat data yang tidak stasioner menjadi stasioner sama dengan transformasi data untuk menghilangkan autokorelasi.
2.4.1Uji Augmented Dickey-Fuller
Uji akar unit merupakan pengujian yang dikenalkan oleh David Dickey dan Whyne Fuller. Dalam uji ini dibentuk persamaan regresi dari data aktual pada periode ke-� dan ke-(� −1). Dalam uji akar unit digunakan model berikut:
�� = ���−1+�� (2.1) Jika koefisien regresi dari ��−1(�) = 1, maka terdapat masalah bahwa �� tidak stasioner. Dengan demikian �� dapat disebut mempunyai akar unit atau berarti data tidak stasioner. Bila persamaan (2.1) dikurangi ��−1 pada sisi kanan dan kiri maka persamaannya menjadi:
�� − ��−1 =���−1− ��−1+��
∆�� = (� −1)��−1+�� ∆�� =���−1+�� (2.2) di mana:
�� = data aktual pada periode ke-� ��−1 = data aktual pada periode ke-(� −1)
∆�� = �� − ��−1 (hasil differencing data pada periode ke-�) � = koefisien regresi
�� = error yang white noise
�0 ∶ � = 0
�1 ∶ � ≠0
Jika hipotesis� = 0 ditolak dengan derajat kepercayaan � maka � −1
artinya terdapat akar unit, sehingga data deret waktu �� tidak stasioner. Dengan membentuk persamaan regresi antara ∆�� dan ��−1 akan diperoleh koefisien
regresinya, yaitu �̂.
Hipotesis yang digunakan menjelaskan bahwa apabila hasil uji menyatakan nilai Augmented Dickey-Fuller test statistic lebih kecil dari pada nilai kritis pada derajat kepercayaan tertentu atau nilai tingkat signifikansinya lebih kecil dari derajat kepercayaan �= 5%, maka hipotesis nol yang menyatakan bahwa data tersebut tidak stasioner ditolak dan demikian sebaliknya.
2.4.2Transformasi Box-Cox
Seringkali data pada suatu penelitian tidak menunjukkan kestasioneran yang disebabkan oleh data yang belum stasioner secara rata-rata, varians, atau keduanya. Pada data yang belum stasioner secara varians, dapat dilakukan
transformasi Box-Cox dengan rumus
�
=
��−1� dengan � ≠ 0. Selain itu, juga
dapat menggunakan transformasi pangkat dengan kriteria sebagai berikut:
Tabel 2.1 Transformasi Pangkat
Nilai � Transformasi
-1,0 1
��
-0,5 1
���
0 ����
0,5 ���
1,0 Tanpa Transformasi
dengan lag yang berbeda sesuai dengan kebutuhan. Jika belum stasioner secara rata-rata maupun varians, maka dilakukan transformasi data dan dilanjutkan proses differencing.
2.5 Fungsi Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF)
Fungsi autokorelasi berarti hubungan (korelasi) terhadap diri sendiri, yaitu korelasi antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri namun dengan lag waktu yang berbeda, misal �� dengan ��+�. Autokorelasi pada lag ke-� untuk suatu observasi deret waktu dapat diduga dengan koefisisen autokorelasi sampel.
�� = ∑
(��
�−�
�=1 − �̅)(��+� − �̅)
∑��=1(�� − �̅)2 ,� = 0,1,2, … (2.3) di mana:
�� = koefisien korelasi untuk lag periode ke-� �� = nilai observasi pada lag periode ke-� ��+� = nilai observasi pada periode ke-(�+�) � = rata-rata nilai observasi
Karena �� merupakan fungsi terhadap lag ke- � , maka hubungan antara autokorelasi dengan lagnya dapat disebut sebagai fungsi autokorelasi.
Untuk memeriksa apakah suatu �� berbeda secara nyata dari nol, dapat menggunakan rumus kesalahan standar dari �� yakni:
���� = 1
√� (2.4) Seluruh nilai korelasi dari barisan data yang random (tidak berautokorelasi signifikan) akan terletak di dalam daerah nilai tengah nol ditambah atau dikurangi nilai z-score pada taraf signifikansi 95% yakni 1,96 kali kesalahan standar.
yang efisien untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan Yule-Walker untuk mendapatkan nilai autokorelasi parsial sebagai berikut:
∅�� =�� − ∑ ∅�−1,���−� �−1
�=1
1− ∑�−�=11∅�−1,���
(2.5)
di mana:
∅�� = koefisien autokorelasi parsial untuk lag periode ke-� ∅�� = ∅�−1,� − ∅��∅�−1,�−1; � = 1,2, … ,� −1
2.7 Metode Box-Jenkins
Metode Box-Jenkins atau sering disebut sebagai ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) merupakan integrasi dari beberapa metode runtun waktu terlebih dahulu ada. Model Autoregressive pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model Moving Average pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Kemudian dasar-dasar teoritis untuk kombinasi dari kedua model ini (ARMA) dihasilkan oleh Wold (1938). Keseluruhan model ini kemudian dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwylim Jenkins (1976) dan namanya sering disinonimkan dengan model ARIMA itu sendiri.
2.7.1Model Autoregressive (AR)
Autoregressive memiliki arti regresi pada diri sendiri. Model Autoregressive {��} orde p menyatakan persamaan:
�� =∅1��−1 +∅2��−2+⋯+∅���−� +�� (2.6) di mana diasumsikan bahwa �� stasioner dan �(��) = 0.
Jadi, nilai barisan �� adalah kombinasi linier dari sejumlah � nilai �� terakhir di masa lampau ditambah sebuah �� yang menyatakan sesuatu tidak dapat dijelaskan oleh nilai-nilai �� di masa lampau tersebut. Selain itu, �� merupakan variabel acak yang independen dengan rata-rata nol.
Secara umum, rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk model AR(�)
dapat diperoleh sebagai berikut:
Dalam proses identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik ACF yang turun secara eksponensial dan PACF terputus pada lag ke-�, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan ke dalam proses AR(�).
2.7.2Model Moving Average (MA)
Bentuk umum model Moving Average ordo q ditulis dengan MA(q) dinyatakan sebagai berikut:
�� =�� +�1��−1− �2��−2− ⋯ − ����−� (2.8) Nilai barisan �� adalah kombinasi linier dari sejumlah �� terakhir di masa lampau. Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi dari model MA(q) adalah:
�� =
−�� +�1��+1+⋯+��−���
1 +�12+⋯+��2 , �= 1,2, … ,�
0, �> �
� (2.9)
Dalam proses identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik ACF yang terputus pada lag ke-� PACF turun secara eksponensial, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan ke dalam model MA(q).
2.7.3Model Campuran Autoregressive dan Moving Average (ARMA)
Jika diasumsikan suatu deret waktu memiliki model yang sebagian Autoregressive dan sebagian lain merupakan Moving Average maka bentuk model tersebut secara umum adalah:
�� = ∅1��−1+⋯+∅���−� +�� − �1��−1− ⋯ − ����−� (2.10)
{��} merupakan proses campuran Autoregressive dan Moving Average dengan
orde � dan � atau biasa ditulis dengan ARMA (�,�).
2.7.4 Operator Backshift
Operator backshift dinyatakan dengan � adalah sebuah operator dengan penggunaan sebagai berikut:
��� =��−1 (2.11) Notasi � yang dipasang pada �� mempunyai pengaruh menggeser data satu periode ke belakang. Dua penerapan � untuk shift �� akan menggeser data tersebut dua periode ke belakang, sebagai berikut:
Operator backshift digunakan untuk menggambarkan proses pembedaan (differencing) untuk membuat data yang rata-ratanya tidak stasioner menjadi lebih dekat ke bentuk stasioner. Berikut gambaran pembedaan menggunakan operator backshift. Misalkan ��′ merupakan pembedaan pertama dari ��.
��′ =�� − ��−1
��′ = �� − ��� = (1− �)�� (2.13)
Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan dengan (1− �). Untuk pembedaan orde kedua:
��′′ = ��′ − ��−′ 1
��′′ = (�� − ��−1)−(��−1− ��−2) ��′′ = �� −2��−1+��−2
��′′ =�� −2���+�2��
��′′ = (1−2� − �2) ��
��′′ = (1− �)2�� (2.14)
Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua dinyatakan dengan (1− �)2, hal ini penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua tidak sama dengan pembedaan kedua.
2.7.5 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Suatu deret berkala {��} dikatakan mengikuti model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) jika pembedaan orde ke-� dari �� merupakan proses
ARMA yang stasioner yakni �� = (1− �)� �� . Karena �� adalah proses ARMA(�,�), maka �� dapat disebut sebagai proses ARIMA(�,�,�). Dalam bentuk operator backshift, model ARIMA dapat ditulis sebagai berikut:
∅(�)(1− �)� �� = �(�)�� (2.15)
di mana:
∅(�) = 1− ∅1� − ∅2�2− ⋯ − ∅
��� adalah operator backshift model AR �(�) = 1− �1� − �2�2− ⋯ − �
��� adalah operator backshift model MA
2.7.6 Konstanta pada Model ARIMA
Asumsi dasar yang selalu dipakai oleh semua model, dari model AR sampai model ARIMA, adalah model-model tersebut stasioner dan memiliki rata-rata nol. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana jika model-model tersebut memiliki nilai rata-rata konstan bukan nol. Model stasioner ARMA {��} yang memiliki rata-rata konstan � bukan nol dapat dibentuk sebagai berikut:
�� − � =∅1(��−1− �) +∅2(��−2− �) +⋯+∅����−� − ��+��+�1��−1 − �2��−2− ⋯ − ����−� (2.16) atau
�� =∅1��−1+∅2��−2+⋯+∅���−� +�+�� +�1��−1− �2��−2− ⋯
− ����−� (2.17) di mana �=� −(∅1�+∅2�+⋯+∅��).
2.7.7 Model Seasonal ARIMA
Model Seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus dari model ARIMA jika terdapat unsur musiman yang jelas pada hasil observasi {��}. Hal ini berarti data memiliki pola berulang dalam selang waktu yang tetap. Selain melalui grafik data, unsur musiman juga dapat dilihat melalui grafik ACF dan PACF. Untuk menanggulangi ketidakstasioneran data akibat unsur musiman maka dapat dilakukan proses differencing sebesar periode musimannya. Differencing musiman dari �� dapat ditulis sebagai ∇��,
∇�� = (1− ��) �� (2.18) di mana � adalah panjang periode per musim.
Model Seasonal ARIMA mengacu pada data sebelumnya dengan jarak (lag) sepanjang musiman yang terjadi. Berdasarkan acuan tersebut, maka model MA(�) yang bersifat seasonal dengan musiman sepanjang � dinyatakan oleh:
�� = ��+�1��−� − �2��−2�− ⋯ − ����−�� (2.19) Dalam bentuk operator backshift,
�� = �1− �1��− �2�2�− ⋯ − ��������
= ��(�)�� (2.20)
�� =�1��−�+�2��−2�+⋯+����−�� +�� (2.21) Dalam bentuk operator backshift,
�� − �1��−�+�2��−2�+⋯+����−�� = ��
(1− �1��+�2�2�+⋯+�����)�� = ��
��(�)�� =�� (2.22) Jika suatu hasil observasi {��} mengikuti proses yang dibentuk oleh gabungan antara model ARIMA (�,�,�) dan model Seasonal ARIMA (�,�,�) maka modelnya dapat dimanipulasi menggunakan operator backshift sebagai berikut:
∅(�)��(�)∇�∇���� =�(�)��(�)�� (2.23)
di mana:
∇� = operator differencing non musiman orde ke-� ∇�� = operator differencing musiman orde ke-� ��(�)= operator backshift model AR musiman ��(�) = operator backshift model MA musiman
2.8 Asumsi White Noise
Suatu model yang baik akan memiliki sifat white noise, yaitu memenuhi asumsi residual yang bersifat acak dan berdistribusi normal.
2.8.1 Residu Bersifat Acak
Barisan residu yang acak dapat diperiksa dengan memperhatikan ACF dari barisan residu tersebut. Barisan residu dikatakan acak apabila tidak terdapat autokorelasi yang signifikan untuk setiap lag yang ditentukan. Keacakan residu dari suatu model dapat diuji dengan menggunakan uji statistik Q Box-Pierce dengan hipotesis sebagai berikut:
��: �1 = �2 = ⋯= �� = 0 (residu bersifat acak) �1: ∃�� ≠ �� = 0 (residu tidak bersifat acak) dengan � = 0,05 dan statistik uji:
� =�(�+ 2)� ��
2
� − � �
Kriteria uji:
Terima �� jika nilai �> �(�,��) atau p-value >�. Artinya secara keseluruhan
dari barisan residu yang diuji tidak berbeda dari nol, atau dengan kata lain residu bersifat acak.
2.8.2 Residu Berdistribusi Normal
Untuk memeriksa apakah residu berdistribusi normal dapat dilakukan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut:
��: residu berdistribusi normal �1: residu tidak berdistribusi normal dengan � = 0,05 dan statistik uji:
� =��������|�0(�)− ��(�)| (2.25)
Kriteria uji:
Terima �� jika �ℎ�� <������ atau p-value > �, artinya residu berdistribusi normal.
2.9 Metode Dekomposisi
Suatu pendekatan pada analisis deret waktu meliputi usaha untuk mengidentifikasi komponen-komponen yang mempengaruhi tiap-tiap nilai pada sebuah data deret waktu. Prosedur pengidentifikasian ini disebut Dekomposisi. Tiap-tiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi tiap-tiap komponen ini kemudian digabung untuk menghasilkan ramalan nilai-nilai masa mendatang dari data deret waktu tersebut.
jangka waktu yang lebih lama dan lamanya berbeda dari siklus satu ke siklus yang lain.
Metode Dekomposisi mempunyai asumsi bahwa data tersusun sebagai berikut (Makridakis, 1999):
����=����+������ℎ�� = �(�����,������,�������) +������ℎ�� (2.26)
Jadi, di samping komponen pola, terdapat pula unsur kesalahan atau kerandoman. Kesalahan ini dianggap merupakan perbedaan antara pengaruh gabungan dari tiga sub-pola deret tersebut dengan data sebenarnya.
Metode Dekomposisi termasuk metode pendekatan peramalan tertua. Metode ini digunakan oleh para ahli ekonomi untuk mengenali dan mengendalikan siklus bisnis. Terdapat beberapa pendekatan alternatif. Untuk mendekomposisi suatu deret waktu, yang semuanya berfungsi untuk memisahkan data deret waktu seteliti mungkin. Konsep dasar dalam pemisahan tersebut bersifat empiris dan tetap, mulai dari memisahkan komponen musiman, trend, dan akhirnya siklus. Residu yang ada dianggap unsur random yang walaupun tidak dapat ditaksir, tetapi dapat diidentifikasi.
Penulisan matematis umum dari metode Dekomposisi adalah:
�� = �(��,��,��,��) (2.27)
di mana:
�� = nilai deret waktu (data aktual) pada periode ke-� �� = komponen (indeks) musiman pada periode ke-� �� = komponen trend pada periode ke-�
�� = komponen siklus pada periode ke-�
�� = komponen kesalahan (random) pada periode ke-�
Bentuk fungsional yang pasti dari persamaan (2.26) bergantung pada metode Dekomposisi yang digunakan di antaranya yaitu metode Dekomposisi rata-rata sederhana yang berasumsi pada model aditif:
�� = (��+�� +��) +�� (2.28)
Metode Dekomposisi rasio pada trend yang berasumsi pada model multiplikatif dalam bentuk:
Metode Dekomposisi rata-rata sederhana dan rasio trend pada masa lalu telah digunakan terutama karena perhitungannya yang mudah tetapi metode tersebut kehilangan daya tarik seiring dikenalnya komputer secara luas, di mana mengakibatkan aplikasi pendekatan dengan variasi metode Dekomposisi rasio rata-rata bergerak lebih disukai. Metode ini berasumsi pada model multiplikatif dalam bentuk:
�� = �� ���� �� (2.30) Metode Dekomposisi rasio rata-rata bergerak mula-mula memisahkan unsur trend dan siklus dari data dengan menghitung rata-rata bergerak yang jumlah unsurnya sama dengan panjang musiman. Rata-rata bergerak dengan panjang seperti ini tidak mengandung unsur musiman dan tanpa atau sedikit sekali unsur random. Rata-rata bergerak yang dihasilkan adalah:
�� =�� �� (2.31) Persamaan (2.30) hanya mengandung faktor trend dan siklus, karena faktor musiman dan kerandoman telah dieliminasi dengan perata-rataan. Persamaan (2.29) dapat dibagi dengan (2.30) untuk memperoleh persamaan:
�� �� =
�� ������
setiap periodenya sehingga dapat dianalisis adanya pola yang berbeda di setiap bulannya berdasarkan indeks musiman ini.
Untuk melakukan proyeksi di masa depan maka dapat menggunakan regresi linier dengan data yang telah di deseasonalized atau seasonally adjusted series. Data ini diperoleh dari rasio atau pembagian antara data asli atau data aktual dengan indeks musimannya. Data inilah yang akan dilakukan regresi linier yang akan menghasilkan persamaan:
�� = �+�� (2.33) Nilai � dan � yang diperoleh dengan meminimumkan MSE dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:
�� = data yang telah di deseasonalized � = periode waktu
� = banyak data
Pada periode � akan dilakukan proyeksi dengan terlebih dahulu melakukan coding secara berurutan sesuai urutan proyeksi. Hasil �� yang diperoleh dikalikan dengan indeks musimannya untuk memperoleh hasil prediksi yang lebih akurat. Dari metode ini dapat dihitung proyeksi bulanan yang dapat dijadikan pedoman untuk menganalisis hasil yang akan diperoleh di bulan tertentu di masa mendatang.
2.10 Evaluasi Model
Model yang baik memiliki tingkat keakuratan yang baik. Untuk mengukur tingkat keakuratan, ada beberapa alat ukur yang dapat digunakan untuk mengevaluasi hasil peramalan model terhadap data observasi. Beberapa alat ukur tersebut yaitu: 1. Mean Square Error (MSE)
Model yang baik dinilai dengan melihat nilai MSE yang terkecil.
���= 1
� � (��− ���)2 �
�=1
di mana:
�� = nilai observasi pada periode ke-� ��� = nilai peramalan pada periode ke-� � = banyaknya data observasi
2. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
MAPE memberikan petunjuk tentang besarnya kesalahan peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya. MAPE dihitung dengan menggunakan persamaan:
��� =�� − �� �
�� × 100%
���� = �|���|
� �
�=1
(2.37)
di mana:
�� = nilai observasi pada periode ke-� ��� = nilai peramalan pada periode ke-� � = banyaknya data observasi
