1. Rata-rata Hitung - UKURAN GEJALA PUSAT2

(1)

UKURAN GEJALA PUSAT (UGP) Pengertian:

Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data.

Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah: 1. Mayor Means terdiri dari:

¾ Rata-rata hitung (Arithmetic means) ¾ Median

Quartile Decile Percentile ¾ Modus

2. Minor Means, terdiri dari:

¾ Rata-rata ukur (Geometric means) ¾ Rata-rata Harmonis (Harmonic Means) ¾ Rata-rata Tertimbang

¾ Rata-rata Kuadratis

¾ Rata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)

Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah dikelompokkan.

1. Rata-rata Hitung

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai merata atau yang mempunyai nilai dengan sebaran nilai yang relatif kecil

9 Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka. 9 Tidak dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.

9 Tidak dapat digunakan untuk kelompok data yang mempunyai data ekstrim. 9 Data yang digunakan adalah data yang mempunyai skala pengukuran interval atau

(2)

9 Harganya unik atau hanya mempunyai satu nilai.

2. Rata-rata Tertimbang

Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel yang mempunyai tingkat pengukuran interval/rasio dengan hasil pengukuran X1, X2, …XN. Masing-masing hasil pengukuran mempunyai bobot B1, B2, … BN, maka rata-rata didefinisikan sebagai rata-rata tertimbang.

3. Median

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai ekstrim.

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka atau tertutup. 9 Dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.

4. Modus

Adalah suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai frekuensi tertinggi atau bilangan yang sering muncul.

9 Dapat digunakan untuk data yang mempunyai skala pengukuran minimal adalah nominal.

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan yang ‘merajalela’.

Quartile

Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama.

Decile

Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama.

Percentile

(3)

n

X

=

∑

i

Rara-rata Ukur

Rata-rata ukur biasanya digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio. Digunakan bila perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap. Skala pengukuran yang digunakan minimal adalah interval

RUMUS-RUMUS UGP

A. Ungrouped Data (n ≤ 30)

Populasi Sampel

Contoh :

Nilai ujian dari 5 orang mahasiswa yang diambil sebagai sampel dari sebuah populasi adalah 80, 80, 75, 95, 100. Tentukan rata-rata nilai ujian kelima orang mahasiswa tersebut.

86

5

430

5

100

95

75

80

80 =

=

+

=

x

data di atas merupakan data yang belum dikelompokkan.

N

X

_i

∑

=

(4)

2. Rata-rata tertimbang

∑

=

_n

i

n

i

b

X

1

b = timbangan

Contoh :

Seorang peneliti ingin memperoleh keterangan berapa persen pada rata-ratanya penduduk dewasa yang buta aksara di desa A, B, C dan D. data untuk keperluan itu, diperoleh dan disajikan pada tabel berikut:

Desa % Buta Aksara (Xi)

Jumlah Penduduk (Bi)

Xi.Bi (%)

A 11 3843 42273

B 8 2100 16800

C 3 1968 5904

D 16 2940 47040

38 10851 112017

10,3232%

10851

112017

1

1 =

=

∑

=

n

i

n

i

b

X

3. Median (Me)

Populasi : Letak Median = ½(N + 1) Sampel : Letak Median = ½(n + 1)

(5)

Contoh:

(6)

Letak P25 =

(

)

(

)

100

1

8

25

100

1 .

+

=

+

=

i

n

P

_i _{= 2,25}

Besar P25 = 8 + 0,25 (17-8) = 10,25

7. Modus (Mo)

Bilangan yang sering terjadi (sering muncul) dalam suatu deretan bilangan data. Contoh :

Daerah Status Perkawinan

A B

Tidak Kawin 1341 906

Kawin 692 2934 Janda / duda 118 131

Cerai 98 102 Maka modus status perkawinan adalah :

Daerah A adalah Tidak Kawin Daerah B adalah Kawin

8. Rata-rata Ukur (Mg)

n

X

Mg

=

₁

.

₂

...

_Atau

n

X

Mg

=

∑

log

i

log

_dimana

mg = rata-rata ukur

Dari 6 buah bilangan :

12,0 23,2 48,1 95,0 200 394,2

Rata-rata ukur :

( )(

)( )( )( )(

)

6

₁₂

₂₃

_,

₂

₄₈

_,

₁

₉₅

₂₀₀

₃₉₄

_,

₂

=

mg

_{= 68,163}

( )

(

)

1 1,83354742

6

3 11,0012845

6

2 ,

394 log

...

12 log

log

Mg

=

+

=

(7)

9. Rata-rata pertumbuhan penduduk

(

)

t

r

Po

Pt

=

1 +

_dan

=

t

−

1 Po

Pt

r

Po = Kuantitas pada periode 0 (periode awal) Pt = Kuantitas pada periode ke t

t = Periode r = Pertumbuhan Contoh:

Catatan di suatu daerah, jumlah penduduk berdasarkan perubahan:

Tahun Pertumbuhan (%) 1985 2 1986 1,5 1987 -1 1988 1,3 1989 -0,2 Pertanyaan :

Berdasarkan data di atas, berapa perkiraan jumlah penduduk tahun 1990 bila pada tahun 1985 terdapat satu juta orang?

Jawab :

( )(

1 ,

02

1 ,

015 )(

0 ,

99 )(

1 ,

013 )(

0 ,

998 )

1 ,

007

5 =

=

mg

atau 0,7% maka, dik:

Po = 1.000.000

r = 0,007

t = 5

(

)

(

)

5

007 ,

0

1 1000000

1 +

=

+

=

t

r

Po

Pt

_=1.035.493,4

(8)

10. Rata-rata Gabungan

Contoh:

Sebuah sampel yang berukuran 200 telah dibagi menjadi 3 bagian: Bagian I terdiri dari 60 objek : rata-ratanya 40,8

Bagian II terdiri dari 105 objek : rata-ratanya 36,7 Bagian III terdiri dari 35 objek : rata-ratanya 29,9 Tentukan rata-rata gabungan dari 3 bagian di atas

Dik: n1 = 60

x

=

40 ,

8

11. Rata-rata Harmonis

⎟⎟

(9)

B Grouped Data (n > 30 data dalam DF)

Cara panjang

∑

Digunakan untuk mempermudah perhitungan. Caranya:

¾ Membuat transformasi di salah satu kelas = 0. Dengan cara:

Bisa diambil pada nilai frekuensi yang terbesar. Atau

i

¾ Ci adalah interval kelas

(10)

Nilai Ujian Xi fi ui ui.fi

30-39 34,5 5 -3 -15

40-49 44,5 8 -2 -16

50-59 54,5 15 -1 -15

60-69 64,5 37 0 0

70-79 74,5 25 1 25

80-89 84,5 10 2 20

100 -1

Cara Pendek

4 ,

64

1 ,

0

5 ,

64

10 .

100

1

5 ,

64

1

0 =

−

=

−

+

=

+

=

∑

=

i

n

i

C

f

u

f

X

2. Median

Letak Me = ½ n menunjukkan kelas median

i

C

f

F

N

i

L

Me

−

+

=

2

L = Tepi batas bawah kelas Median N = Jumlah Data

C = Panjang Kelas Me

(11)

Contoh :

Nilai ujian untuk 100 orang mahasiswa statistika adalah :

Nilai Ujian Xi fi f kumulatif

5. Percentile

(12)

Kuartil Pertama (Q1) : ada pada kelas ke-4 (60-69)

Persentil 10 (P10) :

Letak kelas P10 adalah = 100(10/100)= 10 ada pada kelas ke-2 (40-49)

6. Modus

C = Panjang kelas/interval kelas

(13)

b1 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya

b2 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudahnya

Contoh :

Data berikut adalah nilai ujian statistika dari 100 orang mahasiswa

Nilai Ujian fi Xi fi.Xi

Modus dari nilai ujian ke 100 orang mahasiswa tersebut adalah:

(

)

30-39 34,5 5 1,537819 7,689095 40-49 44,5 8 1,64836 13,18688 50-59 54,5 15 1,736397 26,04595 60-69 64,5 37 1,80956 66,95371 70-79 74,5 25 1,872156 46,80391 80-89 84,5 10 1,926857 19,26857

100 179,9481

(14)

8. Rata-rata Harmonis

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Σ

=

i

X

f

H

Contoh (Lihat Buku Sudjana “Metoda Statistika” hal 76)

Soal Satu

Pengawas kualitas di perusahaan industri batere memilih 21 buah batere secara acak guna diuji daya tahannya. Hasil pengujian tersebut dinyatakan dalam jam sebagai berikut:

158 242 127 184 213 135 140 220 193 131

281 242 242 281 192 200 130 111 160 217 217 Pertanyaan:

a. Carilah rata-rata hitung, median, modus dari daya tahan batere tersebut. b. Kesimpulan apakah yang bisa saudara tarik dari ketiga rata-rata tersebut. Soal Dua

Umur Banyaknya Mahasiswa 18-20 50 21-25 750 26-30 100 jumlah 900 Hitung rata-rata hitungnya dengan metoda UGP yang paling tepat.

Soal Tiga

Suatu penelitian dilakukan terhadap 100 peti barang dalam rangka meneliti barang rusak dalam tiap peti.

Didapat data sebagai berikut:

Tabel XX Barang yang Rusak Banyaknya barang rusak

Dalam tiap peti

Banyaknya peti

Kurang dari 4 20

5 – 9 39

10 – 14 23

15 – 19 11

20 – 24 7

Sumber: Fiktif

(15)

a. Berapa rata-rata banyaknya barang rusak dalam tiap peti (gunakan metoda UGP yang paling tepat)

b. Jika dinyatakan, setiap peti diijinkan keluar gudang jika hanya berisi barang rusak paling banyak 12 barang, berapa jumlah peti yang memenuhi syarat tersebut? Soal Empat

PT. ABCDEF melaksanakan penarikan pegawai baru sebanyak 50 orang. Suatu tes mata pelajaran Matematik telah dilaksanakan dan didapat hasil sebagai berikut:

Nilai Jumlah 52-58 3 59-65 7 66-72 9 73-79 18 80-86 7 87-93 6

Untuk diterima sebagai pegawai ditentukan nilai tes matematik tertinggi paling sedikit 66. Berapa orang calon pegawai yang dapat diterima dan berapa yang tidak dapat diterima.

Soal Lima

Jumlah uang saku yang diterima sekelompok pelajar perbulannnya, tersaji dalam distribusi frekuensi berikut :

(dalam ribuan Rupiah) Besarnya uang

saku

Jumlah mahasiswa

< 30 8

30 – 39 15

40 – 49 22

50 – 59 25

60 – 69 15

70 – 79 10

> 79 5

TOTAL 100

a) Berapa rata-rata uang saku yang diberikan oleh para orang tua mereka dalam setiap bulannya ?

b) Bila ditetapkan 15% dari kelompok pelajar tersebut dianggap kurang mampu dan akan mendapat beasiswa dari POMA, maka tentukanlah batas maksimal uang saku perbulan yang diterima kelompok tersebut agar berhak menerima beasiswa itu.

(16)

yang termasuk dalam kelompok orang tuanya lebih mampu? Berapakah rata-rata uang saku yang sebagian besar diterima oleh kelompok pelajar tersebut di atas?

Soal Enam

Berikut ini data mengenai nilai ekspor Indonesia tahun 1981 s/d 1986 pada sektor industri yang didapatkan dari BPS dalam jutaan US.

Tahun 1981 1982 1983 1984 1985 1986

Nilai Eks 2.598 2.800 3.141,4 3.896,5 4.164,8 4.419,3

A. Hitunglah rata-rata nilai ekspor Indonesia tiap tahunnya pada periode 1983 – 1986

B. Berapa rata-rata tingkat pertambahan ekspor Indonesia tiap tahunnya menurut data di atas.

C. Bila rata-rata tingkat pertambahan dianggap tetap, dalam berapa tahunkah nilai ekspor berjumlah dua kali lipat dari nilai ekspor tahun 1981.

Distribusi Frekuensi untuk Interval Kelas Berbeda:

Untuk menggunakan formulasi kodding u, digunakan formulasi :

I X X

u i

i

0

− =

dimana :

XI : titik tengah kelas interval ke-i

X0 : titik tengah kelas interval dimana uI dihargakan nol.

I : panjang kelas interval yang dibuat standar

Contoh:

Nilai Ujian fi Xi

10 5 , 64

− = i i

X

(17)

2

Contoh lainnya :

(18)

625 ,

187

125 ,

13

5 ,

174

50 .

100

25 ,

26

5 ,

174

1 0

=

+

=

+

=

+

=

∑

=

i i n

i i i

C

f

u

f

X