Saat saya menyelesaikan bab ini, saya ingin dapat melakukan hal-hal berikut.
• Merumuskan model dinamik didasarkan pada prinsip neraca
• Menyelesaikan model dinamik orde satu yang sederhana
• Menentukan aspek kunci yang bagaimana dari dinamik bergantung pada disain dan operasi proses
Kerangka Kuliah
• Alasan mengapa kita perlu model dinamik
• Enam (6) - tahapan prosedur pemodelan
• Contoh-contoh - mixing tank - CSTR
- draining tank
• Kesimpulan umum tentang model
• Workshop
Apa bus dan sepeda punya dinamika yang berbeda?
• Mana yang dapat membuat putaran-U dalam 1.5 meter?
• Mana yang menanggapi lebih baik saat mengenai benturan?
Kinerja dinamik lebih tergantung pada kendaraan dari pada
pengemudinya!
Dinamika proses lebih penting dari pada kontrol komputer!
Materi umpan dikirim secara periodik, tapi proses memerlukan aliran umpan yang kontinyu. Berapa besar volume tangki yang seharusnya?
Kita harus menyediakan fleksibilitas proses
untuk kinerja dinamik yang baik!
Time
Aliran pengiriman periodik
Umpan kontinyu ke proses
Pompa air pendingin mati. Berapa lama kita punya waktu hingga reaktor berjalan secara eksotermik?
Dinamika proses penting untuk kesalamatan! L F T A waktu Suhu Bahaya
T A
Proses Perubahan masukan,
mis., step pada laju alir pendingin Pengaruh pada variabel keluaran • Berapa lama? • Seberapa cepat • “Bentuk” Bagaimana proses mempengaruhi respon? Model matematika menolong kita menjawab pertanyaan-pertanyaan ini!
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
Kita menerapkan prosedur ini
• untuk banyak sistem fisik
• neraca massa keseluruhan (overall material balance)
• neraca massa komponen
• neraca energi
T
A
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya T A • Apa keputusannya (decision)? • Apa variabelnya? • Lokasi
Contoh seleksi variabel
level cairan massa total dalam cairan
tekanan mol total dalam uap
suhu neraca energi
konsentrasi massa komponen
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya T A • Sketsa prosesnya • Kumpulkan data • Nyatakan asumsinya • Definisikan sistem Sifat kunci dari “sistem”?
Variabel adalah sama di mana pun
lokasinya dalam sistem
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya NERACA KONSERVASI Overall Material
Akumulasi
massa
massa
masuk
massa
keluar
Component Material
komponen
massa
penurunan
keluar
komponen
massa
masuk
komponen
massa
komponen
massa
Akumulasi
Energi
sW
-Q
out
KE
PE
H
in
KE
PE
H
KE
PE
U
Akumulasi
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
•
Apa jenis persamaan yang pertama kita
gunakan?
Neraca konservasi untuk variabel kunci
•
Berapa banyak persamaan yang kita
perlukan?
Derajat kebebasan = NV - NE = 0
•
Apa setelah persamaan konservasi?
Persamaan
konstitutif, misal,
Q = h A (
T)
r
A= k
0e
-E/RT Tidak prinsip, didasarkan pada data empirik1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
Model dinamik kita akan melibatkan persamaan differensial (dan aljabar) karena ada akumulasi.
A A A A
F
C
C
VkC
dt
dC
V
(
0
)
Dengan kondisi awal
CA = 3.2 kg-mole/m3 at t = 0
Dan beberapa perubahan ke variabel masukan, “forcing function”, misal,
CA0 = f(t) = 2.1 t (fungsi ramp)
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
Kita akan menyelesaikan model sederhana secara analitis untuk menyediakan hubungan istimewa antara proses dan respon dinamiknya, yaitu
0
untuk t
)
1
(
)
(
)
(
)
(
0 / 0
t A t A At
C
t
C
K
e
C
Banyak hasil akan punya bentuk yang sama! Kita ingin mengetahui bagaimana proses
mempengaruhi K dan , yaitu
Vk
F
V
kV
F
F
K
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
Kita akan menyelesaikan model kompleks secara numerik, yaitu 2 0 A A A A
F
C
C
VkC
dt
dC
V
(
)
Menggunakan aproksimasi yang berbeda untuk derivatifnya, kita dapat mengambil metode
Euler. 1 2 0 1
n A A A A AV
VkC
C
C
F
t
C
C
n n)
(
)
(
Metode lainnya termasuk Runge-Kutta dan Adams.
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
• Cek hasil untuk kebenaran
- tanda dan bentuk seperti diharapkan - mentaati asumsi
- mengabaikan kesalahan numerik
• Plot hasilnya
• Evaluasi sensitivitas & akurasinya
• Bandingkan dengan data empirik
Mari kita praktekkan pemodelan hingga kita siap untuk Olimpiade pemodelan!
Silakan ingat bahwa pemodelan bukan olahraga tontonan! Anda harus praktek (ambil bagian)!
Enam Tahap Prosedur Pemodelan
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
Textbook Example 3.1: Tangki pencampuran pada gambar dioperasikan untuk waktu yang lama dengan konsentrasi umpan 0.925 kg-mole/m3.
Komposisi umpan mengalami peningkatan menjadi 1.85 kg-mole/m3. Semua
variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamiknya.
(Kita akan menyelesaikan ini di kelas)
F CA0
V CA
Neraca Massa Komponen Contoh 1
Penurunan
A
keluar
A
Komponen
masuk
A
Komponen
A
komponen
Akumulasi
0
)
(
)
(
)
(
MW
AVC
A tt
MW
AVC
A t
MW
AFC
A0
MW
AFC
A
t
:
0
limit
dan
dengan
Membagi
t
t
)
(
A0 A A A AMW
F
C
C
dt
dC
V
MW
Solusi Contoh 1
0 0 0 0 01
1
)
(
A A A A A A A A A A A A A A AC
C
dt
dC
C
V
F
C
V
F
dt
dC
C
V
F
C
V
F
dt
dC
FC
FC
dt
dC
V
C
C
F
dt
dC
V
/ 0 / 0 / / 0 / / 0 / / 0 / / / 0 / /)
(
)
(
)
1
(
)
1
exp(
FI
Integrasi
Faktor
t A A t A A t t A A t t A A t t A t A A t t A A A t tIe
C
C
I
e
C
C
e
dt
e
C
C
e
d
e
C
dt
C
e
d
e
C
dt
de
C
dt
dC
e
e
C
C
dt
dC
e
e
dt
Integrasi Contoh 1
) 1 ( 925 . 0 ) 1 ( ) 1 )( 925 . 0 ( 925 . 0 dengan ) 1 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 t pada ) ( 7 . 24 / 7 . 24 / 0 7 . 24 / 0 0 / 0 0 / 0 0 0 / 0 0 0 t A t A A t A A Aawal awal A t awal A A Aawal A t Aawal A awal A A Aawal A t A Aawal A A A Aawal Aawal A e C e C C e C C C C e C C C C e C C C C C C e C C C C C C I C t C Ada dua aspek penting perilaku dinamik yang dapat ditentukan dari Persamaan di atas:
• “Laju” respon dinamik
• Steady-state gain (Kp) yang didefinisikan:
0
.
1
A pC
C
input
output
K
0 20 40 60 80 100 120 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time ta n k co n ce n tr a ti o n 1 1.5 2 in le t co n ce n tr a ti o n Slope maximum pada “t=0”
Perubahan input secara tiba-tiba
Outputnya halus, kurva monoton
Pada steady state
CA= K CA0
63% dari steady-state CA
CA0Step pada inlet variable
CSTR isotermal pada gambar dioperasikan untuk waktu yang lama dengan konsentrasi umpan 0.925 kg-mole/m3. Komposisi umpan mengalami
kenaikan menjadi 1.85 kg-mole/m3. Variabel lainnya tetap. Tentukan respon
dinamik dari CA. Parameter yang sama seperti textbook Example 3.2
A A
kC
r
B
A
F CA0 V CA
Contoh Pemodelan 2: CSTR
Solusi Contoh 2
0 0 0 0 0)
(
)
(
A A A A A A A A A A A A A A A A AC
V
F
C
V
Vk
F
dt
dC
C
V
Vk
F
C
V
F
dt
dC
C
Vk
F
FC
dt
dC
V
VkC
FC
FC
dt
dC
V
VkC
C
C
F
dt
dC
V
Bubuhi keterangan dengan fitur kunci seperti Contoh 1 0 50 100 150 0.4 0.6 0.8 1 time (min) re a ct o r co n c. o f A ( m o l/ m 3 ) 1 1.5 2 le t co n c. o f A ( m o l/ m 3 )
Mana yang lebih cepat, mixer atau CSTR?
Selalu?
A A
kC
r
B
A
F CA0 V1 CA1 V2 CA2
Dua CSTR isotermal mula-mula pada keadaan tunak dan mengalami
perubahan step ke komposisi umpan tangki pertama. Rumuskan model CA2. Hati-hati khususnya saat mendefinisikan sistemnya!
Contoh Pemodelan 3: Dua CSTR
0 10 20 30 40 50 60 0.4 0.6 0.8 1 1.2 time ta n k 1 co n ce n tr a ti o n 1 1.5 2 in le t co n ce n tr a ti o n 0 10 20 30 40 50 60 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ta n k 2 co n ce n tr a ti o n
Contoh Pemodelan 3: Dua CSTR
1. Definisikan sasaran 2. Siapkan informasi 3. Rumuskan modelnya 4. Tentukan solusinya 5. Analisis hasilnya 6. Validasi modelnya
Kita hanya dapat menyelesaikan beberapa
model secara analitis - itu adalah linear (kecuali untuk beberapa pengecualian).
Kita dapat menyelesaikan secara numerik Kita ingin menambah WAWASAN dari
mempelajari bagaimana K (s-s gain) dan
(konstanta waktu) bergantung pada disain dan operasi prosesnya.
Karena itu, kita melinearisasi modelnya, meski kita tidak akan mencapai sebuah solusi eksak!
Memperluas Deret Taylor dan menyisakan hany bagian konstanta dan linear. Kita memiliki sebuah aproksimasi.
R
x
x
dx
F
d
x
x
dx
dF
x
F
x
F
s x s x s s s
2 2 22
1
)
(
!
)
(
)
(
)
(
Ingat bahwa bagian ini adalah konstan karena dievaluasi pada xs
Ini adalah satu-satunya variabel
We define the deviation variable: x’ = (x - xs)
exact
approximate
y =1.5 x2 + 3 pada x = 1
Kita harus mengevaluasi
aproksimasinya. Itu tergantung pada • non-linearitas
• jarak x dari xs
Karena pengendalian proses menjaga variabel mendekati harga yang diinginkan, analisis yang dilinearisasi sering (tapi, tidak selalu) valid.
Textbook Example 3.5: CSTR isotermal pada gambar dioperasikan untuk waktu yang lama dengan konsentrasi umpan tetap. Komposisi umpan mengalami perubahan step. Variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamik dari CA. 2 A A
kC
r
B
A
F CA0 V CA Non-linear!
Contoh Pemodelan 4: CSTR Non-Linear
Kita menyelesaikan model yang dilinearisasi secara analitis dan non-linear secara numerik.
Variabel deviasi tidak mengubah jawabannya, hanya menerjemahkan harganya
Dalam kasus ini, aproksimasi yang dilinearisasi dekat
dengan solusi non-linear yang eksak.
Tangki dengan sebuah saluran buang memiliki aliran masuk dan keluar yang kontinyu. Tangki telah mencapai initial steady state saat penurunan step terjadi pada aliran masuk. Tentukan levelnya sebagai fungsi waktu.
Selesaikan model non-linear dan linearisasinya.
Perubahan aliran kecil: aproksimasi linearisasi bagus
Perubahan aliran besar: linearisasi jelek - secara fisik mustahil! (Kenapa?)
Contoh Pemodelan 5: DRAINING TANK
Kita telah mempelajari sistem orde satu itu memiliki “bentuk” keluaran yang sama.
f(t)
forcing
atau
input
dengan
))]
(
[
f
t
K
Y
dt
dY
Contoh respon terhadap step input 0 20 40 60 80 100 120 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time ta n k c o n c e n tr a ti o n 1 1.5 2 in le t c o n c e n tr a ti o n Maximum slope at “t=0”Output changes immediately
Output is smooth, monotonic curve
At steady state
= K
63% of steady-state
= Step in inlet variable
The emphasis on analytical relationships is directed to understanding the key parameters. In the examples, you learned what affected the gain and time
constant.
K: Steady-state Gain
• sign
• magnitude (don’t forget the units)
• how depends on design (e.g., V) and operation (e.g., F)
:Time Constant• sign (positive is stable)
• magnitude (don’t forget the units)
• how depends on design (e.g., V) and operation (e.g., F)
F CA0
V CA
Untuk setiap dari tiga proses yang telah kita modelkan, tentukan bagaimana gain dan konstanta waktu bergantung pada V, F, T dan CA0.
• Mixing tank
• linear CSTR
• CSTR dengan reaksi orde dua
L
Gambarkan tiga sensor level yang berbeda untuk mengukur ketinggian cairan dalan draining tank. Untuk masing-masing, tentukan apakah pengukuran dapat dikonversikan ke sinyal listrik dan ditransmisikan ke sebuah komputer untuk display dan control.
Aku lelah memonitor level ini. Aku ingin ini
menjadi otomatis.
F CA0
V CA
Modelkan respon dinamik dari komponen A (CA) untuk perubahan step pada laju alir masuk dengan konsentrasi masuk tetap. Pertimbangkan dua sistem secara terpisah.
• Mixing tank
• CSTR dengan reaksi orde satu
Parameter-parameter yang kita gunakan dalam model matematika tidak pernah diketahui secara eksak. Untuk banyak model diselesaikan pada buku ajar,
evaluasi efek solusi dari kesalahan pada parameter.
• 20% pada laju reaksi konstan k
• 20% pada heat transfer coefficient
• 5% pada laju alir dan valume tangki
Bagaimana kamu mempertimbangkan kesalahan pada banyak parameter dalam masalah yang sama?
Cek responmu dengan mensimulasikan menggunakan m-file MATLAB
Tentukan persamaan yang diselesaikan untuk solusi numerik Euler untuk respon dinamik dari soal draining tank. Juga, berikan estimasi harga awal yang baik untuk integration time step, t, dan jelaskan rekomendasimu
Bagaimana yang sedang kita lakukan?
Bab 3: Pemodelan Matematika
• Merumuskan model dinamik didasarkan pada prinsip neraca
• Menyelesaikan model dinamik orde satu yang sederhana
• Menentukan aspek kunci yang bagaimana dari dinamik bergantung pada disain dan operasi proses
Banyak perbaikan, tapi kita perlu beberapa studi lagi!
• Baca textbook
• Tinjau catatannya, khususnya tujuan pembelajaran dan workshop
• Uji coba nasihat-nasihat belajar mandiri
• Home page
- Instrumentation Notes
- Interactive Learning Module (Chapter 3) - Tutorials (Chapter 3)
- M-files in the Software Laboratory (Chapter 3)
• Baca bagian pemodelan dinamik pada buku ajar sebelumnya - Felder and Rousseau, Fogler, Incropera & Dewitt
• Buku ajar lain dengan soal yang diselesaikan
- Lihat kerangka kuliah dan buku pada cadangan di Thode
1. Diskusikan kenapa kita memerlukan bahwa derajat kebebasan untuk sebuah model harus nol. Apa ada pengecualian?
2. Berikan contoh-contoh persamaan konstitutif dari kuliah teknik kimia sebelumnya. Untuk masing-masing, gambarkan bagaimana kita
menentukan harga paramater. Bagaimana keakuratan harga itu?
3. Siapkan satu pertanyaan untuk setiap jenis dan bagikan dengan kelompok belajarmu: B/S, pilihan ganda, dan pemodelan.
4. Menggunakan m-file MATLAB, tentukan efek besaran step masukan pada keakuratan model linearisasi untuk CSTR dengan reaksi orde dua.
5. Untuk kombinasi parameter fisik apa, sebuah model orde satu akan memperkirakan berikutnya?
• Sebuah respon osilasi terhadapan oscillatory response to a step input
• sebuah output yang naik tanpa batas
• sebuah output yang berubah sangat pelan
6. Siapkan secangkir kopi atau teh hangat yang segar. Ukur suhu dan catat suhu dan waktu hingga mencapai suhu lingkungan.
• Plot datanya.
• Diskusikan bentuk grafik suhunya.
• Dapatkah kamu menggambarkannya dengan respon dengan sebuah parameter kunci?
• Turunkan model matematika dan bandingkan dengan hasil eksperimenmu