TUGAS
MATEMATIKA TERAPAN / STATISTIK 3
Dosen : Ir. H. Sumirin, MS
Oleh : Nama : Dyan Radityo, ST NIM : MTS.13.25.1.0611 S
JURUSAN
MAGISTER TEKNIK SIPIL
2013
PROSEDUR ANALISIS DATA
A. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL, GRAFIK, BAGAN DAN DIAGRAM
Data yang sudah diolah, agar mudah dibaca dan dimengerti oleh orang lain, maka perlu disajikan dalam bentuk-bentuk tertentu, antara lain tabel;grafik;bagan dan diagram.
Manfaat dari Penyajian data antara lain :
1. Menunjukkan perkembangan suatu keadaan, 2. Mengadakan perbandingan pada suatu waktu.
TABEL : memberikan informasi secara rinci dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori tertentu dalam suatu daftar. Terdiri atas kolom dan baris.
GRAFIK : memberikan informasi dengan benar dan cepat, tetapi tidak rinci dalam bentuk gambar.
Hal yang perlu diperhatikan ketika membuat grafik :
1. Menentukan sumbu absis (X) dan ordinat Y). Sumbu absis mencantumkan nilai dan sumbu ordinat mewakili frekuensi.
2. Menentukan perbandingan antara X dan Y. Lazimnya sumbu X dibuat lebih panjang.
3. Pemberian nama pada tiap sumbu. 4. Pemberian nama pada grafik.
Jenis Grafik, Bagan dan Diagram : Histogram, Poligon, Ogive, Bagan melingkar, grafik batang, kartogram, Piktogram, diagram garis, bagan piramida.
1. Histogram
Grafik ini disebut juga Bar diagram yakni grafik berbentuk segi empat. Dasar pembuatan dengan menggunakan batas nyata atau titik tengah.
Grafik ini juga populer dengan sebutan poligon frekuensi. Dibuat dengan menghubungkan titik tengah dalam bentuk garis (kurve). Grafik ini mendasarkan pada titik tengah dalam pembuatannya.
3. Grafik Ogive
Disebut juga grafik frekuensi meningkat, karena cara pembuatannya dengan menjumlah frekuensi pada tiap nilai variabel.
4. Bagan melingkar/ grafik melingkar
Yaitu grafik atau bagan berupa lingkaran yang telah dibagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan proporsi data. Biasanya dinyatakan dalam persen.
5. Grafik Batang atau balok
Yaitu grafik yang berbentuk persegi panjang yang lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai data yang bersangkutan. Setiap batang tidak boleh saling melekat atau menempel dan jarak tiap batang harus sama. Susunan grafik ini boleh tegak atau mendatar.
6. Kartogram atau peta statistik
Yaitu grafik data berupa peta yang menunjukkan kondisi data dan diwakili oleh lambang tertentu dalam sebuah peta. Biasanya untuk menggambarkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil penjualan, hasil pertambangan dan sebagainya.
7. Piktogram
Yaitu grafik data yang menggunakan gambar atau lambang dalam penyajiannya. Satu lambang bisa mewakili jumlah tertentu.
8. Grafik garis
Yaitu grafik data berupa garis yang diperoleh dari ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bilangan. Grafik ini dibuat dengan 2 sumbu yakni sumbu X menunjukkan bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun, ukuran dan sebagainya. Sedangkan pada sumbu Y ditempatkan bilangan yang sifatnya berubah-ubah seperti, harga, biaya dan jumlah.
menentukan angka yang menjadi pusat suatu distribusi. Angka/ nilai yang menjadi pusat suatu distribusi selanjutnya disebut tendensi sentral atau kecenderungan tengah. Ada 3 jenis pengukuran tendensi sentral yang sangat penting yaitu; Mean, Median dan Mode/ modus. Ketiga jenis pengukuran tendensi sentral tersebut memiliki pengertian, asumsi dan tujuan serta metode penghitungan yang berbeda.
a). Mean/ Rata-rata ( X )
Pengukuran mean atau rata-rata sangat sering digunakan dalam analisis statistik. Mean diterapkan dengan tujuan untuk menentukan angka/ nilai rata-rata dan secara aritmatik ditentukan dengan cara menjumlah seluruh nilai dibagi banyaknya individu. Pengukuran rata-rata dapat diterapkan dengan asumsi bahwa data yang diperoleh dari hasil pengukuran berskala interval dan rasio. Bagaimana menentukan harga mean atau rata-rata? Setidaknya ada 3 metode penghitungan untuk menentukan harga mean yakni;
X
1. Mean ( X ) = --- ; Jumlah nilai dibagi banyaknya individu. N
2. Mean yang ditimbang : menentukan rata-rata jika data ada frekuensinya FX
Mean ( X ) = --- ; Jumlah frek. kali nilai dibagi total frekuensi. N
3. Menghitung mean pada kasus data bergolong bisa dilakukan dengan rumus mean
terkaan sebagai berikut :
fx’
Mean (X) = MT + --- i.
N
Keterangan :
MT : mean terkaan/ mean kerja, ditentukan titik tengah dari interval nilai di mana harga mean diterka.
N : jumlah individu/ total frekuensi. i : lebar interval
b). Median (Md)
Median adalah nilai yang menjadi batas 50 persen distribusi frekuensi bagian bawah dan 50 persen distribusi frekuensi bagian atas. Ringkasnya median adalah nilai yang membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama yakni 50 persen, 50 persen.
Harga median bisa ditentukan dengan beberapa formulasi tergantung pada kasus yang dihadapi.
1). Jika berhadapan dengan data tunggal
Median = X (k+1) atau nilai yang ke k + 1 --- untuk kasus n ganjil
N - 1
di mana n = 2 k+1 dan k =
2
Median = ½ ( X k + X k+1) --- untuk n genap
N
di mana n = 2 k dan k = ---
2
2). Jika berhadapan dengan data bergolong ½ N - Cfb
Median = Bb + --- i
Fd Keterangan :
Bb : Batas bawah nyata dari interval kelas yang mengandung median
Cfb. : Frekuensi kumulatif dibawah interval kelas yang mengandung median Fd : Frekuensi dalam interval yang mengandung median
i. : Lebar kelas/ interval
N : Banyak individu atau jumlah frekuensi
Secara sederhana modus didefinisikan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi paling banyak. Satu hal yang perlu diingat bahwa modus adalah persoalan nilai bukannya frekuensi. Frekuensi hanya menunjuk intensitas kemunculan sesuatu nilai. Pada data tunggal menentukan mode/modus mungkin tidaklah terlampau sulit. Hanya dengan memperhatikan nilai yang memiliki frekuensi terbanyak maka dapat diidentifikasi nilai modus/mode dari distribusi data. Hal ini agak berbeda jika berhadapan dengan data bergolong. Apabila data yang dihadapi bergolong menentukan harga modus ada 2 pendekatan, yakni pertama, dengan menentukan mid point atau nilai tengah dari interval kelas yang memiliki frekuensi terbanyak dan kedua dengan formulasi sebagai berikut:
i f -- f Mo = Xo + --- . ---
2 2 fo -- f -- f Keterangan :
Mo adalah harga modus yang dicari
Xo : Titik tengah dari interval kelas yang mengandung modus i : Interval / lebar kelas
fo : Frekuensi dalam interval kelas yang mengandung mode/modus f : Frekuensi sebelum interval kelas yang mengandung mode/ modus f : Frekuensi sesudah interval kelas yang mengandung mode/ modus
Satu catatan bahwa dalam suatu distribusi data sangat dimungkinkan harga atau nilai mode/modus lebih dari satu. Jika nilai mode/modus hanya satu disebut dengan unimode, dua nilai mode disebut dwi mode dan lebih dari dua nilai mode/ modus dinamakan multimode.
B. ANALISIS DATA STATISTIK
Analisis regresi merupakan salah satu analisis yang bertujuan untuk mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain. Dalam analisis regresi, variabel yang mempengaruhi disebut Independent Variable (variabel bebas) dan variabel yang dipengaruhi disebut Dependent Variable (variabel terikat). Jika dalam persamaan regresi hanya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel terikat, maka disebut sebagai persamaan regresi sederhana, sedangkan jika variabel bebasnya lebih dari satu, maka disebut sebagai persamaan regresi berganda.
Analisis Korelasi merupakan suatu analisis untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Tingkat hubungan tersebut dapat dibagi menjadi tiga kriteria, yaitu mempunyai hubungan positif, mempunyai hubungan negatif
dan tidak mempunyai hubungan.
Analisis Regresi Sederhana : digunakan untuk mengetahui pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel terikat atau dengan kata lain untuk mengetahui seberapa jauh perubahan variabel bebas dalam mempengaruhi variabel terikat. Dalam analisis regresi sederhana, pengaruh satu variabel bebas terhadap variabel terikat dapat dibuat persamaan sebagai berikut : Y = a + b X. Keterangan : Y : Variabel terikat (Dependent Variable); X : Variabel bebas (Independent Variable); a : Konstanta; dan b : Koefisien Regresi. Untuk mencari persamaan garis regresi dapat digunakan berbagai pendekatan (rumus), sehingga nilai konstanta (a) dan nilai koefisien regresi (b) dapat dicari
dengan metode sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2] atau a = (ΣY/N) – b (ΣX/N) b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
Perbedaan Korelasi dan Regresi
Analisis korelasi dan regresi termasuk analisis multivariat karena menyangkut
untuk mempelajari apakah ada hubungan antara dua variabel atau lebih, sedangkan pada analisis regresi kita memprediksi seberapa jauh pengaruh tersebut.
Melalui analisis korelasi kita dapat menhyatakan adanya hubungan antar
variabel, maka dengan analsisi regresi kita dapat memperkirakan pengaruh variabel terhadap variabel lainnya.
Melalui korelasi, hasil yang diperoleh adalah angka yang ditafsirkan menurut
kriteria tertentu sedangkan dengan regresi akan menghasilkan persamaan regresi atau model regresi.
Kedudukan variabel pada korelasi adalah setara, sedangkan pada regresi
kedudukannya berbeda karena ada variabel independen (bebas) yang mempengaruhi variabel dependen (terikat).
Pada uji regresi perhitungan korelasi menjadi bagian dalam analisis yang
digunakan untuk menentukan koefisien determinasi. Dengan demikian dapat dikatakan korelasi merupakan bagian dari analisis regresi, namun tidak berlaku sebaliknya.
Analisis regresi berganda (Multivariate Regression) merupakan suatu model
dimana variabel terikat tergantung pada dua atau lebih variabel bebas. Analisis ini digunakan untuk mengetahui pengaruh variabel bebas/ independen terhadap variabel terikat.
Analisis regresi berganda dapat dinyatakan dengan persamaan berikut. Y = a + b1X1 + b2X2 + …… + bnXn
Dimana:
Y adalah variabel tak bebas/ terikat X adalah variabel-variabel bebas a adalah konstanta (intersept)
b adalah koefisien regresi/ nilai parameter
Pengujian Hipotesis Distribusi T Pada Model Regresi Berganda
Hipotesa Nol = Ho
Ho adalah satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi. Ho merupakan hipotesis statistik yang akan diuji hipotesis nihil.
Hipotesa alternatif = Ha
Ha adalah satu pernyataan yang diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah.
Langkah-langkah/ urutan menguji hipotesa dengan distribusi T
1. Merumuskan hipotesa
Ho : βi = 0, artinya variabel bebas bukan merupakan penjelas yang signifikan terhadap variabel terikat
Ha : βi ≠ 0, artinya variabel bebas merupakan penjelas yang signifikan terhadap variabel terikat.
2. Menentukan taraf nyata/ level of significance = α
Taraf nyata / derajad keyakinan yang digunakan sebesar α = 1%, 5%, 10%, dengan:
df = n – k Dimana:
df = degree of freedom/ derajad kebebasan n = Jumlah sampel
k = banyaknya koefisien regresi + konstanta
3. Menentukan daerah keputusan, yaitu daerah dimana hipotesa nol diterima atau tidak.
Untuk mengetahui kebenaran hipotesis digunakan kriteria sebagai berikut. Ho diterima apabila –t (α / 2; n – k) ≤ t hitung ≤ t (α / 2; n – k), artinya tidak ada pengaruh antara variabel bebas terhadap variabel terikat.
4. Menentukan uji statistik (Rule of the test)
5. Mengambil keputusan
Keputusan bisa menolak Ho atau menolak Ho menerima Ha.
Nilai t tabel yang diperoleh dibandingkan nilai t hitung, bila t hitung lebih besar dari t tabel, maka Ho ditolak, sehingga dapat disimpulkan bahwa variabel independent berpengaruh pada variabel dependent.
Apabila t hitung lebih kecil dari t tabel, maka Ho diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa variabel independen tidak berpengaruh terhadap variabel dependen.
Pengujian Hipotesis Distribusi F Pada Model Regresi Berganda
Tabel F dilakukan untuk mengetahui pengaruh variabel bebas secara bersama-sama terhadap variabel terikat.
Langkah-langkah/ urutan menguji hipotesa dengan distribusi F
1. Merumuskan hipotesa
Ho : β1 = β2 = β3 = β4 = 0, berarti secara bersama-sama tidak ada pengaruh
variabel bebas terhadap variabel terikat.
Ha : β1 ≠ β2 ≠ β3 ≠ β4 ≠ 0, berarti secara bersama-sama ada pengaruh variabel
bebas terhadap variabel terikat.
2. Menentukan taraf nyata/ level of significance = α
Taraf nyata / derajad keyakinan yang digunakan sebesar α = 1%, 5%, 10%. Derajat bebas (df) dalam distribusi F ada dua, yaitu :
df numerator = dfn = df1 = k – 1
df denumerator = dfd = df2 = n – k
Dimana:
k = banyaknya koefisien regresi
3. Menentukan daerah keputusan, yaitu daerah dimana hipotesa nol diterima atau tidak
Ho diterima apabila F hitung ≤ F tabel, artinya semua variabel bebas secara bersama-sama bukan merupakan variabel penjelas yang signifikan terhadap variabel terikat.
Ho ditolak apabila F hitung > F tabel, artinya semua variabel bebas secara bersama-sama merupakan penjelas yang signifikan terhadap variabel terikat. 4. Menentukan uji statistic nilai F
Bentuk distribusi F selalu bernilai positif
5. Mengambil keputusan
Keputusan bisa menolak Ho atau menolak Ho menerima Ha.
Nilai F tabel yang diperoleh dibanding dengan nilai F hitung apabila F hitung lebih besar dari F tabel, maka ditolak sehingga dapat disimpulkan bahwa ada pengaruh yang signifikan antara variabel independen dengan variabel dependen.
Data ini merupakan sebagian kecil hasil penelitian terhadap kepuasan kerja pegawai di salah satu Provinsi di Jawa. Instrumen di susun dengan menggunakan skala interval 1 s/d 4, dimana skor 1 berarti sangat tidak puas, 2 tidak puas, 3 puas, 4 sangat puas berdasarkan 1055
responden
TABEL
RANGKING KUALITAS KINERJA APARATUR No Aspek Kepuasan Kerja Tingkat Kepuasan
1.
Sumber data: biro kepegawaian
CONTOH TABEL DATA NOMINAL
Telah dilakukan pengumpulan data untuk mengetahui komposisi pegawai di PT. Lodaya. Berdasarkan study dokumentasi diperoleh:
Di Bagian Keuangan: jumlah pegawai yang lulus S1 = 25 orang, Sarjana Muda = 90 orang. SMU = 45 orang, SMK = 156 orang, SMP = 12 orang, dan SD = 3 orang.
Di Bagian Umum: jumlah pegawai yang lulus S1 = 5 orang, Sarjana Muda = 6 orang, SMU = 6 orang, SMK = 8 orang, SMP = 4 orang, dan SD = 1 orang
Di bagian Penjualan : jumlah pegawai yang lulus S1 = 7 orang, SMK = 65 orang, SMP = 37 orang, SD = 5 orang
Di Bagian Litbang : jumlah pegawai yang lulus S3 = 1 orang, S2 = 8 orang, S1 = 35 orang.
Berdasarkan data mentah tersebut, maka dapat disusun ke dalam table seperti ditunjukkan pada table berikut.
Judul Tabel aadalah KOMPOSISI PENDIDIKAN PEGAWAI DI PT. LODAYA. Pada Tabel tersebut isi kolomnya adalah No, Bagian, Tingkat Pendidikan dan jumlah.
KOMPOSISI PENDIDIKAN PEGAWAI DI PT. LODAYA
No Bagian Tingkat Pendidikan Jumlah
S3 S2 S1 SM SMU SMK SMP SD
Contoh data dengan grafik/diagram
Terdapat beberapa jenis grafik yaitu : Grafik garis (line chart)
Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda.
Grafik batang / balok (bar chart)
Grafik batang pada dasarnya sama fugsinya dengan grafik garis yaitu untuk menggambarkan data berkala. Grafik batang juga terdiri dari grafik batang tunggal dan grafik batang ganda.
Contoh Statistik
1. Mean
a. Data tunggal
1) Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7, 6, 3, 4, 8, 8! Penyelesaian:
X = 7, 6, 3, 4, 8, 8 N = 6
∑X = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36
Hitunglah rata-rata hitung dari nilai 3, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 4, 3, 6, 1!
Penyelesaian:
Angka 3 keluar sebanyak 3 kali, maka x1 = 3, ƒ1 = 3
Angka 4 keluar sebanyak 3 kali, maka x2 = 4, ƒ2 = 3
Angka 2 keluar sebanyak 2 kali, maka x3 = 2, ƒ3 = 2
Angka 5 keluar sebanyak 2 kali, maka x4 = 5, ƒ4 = 2
Angka 1 keluar sebanyak 3 kali, maka x5 = 1, ƒ5 = 3
∑ƒX = 3 x 3 + 3 x 4 + 2 x 2 + 2 x 5 + 3 x 1 + 2 x 6 = 50 ∑ƒ = 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 = 15
2) Rata-rata nilai statistik 40 mahasiswa adalah 77,1 kemudian masuk lagi seorang mahasiswa sehingga nilai rata-rata menjadi 77,5. Berapakah nilai statistik mahasiswa yang baru masuk?
Penyelesaian:
ƒ1 = 40, m1 = 77,1
ƒ2 = 1, m2 = . . .
χ = 77,5
77,5 x 41 = 3.084 + m2
m2 = 3.177,5 – 3.084 = 93,5
Jadi, nilai statistik mahasiswa yang baru masuk tersebut adalah 93,5.
b. Rata-rata hitung (mean) Data berkelompok
1) Metode biasa
Contoh soal:
Tentukan rata-rata hitung dari tabel berikut!
TABEL 3.1 BERAT BADAN 100 ORANG MAHASISWA UNIVERSITAS BOROBUDUR TAHUN 1997
Berat badan (kg) Banyaknya mahasiswa (ƒ)
63-65
Jumlah - 100 6.718
2) Metode simpangan rata-rata
Contoh soal:
3) Metode coding Contoh soal:
Tentukan rata-rata hitung (mean) dari TABEL 3.1 di atas dengan menggunakan metode coding!
a. Median data tunggal Contoh soal:
Tentukan median dari data berikut!
- 11, 5, 7, , 4, 8, 14, 9, 12 Penyelesaian:
- Urutan data 4, 3, 2, 6, 7, 5, 8
Jumlah data (n) = 7 (ganjil)
b. Median data berkelompok Contoh soal!
Tentukan median dari distribusi frekuensi berikut! Tabel 3.2 diameter dari 40 buah pipa
Diameter pipa (mm) Frekuensi (f)
65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82
2 5 13 14 4 2
Penyelesaian:
Jumlah frekuensi (n) = 40 dan ½ n = 20
Kelas median adalah (∑ƒ2)o ≥ ½ n
ƒ1 + ƒ2 + ƒ2 = 20 ≥ 20
Jadi, kelas median adalah kelas ke-3
B = 70,5
(∑ƒ2)o = 7
C = 3
3. Modus
a. Modus data tunggal
Tentukan modus dari data berikut! 1. 1, 4, 7, 8, 9, 9, 11
2. 1, 4, 7, 8, 9, 11, 13 3. 1, 2, 4, 4, 7, 9, 11, 11, 13 4. 1, 1, 3, 3, 7, 7, 12, 12, 14, 15 Penyelesaian:
1. Modus = 9
2. Modus = tidak ada 3. Modus = 4 dan 11 4. Modus = 1, 3, 7, dan 12
b. Modus data berkelompok Contoh soal!
Tentukan modus dari distribusi frekuensi pada Tabel 3.1 diatas! Penyelesaian:
Dari TABEL 3.1 diketahui bahwa kelas modus adalah kelas ke-3.
L = 65,5
d1 = 32 – 25 = 7
d2 = 32 – 15 = 17
