HUBUNGAN ANTARA MAYORISASI NILAI EIGEN EUCLIDEAN DISTANCE MATRIX (EDM) DENGAN MATRIKS SEMIDEFINIT POSITIF
YANG BERSESUAIAN
Harnoko Dwi Yogo
Pembimbing : Arie Wibowo, M.Si Program Studi Matematika, Fakultas MIPA
Abstrak
Euclidean Distance Matrix (EDM) mempunyai hubungan dengan matriks semidefinit positif yang mana hubungan tersebut direpresentasikan oleh fungsi dan fungsi , dengan dan merupakan fungsi yang saling invers (H. Kurata & P. Tarazaga, 2011). Sedangkan istilah dan notasi mayorisasi itu sendiri pertama kali diperkenalkan oleh Hardy, Littlewood, & Polya (1934) untuk mengungkapkan suatu vektor dikatakan “ less spread out ” dibanding vektor . Pada skripsi ini akan dipelajari bagaimana hubungan matriks semidefinit positif dan jika diketahui bahwa vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM dimayorisasi oleh vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM dengan bersesuaian dengan .
Kata kunci: Euclidean Distance Matrix (EDM), mayorisasi, matriks semidefinit positif.
Abstract
There is a relationship between Euclidean Distance Matrix (EDM) and positive semidefinite matrix, which is represented function and function, with and are mutually inverse (H.
Kurata & P. Tarazaga, 2011). Meanwhile the term and notation of majorization was first introduced by Hardy, Littlewood, and Polya (1934), to express how the vector is said to be
"less spread out" than the vector . In this paper, it will be studied how the relationship between the positive semidefinit matrix and , if it is known that a vector with elements eigenvalues of the EDM is majorized by a vector with elements eigenvalues of the EDM , where
corresponds to .
Keywords: Euclidean Distance Matrix (EDM), majorization, positive semidefinite matrix.
Pendahuluan
Hasil yang paling bermanfaat dalam mempelajari Euclidean Distance Matrix atau yang disingkat dengan EDM telah terlihat dalam 30 tahun terakhir ini yaitu dalam hal multidimentional scaling pada statistik dan dalam hal molecular conformation pada bidang kimia dan biologi molekul (P. Tarazaga, B.S. Boatwright, K. Wijewardena, 2007). EDM ini sendiri mempunyai hubungan yang erat kaitannya dengan matriks semidefinit positif. Hubungan ini direpresentasikan oleh fungsi dan fungsi , dengan dan merupakan fungsi yang saling invers (H. Kurata & P. Tarazaga, 2011).
Sedangkan istilah dan notasi mayorisasi itu sendiri pertama kali diperkenalkan oleh Hardy, Littlewood, & Polya (1934) untuk mengungkapkan suatu vektor dikatakan “ less spread out ” dibanding vektor . Dan mereka menyatakan bahwa vektor dimayorisasi vektor jika penjumlahan setiap elemen terbesar vektor kurang dari sama dengan penjumlahan setiap elemen terbesar vektor untuk dan penjumlahan semua elemen vektor harus sama dengan penjumlahan semua elemen vektor dengan . Selanjutnya pada tahun 1952, Rado mendefinisikan mayorisasi dalam istilah himpunan konveks yang secara kontekstual berbeda dengan yang didefinisikan Hardy, Littlewood, & Polya (1934). Kemudian Marshall & Olkin pada tahun 1979 membuka diskusi awal tentang pengembangan teori mayorisasi lewat buku yang berjudul “Inequalities: Theory of Majorization and Its Application”.
Yang mana dalam buku ini dibahas banyak tentang penggunaan hubungan mayorisasi antar vektor yang elemennya adalah semua nilai eigen yang dimiliki matriks tertentu.
Kemudian, setiap matriks yang mempunyai nilai eigen akan dapat dibandingkan berdasarkan mayorisasi antar vektor yang elemennya adalah nilai-nilai eigen matriks tersebut dengan matriks lain. Oleh karena itu pada penelitian ini akan dipelajari bagaimana hubungan matriks semidefinit positif dan jika diketahui bahwa vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM dimayorisasi oleh vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM dengan bersesuaian dengan . Sebaliknya, akan dicari tahu pula seperti apakah hubungan antara dan jika terlebih dahulu diketahui vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks dimayorisasi oleh vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks .
Pembahasan
Pada bab ini akan dibahas tentang hubungan antara nilai eigen Euclidean Distance Matrix atau yang disingkat dengan EDM dengan Matriks Semidefinit Positif yang bersesuaian. Secara rinci alur penjelasannya dimulai dengan pengertian EDM , kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mayorisasi. Dan yang terakhir akan dibahas terkait lemma dan teorema yang menjelaskan hubungan mayorisasi nilai eigen EDM dengan matriks semidefinit positif yang bersesuaian.
Matriks EDM merupakan bentuk khusus dari matriks predistance, oleh karena itu akan didefinisikan terlebih dahulu terkait matriks predistance sebagai berikut.
Definisi 3.1 Matriks predistance merupakan matriks nonnegatif yang simetris dengan semua elemen diagonalnya bernilai nol.
(Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Kemudian berikut ini definisi matriks EDM.
Definisi 3.2 Matriks predistance ( ) yang berukuran disebut EDM, jika ada bilangan bulat positif dan titik koordinat yaitu sedemikian sehingga ‖ ‖ dengan ‖ ‖ merupakan norm Euclidean pada . (Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Untuk teorema yang menghubungkan matriks EDM dengan matriks semidefinit positif bisa dilihat berikut ini.
Teorema 3.3 Jika merupakan vektor yang semua elemennya bernilai 1, sedangkan . Maka terdapat pemetaan linear yang mempunyai invers fungsi , yang dinyatakan sebagai dengan
untuk matriks identitas dan dengan merupakan vektor yang terdiri dari elemen diagonal matriks .
(Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Selanjutnya akan dilanjutkan dengan pembahasan dari Mayorisasi. Definisi Mayorisasi terbagi menjadi dua yaitu mayorisasi menurut Hardy, Littlewood, & Polya (1934) dan mayorisasi menurut Rado (1952). Secara tekstual keduanya beda tetapi mempunyai makna yang sama.
Definisi 3.4 Untuk , dimayorisasi oleh ( yang ditulis ), jika
∑ [ ]
∑ [ ]
∑ [ ]
∑ [ ]
dengan [ ] dan [ ] merupakan elemen terbesar ke- vektor dan . (Hardy, Littlewood, & Polya, 1934)
Definisi 3.4 di atas berbeda dengan definisi mayorisasi di bawah ini.
Definisi 3.5 Untuk , dimayorisasi oleh ( yang ditulis ) mempunyai arti merupakan anggota convex hull dari himpunan dengan merupakan grup matriks permutasi yang melakukan aksi pada himpunan . (Rado, 1952)
Dibawah ini diberikan lemma dan teorema yang membahas kaitan mayorisasi antar matriks simetris. Dan himpunan matriks simetris ukuran dilambangkan dengan .
Lemma 3.6 Misalkan ̃ , maka pertidaksamaan ̃ dipenuhi jika dan hanya jika ̃ dapat dinyatakan dalam kombinasi konveks seperti berikut:
̃ ∑
untuk suatu bilangan bulat , dan bilangan real positif yang memenuhi ∑ , dan beberapa matriks ortogonal .
(Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Teorema 3.7 Misalkan ̃ dan misal dan ̃ ̃ . Maka ̃ terpenuhi jika dan hanya jika
̃ ∑
untuk suatu bilangan bulat , dan bilangan real positif yang memenuhi ∑ , dan beberapa matriks ortogonal .
(Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011) Bukti:
Jika dimisalkan
̃ ∑
Maka berdasarkan lemma 3.6, pernyataan ̃ terpenuhi dikarenakan .
Untuk menunjukkan sebaliknya, diasumsikan ̃ terpenuhi. Misalkan ̃ [ ̃] dan [ ] dengan ̃ ̃ ̃ dan . Karena ̃ , maka elemen ke- dari dan ̃ adalah nol ; ̃ . Sehingga dapat dinyatakan ( ) ̃ ( ̃
* dengan ̃ , dan tentunya ̃ .
Menurut teorema 2.6.3 dapat disimpulkan jika ̃ maka ̃ , dengan merupakan matrix doubly stochastis. Padahal menurut Teorema 3.3.2, ̃ bisa dinyatakan dalam bentuk
̃ ∑
untuk suatu bilangan bulat , dan bilangan real positif yang memenuhi ∑ , dan beberapa matriks permutasi , dengan menyatakan himpunan matriks permutasi ukuran .
Misalkan = Diag dan ̃ = Diag( ̃) merupakan matriks berukuran , yang mana notasi Diag menyatakan matriks diagonal yang elemen diagonalnya merupakan elemen dari vektor . Selanjutnya akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa
Buktinya sebagai berikut: dimisalkan
(
, (
, (
[ ] [ ]
[ ])
dengan [ ]; untuk ; merupakan matriks dengan elemen ke-[ ] bernilai 1 dan elemen lainnya 0, dan [ ]; untuk , merupakan matriks dengan elemen ke-[ ] bernilai [ ] dan elemen lainnya 0, sedangnya notasi
[ ] [ ] [ ] [ ] merupakan permutasi dari bilangan .
[(
[ ] [ ]
[ ]) (
, ]
[(
,]
(
[ ] [ ]
[ ])
padahal
(
[ ] [ ]
[ ]) (
, ( [ ] [ ] [ ])
(
[ ] [ ]
[ ])
( [ ] [ ] [ ]) (
[ ] [ ]
[ ])
maka terbukti bahwa .
Sehingga, berdasarkan persamaan ̃ ∑ dan hasil di atas, bisa didapat persamaan
̃ ( ̃) (∑
+ ∑
∑
Selanjutnya, karena ̃ maka dengan menggunakan matriks yang telah didefinisikan sebelumnya, dapat dinyatakan matriks dan ̃ sebagai berikut: dan ̃ ̃ , dengan ̃ .
Karena ̃ , yang berarti dan ̃ merupakan matriks semidefinit positif, maka ada ̃ sedemikian sehingga dan ̃ ̃ ̃ ̃ , yang juga merupakan dekomposisi spektral dari dan ̃. Maka matriks dan ̃ dapat dinyatakan sebagai
( ⁄ ) ( ) ( ⁄ *
̃ ̃ ( ⁄ ) ( ̃
* ( ⁄ * ( ̃ )
( ̃ ̃ ̃ ) ( ̃ )( ̃ )( ̃ ) yang mana dan ( ̃ ) merupakan matriks ortogonal.
Berdasarkan bentuk persamaan yang diperoleh sebelumnya yaitu
̃ ∑
dapat diperoleh persamaan
̃ ∑
( ) dengan
( * merupakan matriks permutasi .
Berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.7) diperoleh ̃ ( ̃ )( ̃ )( ̃ )
( ̃ ) [∑
( )] ( ̃ )
∑ ( ̃ )
( )( ̃ )
∑ ( ̃ )
( ̃ )
Kemudian karena [ ][ ] [ ][ ] yang menyebabkan
[ ] maka
̃ ∑ ( ̃ )
( ̃ )
∑ ( ̃ )
[ ] [ ]( ̃ )
∑ [ ( ̃ ) ]
[ ( ̃ ) ]
Sedangkan jika dimisalkan [ ( ̃ ) ] dan tentunya [ ( ̃ ) ] [ ( ̃ ) ] akan diperoleh nilai
̃ ∑ [ ( ̃ ) ]
[ ( ̃ ) ] ∑
Terakhir, tinggal dibuktikan bahwa untuk melengkapi pembuktian di atas.
[ ( ̃ ) ][ ( ̃ ) ] ( ̃ ) ( ̃ ) ( ̃ ) ( ̃ ) ( ̃ ̃ )
[ ( ̃ ) ][ ( ̃ ) ] ( ̃ ) ( ̃ ) ( ̃ ) ( ̃ ) ( ̃ ̃ )
[ ( ̃ ) ] [( ⁄ 𝒆)( ̃ ) ( ⁄
𝒆 *]
( ⁄ 𝒆)( ̃ ) ( ⁄
𝒆 * ( ⁄ 𝒆)( ̃ ) (
√ *
( ⁄ 𝒆) (
√ * ⁄ 𝒆√ 𝒆 Kesimpulannya adalah jika ̃ terpenuhi maka
̃ ∑
untuk suatu bilangan bulat , dan bilangan real positif yang memenuhi ∑ , dan beberapa matriks ortogonal
Pembahasan teorema 3.7 di atas mirip dengan lemma 3.6 yang perbedaanya cuma terletak pada grup yang melakukan aksi saja. Untuk pembahasan selanjutnya, grup yang melakukan aksi adalah grup dengan menyatakan himpunan matriks permutasi ukuran dan tentunya . Kemudian, pembahasannya sendiri mengenai hubungan mayorisasi antara nilai eigen EDM dengan matriks-matriks anggota himpunan dan grup melakukan aksi dalam bentuk konjugasi pada himpunan .
Teorema 3.8 Untuk ̃ , misalkan dan ̃ ̃ . Kemudian jika ̃ terpenuhi, maka vektor nilai eigen matriks ̃ akan termayorisasi oleh vektor nilai eigen matriks atau yang biasa dinyatakan sebagai ̃ . (Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Bukti:
Karena ̃ yang berarti ̃ anggota convex hull dari himpunan dengan aksi berbentuk , maka ̃ dapat dinyatakan sebagai
̃ ∑
untuk suatu bilangan bulat , dan bilangan real positif yang memenuhi ∑ , dan beberapa matriks permutasi .
Sebelum melanjutkan pembuktian akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa . Buktinya sebagai berikut: misalkan
(
, (
[ ] [ ]
[ ])
dengan [ ]; untuk ; merupakan matriks dengan elemen ke-[ ] bernilai 1 dan elemen lainnya 0, sedangnya notasi [ ] [ ] [ ] merupakan permutasi dari bilangan .
[(
[ ] [ ]
[ ]) (
, ( [ ] [ ] [ ]) ]
[(
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
, ( [ ] [ ] [ ])]
[(
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
,] (
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ]
,
(
[ ] [ ]
[ ]) (
, (
[ ] [ ]
[ ])
[(
,]
Dengan menggunakan hasil di atas didapat
̃ ( ̃) (∑
+ ∑
∑
[ [ ] ]
∑
[ [ ] ]
∑
[ [ ] ]
∑
∑
Berdasarkan persamaan ̃ ∑ dan hasil dari contoh 3.2.10 maka diperoleh kesimpulan bahwa ( ̃)
Teorema selanjutnya akan menjelaskan hal yang serupa seperti teorema 3.8, namun grup yang melakukan aksi pada adalah grup .
Teorema 3.9 Misalkan ̃ dengan dan ̃ ̃ . Andaikan nilai eigen memayorisasi nilai eigen ̃ : ̃ , yang mana ̃ dinyatakan sebagai
̃ ∑
untuk suatu bilangan bulat , dan bilangan real positif yang memenuhi ∑ , dan beberapa matriks ortogonal . Maka ̃ dapat dinyatakan sebagai berikut:
̃ ∑
dengan
̃ ∑
dimana = diag( ) dan ̃ = diag( ̃). Dan oleh karena itu, [ ̃ ] (Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Bukti:
̃ ( ̃) (∑
+ ∑
∑ [ [ ] ]
Misalkan , maka
̃ ∑ [ ]
∑ [ ]
∑ [ ]
∑ [ ]
∑ [ ]
∑ [ ]
Dan karena , sehingga didapat
̃ ∑ [ ]
∑ [ ]
∑
[∑
] [∑
]
Kemudian dengan memisalkan
[∑
] maka
̃ ∑
Untuk melengkapi pembuktian, akan dinyatakan dalam bentuk ̃ ∑
dengan = diag( ) dan ̃ = diag( ̃).
[∑
] ∑ ∑
∑ ∑
∑ ( ̃) ∑
∑ ̃ ∑
̃ ∑
Akibat 3.10 Misalkan ̃ dengan masing-masing memiliki elemen diagonal yang sama dan ( ̃) serta memenuhi ̃ . Maka ̃ . (Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Bukti:
Misalkan vektor dan ̃ ( ̃), maka berdasarkan asumsi diatas dan ̃ dapat dinyatakan sebagai ̃ dengan . Kemudian, berdasarkan teorema 3.9 didapat
̃ ∑
∑
∑
karena
maka
̃ ∑
∑
Sehingga dapat disimpulkan ( ̃)
Berikut ini merupakan teorema terakhir yang dibahas pada skripsi ini dan juga merupakan konversi dari teorema 3.8.
Teorema 3.11 Untuk ̃ , misalkan dan ̃ ̃ . Kemudian jika
̃ terpenuhi, maka vektor nilai eigen matriks ̃ akan termayorisasi oleh vektor nilai
eigen matriks atau yang biasa dinyatakan sebagai ̃ . (Hiroshi Kurata & Pablo Tarazaga, 2011)
Bukti:
karena ̃ yang berarti ̃ anggota convex hull dari himpunan dengan aksi berbentuk , maka ̃ dapat dinyatakan sebagai
̃ ∑
untuk suatu bilangan bulat m, dan bilangan real positif yang memenuhi ∑ , dan beberapa matriks permutasi .
Sebelum melanjutkan pembuktian akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa dengan . Buktinya sebagai berikut: karena ,
maka
( * ( *
Dengan menggunakan hasil di atas dan melihat teorema 3.1.5 didapat ̃ ( ̃) (∑
+ ∑
∑
[ ] ∑
[ ]
∑
[ ] ∑
∑
Berdasarkan persamaan ̃ ∑ dan hasil dari contoh 3.2.10 maka diperoleh kesimpulan bahwa ( ̃)
Penutup
Pada penelitian ini telah ditunjukkan bahwa jika vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks semidefinit positif memayorisasi vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks semidefinit positif ̃ ( ̃) maka berakibat vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM memayorisasi vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM ̃ dengan kondisi elemen diagonal matriks harus sama dengan elemen diagonal matriks ̃ ( ̃) serta masing-masing elemen itu sama satu dengan yang lain (Akibat 3.10).
Kemudian berdasarkan teorema 3.8 dapat disimpulkan bahwa jika matriks semidefinit positif ̃ ( ̃) merupakan anggota convex hull dari himpunan maka berakibat vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM memayorisasi vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks EDM ̃. Dan teorema 3.11 merupakan konversi dari teorema 3.8, karena teorema 3.11 menyatakan bahwa jika matriks EDM ̃ merupakan anggota convex hull dari himpunan maka akan berakibat vektor dengan elemen nilai- nilai eigen matriks semidefinit positif memayorisasi vektor dengan elemen nilai-nilai eigen matriks semidefinit positif ̃ ( ̃).
Daftar Pustaka
Anton, H., & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra 9th ed. New York: Willey.
Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. G. (2000). Introduction to Real Analysis ( ed.). New York:
John Wiley & Sons.
Bhattacharya, P., Jain, S., & Nagpul, S. (1994). Basic Abstract Algebra 2nd ed. New York:
Cambridge University Press.
Eaton, M. L. (1984). On group induced ordering, monote functions, and convolution theorems.
IMS Lecture Notes-Monograph Series, Vol. 5, 13-25.
Hardy, G., Littlewood, J. E., & Polya, G. (1934). Inequalities. New York: Cambridge University Press.
Hayden, T. L., & Tarazaga, P. (1993). Distance Matrices and Regular Figures. Elsevier Science Publishing Co., Vol. 195, 9-16.
Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra 3rd ed. New Jersey: Prentice-Hall.
Horn, R. A., & Johnson, C. R. (1985). Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press.
Kurata, H., & Tarazaga, P. (2011). Majorization for the eigenvalues of Euclidean Distance Matrices. Elsevier Inc., Vol. 436, 1473-1481.
Lipschutz, S. (1965). Theory and Problems of General Topology. New York: McGraw-Hill.
Manfrino, R. B., Ortega, J. A. G., & Delgado, R. V. (2009). Inequalities. Basel: Birkhauser.
Marshall, A. W., Olkin, I., & Arnold, B. C. (2009). Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications ( ed.). New York: Springer.
Munkres, J. R. (2000). Topology ( ed.). Upper Saddle River: Prentise Hall.
Rado, R. (1952). An Inequality. J. London Math. Soc., Vol. 27, 1-6.
Roman, S. (2008). Advanced Linear Algebra ( ed.). New York: Springer.
Tarazaga, P., Boatwright, B. S., & Wijewardena, K. (2007). Euclidean distance matrices: special subsets, systems of coordinates and multibalanced matrices. Computational and Applied Mathematic, Vol. 26, 415-438.
Vinberg, E. B. (2002). A Course in Algebra. Providence: American Mathematical Society . Zhang, F. (1999). Matrix Theory. New York: Springer.
