1.1 Latar Belakang Masalah
Manusia adalah ciptaan Tuhan yang sangat istimewa. Manusia diberi akal budi oleh sang pencipta agar dapat mengetahui dan melakukan banyak hal. Hal lain yang diciptakan Tuhan begitu istemewa adalah alam semesta ini dengan segala isinya.
Manusia dan alam semesta ini saling terkait erat. Keterkaitannya terletak pada upa- ya manusia memahami alam semesta ini menggunakan akal budinya, salah satunya melalui Fisika. Fisika merupakan upaya memahami pola-pola keteraturan alam yang dibingkai dalam bagan berpikir yang runtut dan matematis (Rosyid, 2006). Bagan ber- pikir yang runtut tersebut disebut sebagai konsep-konsep fisika yang dikaitkan dengan persamaan/konsep matematis yang disebut teori. Banyak teori yang telah dibangun dengan harapan manusia dapat mengenal alam ini, salah satunya adalah mekanika kuantum.
Mekanika kuantum merupakan salah satu teori fundamental yang mendasari fisika modern. Banyak ilmuwan yang turut andil dalam perkembangan mekanika ku- antum antara lain, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg dan Paul Dirac. Terbentuk- nya mekanika kuantum berawal dari ketidakmampuan mekanika klasik menjelaskan hukum-hukum fisika untuk dunia mikroskopis (atom, elektron, dan sebagainya). Me- kanika kuantum memberikan penjelasan dan prediksi yang akurat tentang peristiwa pada dunia mikro. Dari hasil hasil ini ilmuwan dapat mengembangkan perkembang- an baru dalam teknologi. Di bidang nanoteknologi ada graphene yang mendasari teknologi layar sentuh. Graphene merupakan selembar karbon yang hanya memiliki ketebalan satu atom serta memiliki ikatan atom Sp
2(Novoselov, 2004). Banyak pene- liti saat ini yang menggembangkan penggunaan material graphene sebagai salah satu komponen bio sensor, dengan alasan graphene memiliki sensitivitas tinggi terhadap perubahan energi dari luar (Physiorg, 2011).
Pada tahun 1970-an Feynman membuat suatu model yang menggunakan sis- tem kuantum untuk komputasi. Hingga saat ini model yang disebut dengan komputer kuantum yang diyakini mampu mengolah data yang sangat banyak dalam waktu sing- kat terus diteliti. Dalam komputer klasik jumlah data dihitung dengan bit sedangkan dalam komputer kuantum digunakan qubit atau algoritma kuantum.
1
Dari paparan tersebut terlihat bahwa mekanika kuantum memiliki banyak man- faat. Jauh sebelum keberadaan teori mekanika kuantum ini telah ada teori mekanika klasik. Kemudian timbul pertanyaan awal mula mekanika klasik menuju mekani- ka kuantum, atau lebih tepatnya bentuk relasi antar kedua sistem ini. Cara untuk mengetahui relasi antara kedua sistem inilah yang dikenal dengan pengkuantuman.
Sejak hampir seabad yang lalu hingga saat ini banyak para ilmuwan baik matematika- wan maupun fisikawan yang ikut serta mencari tahu hubungan objek mekanika klasik dengan mekanika kuantum. Usaha tersebut membuahkan hasil, terbukti dengan ba- nyaknya metode pengkuantuman yang ada saat ini. Metode pengkuantuman tersebut antara lain pengkuantuman kanonis, pengkuantuman lintasan, pengkuantuman defor- masi, pengkuantuman geometrik, pengkuntuman Borel dan pengkuantuman stokastik (Rosyid, 2005).
Metode pengkuantuman pertama yang sangat sederhana yaitu pengkuantuman kanonis. Pengkuantuman ini memberikan hasil yang sesuai untuk pasangan kanonik (q, p) tapi tidak untuk kasus (q
3, p
3). Oleh karena itu dibutuhkan suatu metode peng- kuantuman lain yang merupakan perluasan dari pengkuantuman kanonis sedemikian rupa sehingga konsisten, artinya bebas dari pemilihan koordinat dan invarian terhadap alih ragam kanonik. Dengan demikian metode pengkuatuman ini dapat diterapkan pa- da kasus-kasus umum. Pengkuantuman geometrik merupakan pengkuantuman yang memenuhi semua syarat ini (Woodhouse,1993).
Hal-hal yang penulis paparkan dalam skripsi ini tidak terdapat suatu hal yang baru, melainkan bersifat studi literatur. Yang penulis lakukan adalah menjelaskan kembali perumusan pengkuantuman geometrik beserta penerapannya dan menurun- kan kembali beberapa persamaan.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan sebelumnya, dapat diru- muskan beberapa permasalahan sebagai berikut:
1. Bagaimana hubungan antara struktur matematik dalam mekanika klasik dan struktur matematik dalam mekanika kuantum?
2. Bagaimana struktur matematik dalam mekanika kuantum diperoleh dari struktur matematik dalam mekanika klasik secara geometrik?
3. Bagaiman prosedur tersebut di atas diterapkan pada osilator harmonis?
1.3 Batasan Masalah
Penulisan skripsi ini dibatasi untuk pengkuantuman geometrik pada keragam- an simplektik finit.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang hendak dicapai dalam penelitian ini berdasarkan perumusan ma- salah yang telah dipaparkan di atas adalah sebagai berikut:
1. Menjelaskan hubungan antara struktur matematik dalam mekanika klasik dan struktur matematik dalam mekanika kuantum.
2. Menjelaskan cara memperoleh struktur matematik dalam mekanika kuantum dari struktur matematik dalam mekanika klasik secara geometrik.
3. Menjelaskan prosedur tersebut di atas diterapkan pada osilator harmonis.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan mampu memberi pemahaman mendasar yang baik terkait dengan pengkuantuman geometrik, serta penerapannya pada kasus-kasus se- derhana.
1.6 Tinjauan Pustaka
Pengkuantuman Kanonis merupakan metode pengkuantuman pertama yang dilakukan Dirac (1928) yang dikenal dengan pengkuantuman Dirac. Pada tahun 1924 Dirac memulai dengan catatannya mengenai dinamika relativitas partikel dilanjut-kan pada tahun 1925 menyusun persamaan fundamental bagi mekanika kuantum dan di tahun 1926 ia menyelesaikan disertasinya dengan judul "Quantum Mechanics". Se- belumnya terdapat total 11 paper yang telah dituliskannya. Di dalam disertasinya tersebut dijelaskan metode analogi klasik bagi pengkuantuman, yang secara mende- tail dijelaskan dalam bukunya dengan judul "The Principles of Quantum Mechanics"
pada tahun 1930. Sayangnya, jenis pengkuantuman ini, hanya berlaku pada keadaan khusus.
Setelah Dirac membentuk relasi antara komutator dengan Kurung Poisson, hal
ini terlihat sangat menarik bagi ilmuwan lain untuk merumuskan relasi yang berlaku
bagi observabel yang lebih umum dengan penggunaan perkalian tersimetri (symmetri- zed product). Perkalian tersimetri tersebut diperkenalkan oleh Hermann Weyl pada tahun 1927 dalam papernya yang berjudul Quantenmechanik und Gruppentheorie.
Herman Weyl ini merupakan murid dari David Hilbert.
Gukov dan Witten (2009) dalam papernya D-branes and quantization meng- ungkapkan bahwa keragaman harus disertai dengan struktur simplektik dengan ke- ragaman tersebut menjadi keragaman simplektik agar apat dikuantumkan. Konsep keragaman itu sendiri telah lama diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (1826-1866) dengan istilah mannigfaltigkeit
1pada tahun 1854. Konsep keragaman ini ia gunakan dalam ruang topologi bersifat geometri yang dibangunnya.
Konsep geometri sebenarnya merupakan cabang matematika, namun telah men- jadi fondasi yang kuat bagi teori-teori fisika. Salah satu contoh penerapan konsep ge- ometri dalam teori fisika adalah penggeometrian mekanika klasik yang diusulkan oleh Poincare (1892) yang dikenal dengan mekanika geometrik. Hal ini terus berkembang hingga ke ranah penggeometrian mekanika kuantum.
Dalam artikelnya Alexander Cordona menyebutkan bahwa pengkuantuman geometrik lahir antara tahun 1960 hingga 1970. Pengkuantuman geometrik berasal dari penggabungan teori wakilan dan geometri simplektik. Skema ini bukan meru- pakan ide baru, melainkan percobaan untuk memberikan fondasi formal bagi formula kuantum dari formula klasik. Dillen dan Verstaelen (1999) menguatkan pernyataan Alexander tersebut dengan menyatakan bahwa geometri simplektik memang telah ada sejak tahun 1960 dan berperan sebagai pusat dari geometri diferensial dan topologi.
Yang menjadi penggagas utama dalam perumusan pengkuantuman geometrik adalah Kostant dan Souriou. Mereka bekerja secara terpisah, Kostant (1970) dalam papernya memaparkan tentang konstruksi eksplisit bagi wakilan uniter dari teori peng- kuantuman. Sementara Soriou (1970) seorang matematikawan mengembangkan as- pek simplektik dari mekanika klasik dan mekanika kuantum. Dia jugalah yang ber- kontribusi memperkenalkan atau mengembangkan beberapa konsep penting seper- ti aksi koajoin dan orbit koajoin grup pada ruang momentumnya, serta menyarank- an program pengkuantuman geometrik. Souriau dan Kostant juga turut merumusk- an pengklasifikasian keragaman simplektik homogeous yang disebut dengan teorema Kirillov-Kostant-Souriou.
Selanjutnya Echeverria Enriquez dkk (1998) dalam papernya menjelaskan dasar- dasar pengkuantuman geometrik. Secara khusus mengenai aspek matematika yang
1
