Ukuran penyebaran data adalah
suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda
atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besarpenyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.
Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.
Jangkauan dapat dihitung dengan rumus:
R = X maks – X min Contoh :
Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4 Jawab :
1. Jangkauan ( Range )
UKURAN PENYEBARAN DATA
Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah:
nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.
a. Data tunggal
SR =
Contoh :
Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah :7,5,6,3,8,7. Tentukan simpangan rata-ratanya!
n x x
Jawab: =
= 6
SR =
=
= 1,33
x
7
5
6
6
3
8
7
6
8
6
6
7
6
8
6
3
6
6
6
5
6
7
b. Data berbobot / data kelompok
SR =
x = data ke-i (data berbobot )
= titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok )
f = frekuensi
f
x
x
f
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh :
Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut :
Data Frekwensi x
3 – 5 2 4
6 – 8 4 7
9 – 11 8 10
12 - 14 6 13
UKURAN PENYEBARAN DATA
Jawab :
Data Frekwensi x
3 – 5 2 4
6 – 8 4 7
9 – 11 8 10
12 - 14 6 13
Jumlah 20
F . x
x
x
Fx
x
828 80 78
x
f x f .
20
194
= = 194 5,7 2,7 0,3 3,3 11,4 10,8 2,4 19,8 44,4
f x x f4
,
44
SR =
= = 2,22
3.Simpangan Baku / standar deviasi
Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi
dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.
n x xi
2UKURAN PENYEBARAN
a. Data Tunggal
S =
S = 2 2
n x n
x
Contoh :
Tentukan simpangan baku dari data : 2,3,5,8,7. Jawab : = = 5
x
5
7
8
5
3
2
x 2 3 5 8 7
x
x
- 3 - 2 0
3
2
2x
x
9 4 0 9 4 26
n
x
x
i
2S =
5
26
2
,
5
= =b. Data berbobot / berkelompok
S =
S =
f
x
x
f
22 2
f
f.x
f
fx
UKURAN PENYEBARAN DATA
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh:
Tentukan standar deviasi dari data berikut
Data Frekw x
3 – 5 2 4
6 – 8 4 7
9 – 11 8 10
12 - 14 6 13
UKURAN PENYEBARAN DATA
Data Frek x
3 – 5 2 4
6 – 8 4 7
9 – 11 8 10
12 - 14 6 13
Jumlah 20 2 2 f f.x f fx
2 20 194 20 2042 Jawab :S =
=
8
,
01
x2 f.x f.x2
16 8 32
49 28 196
100 80 800
169 78 1014
194 2042
4.Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.
Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Q1 Q2 Q3
Menentukan nilai Kuartil
a. Data tunggal
Letak Qi = data ke
dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data 4
) 1 (n
i
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh :
Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan :
a. Kuartil bawah (Q1) b. Kuartil tengah (Q2) c. Kuartil atas (Q3)
Jawab :
Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4
a.Letak Q1 = data ke –
= data ke- 3 ¼
4
)
1
12
(
Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3)
= 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼
b. Letak Q2 = data ke
= data ke 6½
Nilai Q2 = data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6)
= 3 + ½ (3 – 3) = 3
4
)
1
12
(
2
c. Letak Q3 = data ke
= data ke 9 ¾
Nilai Q3 = data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9)
= 4 + ¾ (4 – 4) = 4
4
)
1
12
(
3
UKURAN PENYEBARAN DATA
Jangkauan Semi Inter Kuartil /Simpangan Kuartil (Qd)
didefinisikan sebagai berikut:
Qd = ½ (Q3 – Q1)
b. Data Kelompok
Nilai Qi = b + p
dengan i = 1,2,3
b = tepi bawah kelas Qi p = panjang kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi f = frekuensi kelas Qi
n = jumlah data
f
F 4
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh :
Tentukan simpangan kuartil dari data :
45-49Nilai f 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 3 6 10 12 5 4 Jumlah 40 Jawab :
Untuk menentukan Q1 kita perlu = ¼ x 40 data
atau 10 data, jadi Q1 terletak pada kelas interval ke 3. Dengan b = 54,5 ; p = 5; F = 9; f = 10
Nilai Q1 = 54,5 + 5
Untuk menetukan Q3 diperlukan = ¾ x 40 data atau 30 data,
jadi Q3 terletak pada kelas interval ke-4,
dengan b = 59,5; p = 5; F = 19 ; f = 12
Nilai Q3 = 59,5 + 5
= 59,5 + 5
= 59,5 + 4,58 = 64,08
12 19 4 40 . 3 12 11
Jadi, jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil dari data di atas adalah
Qd = ½ (Q3 –Q1)
= ½ (64,08 – 55) = 4,54
5. Persentil
Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.
a. Data tunggal / berbobot
Letak Pi = data ke
dengan i = 1,2,…,99 Contoh :
Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7 Tentukan P dan P
100 ) 1 (n
i
Jawab :
Data diurutkan : 3 ,4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8, 8, 9
Letak P20 = data ke = data ke 2
Nilai P20 = data ke 2 + (data ke 3 – data ke2)
= 4 + (5 – 4) = 4
100 ) 1 10 ( 20
5
1
5
1
5
1
5
1
Letak P70 = data ke
= data ke 7
Nilai P70 = data ke 7 + (data ke 8 - data ke7)
= 7 + ( 8 – 7 )
= 7
100 ) 1 10 (
70
10 7
10 7
10 7
10 7
UKURAN PENYEBARAN
b. Data kelompok
Nilai P
i= b + p , dengan i = 1,2,..,99
f
F
in
100
Contoh :
Tentukan Jangkauan persentil dari data berikut :
Nilai F
50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
7 10 15 12 6
Jumlah 50
Jawab :
Untuk menentukan P10 diperlukan = x 50 data = 5 data,
artinya P10 terletak pada kelas interval pertama dengan
b = 49,5 ; p = 10 ; F =0 ; f = 7
Nilai P10 = 49,5 + 10
= 49,5 + 7,14
= 56,64
100
10
7
0 100
50 . 10
Untuk menetukan P90 diperlukan = x 50 data = 45 data,
artinya P90 terletak pada kelas interval ke 5,
dengan b = 89,5; F = 44; f = 6.
Nilai P90 = 89,5 + 10
= 89,5 + 1,67 = 91,17
100 90
6
44 100
50 . 90
Jangkauan Persentil = P90 – P10
= 91,17 – 56,64 = 34,53
UKURAN PENYEBARAN DATA
Latihan:
1. Nilai tes matematika dari 5 orang siswa adalah sebagai berikut : 7,6,7,8,7 besarnya simpangan rata-rata dari data tesebut adalah….
x
Jawab := = 7
SR = = = 0,4
5
7
8
7
6
7
2. Standar deviasi (simpangan baku) dari data 4,6,7,6,3,4 adalah…
Jawab : =
= 5
x
4
6
7
6
6
3
4
x (x - ) ( x - )24 6 7 6 3 4 -1 1 2 1 -2 -1 1 1 4 1 4 1 Jml 12
x
x
S =
= = n x x
( )26 12
2
3. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu perusahaan tercatat sebagai berikut :
Nilai Frekuensi
30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
3 8 10 20 18 14 7
Jika perusahaan akan menerima 75% dari pendaftar yang mengikuti tes tersebut, berapakah nilai minimum yang dapat diterima?
UKURAN PENYEBARAN DATA
Jawab :
Q1 75%
Untuk menentukan Q1 diperlukan ¼ x 80 data = 20 data, artinya Q1 terletak pada kelas interval ke 3,
dengan b = 49,5; p = 10; F = 11; f = 10;
10 11 4 80 . 1
Nilai Q1 = 49,5 + 10
= 49,5 + 10
4. Hasil ulangan program Teknologi Industri dari 50 siswa kelas III pada salah satu
SMK adalah sebagai berikut:
Tentukan nilai P40 dari data tersebut!
Nilai F
50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
7 10 15 12 6
UKURAN PENYEBARAN DATA
Jawab:
Untuk menentukan P40 diperlukan = x 50 data atau 20 data,
artinya P40 terletak pada kelas interval ketiga,
dengan b = 69,5 ; p = 10 ; F = 17 dan f = 15. 100
40
Nilai P40 = 69,5 + 10
UKURAN PENYEBARAN DATA
5. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut :
30,45,50,55,50,60,60,65,85,70,75,55,60,35,30.
Jangkauan semi interkuartil (Qd) dari data di atas adalah….. Jawab :
4 ) 1 15 ( 1
Data diurutkan :
30,30,35,45,50,50,55,55,60, 60,60,65,70,75,85.
Letak Q1 = data ke = data ke-4
Nilai Q1 = data ke-4 = 45
Letak Q3 = data ke = data ke-12
Nilai Q3 = data ke 12 = 654 )
Jangkauan semi interkuartil (Qd) = ½ ( Q3 – Q1 )
= ½ ( 65 – 45 )
= 10
Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan
standar dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase. Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari
rata-rata hitungnya.
x
S
UKURAN PENYEBARAN DATA
Besarnya Koefisien Variasi dinyatakan dengan rumus,
KV = x 100%
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh 1:
Nilai rata-rata matematika Kelas III Mesin1 adalah 80 dengan simpangan standar 4,5. Jika nilai rata-rata Kelas III Mesin 2 adalah 70
dengan simpangan standar 5,2.
Hitunglah koefisien variasi masing-masing.
x S
Jawab :
KV III Mesin 1 = x 100%
= x 100% = 5,6%
KV III Mesin 2 = x 100% = 7,4%
80 5 , 4
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh 2 :
Standar deviasi sekelompok data adalah 1,5 sedang koefisien variasinya adalah 12,5%. Mean kelompok data tersebut adalah….
x
Jawab :
KV = x 100%
12,5% = x 100%
= = 12
x S
x
5 , 1
%
5
,
12
7.
Angka Baku
Angka Baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu objek yang sedang diselidiki dibandingkan terhadap nilai rata-rata kumpulan objek tersebut.
s
x
x
Angka Baku (nilai standar) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
Z =
x = nilai data
= nilai rata-rata s = standar deviasi
x
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh 1:
Seorang siswa mendapat nilai matematika 70 dengan rata-rata 60 dan standar deviasi12, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata rata 75 dan
simpangan standarnya 15,manakah kedudukan nilai yang paling baik ?
12 60 70
Jawab :
Zm = = 0,83
Zb = = 0,33
Jadi kedudukan nilai matematika lebih baik dari pada nilai Bahasa Inggris.
UKURAN PENYEBARAN DATA
Contoh 2 :
Rata-rata dan simpangan standar upah pesuruh kantor masing-masing adalah Rp 65.000,00 dan Rp 1.500,00. Jika Pak Darmawan salah seorang pesuruh yang upahnya Rp 67.250,00, nilai standar upah Pak Darmawan adalah….
1.500,00 Rp
65.000,00 Rp
67.250,00
Rp
Jawab : Z =
Ukuran Keruncingan / kurtosis
Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva (koefisien kurtosis) dapat Digunakan rumus :
KK =
Kurtosis adalah derajat kelancipan suatu distribusi jika dibandingkan dengan
Distribusi normal
)
(
2
90 101 3
P
P
Q
Q
Keterangan :
Jika nilai KK > 3 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali) KK < 3 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar)
KK = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau
distribusi normal)
Contoh :
Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5 ;P90 = 82,5. Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut adalah….
Jawab :
KK =
=
= 0,242
Karena KK < 3 maka kurva distribusi tersebut platikurtik.
)
5
,
44
5
,
82
(
2
24
,
55
64
,
73
) 38 ( 2
4 , 18
