MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS. Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

MATRIKS DAN

OPERASI MATRIKS

Departemen Matematika

Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah

Mampu menjelaskan konsep dasar matriks

(C2)

MATERI

Notasi dan Terminologi

Matriks

Operasi pada Matriks

Kesamaan Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Perkalian Matriks dengan Skalar Perkalian Matriks Matriks Dipartisi

Notasi Matriks

Bentuk larik persegi panjang dari bilangan-bilangan sering muncul dalam masalah nyata. Contohnya, larik persegi panjang berikut yang terdiri dari tiga baris dan tujuh kolom yang menyatakan banyaknya jam seorang pelajar menghabiskan waktu untuk tiga pelajaran dalam jangka waktu seminggu.

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

Matematika 2 3 2 4 1 4 2

Sejarah 0 3 1 4 3 2 2

Notasi Matriks

Bila data tersebut ditulis dalam bentuk larik persegi panjang, dengan

membuang judul kolom dan baris, diperoleh bentuk yang disebut matriks, sebagai berikut

2 3 2 4 1 4 2 0 3 1 4 3 2 2 4 1 3 1 0 0 2

Definisi 1.

Matriks

adalah larik persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan dalam larik disebut

entri

dari matriks.

CONTOH 1.

MATRIKS

o

Beberapa contoh matriks

o

Ukuran matriks

dinyatakan dalam banyak baris dan banyak kolom sebagai berikut,

3 x 2, 1 x 4, 3 x 3, 2 x 1, 1 x 1





,

 

4 3 1 , 0 0 0 1 0 2 , 3 -0 1 2 , 4 1 0 3 2 1 2 1                 _{ −}           −  # baris #kolom

Matriks baris atau vektor baris _{Matriks kolom atau}

vektor kolom

Notasi dan

Terminologi

Matriks

• Matriks 𝐴 ukuran 𝑚 × 𝑛 memiliki bentuk umum seperti berikut,

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛

dengan entri bilangan real.

• Entri di baris ke 𝑖 dan kolom ke j ditandai dengan 𝑎_𝑖𝑗 atau 𝐴 _𝑖𝑗

•

Vektor baris

𝐚 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 adalah matriks

berukuran 1 × 𝑛

•

Vektor kolom

𝐛 = 𝑏₁ 𝑏₂ ⋮ 𝑏_𝑚

Notasi dan

Terminologi

Matriks

• Matriks dapat ditulis dengan notasi sederhana

𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} atau 𝑎_𝑖𝑗

• Matrik A dengan n baris dan n kolom disebut

matriks

persegi beroder n

• Entri yang berbayang, 𝑎₁₁, 𝑎₂₂, ⋯ , 𝑎_𝑛𝑛 disebut

diagonal

utama

dari A 𝐴 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 ⋯ 𝑎_𝑛𝑛

Kesamaan Matriks













=













=













=

0

4

3

0

1

2

,

5

3

1

2

,

3

1

2

C

B

x

A

o Jika 𝑥 = 5, maka 𝐴 = 𝐵

o Semua nilai selain 𝑥 = 5 mengakibatkan 𝐴 ≠ 𝐵

o Tidak ada nilai x agar A=C . Mengapa? Karena kedua matriks memiliki ukuran yang berbeda.

Definisi 2.

Dua buah matriks dikatakan sama jika memiliki ukuran yang sama dan entri bersesuaian yang sama.

Operasi Matriks

Penjumlahan & Pengurangan Perkalian matriks dengan skalar Perkalian matriks Menentukan keterdefinisian perkalian matriks Matriks dipartisi Perkalian atas kolom/baris Perkalian sebagai kombinasi linier Bentuk matriks sistem linier Transpos dari matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

DEFINISI 3

•

Jika

𝐴

dan

𝐵

adalah matriks yang berukuran sama, maka

•

Jumlah

𝐴 + 𝐵

adalah matrik yang diperoleh dengan

menjumlahkan entri

𝐵

dengan entri

𝐴

yang bersesuaian.

•

Selisih

𝐴 − 𝐵

adalah matrik yang diperoleh dengan

mengurangkan entri

𝐴

dengan entri

𝐵

yang bersesuaian.

•

Matriks dengan ukuran berbeda tidak dapat dijumlahkan

maupun dikurangkan.

𝑨 + 𝑩

_𝒊𝒋

= 𝑨

_𝒊𝒋

+ 𝑩

_𝒊𝒋

= 𝒂

_𝒊𝒋

+ 𝒃

_𝒊𝒋

𝑨 − 𝑩

_𝒊𝒋

= 𝑨

_𝒊𝒋

− 𝑩

_𝒊𝒋

= 𝒂

_𝒊𝒋

− 𝒃

_𝒊𝒋

Contoh 2.

Penjumlahan

dan

Pengurangan

Matriks













=





















−

−

−

=





















−

−

=

2

2

1

1

,

5

4

2

3

1

0

2

2

1

5

3

4

,

0

7

2

4

4

2

0

1

3

0

1

2

C

B

A





















−

−

−

−

−

−

=

−



















−

=

+

5

11

4

1

5

2

2

3

2

5

2

6

,

5

3

0

7

3

2

2

1

4

5

4

2

B

A

B

A

Misalkan diberikan matriks 𝐴, 𝐵 dan 𝐶,

Penjumlahan dan pengurangan dari A dan B adalah

Matriks A dan C tak dapat dioperasikan jumlah atau kurang karena ukuran matriksnya berbeda.

Perkalian Matriks dan Skalar

DEFINISI 4.

Jika

𝐴

adalah matriks dan

𝑐

adalah skalar, perkalian

𝑐𝐴

adalah matriks

yangdiperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks

𝐴

dengan skalar

𝑐

.

Matriks

𝑐𝐴

dikatakan

perkalian skalar

dari

𝐴

.

Perkalian Matriks dan Skalar

o Perhatikan matriks berikut

o Contoh perkalian skalar dari 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah

o (−1)𝐵 biasa ditulis sebagai – 𝐵













−

=













−

−

=













=

12

0

3

3

6

9

,

5

3

1

7

2

0

,

1

3

1

4

3

2

C

B

A

( )

_











−

=













−

−

−

=













=

4

0

1

1

2

3

,

5

3

1

7

2

0

1

,

2

6

2

8

6

4

2

_A

_B

1₃

_C

Perkalian Matriks

Definisi 5.

Jika 𝐴 matriks ukuran 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 matriks ukuran 𝑟 × 𝑛 maka hasil kali 𝐴𝐵 adalah matriks ukuran 𝑚 × 𝑛 dimana netri ditentukan

sebagai berikut:

o Untuk mencari entri baris-𝑖 dan kolom-𝑗 dari 𝐴𝐵, ambil baris ke-𝑖

dari matriks 𝐴 dan kolom-𝑗 dari matriks 𝐵.

o Kalikan entri yang bersesuaian dari baris dan kolom bersamaan dan kemudian jumlahkan untuk mendapatkan 𝐴𝐵 _𝑖𝑗

Contoh 3.

Perkalian

Matriks

Misalkan diberikan matriks 𝐴 dan 𝐵

o Karena 𝐴 adalah matriks 2 × 3dan 𝐵 3 × 4 maka 𝐴𝐵 terdefinisi dan ukuran 𝐴𝐵 adalah 2 × 4.

o Untuk menentukan entri baris 2 kolom 3 dari 𝐴𝐵, pisahkan baris 2 dari matriks 𝐴 dan kolom 3 dari matriks 𝐵 seperti ilustrasi di bawah,

Contoh 3 (lanjutan)

•

Perhitungan entri lainnya adalah sebagai berikut,

Catatan.

Perkalian matriks dapat terdefinisi jika banyak kolom dari faktor pertama 𝐴 sama dengan banyak baris dari faktor kedua 𝐵

Perkalian

Matriks

o

Secara umum, jika

𝐴 = 𝑎

_𝑖𝑗

adalah matriks berukuran

𝑚 × 𝑟

dan

𝐵 = 𝑏

_𝑖𝑗

adalah matriks berukuran

𝑟 × 𝑛

,

maka perkalian dari bagian yang berbayang seperti ini,

o

adalah entri

𝐴𝐵

_𝑖𝑗

yaitu baris

𝑖

dan kolom

𝑗

dari

𝐴𝐵

Matriks Dipartisi

Matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks lebih kecil dengan menarik garis horizontal/vertikal antara baris/kolom yang dipilih

1. Ada 4 partisi sub matriks

𝐴₁₁ , 𝐴₁₂, 𝐴₂₁ ,dan 𝐴₂₂ .

2. Partisi 𝐴 menjadi matriks baris𝒓₁ , 𝒓₂, dan 𝒓₃ . 3. Partisi A menjadi matriks kolom 𝒄₁, 𝒄₂ , 𝒄₃ ,dan 𝒄₄ .

𝐴 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₁₄ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₂₄ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 𝑎₃₄ = 𝐴₁₁ 𝐴₁₂ 𝐴₂₁ 𝐴₂₂ 𝐴 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₁₄ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₂₄ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 𝑎₃₄ = 𝐫₁ 𝐫₂ r_𝟑 𝐴 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₁₄ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₂₄ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 𝑎₃₄ = 𝐜𝟏 𝐜₂ 𝐜₃ 𝐜₄

Perkalian Matriks Atas Kolom

atau Baris

Partisi matriks sering digunakan untuk memperoleh entri tertentu dari

𝐴𝐵

tanpa

harus menghitung semua perkalian.

Jika ingin mendapat kolom tertentu dari

𝐴𝐵

dapat diperoleh dengan mempartisi

matriks

𝐵

menjadi vektor kolom,

𝐴𝐵 = 𝐴 𝐛

₁

𝐛

₂

… 𝐛

_𝑛

= [𝐴𝐛

₁

𝐴𝐛

₂

… 𝐴𝐛

_𝑛

]

Jika ingin mendapat baris tertentu dari

𝐴𝐵

dapat diperoleh dengan mempartisi

matriks

𝐴

menjadi vektor baris,

𝐴𝐵 =

𝐚

₁

𝐚

₂

⋮

𝐚

𝐵 =

𝐚

₁

𝐵

𝐚

₂

𝐵

⋮

𝐚

𝐵

𝐴𝐵 dihitung kolom demi kolom

Perkalian Matriks Atas Kolom

atau Baris

•

Misalkan

𝐴 =

1 2 4

2 6 0

,

𝐵 =

4

1

4 3

0 −1 3 1

2

7

5 2

•

Kolom kedua

dari AB dapat dihitung dengan cara:

•

Baris pertama

dari AB dapat dihitung dengan cara:

Kolom kedua matriks 𝐵 Kolom kedua matriks A𝐵 Baris pertama matriks 𝐴 Baris pertama matriks 𝐴𝐵

1 2

4

2 6

0

1

−1

7

=

27

−4

1 2 4 4 1 4 3 0 −1 3 1 = [12 27 30 13]

Perkalian Matriks Sebagai

Kombinasi Linier

Definisi

Jika

𝐴

₁

, 𝐴

₂

, … , 𝐴

_𝑟

adalah matriks berukuran sama, jika

𝑐

₁

, 𝑐

₂

, … , 𝑐

_𝑟

adalah skalar, maka bentuk berikut

𝑐

₁

𝐴

₁

+ 𝑐

₂

𝐴

₂

+ ⋯ + 𝑐

_𝑟

𝐴

_𝑟

disebut

kombinasi linier

dari

𝐴

₁

, 𝐴

₂

, … , 𝐴

_𝑟

dengan

koefisien

𝑐

₁

, 𝑐

₂

, … , 𝑐

_𝑟

.

Perkalian Matriks Sebagai

Kombinasi Linier

Misalkan 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dan x vektor kolom berukuran 𝑛 × 1,

𝐴 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛 dan 𝐱 = 𝑥₁ 𝑥₂ ⋮ 𝑥_𝑛 Maka, 𝐴𝐱 = 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + … + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂ + … + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 ⋮ 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + … + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑥₁ 𝑎₁₁ 𝑎₂₁ 𝑎_𝑚1 + 𝑥₂ 𝑎₁₂ 𝑎₂₂ 𝑎_𝑚2 + ⋯ + 𝑥_𝑛 𝑎_1𝑛 𝑎_2𝑛 𝑎_𝑚𝑛

Contoh

Perkalian Matriks Sebagai Kombinasi Linier

Perkalian matriks

1 3

2

1 2

−3

2 1

−2

2

−1

3

=

1

−9

−3

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor kolom

2

−1

1

2

− 1

3

2

1

+ 3

2

−3

−2

=

1

−9

−3

Contoh

Kolom

𝐴𝐵

Dinyatakan Sebagai Kombinasi Linier

𝐴𝐵 = 1 2 4 2 6 0 4 1 4 3 0 −1 3 1 2 7 5 2 = 12 27 30 13 8 −4 26 12

Masing-masing kolom 𝐴𝐵 dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari vektor kolom𝐴

dengan koefisiennya adalah entri kolom 𝐵.

12 8 = 4 1 2 + 0 2 6 + 2 4 0 27 −4 = 1 2 − 2 6 + 7 4 0 30 26 = 4 1 2 + 3 2 6 + 5 4 0 13 1 2 4

Ekspansi Kolom-Baris

Misalkan:

matriks

𝐴

ukuran

𝑚 × 𝑟

dipartisi menjadi:

𝑟

vektor kolom

𝐜

₁

, 𝐜

₂

, … , 𝐜

_r

(ukuran

𝑚 × 1

) dan

matriks

𝐵

ukuran

𝑟 × 𝑛

dipartisi menjadi:

𝑟

vektor baris

𝐫

₁

, 𝐫

₂

, … , 𝐫

_r

(ukuran

1 × 𝑛

)

Setiap suku dari penjumlahan ini

𝐜

₁

𝐫

₁

+ 𝐜

₂

𝐫

₂

+ ⋯ + 𝐜

_r

𝐫

_r

adalah matriks ukuran

𝑚 × 𝑛

.

Akibatnya, ekspansi kolom-baris

𝐴𝐵

adalah:

𝐴𝐵 = 𝐜

₁

𝐫

₁

+ 𝐜

₂

𝐫

₂

+ ⋯ + 𝐜

_r

𝐫

_r

Contoh

Kolom

𝐴𝐵

Dinyatakan Sebagai Kombinasi Linier

28 Misalkan 𝐴𝐵 adalah 𝐴𝐵 = 1 3 2 −1 2 0 4 −3 5 1

Partisi 𝐴 menjadi vektor kolom dan 𝐵 vektor baris

𝒄₁ = 1

2 , 𝒄2 = 3

−1 ; 𝐫1 = 2 0 4 , 𝐫2 = 2 0 4

Ekspansi kolom-baris 𝐴𝐵 adalah

𝐴𝐵 = 1 2 2 0 4 + 3 −1 2 0 4 = 2 0 4 4 0 8 + −9 15 3 3 −5 −1 Hasil kali 𝐴𝐵: −7 15 7

Bentuk Matriks dari Sistem Linier

◼

Perhatikan sistem dg m

persamaan

linier dan n variabel

◼

Dua buah matriks dikatakan sama jika

entri yg bersesuaian sama

◼

Matriks m x n

di sebelah kiri dari

persamaan ini dapat ditulis sebagai

Bentuk Matriks dari Sistem Linier (1/2)

•

Matriks

𝐴

disebut

matriks koefisien

dari sistem

•

Matriks diperbesar dari sistem diperoleh dengan menggabungkan

b

ke

𝐴

sebagai

kolom terakhir:

𝐴 𝐛] =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

…

𝑎

_1𝑛

𝑏

₁

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

…

𝑎

_2𝑛

𝑏

₂

⋮

⋮

⋮

⋮

𝑎

_𝑚1

𝑎

_𝑚2

…

𝑎

_𝑚𝑛

𝑏

_𝑚

DEFINISI

Jika

𝐴

sembarang matriks berukuran

𝑚 × 𝑛

, maka transpose dari

𝐴

,

ditulis

𝐴

𝑇

, didefinisikan sebagai matriks berukuran

𝑛 × 𝑚

yang

merupakan hasil menukar baris dan kolom dari

𝐴

; yaitu kolom

pertama dari

𝐴

𝑇

adalah baris pertama dari

𝐴

, kolom kedua dari

𝐴

𝑇

adalah baris kedua dari

𝐴

, dan seterusnya.

Transpos Matriks (1/2)

Misal diketahui matriks,

𝐴 =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₁₃

𝑎

₁₄

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

𝑎

₂₃

𝑎

₂₄

𝑎

₃₁

𝑎

₃₂

𝑎

₃₃

𝑎

₃₄

, 𝐵 =

2 3

1 4

5 6

, 𝐶 = 1 3 5 , 𝐷 = [4]

Maka transpos dari matriks ini adalah,

𝐴

𝑇

=

𝑎

₁₁

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₂

𝑎

₃₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

𝑎

₁₄

𝑎

₂₄

𝑎

₃₄

, 𝐵

𝑇

=

2 1 5

3 4 6

, 𝐶

𝑇

₌

1

₃

5

, 𝐷

𝑇

= [4]

Transpos Matriks (2/2)

Perhatikan bahwa entri baris

𝑖

dan kolom

𝑗

dari

𝐴

𝑇

adalah entri

dari baris

𝑗

dan kolom

𝑖

dari

𝐴

:

𝐴

𝑇 _𝑖𝑗

= 𝐴

_𝑗𝑖

.

Dalam kasus

𝐴

matriks persegi, transpos dari

𝐴

diperoleh dengan

menukar entri yang posisinya simetri terhadap diagonal utama

menukar entri yang posisinya

𝐴 =

1

−2 4

3

7

0

−5

8

6

→

1

−2 4

3

7

0

−5

8

6

→ 𝐴

𝑇

=

1

3

−5

−2 7

8

4

0

6

Trace

dari Matriks

Contoh matriks dengan trace-nya

𝐴 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ , 𝐵 = −1 2 7 0 3 5 −8 4 1 2 7 −3 4 −2 1 0

DEFINISI

Jika

𝐴

matriks persegi, maka

trace

dari

𝐴

, ditandai

tr 𝐴

, didefinisikan sebagai jumlah dari entri pada

diagonal utama dari

𝐴

.

Trace

dari A tak terdefinisi jika

A bukan matriks persegi.