PENAKSIR YANG EFISIEN DARI KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA. Mahasiswa Program S1 Matematika

Repository FMIPA 1 PENAKSIR YANG EFISIEN DARI KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK

UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA

Stevani Samosir1*, Arisman Adnan2, Haposan Sirait2 1

Mahasiswa Program S1 Matematika 2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293

*

stevanisamosir2015@gmail.com

ABSTRACT

In this article we discuss three combined ratio-product estimators for population mean in stratified random sampling proposed by Singh et al. [3]. These estimators are biased so that the Mean Square Error (MSE) for each estimator is calculated to obtain which one is more efficient. This comparison shows that Yˆ₁estimator is the most efficient estimator among those three.

Keywords: Stratified random sampling, bias estimator, mean square error

ABSTRAK

Dalam artikel ini kami membahas tiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata yang diajukan oleh Singh et al. [3]. Masing-masing penaksir merupakan penaksir bias. Selanjutnya untuk menentukan penaksir yang efisien dilakukan dengan membandingkan Mean Square Error (MSE) masing-masing penaksir. Kemudian diperoleh bahwa penaksir rasio-produk Yˆ₁ adalah penaksir yang paling efisien diantara ketiga penaksir.

Kata Kunci: Sampling acak berstrata, penaksir bias, mean square error

1. PENDAHULUAN

Dalam menaksir suatu parameter, ada beberapa metode yang digunakan sehingga sampel yang diambil dapat mewakili populasi. Salah satu metode tersebut adalah sampling acak berstrata. Sampel yang diambil harus mencerminkan semua unsur dalam populasi. Untuk meningkatkan ketelitian penaksir pada sampling acak berstrata,

Repository FMIPA 2 digunakan beberapa jenis penaksir diantaranya penaksir rasio, penaksir produk dan penaksir rasio-produk. Di dalam metode penaksir rasio-produk, misalkan X adalah variabel pendukung dan Y adalah variabel yang akan diteliti, maka setiap akan berhubungan dengan untuk setiap unit ke-i di dalam sampel, dimana adalah unit dari populasi berkarakter dan adalah unit dari populasi berkarakter [2].

Singh et al [3] memberikan tiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi yaitu Yˆ₁,Yˆ₂ dan Y . Kemudian dari ketiga penaksir tersebut ditentukan bias dan ˆ₃ MSE. Selanjutnya dengan membandingkan MSE dari masing-masing penaksir maka diperoleh penaksir yang relatif lebih efisien diantara ketiga penaksir tersebut. Penaksir yang memiliki nilai MSE terkecil merupakan penaksir yang paling efisien. Artikel ini merupakan review dari jurnal yang berjudul “Some Improved Estimators For Estimating Population Mean In Stratified Sampling” di Journal of Science Research [3].

Sampling Acak Sederhana

Sampling acak sederhana merupakan sebuah metode yang digunakan untuk mengambil n unit sampel dari N unit populasi sehingga setiap unit populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi unit sampel. Dalam hal ini pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian agar hasil yang diperoleh menjadi representatif [2].

Pada pengambilan sampel tanpa pengembalian probabilitas terpilihnya n dari N

populasi terpilih menjadi unit sampel pada pengambilan pertama adalah n N , probabilitas pada pengambilan kedua adalah



n1

 

N1



, sampai probabilitas pada pengambilan ke- n yaitu 1



Nn1



, sehingga peluang seluruh n unit-unit tertentu yang terpilih dalam n pengambilan adalah



_NC_n



1.

Teorema 2.1[2: h.27] Apabila sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang berkarakter Y, dengan sampling acak sederhana tanpa pengembalian maka variansi rata-rata sampel y dinotasikan dengan V

 

y dan dirumuskan sebagai

 



1



2. 2 y y S n f N n N n S y V    

Teorema 2.2 [2 : h. 29] Jika , adalah pasangan yang bervariasi dalam unit populasi dan ̅, ̅ adalah rata-rata dari sampel acak sederhana berukuran , maka kovariansi adalah

 

_







      N i i i Y x X y N n f x y Cov 1 1 1 1 , .

Sampling Acak Berstrata

Penarikan sampel acak berstrata merupakan teknik penarikan sampel dengan mengelompokkan unsur-unsur populasi ke dalam kelompok homogen, yang disebut

Repository FMIPA 3 strata. Kemudian dalam setiap setiap strata dilakukan pemilihan sampel secara sampling acak sederhana.

Untuk menentukan bias dan MSE suatu penaksir pada sampling acak berstrata, diperlukan beberapa definisi dan teorema.

Teorema 2.3[2: h.105] Untuk penarikan sampel acak berstrata, variansi dari dari y_st

adalah , ) ( 2 1 2 h yh h h h L h h st n S N n N y V     denganV(y_h) merupakan variansi dari y_h.

Bukti:Dapat dilihat pada [2: h.105].

Teorema 2.4[2: h. 29] Jika , adalah pasangan yang bervariasi dalam unit populasi dan ̅ , ̅ adalah rata-rata dari sampel acak berstrata berukuran , maka kovariansinya adalah



,



. 1 2 yxh h L h h st st x S y Cov



   

Bukti:Dapat dilihat pada [2: h.29].

2. KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA

Bentuk umum penaksir kombinasi rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata, dinotasikan dengan ̅ yang didefinisikan sebagai

, ˆ X R Y_RC  _C dengan ˆ . st st C x y R 

Bentuk umum penaksir kombinasi produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata, dinotasikan dengan ̅ didefinisikan sebagai

, ˆ X P Y_PC  C

dengan Pˆ_C x_sty_st, merupakan penaksir untuk P XY.

Dalam artikel ini dibahas tiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata, yaitu

(i) ˆ₁ 2 ,                 w st st X x y Y (1)

Repository FMIPA 4 (ii)

_



_



p st st st h st st x X b x x X a x y Y _           2 ˆ _{, (2)} dimana



  n i ih h x a 1

merupakan total jumlah sampel dari X pada strata ke- h

h h

n a

p merupakan proporsi sampel strata ke- h

        



1 2 2 xh yxh h L h h S S

b   _{merupakan koefisien regresi sampel y terhadap x.}

(iii)









                  w st st st X x x X k y k Yˆ_{3 31 32} 2 , ₍₃₎

dimana k₃₁dan k₃₂ merupakan nilai optimum dari MSE penaksir Yˆ₃.

Ketiga kombinasi penaksir rasio-produk tersebut merupakan penaksir bias. Kemudian ditentukan MSE dari masing-masing penaksir. Dengan membandingkan MSE dari ketiga penaksir, diperoleh penaksir yang relatif lebih efisien.

3. BIAS DAN MSE KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA

Bias dan MSE dari ketiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adalah sebagai berikut.

Dari persamaan (1) diperoleh bias dan MSE dari penaksir Yˆ₁, yaitu

 





, 2 1 ˆ 2 1 2 1             _Y S X S w wR Y B xh yxh h L h h   (4)

 

ˆ



2 2 2 2 2



, 1 2 1 h yh xh yxh L h h wRS S R w S Y MSE       (5) dengan N N_h h   , , X Y R ( ) , h h h h h N n n N    1 ) ( 1 2 2      h h N i hi h yh N Y y S , 1 ) ( 1 2 2      h h N i hi h xh N X x S dan 1 ) )( ( 1       h h N i hi h hi h yxh N X x Y y S

Repository FMIPA 5 Dari persamaan (2) diperoleh bias dan MSE dari penaksir Yˆ₂, yaitu

 

ˆ ₂ 2 , 1 2 2             _    h xh yxh L h h S Y X A S X B Y Y B   (6)

 



2 2 2 2



1 2 2 2 ˆ xh yxh yh h L h h S ARS A R S Y MSE 



     , (7) dengan



a b



p A _h  dan













2 2 2 2 2 2 b a a b p b a p B h    h  h  .

Dari persamaan (3) diperoleh bias dan MSE dari penaksir Yˆ₃, yaitu

 









      _    





  2 1 2 2 1 2 31 31 3 2 1 1 ˆ xh h L h h yxh h L h h S X w w S Y X w Y k k Y Y B     2 1 2 32 xh h L h h S X wk _{ }



  (8)

 



1



2 2 2 , ˆ 32 31 32 31 2 2 32 2 2 31 2 31 2 3 Y k k A k B k C k D k k E Y MSE        (9) dengan







yh xh yxh



h L h h RS S R w S w A 2 1 2 2 4 1 2 2        , 2 1 2 2 h xh L h h S B



    , 2 1 2 xh h L h h RS w D



    ,





      _  



 2 2 1 2 2 1 xh yxh h L h h R S w RS w C   dan



2 2



. 1 2 yxh xh h L h h S wRS E     

4. KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK YANG EFISIEN

Penaksir yang efisien dapat ditentukan dengan cara membandingkan MSE dari masing-masing penaksir yang diajukan sebagai berikut.

1. Perbandingan MSE

 

Yˆ₂ dengan MSE

 

Yˆ₁ diperoleh MSE

 

Yˆ₂  MSE

 

Yˆ₁ , jika

p w a b _h  dan     L h xh yxh h pRS S p w a b 1 2 2 atau p w a b _h  dan     L h xh yxh h pRS S p w a b 1 2 2 . (10)

Repository FMIPA 6 2. Perbandingan MSE

 

Yˆ₃ dengan MSE

 

Yˆ₁ diperoleh MSE

 

Yˆ₃  MSE

 

Yˆ₁ , jika

 1 31 31 2 31 k k k   , (11) dengan  



 

 











, 2 2 2 2 32 32 2 3 2 2 2 32 2 32 2 1 31 A Y B k D k Y A A Y k C Y k C Y k              



 

 











2 2 2 32 32 2 3 2 2 2 32 2 32 2 2 31 2 A Y B k D k Y A A Y k C Y k C Y k             dan



2 2 2 2 2



. 1 2 3 h yh xh yxh L h h S w R S wRS A 



    

3. Perbandingan MSE

 

Yˆ₃ dengan MSE

 

Yˆ₂ diperoleh MSE

 

Yˆ₃ MSE

 

Yˆ₂ , jika  3 31 31 4 31 k k k   , (12) dengan  



 

 











, 2 2 2 2 32 32 2 3 2 2 2 32 2 32 2 3 31 A Y B k D k Y B A Y k C Y k C Y k              



 

 











2 2 2 32 32 2 3 2 2 2 32 2 32 2 4 31 2 A Y B k D k Y B A Y k C Y k C Y k             dan



2 2 2 2 2



. 1 2 3 h yh yxh xh L h h S ARS A R S B 



     5. CONTOH

Data pada Tabel 1 merupakan produksi ikan laut

 

Y berdasarkan luas area budidaya laut

 

X di Indonesia pada tahun 2013 [1].

Tabel 1. Luas area budidaya laut dan hasil produksi ikan laut di Indonesia tahun 2013

No Provinsi Luas area

(ha)2013 Hasil Produksi (ton)013 1 Aceh 1 84 2 Sumatera Utara 18 4,348 3 Sumatera Barat 3 335 4 Riau 0.332 5 5 Kepulauan Riau 0 0 6 Jambi 0 0

Repository FMIPA 7

7 Sumatera Selatan 5 23

8 Kepulauan Bangka Belitung 785 7,142

9 Bengkulu 77 779 10 Lampung 2,605 15,927 11 DKI Jakarta 24 2,517 12 Jawa Barat 157 1,528 13 Jawa Tengah 55 14,211 14 DI Yogyakarta 0 0 15 Jawa Timur 134,832 580,683 16 Banten 835 21,930 17 Bali 997 146,192

18 Nusa Tenggara Barat 15,622 599,742 19 Nusa Tenggara Timur 9,796 1,846,350

20 Kalimantan Barat 2 177 21 Kalimantan Tengah 5 88 22 Kalimantan Selatan 123 2,426 23 Kalimantan Timur 7,661 249,746 24 Sulawesi Utara 2,859 174,052 25 Sulawesi Tengah 24,369 1,234,021 26 Sulawesi Selatan 41,534 1,661,417 27 Sulawesi Tenggara 27,268 918,245 28 Gorontalo 533 104,047 29 Sulawesi Barat 1,551 33,127 30 Maluku 51,977 586,106 31 Maluku Utara 1,267 98,312 32 Papua Barat 843 75,565 33 Papua 20 146 Total se-Indonesia 325,825 8,379,271 Sumber www.bps.go.id. Dengan menggunakan data pada Tabel 1 ditentukan kombinasi penaksir rasio-produk yang efisien untuk menaksir rata-rata produksi ikan laut dengan menggunakan syarat efisien yang diperoleh sebelumnya dan secara umum dapat ditunjukkan dengan menghitung MSE dari masing-masing penaksir yang diberikan. Dengan menggunakan Microsoft Excel diperoleh beberapa informasi tambahan yang disajikan pada Tabel 2.

Tabel 2. Informasi tambahan untuk memandingkan ketiga MSE penaksir

1 3 2 4 5

10 9 4 8 2

4 2 3 3 1

̅ 2864.3 357017 63109.25 601165.875 10 ̅ 349.4 18035.33333 1947.75 18919.75 431.5

Repository FMIPA 8 ̅ 5152.5 302070.5 88.33333333 597618.6667 146 ̅ 39.25 67912 2.333333333 14784 20 26,918,569.79 372,630,900,804.76 10,880,408.52 44,517,083.22 10,630,371,144,500.60 687,526.04 1,950,015,588.30 60,808,754,072.51 815,508,289.29 35,545,790,489.21 4,136,432.42 6,000,344,218.60 24,015,647,827.57 19,632,983,147.91 194,919,783,926.75

dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh pada Tabel 2 ke persamaan (10), (11) dan (12), maka diperoleh

(i) MSE

 

Yˆ₁ MSE

 

Yˆ₂ jika 0.477235 (ii) MSE

 

Yˆ₁  MSE

 

Yˆ₃ jika 0.5230.087

(iii)MSE

 

Yˆ₃ MSE

 

Yˆ_{2 jika}



3

.

325





0

.

087



5

.

096

Selanjutnya nilai MSE dari masing-masing penaksir disajikan pada Tabel 3. Tabel 3. Nilai MSE dari masing-masing penaksir

No Penaksir MSE 1 1 ˆ Y 4.33E+10 2 2 ˆ Y 1.54E+12 3 3 ˆ Y 3.67E+11

Berdasarkan Tabel 3, dapat dilihat bahwa penaksir Yˆ₁ memiliki nilai MSE yang terkecil.

6. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada artikel ini,dapat disimpulkan bahwa kombinasi penaksir rasio-produk Yˆ₁ lebih efisien dari penaksir Yˆ₂ dan penaksir Yˆ₃.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Badan Pusat Statistik. Tabel Luas Area Budidaya Perikanan Menurut Provinsi dan Jenis Budidaya. Available from: http://www.bps.go.id//tmmn_pgn.

Diakses pada 11 Maret 2015.

[2] Cochran, W. G. 1977. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terjemahan dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R. Osman. UI Press, Jakarta.

[3] Singh, R., V. K. Singh & A. A. Adewara. 2013. Some Improved Estimators for Estimating Population Mean in Stratified Random Sampling. Journal of Science Research, 57: 154-164.

[4] Sukhatme, P. V. 1957. Sampling Theory of Surveys with Applications. The Indian Council of Agricultural Research, New Delhi.