BAB 2 LANDASAN TEORI. untuk menjual atau membeli aset pada waktu tertentu dengan harga yang telah

5

LANDASAN TEORI

2.1 Option

Option merupakan sebuah kontrak yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual atau membeli aset pada waktu tertentu dengan harga yang telah disepakati. Yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah European Option yaitu option yang hanya dapat diexercise pada saat jatuh tempo.(www.investopedia.com).

Option dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu call option dan put option.

2.1.1 Call Option

Sebuah call option merupakan hak untuk membeli suatu asset pada harga tertentu (exercise price) pada saat berakhirnya tanggal kontrak (expiration date). Call option akan mempunyai nilai apabila harga suatu saham lebih tinggi dari pada exercise price pada saat jatuh tempo.

Payoff merupakan istilah dari hasil yang diperoleh dari pihak pembeli dan penjual.

Payoff bagi call option = S_T – X jika S_T > X

0 jika ST ≤ X

2.1.2 Put Option

Sebuah put option merupakan hak untuk menjual suatu asset pada harga tertentu (exercise / strike price) pada saat berakhirnya tanggal kontrak (expiration date).

Put option akan mempunyai nilai apabila harga suatu saham lebih rendah dari pada exercise price pada saat jatuh tempo.

Payoff bagi put option = 0 jika S_T ≥ X X – ST jika ST < X

Maka dapat disimpulkan Payoff (nilai) untuk European Option adalah :

1. Max (ST – X, 0), berlaku untuk posisi short pada European call option dan ini mencerminkan bahwa call option akan diexercise jika S_T > X dan tidak akan diexercise jika ST ≤ X.

2. Min (X – S_T, 0), berlaku untuk posisi short pada European call option.

3. Max (X – ST, 0), berlaku untuk posisi long pada European put option.

4. Min (ST – X, 0), berlaku untuk posisi short pada European put option.

2.2 Black-Scholes Option Pricing Model

Pada awal tahun 1970-an, Fisher Black, Myron Scholes dan Robert Merton membuat suatu terobosan besar dalam menghitung nilai option. Formula yang mereka perkenalkan menjadi populer dengan sebutan Black-Scholes Option Pricing Model.

Asumsi yang digunakan dalam formula ini yaitu (Hull, 2006, p290-291) :

1 Perilaku harga saham mengikuti model distribusi lognormal dengan μdan σ konstan.

2. Tidak ada biaya pajak dan biaya transaksi.

3. Selama umur opsi, saham tidak membagikan dividen.

4. Tidak ada kesempatan untuk melakukan arbitrage yang tanpa risiko.

5. Kegiatan jual-beli saham berlangsung terus-menerus.

Formula ini ditemukan melalui proses penurunan matematika yaitu dengan model proses stokastik sebagai geometric Brownian motion

S

dS =μ dt + σ dz S

dimana dz merupakan suatu Wiener process, μ adalah ekspektasi pengembalian dan σ adalah volatilitas dari aset.

Black dan Scholes (1973) menghasilkan formula untuk menilai sebuah European call option dan European put option seperti di bawah ini (Hull, 2006, p295):

C = S0N(d1) – Xe^-rT N(d2) (2.1) P = Xe^-rT N(-d₂) – S₀N(-d₁) (2.2)

d1 =

T

T X r

S σ

σ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ln 2

2 0

(2.3)

d2 =

T

T X r

S

σ σ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

2 2 ln ⁰

(2.4)

d₂ = d₁ – σ T di mana

C = Nilai dari European call option P = Nilai dari European put option S₀ = Harga saham saat ini (current price) X = Harga patokan (strike price)

T = Waktu sampai dengan jatuh tempo (expiration date) r = Tingkat suku bunga bebas risiko (risk-free rate) σ = Volatilitas harga saham.

N(d_i) = Nilai distribusi kumulatif untuk peubah acak normal baku dengan nilai di

N(-d_i) = 1 – N(d_i)

2.3 Metode Simulasi Monte Carlo

Menurut http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method Metode simulasi Monte Carlo merupakan sebuah kelas dari algoritma komputer yang menggunakan sampel acak untuk melakukan simulasi untuk mendapatkan hasil yang diinginkan.

Metode simulasi Monte Carlo sangat penting dalam perkomputasian fisika dan bidang terapan yang berhubungan. Metode ini sudah teruji dalam menyelesaikan persamaan integro-diferensial yang mendefinisikan bidang radiasi, dan metode ini telah digunakan dalam perhitungan global illumination yang menghasilkan citra yang terlihat nyata dari model dimensi tiga buatan, untuk penerapan pada permainan video, arsitektur, desain, film yang dihasilkan komputer, efek khusus dalam film, bidang bisnis, ekonomi dan lain-lain.

Banyak persoalan komputasi keuangan modern memerlukan perhitungan numerik yang mengandung integral multidimensi salah satunya European Option.

Metode simulasi Monte Carlo merupakan salah satu cara untuk perhitungan numerik yang mengandung integral multidimensi dalam menentukan nilai option.

Prinsip dari simulasi Monte Carlo adalah penggunaan angka acak berdistribusi normal (0,1) dan hukum bilangan besar (The Law Of Large Numbers).

Langkah-langkah dari simulasi Monte Carlo pada European call option yaitu : 1. Mengumpulkan data historis dari saham yang diinginkan.

2. Berdasarkan data historis akan diperkirakan nilai volatilitas tahunan.

3. Tetapkan jumlah partisi n, sehingga terdapat selang waktu Δtdari awal umur option sampai waktu jatuh tempo.

4. Simulasikan harga saham ditiap akhir selang waktu dari awal umur option sampai waktu jatuh tempo.

5. Setelah mendapatkan harga saham akhir, mulailah menghitung payoff dari European call option.

6. Dapatkan harga perkiraan European call option dengan mendiskontrokan payoff yang telah didapatkan.

7. Ulangi langkah 4-6 sebanyak K simulasi.

8. Hitung harga European call option rata-rata yang telah diperoleh dari langkah 7.

Maka didapat harga European call option sebagai berikut (Yong, 2007, p72):

C = e^-rtE(Max(ST – X, 0)) (2.5)

Metode Monte Carlo berdasarkan fakta bahwa suatu bentuk integral,

∫

¹

0

) (x dx

f ,

dapat dinyatakan sebagai nilai harapan dari nilai fungsi dengan distribusi seragam pada [0,1], yaitu E

[

f(x)

]

=

∫

] 1 , 0 [

) (x dx

f . (2.6)

Hasil ini juga dapat diterapkan untuk menghitung bentuk integral multidimensi:

) ( f

I =

∫

Cd

dx x

f( ) , x = (x₁,x₂,…,x_d) (2.7)

Di mana C^d = [0,1) adalah kubus satuan berdimensi-d, sebagai berikut :

E(f(x)] =

∫

Cd

dx x

f( ) (2.8)

Akibatnya, kita dapat menghampiri (to approximate) bentuk integral tersebut dengan E(f(x)] ≈

n 1

∑

= n

i

xi

f

1

)

( (2.9)

di mana x = (x₁,x₂,…,x_d) diambil dari distribusi seragam (uniform distribution) pada [0,1]^d yang terdistribusi independen dan indentik.

Berdasarkan Strong Law of Large Numbers didapat

∞

>

− n

Lim n 1

∑

= n

i

xi

f

1

) ( ->

∫

Cd

dx x

f( ) (2.10)

Galat (error) untuk metode Monte Carlo adalah :

εn=

∫

Cd

dx x f( ) -

n 1

∑

= n

i

xi

f

1

)

( (2.11)

di mana untuk nilai n yang besar,

εn(f) ≈ σ ξ

n (2.12)

Dengan ξ~ N(0,1) dan konstanta σ σ= (f) adalah akar kuadrat dari ragam, yaitu

σ (f) =

2 / 1

) ( )

( ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

∫

^{f x}

∫

^{f x dx dx}

d d

C C

(2.13)

Hal ini menunjukkan bahwa metode Monte Carlo memiliki orde galat O(n^-1/2) dengan konstanta yang merupakan variance dari fungsi f yang diintegralkan. Di sini terlihat bahwa galat metode Monte Carlo tidak bergantung pada dimensi-d.

2.4 Metode Simulasi Quasi Monte Carlo

Dalam analisis numerik, sebuah metode Quasi Monte Carlo merupakan metode untuk perhitungan integral (pemasalahan lainnya) yang didasarkan pada barisan bilangan dengan ketidakcocokan / ketidaksesuaian yang rendah (low-discrepancy sequences).

Yang membedakan metode Quasi Monte Carlo dengan metode Monte Carlo yaitu Metode Quasi Monte Carlo menggunakan barisan kuasi-acak sebagai pengganti bilangan acak palsu (pseudo-random). Barisan kuasi-acak ini digunakan untuk menghasilkan sampel representatif dari distribusi probabilitas yang disimulasikan dalam permasalahan praktis. Contoh bilangan acak palsu (pseudo-random) dapat dilihat pada gambar 2.1.

Gambar 2.1 Hasil Plotting Menggunakan R Language Terhadap 1000 Bilangan Pseudo-Random

Metode Quasi Monte Carlo menggunakan barisan kuasi acak xN yang terdistribusi seragam untuk menduga fungsi f sebagai rataan dari fungsi yang dievaluasi pada sehimpunan titik-titik x₁,…,x_N.

∫ ∑

=

≈

dd

C

N

i

x N f

du u f

1

) 1 (

)

( (2.14)

di mana C adalah kubus dengan dimensi d, C^d = [0,1]x … x [0,1]. Sehingga masing- masing xi adalah sebuah vektor dari elemen sebanyak d. Dalam metode Monte Carlo, xi

adalah bilangan-bilangan pseudo-random. Dalam metode Quasi-Monte Carlo, himpunan tersebut adalah akibat dari sebuah barisan low-discrepancy atau disebut dengan bilangan kuasi acak.

Error pendugaan dari metode di atas dibatasi dengan sebuah syarat yang proposional terhadap ketidaksesuaian dari himpunan x1, … , xN, oleh pertidaksamaan Koksma-Hlawka.

) ( )

( )

( ) 1 (

1

N N HK

N

i C

N f x dx V f D x

X

N f d

∗

=

•

≤

∑

−

∫

^(2.15)

di mana D^∗N(x_N) adalah ketidaksesuaian (discrepancy) dan V_HK(f) adalah variasi (Hardy Krause).

Difinisi : Hardy-Krause Total Variation

Jika f adalah suatu pertidaksamaan, varian dari f adalah [0,1]^d maka

V(f) =

∑ ∑

^{( )}

= ≤ ≤ < < ≤ s

k i i i s

i i f k

k

V k

11 ...

,...,

; ) (

2 1

1 (2.16)

di mana

V^(k)(f;i1,...,ik) =

ik i k j

dx dx i i j k x s

xi xi

f

...

1

0 1 1, ,...,

1

0

1 1

...

∫

...

∫

∂ ∂ = ≠

∂ (2.17)

Fungsi

k

j j i i

k x s

xi xi

f

,..., , 1 1

1

...∂ _{= ≠}

∂

∂ (2.18)

adalah fungsi dari (xi₁,xi₂,...,xi_k)dengan argumen lain xj =1 untuk j ∉

{

i ,...,₁ ik

}

.

Ketidaksesuaian (discrepancy) adalah ukuran simpangan dari keseragaman suatu barisan titik dalam D=[0,1]^d. Ketidaksesuaian tersebut menyebabkan terjadinya galat dalam metode Quasi Monte Carlo. Beberapa barisan kuasi acak menghasilkan kesenjangan

N xN

D^∗ ( ) sebesar O(n^-1(log n)^d).

Sebagai perbandingan, dengan peluang bernilai satu, discrepancy yang diharapkan dari barisan acak seragam memiliki ordo konvergensi

N N 2

log

log (2.19)

Metode Quasi Monte Carlo memerlukan barisan kuasi acak yang bersifat seragam untuk memberikan hasil yang lebih akurat. Terdapat beberapa barisan kuasi acak, antara lain Van der Corput, Faure, Halton dan Sobol. Namun yang dibahas di skripsi ini hanya barisan kuasi-acak Halton dan barisan kuasi acak Sobol.

2.4.1 Quasi Monte Carlo Dengan Barisan Kuasi Acak – Halton

Barisan kuasi-acak Halton merupakan barisan berdimensi-d pada kubus satuan [0,1]^d. Dimensi pertama barisan kuasi acak Halton adalah barisan kuasi acak van der Corput basis 2 dan dimensi kedua barisan kuasi acak Halton merupakan barisan kuasi acak van der Corput basis 3. Secara umum barisan kuasi acak Halton berdimensi-d

adalah barisan kuasi acak van der Corput yang didapat dengan menggunakan bilangan prima ke-d sebagai basis bilangan.

Barisan kuasi acak Halton dapat dideskripsikan bila p₁, p₂, …, p_d merupakan d bilangan prima pertama. Maka sembarang bilangan bulat k ≥ 0 dapat secara unik dinyatakan sebagai k =

∑

=

|

|log

0 k

i i j ip

a dengan bilangan bulat a_i∈[0, p_j-1]. Fungsi kebalikan

radikal φ_pj(k) =

∑

=

−

| −

|log

0

1 k

i

i j ip

a . Barisan kuasi acak Halton berdimensi-d adalah

zk =

(

φ_p1⁽k^),φ_p2⁽k^),...,φ_pd⁽k⁾

)

. Contoh barisan kuasi acak Halton dapat dilihat pada tabel 2.1 dan Pada gambar 2.2 merupakan salah satu contoh hasil plotting terhadap 1000 bilangan quasi-random menurut barisan Halton dengan dimensi = 2.

N

Dimensi = 1 (Basis 2)

Dimensi = 2 (Basis 3)

Dimensi = 3 (Basis 5) 1

2 3 4 5 6 7 9 10 dst

1/2 1/4 3/4 1/8 5/8 3/8 7/8 1/16 9/16

1/3 2/3 1/9 4/9 7/9 2/9 5/9 8/9 1/27

1/5 2/5 3/5 4/5 1/25 6/25 11/25 16/25 21/25 Tabel 2.1 Contoh Barisan Kuasi Acak Halton

Gambar 2.2 Hasil Plotting Menggunakan R Language Terhadap 1000 Bilangan Quasi-

Random Menurut Barisan Halton Dengan Dimensi = 2

2.4.2 Quasi Monte Carlo Dengan Barisan Kuasi Acak – Sobol

Barisan kuasi acak Sobol merupakan barisan kuasi acak berdimensi-d yang berdasarkan bilangan prima 2 sebagai basis yaitu dihasilkan dari sebuah himpunan bilangan pecahan biner khusus sepanjang w bit, v dengan i = 1, 2, ... , w dan j = 1, 2, ... _i^j , d. Bilangan v disebut direction numbers. _i^j

Untuk menghasilkan direction numbers untuk dimensi j, digunakan sebuah polinom primitif (tidak dapat disederhanakan lagi) terhadap bidang F2 dengan elemen {0, 1}. Polinom primitif tersebut dalam dimensi j akan menjadi

( )

1 ¹

1

1 + + +

+

=x a x ⁻ a ₋ x x

p_j ^{q q} Κ _q (2.20)

Direction numbers tersebut dalam dimensi j dihasilkan menggunakan hubungan q berulang berikut

(

i^j q ^q

)

j q i j

q i q j

i j

i j

i av a v a v v v

v = _{1 −1}⊕ _{2 −2}⊕Κ ⊕ _{−1 − +1}⊕ ₋ ⊕ ₋ 2 (2.21)

di mana i > q. ⊕ menandakan operasi XOR. Bilangan v₁^j⋅2^w, v₂^j⋅2^w, ... , v_q^j⋅2^w masing-masing dapat berupa bilangan integer ganjil lebih kecil dari 2, 2², ... , dan 2^q. Barisan Sobol x (_n^j =

∑

^w=

i i

bi

n 0 2 , b_i∈{0, 1}) dalam dimensi j dihasilkan oleh

j w w j

j j

n bv b v b v

x = _{1 1} ⊕ _{2 2} ⊕Κ ⊕ (2.22)

Sebuah polinom primitif yang berbeda harus digunakan untuk menghasilkan barisan Sobol di masing-masing dimensi.

Contoh barisan kuasi acak Sobol dapat dilihat pada tabel 2.2 dan pada gambar 2.3 merupakan salah satu contoh hasil plotting terhadap 1000 bilangan quasi-random menurut barisan Sobol dengan dimensi = 2.

N

Dimensi = 1 (Basis 2)

Dimensi = 2 (Basis 3)

Dimensi = 3 (Basis 5) 1

2 3 4 5 6 7 8 dst

1/2 3/4 1/4 3/8 7/8 5/8 1/8 3/16

1/2 1/4 3/4 3/8 7/8 1/8 5/8 5/16

1/2 3/4 1/4 5/8 1/8 3/8 7/8 5/16 Tabel 2.2 Contoh Barisan Kuasi Acak Sobol

Gambar 2.3 Hasil Plotting Menggunakan R Language Terhadap 1000 Bilangan Quasi- Random Menurut Barisan Sobol Dengan Dimensi = 2

2.5 Reduksi Ragam

Metode ini digunakan untuk meningkatkan keakuratan dan efisiensi dari simulasi Monte Carlo yaitu dengan cara mereduksi ragam. Ada dua metode untuk mereduksi ragam yaitu metode variabel Antitetis dan metode Kontrol Variat.

2.5.1 Metode Monte Carlo – Variabel Antitetis

Pada prinsipnya langkah-langkah simulasi Monte Carlo variabel antitetis sama dengan simulasi Monte Carlo hanya saja variabel antitetis menggunakan

2

npeubah acak

dengan melibatkan perhitungan dua nilai harga option. Misalkan f₁ adalah nilai option

yang dihitung dengan menggunakan peubah acak ε, maka f2 adalah nilai option yang dihitung dengan menggunakan peubah acak -ε. Maka estimator baru yang digunakan adalah :

F baru = 2

2

1 f

f +

(2.23)

Prosedur ini bekerja dengan baik karena bila salah satu nilai berada di atas harga option aslinya, maka nilai lainnya akan berada di bawah harga option aslinya yang akan mengurangi standar deviasi sehingga membuat harga option menjadi lebih akurat.

2.5.2 Metode Monte Carlo – Kontrol Variat

Metode Monte Carlo – kontrol variat berdasarkan fakta bahwa apabila nilai harapan dari suatu peubah acak berkolerasi terhadap peubah acak yang diambil sebagai sampel maka estimasi dari error dapat diperkecil yaitu dengan cara menggunakan dua peubah acak yang mempunyai nilai hampir sama. Misalkan X adalah peubah acak dengan estimator rata-ratanya E(X) dan Y sebagai peubah acak lainnya yang nilainya dekat dengan X dengan estimator rata-ratanya E(Y), maka peubah acak barunya adalah

Z = X + E(Y) – Y (2.24)

Di mana Y disebut kontrol varaiat dan nilai estimator Z inilah yang akan dipakai dalam simulasi Monte Carlo.

Prosedur kontrol variat ini di dalam simulasi Monte Carlo akan melibatkan perhitungan nilai eksak E(Y) yang dapat dicari dengan menggunakan formula Black-Scholes dengan perataan geometrik. Adapun langkah-langkah perhitungan nilai eksak yaitu :

1. Hitung nilai ekspektasi dan variasi dari perataan geometric

σ2= T

n n

n 2

6 2

) 1 2 )(

1

( ^{+ +} σ (2.25)

2 Hitung

d1 =

T

T X r

S σ

σ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ln 2

2 0

d2 = d1- σ T

3. Cari N(d1) dan N(d2) yang merupakan fungsi distribusi kumulatif normal (0,1).

4. Hitung nilai eksak, misalnya nilai eksaknya adalah g, maka rumusnya adalah g = e^−rT(S0e^rt N(d1) – XN(d2)) (2.26)

2.6 R language

R adalah suatu sistem untuk komputasi statistika dan grafik yang dapat dijalankan pada platform UNIX, Windows, dan MacOS. R menyediakan banyak hal diantaranya, sebuah bahasa pemrograman, teknik statistika dan grafik tingkat tinggi (model linier dan nonlinear), pengujian statistika, analisis deret waktu, klasifikasi, kluster, akses ke bahasa pemrograman yang lainnya dan fasilitas perbaikan kesalahan (debug).

Beberapa hal yang dimiliki oleh R antara lain :

1. Pengaturan data dan fasilitas penyimpanan yang efektif.

2. Operator yang cocok untuk perhitungan array dan matrik.

3. Koleksi yang tergabung dan besar dari alat yang bisa digunakan untuk analisis data.

4. Fasilitas grafik untuk analisis data.

5. Bahasa pemograman yang sederhana, efektif dan dikembangkan dengan baik yang meliputi syarat, pengulangan, fungsi rekursif dan fasilitas input serta output.

R language adalah versi lain dari S. R dikembangkan pada laboratorium Bell oleh John M Chambers dan rekan-rekan pada tahun 1980 dan sejak itu telah dipakai secara luas dalam komunitas statistika. John M Chambers sendiri telah mendapat penghargaan ”1998 ACM Software Systems For S”. Ada banyak kesamaan antara S dan R, namun ada juga beberapa perbedaan yang penting. R dipakai jika kita ingin menggunakan software yang bisa diperoleh secara gratis dengan cara men download dari http://www.r-project.org. Versi terbaru dari R language adalah versi {2.6.1} {tanggal 26

November 2007}. Untuk mengikuti perkembangan software R, maka penelitian ini menggunakan R versi terbaru. Sintaks yang digunakan dalam R memiliki sedikit kesamaan dengan C language. Kelebihan dari R adalah menyediakan ”computing on the language” yang memungkinkan untuk membuat suatu fungsi yang mengambil sebuah ekspresi sebagai input, sesuatu yang sangat sering digunakan dalam permodelan statistika dan grafik. R sudah menyediakan banyak paket-paket fungsi yang bisa digunakan untuk komputasi statistika, tetapi fungsi-fungsi tersebut bisa dikodekan sendiri, mengingat beberapa pengguna lebih suka menulis sendiri kode dan fungsi yang akan dipakai.