Gambar 1.1 BAB II LANDASAN TEORI

Gambar 1.1

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas Dasar

Andrei Kolgomorov (1903-1987) meletakkan landasan matematis teori peobabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara. Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik dan dinamika nonlinear.

Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi peluang permainan, pada pengambilan kartu dari satu set kartu atau permainan dadu. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan Pierre de Fermat dalam menentukan peluang dari suatu permainan. Sejak kolaborasi tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga abad

ke-18, ketika Pierre de Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar probabilitas terhadap masalah fisis lainnya.

Beberapa definisi dan aksioma yang akan digunakan dalam hal ini berkaitan dengan peristiwa dan probabilitas acak.

Definisi 2.1

Eksperimen adalah suatu proses yang hasil dari keluarannya tidak diketahui secara pasti di mana eksperimen tersebut diasumsikan dapat di ulang dalam suatu waktu dan dibawah kondisi yang identik. Setiap pengulangan disebut sebagai repetisi. Eksperimen acak memenuhi tiga keadaan berikut:

a) Himpunan seluruh keluaran tidak diketahui pasti dalam tiap percobaan. b) Dalam kedaan khusus, tidak diketahui keluaran mana yang akan terjadi. c) Eksperimen dapat diulang dengan keadaan yang mirip.

2.2 Peubah Acak

Suatu eksperimen memuat sejumlah karakteristik yang terukur. Tetapi peneliti pada umumnya berkonsentrasi pada beberapa karakteristik tertentu pada suatu eksperimen. Apakah pada nilai karakteristik di sekitar pusat data atau pada penyebaran data. Pengelompokan keluaran suatu eksperimen diwakili oleh bilangan sederhana bertujuan untuk memudahkan deskripsi. Deskripsi tersebut diperlukan, tetapi di lain kasus hal itu berguna untuk menyatakan suatu bilangan sebagai perwakilan suatu keluaran di ruang sample.

Definisi 2.2

Peubah acak adalah seluruh nilai bernilai riil yang tiap-tiap nilainya diasosiasikan dengan keluaran dari suatu eksperimen acak.

2.2.1 Peubah Acak Diskrit

Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak 𝑋𝑋 adalah suatu himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa, 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 atau 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, … sehingga X disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak diskrit 𝑋𝑋, didefinisikan fungsi massa peluang 𝑃𝑃_𝑥𝑥(𝑥𝑥) sebagai:

𝑃𝑃𝑥𝑥(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 =

𝑥𝑥) 2.

Fungsi massa peluang 𝑃𝑃(𝑥𝑥) bernilai positif , untuk sejumlah nilai 𝑥𝑥 tercacah. Dengan kata lain, jika 𝑋𝑋 mengambil salah satu dari nilai𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … maka peubah acak diskrit X dengan nilai yang mungkin 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂, 𝑥𝑥₃, … , 𝑥𝑥_𝑛𝑛 fungsi massa peluang adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut:

1). 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖) ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1,2, … 2). � 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 3). 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖)

2.2.2 Peubah Acak Kontinu

Definisi 2.5

Suatu peubah acak 𝑋𝑋 berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi 𝑓𝑓 taknegatif, terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil (berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa X yang berada pada interval tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh, keadaan yang menggambarkan definisi diatas, dengan batas dalam interval tertutup [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏) = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎𝑏𝑏 Berimplikasi pada:

𝑃𝑃(𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎) = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dan _𝑎𝑎∞ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏) =

∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_−∞𝑏𝑏 2.2

Berdasarkan karakteristik f distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah acak kontinu. Fungsi kepadatan peluang 𝑓𝑓 dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi probabibilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval memuat kemiripan nilai X, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Memenuhi ketiga kaidah berikut:

1). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0 2). � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 ∞ −∞ 3). 𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑎𝑎

Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak 𝑋𝑋 dalam bentuk kurva. Ketika 𝑋𝑋 merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut distribusi probablitas 𝑋𝑋.

Jika 𝑋𝑋 adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai 𝑛𝑛1, 𝑛𝑛2, …

maka daftar

distribusi probabilitas berkaitan dengan

𝑋𝑋 = 𝑛𝑛₁, 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛₂, …. Jumlah seluruh

probabilitas selalu sama dengan 1.

Ingat bahwa 𝑋𝑋 merupakan variabel acak, sedangkan 𝑥𝑥 merupakan nilai spesifik dari variabel acak 𝑋𝑋. Berakibat jika 𝑥𝑥 = 2 maka probabilitas 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) berarti 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2), probabilitas bahwa 𝑋𝑋 adalah 2. Hal yang sama jika 𝑌𝑌 merupakan peubah acak maka 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 𝑦𝑦) probabilitas 𝑌𝑌 dengan nilai khusus 𝑦𝑦.

2.3 Ekspektasi dan Varians 2.3.1 Ekspektasi

Dalam suatu pengukuran eksperimen, hasil pengukuran eksperimen seringkali menghasilkan variasi. Ukuran-ukuran yang menggambarkan karakteristik sampel berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara sederhana karakteristik tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih dikenal dengan mean. Secara matematis dinyatakan oleh formula berikut:

1). Peubah acak diskrit 𝜇𝜇𝑥𝑥 = 𝐸𝐸[𝑋𝑋]

= � 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑖𝑖) 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

2.3 2). Peubah acak kontinu

𝜇𝜇𝑥𝑥 = 𝐸𝐸[𝑋𝑋] = � 𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

∞ −∞

2.4

Sifat-sifat nilai ekspektasi 1. 𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏 2. 𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑋𝑋 + 𝑏𝑏] = 𝑎𝑎𝐸𝐸[𝑋𝑋] + 𝑏𝑏 3. 𝐸𝐸[𝑋𝑋₁+ ⋯ + 𝑋𝑋_𝑛𝑛] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋1] + ⋯ + 𝐸𝐸[𝑋𝑋_𝑛𝑛] 4. 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋, 𝑌𝑌) ± h(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)] = 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)] ± E[h(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)] 5. 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋)] ± E[h(𝑋𝑋)] 6. 𝐸𝐸(𝑋𝑋. 𝑌𝑌) = 𝐸𝐸(𝑋𝑋) E(𝑌𝑌) Bukti sifat 1.

Pada peubah acak kontinu berlaku; 𝐸𝐸[𝑋𝑋] = � 𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

∞ −∞ 𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏

Sustitusi 𝑋𝑋 = 𝑏𝑏 maka 𝐸𝐸[𝑏𝑏] = ∫ 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_−∞∞ , karena b merupakan konstanta berlaku

𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ = 1 𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏 Bukti sifat 5. 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋)] ± E[h(𝑋𝑋)] 𝐸𝐸[𝑋𝑋] = � 𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ Substitusi Y = 𝑙𝑙(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋) 𝐸𝐸[𝑌𝑌] = � 𝑌𝑌𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ = �[ 𝑙𝑙(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ Berlaku 𝐸𝐸[𝑌𝑌] = � 𝑙𝑙[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ± � ℎ[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ ∞ −∞ 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = � 𝑙𝑙[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ± � ℎ[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ ∞ −∞ 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑙𝑙(𝑋𝑋)] ± 𝐸𝐸[ℎ(𝑋𝑋)] 2.3.2 Varians.

Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas sampel yang berhubungan dengan populasi dinyatakan didefinisikan oleh Var[X] = 𝐸𝐸[(𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2_{], secara jelas diperlihatkan oleh:}

1). Variabel acak diskrit

𝜎𝜎2

𝑥𝑥 = Var[X] = � (𝑋𝑋 𝑛𝑛 𝑖𝑖=10

− 𝜇𝜇)2_{𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖) 2.5} 2). Variabel acak kontinu

𝜎𝜎2

𝑥𝑥 = Var[X] = �(𝑋𝑋

∞

−∞

− 𝜇𝜇)2_{𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 2.6} Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut

Var[X] = 𝐸𝐸[(𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2_] Var[X] = �(𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2_{𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ −∞ = �(𝑋𝑋2_{− 2𝑋𝑋𝜇𝜇 + 𝜇𝜇}2_{)𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ −∞ = � 𝑋𝑋2_{𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2𝜇𝜇 � 𝑋𝑋𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝜇𝜇}2 _{� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ Var[X] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋2_{] − 2𝜇𝜇𝐸𝐸[𝑋𝑋] + 𝜇𝜇}2 Karena 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸[X] maka diperoleh:

Var[X] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋2_{] − (𝐸𝐸[X])}2 _2.7 Sifat-sifat varians: 1. Var[c] = 0 2. Var[𝑐𝑐X] = 𝑐𝑐2 Var[X] 3. Var[X + c] = Var[X]

4. Var[X₁+ ⋯ + X_𝑛𝑛] = Var[X1] + ⋯ + Var[X𝑛𝑛]

2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus Definisi 2.4

Jika 𝑓𝑓 adalah sebuah fungsi dan 𝑐𝑐 merupakan satu titik interior pada domain 𝑓𝑓. Jika 𝑓𝑓 memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di 𝑐𝑐, maka

𝑓𝑓′_{(𝑐𝑐) = 0 atau 𝑓𝑓}′_{(𝑐𝑐) tidak ada}

2.8

Teknik pengintegralan parsial 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥[𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑙𝑙(𝑥𝑥)] = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑙𝑙′_(𝑥𝑥) + 𝑙𝑙(𝑥𝑥)𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) 2.9} Misalkan 𝑢𝑢 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dan 𝑣𝑣 = 𝑙𝑙(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) dan 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑙𝑙′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 Persamaan 2.9 menjadi _{𝑑𝑑𝑥𝑥}𝑑𝑑 [𝑢𝑢𝑣𝑣] = 𝑢𝑢′_𝑣𝑣 + 𝑢𝑢𝑣𝑣′ Perhatikan persamaan (2.9) untuk memperoleh formula integral parsial, ruas kiri dan kanan dilakukan pengintegralan, sehingga diperoleh:

�_{𝑑𝑑𝑥𝑥}𝑑𝑑 [𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑙𝑙(𝑥𝑥)] = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑙𝑙′_{(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑙𝑙(𝑥𝑥)𝑓𝑓}′_{(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥} � 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥)𝑙𝑙(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑙𝑙(𝑥𝑥)𝑓𝑓}′_{(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑙𝑙(𝑥𝑥)}

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑙𝑙′_{(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑙𝑙(𝑥𝑥)}

� 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑣𝑣

= 𝑢𝑢𝑣𝑣 − � 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢 2.10 Definisi improper integral tipe-I

(a) Jika ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎𝑘𝑘 ada untuk setiap bilangan 𝑘𝑘 ≥ 𝑎𝑎, maka; � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥∞

𝑎𝑎

= lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑘𝑘

𝑎𝑎 Menyatakan bahwa limit tersebut eksis.

(b) Jika ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑘𝑘𝑏𝑏 eksis untuk setiap bilangan 𝑘𝑘 ≤ 𝑏𝑏, maka � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

−∞

= lim_{𝑘𝑘→−∞}� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑘𝑘

Menyatakan limit tersebut eksis

Improper integral ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎∞ dan ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_−∞𝑏𝑏 dikatakan konvergen jika limit yang dikaitkan ada dan divergen jika limitnya tidak ada.

(c) Jika ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎∞ dan ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥_−∞𝑎𝑎 konvergen, maka didefinisikan: � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎 −∞ ∞ −∞ + � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥∞ 𝑎𝑎

2.4.1 Distribusi dan Fungsi Gamma

Andaikan suatu peristiwa Poisson terjadi dengan konstanta rate 𝜆𝜆 per unit waktu. Misalkan variabel acak X menyatakann sebagai waktu tunggu kejadian ke − 𝑟𝑟. Maka X memiliki pdf 𝑓𝑓_𝑥𝑥(𝑥𝑥), di mana

𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆

𝑟𝑟

(𝑟𝑟−1)!𝑥𝑥𝑟𝑟−1𝑒𝑒−𝑥𝑥 ,

𝑥𝑥 > 0 2.10 Bukti

Pembuktian formula untuk 𝑓𝑓_𝑥𝑥(𝑥𝑥) dilakukan dengan mendifferensialkan fungsi kumulatif, 𝐹𝐹𝑥𝑥(𝑥𝑥). Misalkan 𝑋𝑋 sebagai waktu tunggu peristiwa ke-r. Maka,

𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) = 1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋 > 𝑥𝑥)

= 1 − (sedikitnya ada 𝑟𝑟 kejadian terjadi pada interval [0, 𝑥𝑥]) 𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) = 1 − � 𝑒𝑒−(𝜆𝜆𝑥𝑥 )(𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑟𝑟−1 𝑘𝑘=0 2.11 Untuk memperoleh fungsi padat peluannya maka fungsi kumulatif pada kejadian yang berlangsung dalam interval [0, x] adalah variabel acak Poisson dengan parameter λx, diturunkan terhadap x, diperoleh fungsi padat peluang sebagai berikut 𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹′𝑥𝑥(𝑥𝑥) =_{𝑑𝑑𝑦𝑦 �1}𝑑𝑑 − � 𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥(𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑟𝑟−1 𝑘𝑘=0 � 2.12 Berdasarkan aturan differensial dari perkalian dua buah fungsi pada persamaan (2.9), misalkan 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥_{, 𝑣𝑣 =} (𝜆𝜆𝑥𝑥 )𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥) = ��� 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥(𝜆𝜆𝑥𝑥) 𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑟𝑟−1 𝑘𝑘=0 � − �� 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑘𝑘−1 (𝑘𝑘 − 1)! 𝑟𝑟−1 𝑘𝑘=0 �� = � �𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥(𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑘𝑘 𝑘𝑘! � − � �𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑘𝑘−1 (𝑘𝑘 − 1)!� 𝑟𝑟−1 𝑘𝑘=1 𝑟𝑟−1 𝑘𝑘=0 = ���� 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥(𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑟𝑟−2 𝑘𝑘=0 � + �𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑟𝑟−1 (𝑟𝑟 − 1)!�� − �� 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑟𝑟−2 𝑘𝑘=0 �� = ���∑ 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥 )𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑟𝑟−2 𝑘𝑘=0 � + �𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥 ) 𝑟𝑟−1 (𝑟𝑟−1)!�� − �∑ 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥 ) 𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑟𝑟−2 𝑘𝑘=0 �� = �𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 (𝜆𝜆𝑥𝑥)𝑟𝑟−1 (𝑟𝑟 − 1)!�

=𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥_{(𝑟𝑟 − 1)!}(𝜆𝜆)𝑟𝑟−1(𝑥𝑥)𝑟𝑟−1 =(𝜆𝜆)𝑟𝑟−1+1_{(𝑟𝑟 − 1)!}(𝑥𝑥)𝑟𝑟−1𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆 𝑟𝑟 (𝑟𝑟 − 1)! 𝑥𝑥𝑟𝑟−1𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 > 0 Definisi 2.5

Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, peubah acak X dikatakan sebagai fungsi gamma pdf dengan parameter r dan λ jika:

𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆 𝑟𝑟 (𝑟𝑟 − 1)! 𝑥𝑥𝑟𝑟−1𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 > 0 atau 𝐺𝐺(𝑥𝑥: 𝑟𝑟, 𝜆𝜆) = 𝜆𝜆𝑟𝑟 Γ(𝑟𝑟) 𝑥𝑥𝑟𝑟−1𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 > 0 Fungsi Gamma Γ(𝑟𝑟) = � 𝑥𝑥𝑟𝑟−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 2.13

Beberapa pembuktian fungsi gamma untuk membantu penurunan rumus dalam distribusi gamma. Mula-mula akan dicari nilai dari Γ �1

2�, substitusi nilai 𝑟𝑟 = 1 2 ke pers. (2.13) Γ �1_{2� = � 𝑥𝑥}12−1𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ 0 Γ �1 2� = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥−12𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 2.14

Fungsi diatas dijadikan kedalam bentuk polar, maka pertama-tama misalkan sebagai berikut: Substitusi 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢2 →𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑢𝑢 ke persamaan (2.14) Γ �1_{2� = lim𝑘𝑘→∞}�(𝑢𝑢2_{)−12𝑒𝑒}−𝑢𝑢21 2 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑘𝑘 0

Γ �1_{2� = lim𝑘𝑘→∞}� 𝑢𝑢−1_𝑒𝑒−𝑢𝑢21 2 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑘𝑘 0 =1_{2 lim𝑘𝑘→∞}� 𝑒𝑒−𝑢𝑢2_{𝑑𝑑𝑢𝑢} 𝑘𝑘 0 𝐼𝐼2 _{= � 𝑒𝑒}−𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑢𝑢 � 𝑒𝑒−𝑣𝑣2 𝑑𝑑𝑣𝑣 = � �� 𝑒𝑒−𝑢𝑢2_−𝑣𝑣2 𝑑𝑑𝑢𝑢 ∞ 0 � 𝑑𝑑𝑣𝑣 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0 𝐼𝐼2 _{= � � 𝑒𝑒}−𝑟𝑟2 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 ∞ 0 2𝜋𝜋 0 = � 𝑑𝑑𝑟𝑟 � 𝑒𝑒 −𝑟𝑟2 2𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 ∞ 0 2𝜋𝜋 0 = 4π Γ �1_{2� = lim𝑘𝑘→∞}� 𝑢𝑢−1_𝑒𝑒−𝑢𝑢21 2 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑘𝑘 0 =1_{2 lim𝑘𝑘→∞}� 𝑒𝑒−𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑘𝑘 0 =1_{2 �2√𝜋𝜋�} Dihasilkan Γ �1 2� = √𝜋𝜋

Substitusi 𝑟𝑟 = 1 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(1) = � 𝑥𝑥1−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 = � 𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = lim_{𝑘𝑘→∞}�−𝑒𝑒−𝑥𝑥_| 0 𝑘𝑘_{� = lim} 𝑘𝑘→∞{(−𝑒𝑒 −𝑘𝑘_{) − (−𝑒𝑒}−0_)} = −_𝑒𝑒1_∞+ 𝑒𝑒0 = 0 + 1 = 1 Dihasilkan Γ(1) = 1

Substitusi 𝑟𝑟 = 2 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(2) = � 𝑥𝑥2−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥}

∞ 0

Γ (2) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = lim_{𝑘𝑘→∞}− 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_{+ lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑒𝑒 −𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = lim_{𝑘𝑘→∞}�−𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_| 0 𝑘𝑘_{� + lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑒𝑒 −𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = 1 Γ(2) = (−∞𝑒𝑒−∞_{+ 0𝑒𝑒}0_{) + lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑒𝑒 −𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = (0 + 0) + 1 Γ(2 ) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 Diperoleh nilai Γ(2) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 = 1

Substitusi 𝑟𝑟 = 3 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(3) = � 𝑥𝑥3−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 Γ(3) = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥2_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = − lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥2_{𝑑𝑑𝑒𝑒}−𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 = − lim_{𝑘𝑘→∞}𝑥𝑥2_𝑒𝑒−𝑥𝑥 _{+ 2 lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0

Γ(3) = − lim_{𝑘𝑘→∞}�𝑥𝑥2_𝑒𝑒−𝑥𝑥_| 0 𝑘𝑘_{� + lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 Γ(3) = −{(∞2_𝑒𝑒−∞_{) − (0}2_𝑒𝑒−0_{)} + 2 lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 Γ(3) = (0 + 0) + 2 lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 Γ(2) = ∫ 𝑥𝑥𝑒𝑒∞ −𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 0 = 1 maka Γ(3) = 2 � 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 Γ(3) = 2Γ(2) Γ(3) = 2 Diperoleh Γ(3) = � 𝑥𝑥3−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 = 2

Substitusi 𝑟𝑟 = 4 ke pers (2.13) diperoleh: Γ(4) = � 𝑥𝑥4−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 Γ(4) = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 Γ(4) = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = − lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥3_{𝑑𝑑𝑒𝑒}−𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 = − lim_{𝑘𝑘→∞}𝑥𝑥3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_|0𝑘𝑘_{+ 3 lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥 2_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = −lim_{𝑘𝑘→∞}𝑥𝑥3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_|0𝑘𝑘 _{+ 3 lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥2𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 = lim_{𝑘𝑘→∞}(−𝑘𝑘3_𝑒𝑒−𝑘𝑘 _{+ 0}3_𝑒𝑒−0_{) + 3 lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥2𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑘𝑘 0

= −∞3_𝑒𝑒−∞ _{+ 0}3_𝑒𝑒−0 _{+ 3 lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥2𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 = (0 + 0) + 3 lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥2_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 Γ(4) = (0 + 0) + 3Γ(3) Γ(4) = 6 Diperoleh Γ(4) = � 𝑥𝑥4−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 = 6

Akan dicari formula ke-r untuk fungsi gamma sebagai berikut: 𝚪𝚪(𝒓𝒓) = � 𝒙𝒙𝒓𝒓−𝟏𝟏_𝒆𝒆−𝒙𝒙_{𝒅𝒅𝒙𝒙} ∞ 𝟎𝟎 Γ(𝑟𝑟) = lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 = − lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−1_{𝑑𝑑𝑒𝑒}−𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 Γ(𝑟𝑟) = − lim_{𝑘𝑘→∞}𝑥𝑥𝑟𝑟−1_𝑒𝑒−𝑥𝑥_| 0 𝑘𝑘 _{+ lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑒𝑒 −𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥}𝑟𝑟−1 𝑘𝑘 0 = −∞𝑟𝑟−1_𝑒𝑒−∞_{+ 0}𝑟𝑟−1_𝑒𝑒0_{+ (𝑟𝑟 − 1) � 𝑥𝑥}𝑟𝑟−2_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 Γ(𝑟𝑟) = 0 + 0 + (𝑟𝑟 − 1) lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−2_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−2_{𝑑𝑑𝑒𝑒}−𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) � lim_{𝑘𝑘→∞}𝑥𝑥𝑟𝑟−2_𝑒𝑒−𝑥𝑥_| 0 𝑘𝑘 _{− (𝑟𝑟 − 2) lim} 𝑘𝑘→∞� 𝑥𝑥 𝑟𝑟−3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 �

Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) �(∞𝑟𝑟−2_𝑒𝑒−∞_{) − (0}𝑟𝑟−2_𝑒𝑒−0₎ − (𝑟𝑟 − 2) lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) �0 − 0 − (𝑟𝑟 − 2) lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) � lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) � lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−3_{𝑑𝑑𝑒𝑒}−𝑥𝑥 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �lim⁡_{𝑘𝑘→∞}𝑥𝑥𝑟𝑟−3_𝑒𝑒−𝑥𝑥_| 0 𝑘𝑘 _{− (𝑟𝑟} − 3) lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−4_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �(∞𝑟𝑟−3_𝑒𝑒−∞_{) − (0}𝑟𝑟−3_𝑒𝑒−0_{) − (𝑟𝑟} − 3) lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−4_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �0 − 0 − (𝑟𝑟 − 3) lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−4_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) � lim_{𝑘𝑘→∞}� 𝑥𝑥𝑟𝑟−4_𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} 𝑘𝑘 0 � Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) �� 𝑥𝑥(𝑟𝑟−3)−1𝑒𝑒−𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥} ∞ 0 �

Pada persamaan terakhir diketahui bahwa nilai terakhir adalah perkalian berulang menurun maka untuk nilai 𝑟𝑟 > 1 maka gamma 𝑟𝑟 menjadi:

Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3){Γ(𝑟𝑟 − 3)} Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)Γ(𝑟𝑟 − 1) Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) … 3.2.1 Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)!, di mana 𝑟𝑟 > 1 Γ(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥Γ(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥! Γ(𝑥𝑥) =Γ(𝑥𝑥 + 1)_𝑥𝑥 Γ(𝑥𝑥) =_{𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 > 0}Γ(𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) 𝑥𝑥! =_{(𝑥𝑥 + 1)}(𝑥𝑥 + 𝑛𝑛)! 𝑛𝑛 di mana (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) untuk 𝑛𝑛 > 0 𝑥𝑥! =𝑛𝑛! (𝑛𝑛 + 1)_{(𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛}𝑥𝑥 =_{(𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛}𝑛𝑛! 𝑛𝑛𝑥𝑥 (𝑛𝑛 + 1)_{𝑛𝑛𝑥𝑥} 𝑥𝑥 lim 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛! 𝑛𝑛𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛 = lim𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛! 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) Diperoleh identitas Γ(𝑥𝑥) = lim_{𝑛𝑛→∞𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)}𝑛𝑛! 𝑛𝑛𝑥𝑥 Identitas Weierstrass 𝑛𝑛! 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) = 𝑒𝑒𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑛𝑛 (𝑛𝑛)−1−12−13−⋯−𝑛𝑛�1 1 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥1 1 + 𝑥𝑥/1 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 + 𝑥𝑥/2 ⋯ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑛𝑛 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛

lim 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛! 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) = lim_{𝑛𝑛→∞}𝑒𝑒𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑛𝑛 (𝑛𝑛)−1−12−13−⋯−1𝑛𝑛�1 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥1 1 + 𝑥𝑥/1 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 + 𝑥𝑥/2 ⋯ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑛𝑛 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛 Γ(𝑥𝑥) = lim_{𝑛𝑛→∞}𝑒𝑒𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑛𝑛)−1−12−13−⋯−𝑛𝑛�1 1 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥1 1 + 𝑥𝑥/1 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 + 𝑥𝑥/2 ⋯ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑛𝑛 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛 Γ(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒−𝛾𝛾𝑥𝑥1 𝑥𝑥 lim𝑛𝑛→+∞� 𝑒𝑒𝑥𝑥/𝑘𝑘 1 + 𝑥𝑥/𝑘𝑘 𝑘𝑘=𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 Γ(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒−𝛾𝛾𝑥𝑥1 𝑥𝑥 � 𝑒𝑒𝑥𝑥/𝑛𝑛 1 + 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1

Kedua ruas dilogaritmakan diperoleh

𝑙𝑙𝑛𝑛{Γ(𝑥𝑥)} = −log(𝑥𝑥) − γ𝑥𝑥 + � �𝑥𝑥_{𝑝𝑝 − 𝑙𝑙𝑛𝑛 �1 +}𝑥𝑥_{𝑝𝑝��} ∞

𝑝𝑝=1

Berdasarkan persamaan terakhir diperoleh 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖 atau 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑛𝑛𝑙𝑙𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑙𝑙𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 yang dinotasikan oleh ψ(𝑥𝑥) untuk suatu bilangan bulat tak nol atau negatif dinyatakan dalam turunan logaritma Γ(𝑥𝑥)

ψ(x) =_{𝑑𝑑𝑥𝑥}𝑑𝑑 {log⁡[Γ(𝑥𝑥)]} ψ(x) =Γ′(𝑥𝑥)_{Γ(𝑥𝑥) = −γ −}1_{𝑥𝑥 + �}1_{𝑝𝑝 −𝑥𝑥 + 𝑝𝑝}1 ∞ 𝑝𝑝=1 Γ′(𝑥𝑥) Γ(𝑥𝑥) = −γ + � 1 𝑝𝑝 − 1 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 − 1 ∞ 𝑝𝑝=1 𝑥𝑥 ≠ 0, 1, 2, … 𝛾𝛾 = lim_{𝑝𝑝→∞}�1 +1_{2 + ⋯ +}1_{𝑝𝑝 − log⁡(𝑝𝑝)� = 0.5772156649 …} 2.5 Estimasi

Estimator dalah kuantitas yang didasarkan dari observasi sampel yang nilainya diambil

sebagai indikator dari nilai parameter populasi yang tidak diketahui (sebagai contoh, rata-rata

sampel 𝑥𝑥̅ sering digunakan sebagai estimator dari mean populasi yang tidak diketahui 𝜇𝜇) semakin lama semakin besar. Peubah acak dalam bentuk fungsi massa atau padat peluang adalah diketahui, tetapi distribusi bergantung pada

parameter tak diketahui yang memiliki nilai dalam himpunan yang disebut ruang parameter.

Dalam estimasi, sampel acak diambil dari distribusi untuk memperoleh beberapa informasi dari parameter tak diketahui. Dilakukan perulangan sebanyak 𝑛𝑛 eksperimen independen, sampel observasi 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 dan lakukan pendugaan nilai parameter menggunakan observasi 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛. Fungsi 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 digunakan menduga nilai parameter, statistik 𝑢𝑢(𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛) disebut sebagai penduga parameter yang dicari. Perhitungan 𝑢𝑢(𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂, … , 𝑥𝑥_𝑛𝑛) dilakukan mendekati nilai parameter sebenarnya. Karakteristik populasi oleh bilangan tunggal berdasarkan pada sampel data dan mewakili nilai yang menggambarkan karakteristik populasi disebut dugaan titik.

2.5.1 Moments Estimator (MMes)

Definisi 2.9

Secara sederhana estimasi 𝑘𝑘 parameter berdasarkan metode momen adalah dengan menyamakan momen populasi dengan momen sampel yang bersesuaian, dituliskan oleh: � 𝜇𝜇1 = 𝑑𝑑1 𝜇𝜇2 = 𝑑𝑑2 ⋮ 𝜇𝜇𝑘𝑘 = 𝑑𝑑𝑘𝑘

Persamaan di sisi sebelah kiri bergantung kepada distribusi parameternya. Persamaan di sisi sebelah kanan dapat dihiting berdasarkan data yang digunakan. Momen populasi ke − 𝑘𝑘 didefinisikan sebagai

𝜇𝜇𝑘𝑘 = E(𝑋𝑋𝑘𝑘) Momen sampel ke − 𝑘𝑘 disefinisikan oleh:

𝑑𝑑𝑘𝑘 = 1_{n � 𝑋𝑋}𝑖𝑖𝑘𝑘 n i=1

Mengestimasi 𝜇𝜇_𝑘𝑘 dari sampel (𝑋𝑋1, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛). Momen sampel pertama adalah mean sampel 𝑋𝑋

Misalkan 𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛 adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑓_𝑥𝑥(𝑥𝑥) merupakan fungsi padat peluang dengan 𝑘𝑘 parameter tidak diketahui, 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘. Momen 𝑘𝑘 pertama peubah 𝑋𝑋, jika ada diberikan oleh integral berikut:

𝐸𝐸�𝑋𝑋𝑗𝑗_{� = � 𝑥𝑥}∞ 𝑗𝑗

−∞ 𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘)𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑘𝑘

Momen sampel ke − 𝑗𝑗 merupakan aproksimasi terhadap moment teoretis ke − 𝑗𝑗.

Metode momen mengestimasi parameter tidak diketahui 𝑟𝑟�1, 𝑟𝑟�2, … dan 𝑟𝑟�𝑘𝑘 terhadap model yang parameternya tidak diketahui adalah

penyelesaian dari 𝑛𝑛 persamaan simultan

� 𝑥𝑥𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �_𝑛𝑛�1 ∞ −∞ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 𝑥𝑥2_𝑓𝑓 𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �_𝑛𝑛�1 ∞ −∞ � 𝑥𝑥𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ⋮ ⋮ � 𝑥𝑥𝑛𝑛_𝑓𝑓 𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �1_𝑛𝑛� ∞ −∞ � 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

Peubah acak diskrit dengan pmf 𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑥𝑥: 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘 ) metode momen mengestimasi penyelesaian persamaan simultan

� 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑥𝑥

𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑥𝑥: 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘) = �_{𝑛𝑛� � 𝑥𝑥}1 𝑗𝑗 𝑥𝑥

2.5.1.1 Prosedur Metode Moments

Tahapan pendugaan metode moments melibatkan tiga langkah dasar berikut ini: Misalkan terdapat 𝑘𝑘 paramerter yang akan diestimasi, msalkan 𝑟𝑟 = (𝑟𝑟₁, … , 𝑟𝑟_𝑘𝑘).

1. Tentukan 𝑘𝑘 momen pupulasi, 𝜇𝜇_𝑛𝑛, 𝑛𝑛 = 1, 2, … , 𝑘𝑘. 𝜇𝜇_𝑙𝑙 akan memuat satu atau lebih parameter 𝑟𝑟1, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘

2. Tentukan hubungkan 𝑘𝑘 momen sampel , 𝑑𝑑_𝑛𝑛, 𝑛𝑛 = 1, 2, … , 𝑘𝑘.

Banyaknya sampel moment harus sama banyak dengan parameter yang akan di estimasi.

3. Dari sistem persamaan, 𝜇𝜇𝑛𝑛 = 𝑑𝑑𝑛𝑛, 𝑛𝑛 = 1, 2, … , 𝑘𝑘, selesaikan parameter 𝑟𝑟 = (𝑟𝑟1, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘) yang merupakan penduga momen untuk 𝑟𝑟�.

2.5.2 Maximum Likelihood Estimation (MLE)

Definisi 2.6

Misalkan 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 merupakan sampel acak berukuran n dengan variabel acak diskrit pmf 𝑝𝑝_𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑟𝑟), di mana 𝑟𝑟(𝑟𝑟₁, 𝑟𝑟₂, … , 𝑟𝑟_𝑘𝑘) adalah parameter tidak diketahui. Fungsi likelihood, L(θ), adalah perkalian pmf yang dikaitkan dengan n ke-k.

𝐿𝐿(𝑟𝑟) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 = 𝑥𝑥1, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛) 𝐿𝐿(𝑟𝑟) = � 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝐿𝐿(𝑟𝑟) = � 𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑖𝑖: 𝑟𝑟) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

Andaikan 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 adalah sampel acak berukuran n dari pdf kontinu, 𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑟𝑟) di mana 𝑟𝑟(𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘) merupakan parameter tak diketahui, fungsi likelihood dituliskan:

𝐿𝐿(𝑟𝑟) = 𝑓𝑓(𝑋𝑋1 = 𝑥𝑥1, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛)

𝐿𝐿(𝑟𝑟) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1; 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘). 𝑓𝑓(𝑥𝑥2; 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘) … . 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛; 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘) Pandang sebagai fungsi 𝑟𝑟₁, 𝑟𝑟₂, … , 𝑟𝑟_𝑘𝑘 , disebut sebagai fungsi likelihood. Misalkan [𝑢𝑢1( 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛), 𝑢𝑢2 ( 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛), … , 𝑢𝑢𝑘𝑘( 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)]

Adalah tupel-k yang memaksimalkan 𝐿𝐿 ( 𝑟𝑟₁, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘 ) sehingga:

𝑟𝑟�2 = 𝑢𝑢2(𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛) 𝑟𝑟�3 = 𝑢𝑢3(𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛)

⋮

𝑟𝑟�𝑘𝑘 = 𝑢𝑢𝑘𝑘(𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛)

Adalah penduga kemungkinan maksimum dari 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, … , 𝑟𝑟𝑘𝑘. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut

𝐿𝐿(𝑟𝑟) = � 𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑟𝑟) 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

2.5.2.1 Prosedur untuk menentukan MLE

1. Definisikan Fungsi Likelihood, 𝐿𝐿(𝑟𝑟). 2. Gunakan logaritma natural, ln[𝐿𝐿(𝑟𝑟)].

3. Ketika diterapkan, differensialkan ln[𝐿𝐿(𝑟𝑟)] terhadap 𝑟𝑟, dan samakan dengan nol.

4. Selesaikan parameter 𝑟𝑟 dan akan diperoleh 𝑟𝑟�.

2.5.3 Sifat-sifat estimator

Sifat yang diharapkan dari sebuah penduga adalah bahwa penduga tersebut berada sedekat-dekatnya dengan nilai sebenarnya parameter yang tidak diketahui. Bila diperhatikan mean bukanlah satu-satunya lokasi yang mungkin parameter dimana parameter berada.. Untuk praktisi statisi, pertanyaan penting adalah mendapatkan sampel statistik seperti mean, median, observasi terkecil atau obeservasi terbesar, sebaiknya dipilih mempersentasikan seluruh sampel. Untuk memahami matematika pendugaan, maka pertama-tama ingat bahwa setiap penduga adalah fungsi dari sekelompok peubah acak

Estimator tidak bias adalah estimator yang nilai harapannya sama dengan nilai sesungguhnya dari parameter yang akan ditaksir.

Didefinisikan sebagai berikut

Andaikan 𝑟𝑟� merupakan estimasi titik untuk suatu parameter 𝑟𝑟. Maka 𝑟𝑟� disebut sebagai estimator tidak bias apabila 𝐸𝐸�𝑟𝑟�� = 𝑟𝑟. Jika 𝐸𝐸�𝑟𝑟�� ≠ 𝑟𝑟, maka 𝑟𝑟� dikatakan bias. Bias suatu penaksir titik 𝑟𝑟� diberikan oleh 𝐵𝐵�𝑟𝑟�� = 𝐸𝐸�𝑟𝑟�� − 𝑟𝑟.

2. Efisien

Jika distribusi Sampling dari dua buah statistik mempunyai mean atau ekspektasi yang sama, maka statistik varians yang lebih kecil disebut sebagai estimator efisien dari mean, sementara statistik yang kedua adalah estimator tak efisien. Nilai dari kedua statistik masing-masing disebut estimasi efisien dan estimasi tak efisien. Dan dinotasikan andaikan bahwa 𝑟𝑟�1 dan 𝑟𝑟�2 adalah dua penduga takbias untuk parameter 𝑟𝑟. suatu penduga adalah efisien terhadap 𝑟𝑟 apabila penduga memiliki varians yang lebih kecil.

Ef(𝑟𝑟�2 , 𝑟𝑟�1) =𝑉𝑉𝑎𝑎𝑟𝑟 (𝑟𝑟�1) 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑟𝑟 (𝑟𝑟�2) Ef�𝑟𝑟�2 , 𝑟𝑟�1� =E�𝑟𝑟�1− 𝑟𝑟� 2 E�𝑟𝑟�2− 𝑟𝑟�2 Ef�𝑟𝑟�2 , 𝑟𝑟�1� =E�𝑟𝑟�1− 𝐸𝐸�𝑟𝑟�1�� 2 E�𝑟𝑟�2− 𝐸𝐸�𝑟𝑟�2��2

Jika 𝐸𝐸𝑓𝑓 > 1 maka 𝑟𝑟�1 > 𝑟𝑟�2 artinya secara relative 𝑟𝑟�2 lebih efisien daripada 𝑟𝑟�1, dan jika 𝐸𝐸𝑓𝑓 < 1 maka 𝑟𝑟�1 < 𝑟𝑟�2 secara relative 𝑟𝑟�1 lebih efisien daripada 𝑟𝑟�2.

3. Konsisten

Estimator konsisten adalah estimator yang cenderung sarna dengan nilai sebenarnya

meskipun ukuran sampel semakin lama semakin besar.

Suatu penduga dikatakan konsisten jika memenuhi syarat berikut:

1. Jika ukuran sampel bertambah maka penduga akan mendekati nilai parameter sebenarnya. Jika sampel menjadi tak terhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu titik yang sempurna terhadap parameternya. Sehingga, � 𝑟𝑟 �� merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika:

𝐸𝐸 � θ� − E(θ)�2 → 0 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎𝑦𝑦𝑎𝑎 𝑛𝑛 → ∞

2. Jika ukuran sampel bertambah besar maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis normal diatas parameter sama dengan 1