PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG

A. Pengertian Peubah Acak

Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.

Contoh 2.1

Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y dinyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak y adalah

Hasil suatu percobaan statistika mungkin saja tak berhingga ataupun tak terhitung. Selang waktu yang dapat dibuat untuk ruang sampel banyaknya tak berhingga dan tak terhitung, jadi terlihat sekarang bahwa ruang sampel tidak selalu diskret

Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Karena kemungkinan nilai y pada contoh 2.1 adalah 0, 1, dan 2, maka y peubah acak diskret

B. Distribusi Peluang Diskret

Definisi 2.1 Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Definisi 2.2 Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret

Definisi 2.3 Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu

Ruang sampel y

MM MH HM HH

Contoh 2.4

Bila 50% mobil yang dijual oleh suatu agen bermesin diesel, cari rumus distribusi peluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi ke 4 mobil berikutnya yang dijual oleh agen tersebut.

Jawab

Karena peluang menjual mobil bermesin diesel atau bensin 0,5 ke 24 _{= 16 titik pada} ruang sampel mempunyai peluang yang sama. Jadi, pembagi untuk semua peluang dan juga untuk fungsi peluang adalah 16. Untuk mencari banyaknya cara menjual 3 mobil bermesin diesel diperlukan memandang banyaknya cara membagi 4 hasil menjadi 2 bagian dengan 3 mobil bermesin diesel pada suatu bagian dan bermesin bensin untuk yang lainnya. Ini dapat dibuat dalam

(

4

3

)

= 4 cara. Umumnya, kejadian menjual x mobil bermesin diesel dan 4-x bermesin bensin dapat terjadi dalam

(

4_x

)

cara, x bernilai 0, 1, 2, 3 dan 4. Jadi distribusi peluang f(x) = P(X = x) adalah

F(x) =

(

4

x

)

16

untuk x = 0, 1, 2, 3, 4

Dalam banyak soal diperlukan menghitung peluang bahwa nilai amatan peubah acak X akan lebih kecil atau sama dengan suatu bilaingan real x. Bila F(x) = P(X ≤ x) untuk setiap bilangan real x, namakan F(x) sebagai distribusi kumulatif/tumpukan

Contoh 2.5

Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalam contoh 2.4. dengan menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8.

Jawab

Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh 2.4 diperoleh Definisi 2.4 Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) merupakan

suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk semua kemungkinan hasil x

1. f(x) ≥ 0 2. ∑ f(x) = 1 3. p(X = x) = f(x)

Definisi 2.5 Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak diskret X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

Jadi

F(0) = f(0) = 1/16 F(1) = f(0) + f(1) = 5/16

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16 F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16 F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 Sehingga

f (x) =

{

0bila x<0 1/16bila0≤ x<1 5/16bila1≤ x<2 11/16bila2≤ x<3 15/16bila3≤ x<4

1bila x ≥4

Sekarang

f(2) = F(2)-F(1) = 11 16 -

5 16 =

3 8

C. Distribusi Peluang Kontinu

Contoh 2.6

Misalkan bahwa galat suhu reaksi dalam 0_{C pada percobaan laboratorium yang} dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang

f(x)=

{

x

2

3 ,∧−1<x<2 0,∧untuk x lainnya

a. Tunjukkanlah bahwa syarat 2 definisi 2.6 dipenuhi b. Hitung P(0 < x ≤ 1)

Jawab

Definisi 2.6 Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefinisikan diatas himpunan semua bilangan real R, bila

1. f(x) ≥ 0 untuk semua x € R

2.

∫

−∞ ∞

a.

∫

Carilah F(x) dari fungsi padat pada contoh 2.6dan kemudian hitunglah P(0 < X ≤ 1) Jawab Distribusi tumpukan F(x) P(0 < X ≤ 1) = F(1)-F(0) = 2

adalah suatu daftar yangmenunjukkan penggolongan kumpulan data dimana termasuk penentuan berapa bilangan yang termasuk kedalam setiap golongan tersebut.

Para ilmuwan dan enjinir hanya memiliki himpunan data.

Oleh karena itu penting untuk mencirikan atau meringkas sifat himpunan data tersebut dengan cukup jelas. Seringkali dalam eksperimen yang menyangkut peubah acak kontinu, fungsi padat f(x) tidak diketahui. Oleh karena itu, himpunan data tersebut digunakan untuk menaksir f(x)

Langkah awal dalam menaksir f(x) adalah membuat distribusi frekuensi nisbi (nisbi = Definisi 2.7 Distribusi kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah

acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh

F(x) = P(x ≤ x) =

∫

−∞ x

frekuensi data dalam setiap interval dapat digunakan untuk menentukan frekuensi nisbinya. • Sebagai contoh, misalkan umur 40 batere mobil yang serupa dicatat dimana yang dalam hal ini umur tersebut dibulatkan sampai persepuluhan tahun

---2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.6 3.4 1.6 3.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.7 2.5 4.3 3.4 3.6 2.9 3.3 3.9 3.1 3.3 3.1 3.7 4.4 3.2 4.1 1.9 3.4 4.7 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0 4.2 3.5 Umur Batere Mobil

Misalkan dipilih 7 interval kelas, panjang interval adalah (4.7 – 1.6)/7 = 0.443 ≈ 0.5

E. Distribusi Peluang Gabungan

Contoh 2.8

Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 isi warna merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang bewarna biru dan Y warna merah yang terpilih, hitung lah

a. Fungsi peluang gabungan f(x,y)

b. P[(X,Y) € A], bila A daerah {(x,y)│x + y ≤ 1} jawab

a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), (2,0).

f(x,y) ¿

(

3

x

)(

2

y

)(

3 2−x−y

)

(

8 2

)

,

x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2; 0 ≤ x + y ≤ 2

Definisi 2.8 Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang peubah acak diskret X dan Y bila

1. F(x,y) ≥ 0 untuk semua (x,y) 2. ∑x ∑y f(x,y) = 1

3. P(X = x, Y = y) = f(x,y)

b. P[(X,Y) € A] = P(X + Y ≤ 1)

= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)

= 3 28 +

3 14 +

9 28

= 9 14

Contoh 2.9

Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat dengan campuran krem, tofe, dan kacang berlapis coklat cerah dan pekat. Bila kotak dipilih secara acak, serta X dan Y masing-masing manyatakan proporsi yang krem berlapis coklat cerah dan pekat dan misalkan bahwa fungsi padat gabungannya ialah

f(x)=

{

2

5(2x+3y),∧0≤ x ≤1, 0≤ y ≤1 0,∧untuk x , y lainnya .

a. Tunjukkan bahwa syarat 2 definisi 2.9 dipenuhi b. Cari P[(X,Y) € A], bila A daerah {(x,y)│0 < x < 1

2 , 1

4 < y < 1 2 } Jawab

a.

∬

−∞ ∞

f(x , y) dxdy =

∫

0 1

∫

0 1

2

5 (2x + 3y) dxdy

=

_∫

1

2x2 ₊ 6xy

│ x=1 _dy

Definisi 2.9 Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabungan peubah acak kontinu X dan Y bila

1. F(x,y) ≥ 0 untuk semua (x,y)

2.

∬

−∞ ∞

=

Tunjukkan bahwa jumlah lajur dan baris 2.6 memberikan distribusi pias dari X sendiri dan Y sendiri.

Jawab

Untuk peubah acak X,

P(X = 0) = g(0) =

∑

y=0 2

f(0,y) = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2)

= ₂₈3 + ₁₄3 + ₂₈1 = ₁₄5

P(X = 1) = g(1) =

∑

y=0 2

f(1,y) = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)

= ₂₈9 + ₁₄3 + 0 = 15₂₈

P(X = 2) = g(2) =

∑

y=0 2

f(2,y) = f(2,0) + f(2,1) + f(2,2)

= ₂₈3 + 0 + 0 = ₂₈3

Yang merupakan jumlah lajur tabel 2.6 dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa nilai h(y) merupakan jumlah barisnya. Dalam bentuk tabel, distribusi pias ini dapat ditulis sebagai :

X 0 1 2

g(x) 5

14

15 28

3 28

Contoh 2.11

Kembali kecontoh 2.8 cari distribusi bersyarat X, bila Y = 1, dan gunakan ini untuk Definisi 2.11 Misalkan X dan Y dua peubah acak diskret maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y, bila diketahui X = x, dinyatakan oleh

F(y|x) = f(x , y)

g(x) , g(x) > 0

Begitupula, distribusi bersyarat peubah acak X, bila diketahui Y = y, dinyatakan oleh

F(x|y) = f(x , y)

h(x) , h(y) > 0

Y 0 1 2

h(y) 15 28

3 7

Jawab

Kita ingin mencari f(x│y) untuk y = 1. Pertama-tama ditemukan bahwa

h(1) =

∑

0 2

f(x ,1) = ₁₄3 + ₁₄3 + 0 = 3₇

sekarang

f(x│1) = f(x ,1)

h(1) =

7

3 f(x,1), x = 0,1,2 jadi

f(0│1) = 7

3 f(0,1) =

(

7 3

)(

3 14

)

=

1 2

f(1│1) = 7

3 f(0,1) =

(

7 3

)(

3 14

)

=

1 2

f(2│1) = 7

3 f(2,1) =

(

7

3

)

(0) = 0 dan distribusi bersyarat X, bila Y = 1, adalah

X 0 1 2

f(x│1 )

1 2

1 2

0

Akhirnya, P(X = 0│Y = 1) = f(0│1) = 1