Tujuan Pembelajaran. Saat saya menyelesaikan bab ini, saya ingin dapat melakukan hal-hal berikut.

Saat saya menyelesaikan bab ini, saya ingin dapat melakukan hal-hal berikut.

• Merumuskan model dinamik didasarkan pada prinsip neraca

• Menyelesaikan model dinamik orde satu yang sederhana

• Menentukan aspek kunci yang bagaimana dari dinamik bergantung pada disain dan operasi proses

Kerangka Kuliah

• Alasan mengapa kita perlu model dinamik

• Enam (6) - tahapan prosedur pemodelan

• Contoh-contoh - mixing tank - CSTR

- draining tank

• Kesimpulan umum tentang model

• Workshop

Apa bus dan sepeda punya dinamika yang berbeda?

• Mana yang dapat membuat putaran-U dalam 1.5 meter?

• Mana yang menanggapi lebih baik saat mengenai benturan?

Kinerja dinamik lebih tergantung pada kendaraan dari pada

pengemudinya!

Dinamika proses lebih penting dari pada kontrol komputer!

Materi umpan dikirim secara periodik, tapi proses memerlukan aliran umpan yang kontinyu. Berapa besar volume tangki yang seharusnya?

Kita harus menyediakan fleksibilitas proses

untuk kinerja dinamik yang baik!

Time

Aliran pengiriman periodik

Umpan kontinyu ke proses

Pompa air pendingin mati. Berapa lama kita punya waktu hingga reaktor berjalan secara eksotermik?

Dinamika proses penting untuk kesalamatan! L F T A waktu Suhu Bahaya

T A

Proses Perubahan masukan,

mis., step pada laju alir pendingin Pengaruh pada variabel keluaran • Berapa lama? • Seberapa cepat • “Bentuk” Bagaimana proses mempengaruhi respon? Model matematika menolong kita menjawab pertanyaan-pertanyaan ini!

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

Kita menerapkan prosedur ini

• untuk banyak sistem fisik

• neraca massa keseluruhan (overall material balance)

• neraca massa komponen

• neraca energi

T

A

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya T A • Apa keputusannya (decision)? • Apa variabelnya? • Lokasi

Contoh seleksi variabel

level cairan  massa total dalam cairan

tekanan  mol total dalam uap

suhu  neraca energi

konsentrasi  massa komponen

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya T A • Sketsa prosesnya • Kumpulkan data • Nyatakan asumsinya • Definisikan sistem Sifat kunci dari “sistem”?

Variabel adalah sama di mana pun

lokasinya dalam sistem

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya NERACA KONSERVASI Overall Material



Akumulasi

massa

 



massa

masuk

 



massa

keluar



Component Material























































komponen

massa

penurunan

keluar

komponen

massa

masuk

komponen

massa

komponen

massa

Akumulasi

Energi



 



s

W

-Q

out

KE

PE

H

in

KE

PE

H

KE

PE

U

Akumulasi































1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

•

Apa jenis persamaan yang pertama kita

gunakan?

Neraca konservasi untuk variabel kunci

•

Berapa banyak persamaan yang kita

perlukan?

Derajat kebebasan = NV - NE = 0

•

Apa setelah persamaan konservasi?

Persamaan

konstitutif, misal,

Q = h A (



T)

r

_A

= k

₀

e

-E/RT Tidak prinsip, didasarkan pada data empirik

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

Model dinamik kita akan melibatkan persamaan differensial (dan aljabar) karena ada akumulasi.

A A A A

_F

_C

_C

_VkC

dt

dC

V



(

₀



)



Dengan kondisi awal

C_A = 3.2 kg-mole/m3 _{at t = 0}

Dan beberapa perubahan ke variabel masukan, “forcing function”, misal,

C_A0 = f(t) = 2.1 t (fungsi ramp)

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

Kita akan menyelesaikan model sederhana secara analitis untuk menyediakan hubungan istimewa antara proses dan respon dinamiknya, yaitu

0

untuk t

)

1

(

)

(

)

(

)

(

₀ / 0



 t A t A A

t

C

t

C

K

e

C

 









Banyak hasil akan punya bentuk yang sama! Kita ingin mengetahui bagaimana proses

mempengaruhi K dan , yaitu

Vk

F

V

kV

F

F

K











1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

Kita akan menyelesaikan model kompleks secara numerik, yaitu 2 0 A A A A

_F

_C

_C

_VkC

dt

dC

V



(



)



Menggunakan aproksimasi yang berbeda untuk derivatifnya, kita dapat mengambil metode

Euler. 1 2 0 1 













_

_







 n A A A A A

V

VkC

C

C

F

t

C

C

n n

)

(

)

(

Metode lainnya termasuk Runge-Kutta dan Adams.

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

• Cek hasil untuk kebenaran

- tanda dan bentuk seperti diharapkan - mentaati asumsi

- mengabaikan kesalahan numerik

• Plot hasilnya

• Evaluasi sensitivitas & akurasinya

• Bandingkan dengan data empirik

Mari kita praktekkan pemodelan hingga kita siap untuk Olimpiade pemodelan!

Silakan ingat bahwa pemodelan bukan olahraga tontonan! Anda harus praktek (ambil bagian)!

Enam Tahap Prosedur Pemodelan

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

Textbook Example 3.1: Tangki pencampuran pada gambar dioperasikan untuk waktu yang lama dengan konsentrasi umpan 0.925 kg-mole/m3_.

Komposisi umpan mengalami peningkatan menjadi 1.85 kg-mole/m3_{. Semua}

variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamiknya.

(Kita akan menyelesaikan ini di kelas)

F C_A0

V C_A

Neraca Massa Komponen Contoh 1



Penurunan

A



keluar

A

Komponen

masuk

A

Komponen

A

komponen

Akumulasi











































0

)

(

)

(

)

(

MW

_A

VC

_{A tt}



MW

_A

VC

_{A t}



MW

_A

FC

_A0



MW

_A

FC

_A



t



:

0

limit

dan

dengan

Membagi



t



t



)

(

_{A0 A} A A A

MW

F

C

C

dt

dC

V

MW





Solusi Contoh 1

0 0 0 0 0

1

1

)

(

A A A A A A A A A A A A A A A

C

C

dt

dC

C

V

F

C

V

F

dt

dC

C

V

F

C

V

F

dt

dC

FC

FC

dt

dC

V

C

C

F

dt

dC

V

























            

















/ 0 / 0 / / 0 / / 0 / / 0 / / / 0 / /

)

(

)

(

)

1

(

)

1

exp(

FI

Integrasi

Faktor

t A A t A A t t A A t t A A t t A t A A t t A A A t t

Ie

C

C

I

e

C

C

e

dt

e

C

C

e

d

e

C

dt

C

e

d

e

C

dt

de

C

dt

dC

e

e

C

C

dt

dC

e

e

dt



































Integrasi Contoh 1

) 1 ( 925 . 0 ) 1 ( ) 1 )( 925 . 0 ( 925 . 0 dengan ) 1 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 t pada ) ( 7 . 24 / 7 . 24 / 0 7 . 24 / 0 0 / 0 0 / 0 0 0 / 0 0 0 t A t A A t A A Aawal awal A t awal A A Aawal A t Aawal A awal A A Aawal A t A Aawal A A A Aawal Aawal A e C e C C e C C C C e C C C C e C C C C C C e C C C C C C I C t C                                     

Ada dua aspek penting perilaku dinamik yang dapat ditentukan dari Persamaan di atas:

• “Laju” respon dinamik  

• Steady-state gain (K_p) yang didefinisikan:

0

.

1















A p

C

C

input

output

K

0 20 40 60 80 100 120 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time ta n k co n ce n tr a ti o n 1 1.5 2 in le t co n ce n tr a ti o n Slope maximum pada “t=0”

Perubahan input secara tiba-tiba

Outputnya halus, kurva monoton

Pada steady state

C_A= K C_A0



63% dari steady-state C_A

C_A0Step pada inlet variable

CSTR isotermal pada gambar dioperasikan untuk waktu yang lama dengan konsentrasi umpan 0.925 kg-mole/m3_{. Komposisi umpan mengalami}

kenaikan menjadi 1.85 kg-mole/m3_{. Variabel lainnya tetap. Tentukan respon}

dinamik dari C_A. Parameter yang sama seperti textbook Example 3.2

A A

kC

r

B

A







F C_A0 V C_A

Contoh Pemodelan 2: CSTR

Solusi Contoh 2

0 0 0 0 0

)

(

)

(

A A A A A A A A A A A A A A A A A

C

V

F

C

V

Vk

F

dt

dC

C

V

Vk

F

C

V

F

dt

dC

C

Vk

F

FC

dt

dC

V

VkC

FC

FC

dt

dC

V

VkC

C

C

F

dt

dC

V































Bubuhi keterangan dengan fitur kunci seperti Contoh 1 0 50 100 150 0.4 0.6 0.8 1 time (min) re a ct o r co n c. o f A ( m o l/ m 3 ) 1 1.5 2 le t co n c. o f A ( m o l/ m 3 )

Mana yang lebih cepat, mixer atau CSTR?

Selalu?

A A

kC

r

B

A







F C_A0 V1 C_A1 V2 C_A2

Dua CSTR isotermal mula-mula pada keadaan tunak dan mengalami

perubahan step ke komposisi umpan tangki pertama. Rumuskan model C_A2. Hati-hati khususnya saat mendefinisikan sistemnya!

Contoh Pemodelan 3: Dua CSTR

0 10 20 30 40 50 60 0.4 0.6 0.8 1 1.2 time ta n k 1 co n ce n tr a ti o n 1 1.5 2 in le t co n ce n tr a ti o n 0 10 20 30 40 50 60 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ta n k 2 co n ce n tr a ti o n

Contoh Pemodelan 3: Dua CSTR

1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya

Kita hanya dapat menyelesaikan beberapa

model secara analitis - itu adalah linear (kecuali untuk beberapa pengecualian).

Kita dapat menyelesaikan secara numerik Kita ingin menambah WAWASAN dari

mempelajari bagaimana K (s-s gain) dan 

(konstanta waktu) bergantung pada disain dan operasi prosesnya.

Karena itu, kita melinearisasi modelnya, meski kita tidak akan mencapai sebuah solusi eksak!

Memperluas Deret Taylor dan menyisakan hany bagian konstanta dan linear. Kita memiliki sebuah aproksimasi.

R

x

x

dx

F

d

x

x

dx

dF

x

F

x

F

_s x s x s s s













2 2 2

2

1

)

(

!

)

(

)

(

)

(

Ingat bahwa bagian ini adalah konstan karena dievaluasi pada x_s

Ini adalah satu-satunya variabel

We define the deviation variable: x’ = (x - x_s)

exact

approximate

y =1.5 x2 _{+ 3 pada x = 1}

Kita harus mengevaluasi

aproksimasinya. Itu tergantung pada • non-linearitas

• jarak x dari x_s

Karena pengendalian proses menjaga variabel mendekati harga yang diinginkan, analisis yang dilinearisasi sering (tapi, tidak selalu) valid.

Textbook Example 3.5: CSTR isotermal pada gambar dioperasikan untuk waktu yang lama dengan konsentrasi umpan tetap. Komposisi umpan mengalami perubahan step. Variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamik dari C_A. 2 A A

kC

r

B

A







F C_A0 V C_A Non-linear!

Contoh Pemodelan 4: CSTR Non-Linear

Kita menyelesaikan model yang dilinearisasi secara analitis dan non-linear secara numerik.

Variabel deviasi tidak mengubah jawabannya, hanya menerjemahkan harganya

Dalam kasus ini, aproksimasi yang dilinearisasi dekat

dengan solusi non-linear yang eksak.

Tangki dengan sebuah saluran buang memiliki aliran masuk dan keluar yang kontinyu. Tangki telah mencapai initial steady state saat penurunan step terjadi pada aliran masuk. Tentukan levelnya sebagai fungsi waktu.

Selesaikan model non-linear dan linearisasinya.

Perubahan aliran kecil: aproksimasi linearisasi bagus

Perubahan aliran besar: linearisasi jelek - secara fisik mustahil! (Kenapa?)

Contoh Pemodelan 5: DRAINING TANK

Kita telah mempelajari sistem orde satu itu memiliki “bentuk” keluaran yang sama.

f(t)

forcing

atau

input

dengan

))]

(

[

f

t

K

Y

dt

dY







Contoh respon terhadap step input 0 20 40 60 80 100 120 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time ta n k c o n c e n tr a ti o n 1 1.5 2 in le t c o n c e n tr a ti o n Maximum slope at “t=0”

Output changes immediately

Output is smooth, monotonic curve

At steady state

 = K 



 _{63% of steady-state} 

= Step in inlet variable

The emphasis on analytical relationships is directed to understanding the key parameters. In the examples, you learned what affected the gain and time

constant.

K: Steady-state Gain

• sign

• magnitude (don’t forget the units)

• how depends on design (e.g., V) and operation (e.g., F)



:Time Constant

• sign (positive is stable)

• magnitude (don’t forget the units)

• how depends on design (e.g., V) and operation (e.g., F)

F C_A0

V C_A

Untuk setiap dari tiga proses yang telah kita modelkan, tentukan bagaimana gain dan konstanta waktu bergantung pada V, F, T dan C_A0.

• Mixing tank

• linear CSTR

• CSTR dengan reaksi orde dua

L

Gambarkan tiga sensor level yang berbeda untuk mengukur ketinggian cairan dalan draining tank. Untuk masing-masing, tentukan apakah pengukuran dapat dikonversikan ke sinyal listrik dan ditransmisikan ke sebuah komputer untuk display dan control.

Aku lelah memonitor level ini. Aku ingin ini

menjadi otomatis.

F C_A0

V C_A

Modelkan respon dinamik dari komponen A (CA) untuk perubahan step pada laju alir masuk dengan konsentrasi masuk tetap. Pertimbangkan dua sistem secara terpisah.

• Mixing tank

• CSTR dengan reaksi orde satu

Parameter-parameter yang kita gunakan dalam model matematika tidak pernah diketahui secara eksak. Untuk banyak model diselesaikan pada buku ajar,

evaluasi efek solusi dari kesalahan pada parameter.

•  20% pada laju reaksi konstan k

•  20% pada heat transfer coefficient

•  5% pada laju alir dan valume tangki

Bagaimana kamu mempertimbangkan kesalahan pada banyak parameter dalam masalah yang sama?

Cek responmu dengan mensimulasikan menggunakan m-file MATLAB

Tentukan persamaan yang diselesaikan untuk solusi numerik Euler untuk respon dinamik dari soal draining tank. Juga, berikan estimasi harga awal yang baik untuk integration time step, t, dan jelaskan rekomendasimu

Bagaimana yang sedang kita lakukan?

Bab 3: Pemodelan Matematika

• Merumuskan model dinamik didasarkan pada prinsip neraca

• Menyelesaikan model dinamik orde satu yang sederhana

• Menentukan aspek kunci yang bagaimana dari dinamik bergantung pada disain dan operasi proses

Banyak perbaikan, tapi kita perlu beberapa studi lagi!

• Baca textbook

• Tinjau catatannya, khususnya tujuan pembelajaran dan workshop

• Uji coba nasihat-nasihat belajar mandiri

• Home page

- Instrumentation Notes

- Interactive Learning Module (Chapter 3) - Tutorials (Chapter 3)

- M-files in the Software Laboratory (Chapter 3)

• Baca bagian pemodelan dinamik pada buku ajar sebelumnya - Felder and Rousseau, Fogler, Incropera & Dewitt

• Buku ajar lain dengan soal yang diselesaikan

- Lihat kerangka kuliah dan buku pada cadangan di Thode

1. Diskusikan kenapa kita memerlukan bahwa derajat kebebasan untuk sebuah model harus nol. Apa ada pengecualian?

2. Berikan contoh-contoh persamaan konstitutif dari kuliah teknik kimia sebelumnya. Untuk masing-masing, gambarkan bagaimana kita

menentukan harga paramater. Bagaimana keakuratan harga itu?

3. Siapkan satu pertanyaan untuk setiap jenis dan bagikan dengan kelompok belajarmu: B/S, pilihan ganda, dan pemodelan.

4. Menggunakan m-file MATLAB, tentukan efek besaran step masukan pada keakuratan model linearisasi untuk CSTR dengan reaksi orde dua.

5. Untuk kombinasi parameter fisik apa, sebuah model orde satu akan memperkirakan berikutnya?

• Sebuah respon osilasi terhadapan oscillatory response to a step input

• sebuah output yang naik tanpa batas

• sebuah output yang berubah sangat pelan

6. Siapkan secangkir kopi atau teh hangat yang segar. Ukur suhu dan catat suhu dan waktu hingga mencapai suhu lingkungan.

• Plot datanya.

• Diskusikan bentuk grafik suhunya.

• Dapatkah kamu menggambarkannya dengan respon dengan sebuah parameter kunci?

• Turunkan model matematika dan bandingkan dengan hasil eksperimenmu

Baca lebih lajut