Download Bank Soal Matematika di

(1)

1. SBMPTN 2017 SAINTEK 139/151 Jika 𝑥, 𝑦 adalah solusi sistem

𝑥 𝑦 + 1 +

3𝑦 𝑥 + 1 = 2 −_{𝑦 + 1 +}3𝑥 _{𝑥 + 1 = −1}6𝑦

Maka 𝑥 + 2𝑦 = .... A. 5

3 D. 4

B. 7

3 E. 5

C. 3

Pembahasan: Misal 𝑥

𝑦+1= 𝑝 dan 𝑦

𝑥+1= 𝑞, maka sistem persamaan di

atas menjadi:

𝑝 + 3𝑞 = 2 × 3 3𝑝 + 9𝑞 = 6

−3𝑝 + 6𝑞 = −1 × 1 −3𝑝 + 6𝑞 = −1

15𝑞 = 5 𝑞 =1₃

Substitusi 𝑞 =1

3 ke salah satu persamaan (misal

persamaan ke dua) −3𝑝 + 6𝑞 = −1 −3𝑝 + 6 (1_{3) = −1} −3𝑝 + 2 = −1 −3𝑝 = −3 𝑝 = 1

 𝑥

𝑦+1= 𝑝

𝑥 𝑦 + 1 = 1 𝑥 = 𝑦 + 1 𝑥 − 𝑦 = 1

 𝑦

𝑥+1= 1 3

3𝑦 = 𝑥 + 1 𝑥 − 3𝑦 = −1

Eliminasi 𝑥 − 𝑦 = 1 dan 𝑥 − 3𝑦 = −1 𝑥 − 𝑦 = 1

𝑥 − 3𝑦 = −1 − 2𝑦 = 2

𝑦 = 1 𝑥 = 2

𝑥 + 2𝑦 = 2 + 2(1) = 2 + 2 = 4

Jawaban : D

2. SBMPTN 2017 SAINTEK 139

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....

A. 2( √210 − 1) D. 2(√25 )

B. 2(√25 − 1) E. 2( √210 )

C. 2(√2)

Pembahasan:

Misal 𝑏 adalah besar tingkat suku bunga per semester 𝑀𝑛= 𝑀0(1 + 𝑏)𝑛

2𝑀0= 𝑀0(1 + 𝑏)10

2 = (1 + 𝑏)10

√2

10

= 1 + 𝑏 𝑏 = √210 − 1

Maka besar tingkat suku bunga pertahun adalah: 2𝑏 = 2( √210 − 1)

Jawaban : A

Banyak bilangan bulat positif 𝑥 yang memenuhi

pertidaksamaan _𝑥𝑥−|2−𝑥|₂_{−3𝑥−10}≤ 0 adalah ....

A. 2 D. 5

B. 3 E. 6

C. 4

Pembahasan:

|2 − 𝑥| = 2 − 𝑥 untuk 𝑥 ≤ 2 |2 − 𝑥| = 𝑥 − 2 untuk 𝑥 > 2  Untuk 𝑥 ≤ 2

𝑥 − |2 − 𝑥|

𝑥2_{− 3𝑥 − 10 ≤ 0}

⇒_{(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) ≤ 0}𝑥 − (2 − 𝑥)

⇒_{(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) ≤ 0}2𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 < −2 atau 1 ≤ 𝑥 ≤ 2

Bilangan bulat positif yang memenuhi : 1 dan 2  Untuk 𝑥 > 2

𝑥 − |2 − 𝑥|

𝑥2_{− 3𝑥 − 10 ≤ 0}

⇒_{(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) ≤ 0}𝑥 − (𝑥 − 2)

⇒_{(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) ≤ 0}2

⇒ 2 < 𝑥 < 5

Bilangan bulat yang memenuhi : 3 dan 4

 Untuk dua kondisi di atas, ada 4 bilangan bulat yg memenuhi yaitu 1,2,3,dan 4

(2)

Vektor 𝑎⃗, 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan 𝑤⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ dan sudut antara 𝑢⃗⃗ dan 𝑎⃗ adalah 45°. Jika √2𝑎⃗ = 𝑤⃗⃗⃗, maka 𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ = ....

A. |𝑎⃗|(|𝑎⃗| − |𝑢⃗⃗|) B. |𝑎⃗|(|𝑣⃗| − |𝑢⃗⃗|) C. |𝑎⃗|(|𝑎⃗| − |𝑤⃗⃗⃗|) D. |𝑢⃗⃗|(|𝑎⃗| − |𝑢⃗⃗|) E. |𝑣⃗|(|𝑎⃗| − |𝑢⃗⃗|)

Pembahasan:

Cara I: 𝑤

⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ 𝑤

⃗⃗⃗. 𝑤⃗⃗⃗ = (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗)(𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) |𝑤⃗⃗⃗|2_{= |𝑢⃗⃗|}2_{+ 2. 𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ + |𝑣⃗|}2

2𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ = |𝑤⃗⃗⃗|2_{− (|𝑢⃗⃗|}2_{+ |𝑣⃗|}2₎

𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ =1_{2 (}|𝑤⃗⃗⃗|2_{− (|𝑢⃗⃗|}2_{+ |𝑣⃗|}2₎₎

𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ =1₂ (2|𝑎⃗|2_{− |𝑢⃗⃗|}2_{− |𝑣⃗|}2₎_{………….. (1)}

𝑤

⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ 𝑣⃗ = 𝑤⃗⃗⃗ − 𝑢⃗⃗ 𝑣⃗ = √2 𝑎⃗ − 𝑢⃗⃗

|𝑣⃗|2_{= 2|𝑎⃗ |}2_{+ |𝑢⃗⃗|}2_{− 2√2|𝑎⃗||𝑢⃗⃗| cos 45°}

|𝑣⃗|2_{= 2|𝑎⃗ |}2_{+ |𝑢⃗⃗|}2_{− 2√2|𝑎⃗||𝑢⃗⃗| (}1

2 √2) |𝑣⃗|2_{= 2|𝑎⃗ |}2_{+ |𝑢⃗⃗|}2_{− 2|𝑎⃗||𝑢⃗⃗|}_{………..…… (2)}

Substitusi (2) ke (1)

𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ =1₂(2|𝑎⃗|2_{− |𝑢⃗⃗|}2_{− 2|𝑎⃗ |}2_{− |𝑢⃗⃗|}2_{+ 2|𝑎⃗||𝑢⃗⃗|)}

=1₂(−2|𝑢⃗⃗ |2_{+ 2|𝑎⃗||𝑢⃗⃗|)}

= |𝑎⃗||𝑢⃗⃗| − |𝑢⃗⃗|2

= |𝑢⃗⃗|(|𝑎⃗| − |𝑢⃗⃗|)

Jawaban : D

Alternatif lain, kita bisa menggunakan cara ke II berikut ini.

Cara II:  _𝑤_{⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗}  _{√2𝑎⃗ = 𝑤}_⃗⃗⃗

𝑎⃗ =1_{2 √2 𝑤}⃗⃗⃗

𝑎⃗ =1_{2 √2}(𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗)  _{𝑢⃗⃗. 𝑎⃗ = |𝑢⃗⃗||𝑎⃗| cos 45°}

𝑢⃗⃗. 𝑎⃗ = |𝑢⃗⃗||𝑎⃗|1 2 √2 1

2 √2𝑢⃗⃗(𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = |𝑢⃗⃗||𝑎⃗| 1 2 √2

𝑢⃗⃗. 𝑢⃗⃗ + 𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ = |𝑢⃗⃗||𝑎⃗| |𝑢⃗⃗|2_{+ 𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ = |𝑢⃗⃗||𝑎⃗|}

𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ = |𝑢⃗⃗||𝑎⃗| − |𝑢⃗⃗|2

𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ = 𝑢⃗⃗(|𝑎⃗| − |𝑢⃗⃗|)

Jawaban : D

5. SBMPTN 2017 SAINTEK 139 Jika 2 tan 𝑥

1−tan2_𝑥− 5 = 0, dengan 0 < 𝑥 <𝜋₂ maka cos2𝑥 −

sin2_{𝑥 =}_....

A. 1

√26 D.

4 √26

B. 2

√26 E.

5 √26

C. 3

√26

Pembahasan: 2 tan 𝑥

1 − tan2_{𝑥 − 5 = 0}

Ingat 2 tan 𝑥

1−tan2_𝑥= tan 2𝑥, sehingga:

⇒ tan 2𝑥 − 5 = 0 ⇒ tan 2𝑥 = 5

Perhatikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 berikut:

Misal ∠𝐵𝐴𝐶 = 2𝑥 Maka tan 2𝑥 =𝐵𝐶

𝐴𝐵= 5 1

𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐵 = 1, dengan menggunakan teorema

pythagoras diperoleh 𝐴𝐶 = √26

cos2_{𝑥 − sin}2_{𝑥 = cos 2𝑥 =}𝐴𝐵

𝐴𝐶 = 1 √26

Jawaban : A

Jarak antara titik potong kedua asimtot dari hiperbola −𝑥2−2𝑛𝑥+𝑛₄ 2+𝑦2−4𝑚𝑦+4𝑚₉ 2= 1 pada sumbu 𝑥 adalah ....

A. 2𝑛

3

B. 4𝑛

3

C. 2𝑚₃

D. 4𝑚

3

E. 8𝑚

(3)

Pembahasan:

−𝑥2− 2𝑛𝑥 + 𝑛₄ 2+𝑦2− 4𝑚𝑦 + 4𝑚₉ 2= 1

⇒ −(𝑥 − 𝑛)₄ 2+(𝑦 − 2𝑚)₉ 2= 1

Asimtot hiperbola bisa kita peroleh dengan mengganti 1 pada ruas kanan dengan 0

−(𝑥 − 𝑛)₄ 2+(𝑦 − 2𝑚)₉ 2= 0

⇒ −9(𝑥 − 𝑛)2_{+ 4(𝑦 − 2𝑚)}2_{= 0}

⇒ 4(𝑦 − 2𝑚)2_{= 9(𝑥 − 𝑛)}2

⇒ (𝑥 − 𝑛)2₌4

9(𝑦 − 2𝑚)2

⇒ 𝑥 − 𝑛 = ±2₃(𝑦 − 2𝑚)

⇒ 𝑥 = ±2₃(𝑦 − 2𝑚) + 𝑛

Misal asimtot memotong sumbu 𝑥 di titik (𝑥₁, 0) dan (𝑥2, 0), dengan mensubstitusikan 𝑦 = 0 kita peroleh:

𝑥1=2₃(𝑦 − 2𝑚) + 𝑛

=2₃(0 − 2𝑚) + 𝑛

= −4_{3 𝑚 + 𝑛}

𝑥2= −2₃(𝑦 − 2𝑚) + 𝑛

= −2₃(0 − 2𝑚) + 𝑛

=4_{3 𝑚 + 𝑛}

Jarak kedua titik potong tersebut adalah:

|𝑥1− 𝑥2| = |−4_{3 𝑚 + 𝑛 − (}4_{3 𝑚 + 𝑛)|}

= |−8_{3 𝑚|}

=8_{3 𝑚}

Jawaban : E 7. SBMPTN 2017 SAINTEK 139

Jika 𝑥3+ 4𝑥2+ 𝑏 = (𝑥 − 3)𝑄(𝑥) + 10𝑏, maka 𝑄(𝑥) adalah ....

A. 𝑥2− 7𝑥 − 21

B. 𝑥2− 14𝑥 + 21

C. 𝑥2+ 7𝑥 − 21

D. 𝑥2+ 7𝑥 + 21

E. 𝑥2+ 14𝑥 + 21

Pembahasan:

𝑥3_{+ 4𝑥}2_{+ 𝑏 = (𝑥 − 3)𝑄(𝑥) + 10𝑏}

Substitusi 𝑥 = 3

33_{+ 4(3}2_{) + 𝑏 = (3 − 3)𝑄(3) + 10𝑏}

27 + 36 + 𝑏 = 0 + 10𝑏 63 = 9𝑏

𝑏 = 7

Substitusi 𝑏 = 7, diperoleh

𝑥3_{+ 4𝑥}2_{+ 7 = (𝑥 − 3)𝑄(𝑥) + 70}

(𝑥 − 3)𝑄(𝑥) = 𝑥3_{+ 4𝑥}2_{− 63}

Dengan metode horner kita peroleh

3 1 4 0 -63

3 21 63

1 7 21 0

Hasil bagi kita peroleh: 𝑥2+ 7𝑥 + 21

Jawaban : D

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius 3√2 melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....

A. 18𝜋 + 18

B. 18𝜋 − 18

C. 14𝜋 + 14

D. 14𝜋 − 15

E. 10𝜋 + 10

Pembahasan:

Perhatikan gambar 𝑅 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 6

𝑟 = 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 = 𝐶𝐷 = 3√2

Perhatikan bahwa pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku 𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2_{= 𝐵𝐶}2_{, dengan demikian segitiga}_𝐴𝐵𝐶_adalah

segitiga siku-siku (∠𝐵𝐴𝐶 = 90°)

Luas irisan = Luas 1

(4)

 Luas 1

2 lingkaran kecil

𝐿1=1_{2 𝜋𝑟}2

Jika ∫ 𝑓(𝑥)(sin 𝑥 + 1)₋₄4 𝑑𝑥 = 8, dengan 𝑓(𝑥) fungsi 10. SBMPTN 2017 SAINTEK 139

lim

(5)

= lim₁

𝑝→∞

(_𝑝1) cot(15 𝑝+1)

1−(_𝑝1)2

= lim_𝑝→0

(_𝑝1) cot(_𝑝+15

𝑝

)

(1−1_𝑝)(1+1_𝑝)

= lim_𝑝→0 (

1

𝑝) cot(1+𝑝5𝑝)

(_𝑝1)(𝑝−1)(1_𝑝)(𝑝+1)

= lim_𝑝→0_(𝑝−1)(1 1

𝑝)(𝑝+1) tan(1+𝑝5𝑝)

= −1₅

Jawaban : E

Jika kurva 𝑦 =1𝑥3−3𝑥+2 𝑎𝑥(𝑥2−𝑎𝑥−6)

mempunyai dua asimtot

tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....

A. 𝑦 = 1 D. 𝑦 = −1

B. 𝑦 =1

2 E. 𝑦 = −2

C. 𝑦 = −1₂

Pembahasan:

𝑦 =₁ 𝑥3− 3𝑥 + 2

𝑎 𝑥(𝑥2− 𝑎𝑥 − 6)

⇒ 𝑦 =𝑎(𝑥_𝑥(𝑥₂3− 3𝑥 + 2)_{− 𝑎𝑥 − 6)}

⇒ 𝑦 =𝑎(𝑥 − 1)_𝑥(𝑥₂_{− 𝑎𝑥 − 6)}2(𝑥 + 2)

dari persamaan di atas, jelas bahwa 𝑥 = 0 adalah salah satu asimtot tegak. Dengan demikian salah satu dari (𝑥 − 1) dan (𝑥 + 2) adalah faktor dari 𝑥2− 𝑎𝑥 − 6.

 Misal 𝑥 − 1 faktor dari 𝑥2− 𝑎𝑥 − 6 maka dengan teorema faktor kita peroleh:

1 − 𝑎 − 6 = 0 𝑎 = −5

Maka fungsi rasional menjadi:

𝑦 =−5(𝑥_𝑥(𝑥₂3_{+ 5𝑥 − 6)}− 3𝑥 + 2)

𝑦 =−5𝑥_𝑥₃3_{+ 5𝑥}+ 15𝑥 − 10₂_{− 6𝑥} Asimtot datar:

𝑦 = lim

𝑥→∞

−5𝑥3_{+ 15𝑥 − 10}

𝑥3_{+ 5𝑥}2_{− 6𝑥}

𝑦 = −5

 Misal 𝑥 + 2 faktor dari 𝑥2− 𝑎𝑥 − 6 maka dengan teorema faktor kita peroleh:

4 + 2𝑎 − 6 = 0 𝑎 = 1

Maka fungsi rasional menjadi:

𝑦 =_𝑥(𝑥𝑥3₂− 3𝑥 + 2_{− 𝑥 − 6)}

𝑦 =_𝑥𝑥₃3_{− 𝑥}− 3𝑥 + 2₂_{− 6𝑥} Asimtot datar:

𝑦 = lim

𝑥→∞

𝑥3_{− 3𝑥 + 2}

𝑥3_{− 𝑥}2_{− 6𝑥}

𝑦 = 1

Yang terdapat di pilihan jawaban adalah 𝑦 = 1 Jawaban : A

Misalkan 𝑓(𝑥) = sin(cos2𝑥), maka 𝑓′(𝑥) = ....

A. −2 sin 𝑥 cos(cos2𝑥)

B. −2 sin 2𝑥 cos(cos2𝑥)

C. − sin 𝑥 cos(cos2𝑥)

D. − sin 2𝑥 cos(cos2𝑥)

E. − sin2𝑥 cos(cos2𝑥)

Pembahasan: Gunakan aturan rantai

𝑓(𝑥) = sin(cos2_𝑥)

𝑓′_{(𝑥) = cos(cos}2_{𝑥) (2 cos 𝑥)(− sin 𝑥). 1}

= −2 sin 𝑥 cos 𝑥 . cos(cos2_𝑥)

= − sin 2𝑥 . cos(cos2_𝑥)

Jawaban : D

Misalkan 𝑦₁ = −3𝑥 + 2 dan 𝑦₂= 2𝑥 − 1 berturut-turut adalah garis singgung dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) di 𝑥 = 4. Jika 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥), maka 𝐹′(4) = ....

A. −6 D. −41

B. −20 E. −50

C. −21

Pembahasan:

𝑦1= −3𝑥 + 2 merupakan garis singgung 𝑓(𝑥) di titik

𝑥 = 4 maka:

 _𝑓′_{(4) = 𝑚 = −3}

 _{𝑓(4) = −3(4) + 2 = −10}

𝑦2= 2𝑥 − 1 merupakan garis singgung 𝑔(𝑥) di titik

𝑥 = 4 maka:

 _𝑔′_{(4) = 2}

 _{𝑔(4) = 2(4) − 1 = 7}

𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)

𝐹′_{(𝑥) = 𝑓}′_{(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔}′_{(𝑥). 𝑓(𝑥)}

𝐹′_{(4) = 𝑓}′_{(4). 𝑔(4) + 𝑔}′_{(4). 𝑓(4)}

= (−3)(7) + (2)(−10) = −21 − 20

= −41

(6)

Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masig diambil 2 bola satu-persatu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah ....

A. 0,04 D. 0,32

B. 0,10 E. 0,40

C. 0,16

Pembahasan: Dari kotak 1:

Peluang terambil putih 𝑃₁(𝑃) =12

15= 4 5

Peluang terambil merah 𝑃₁(𝑀) = 3

15= 1 5

Dari kotak 2:

Peluang terambil putih 𝑃₂(𝑃) =4

8= 1 2

Peluang terambil merah 𝑃₂(𝑀) =4

8= 1 2

Berikut ini kejadian terambilnya satu bola merah Kotak 1 Kotak 2 Peluang

M P P P 1

5 × 4 5 ×

1 2 ×

1 2 =

4 100

P M P P 1

5 × 4 5 ×

1 2 ×

1 2 =

4 100

P P M P 4

5 × 4 5 ×

1 2 ×

1 2 =

16 100

P P P M 4

5 × 4 5 ×

1 2 ×

1 2 =

16 100

Total 𝟐 ( 𝟒

𝟏𝟎𝟎+ 𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟎) =

𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟎

Jadi, peluang terambil satu merah adalah 40

100= 0,40

Jawaban : E

Jika terdapat kekeliruan pada pembahasan ini, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan.

Untuk download soal dan pembahasan UN dan SBMPTN silakan kunjungi blog www.m4th-lab.net dan jangan lupa ikuti beberapa media sosial m4th-lab sebagai berikut untuk memperoleh informasi terupdate:

FP Facebook : https://facebook.com/mathlabsite Telegram : https://t.me/banksoalmatematika

YouTube : https://youtube.com/m4thlab IG : @banksoalmatematika

Semoga bermanfaat