Angka penting dan Pengolahan data

1

Angka penting dan Pengolahan data

Pendahuluan

P

engamatan merupakan hal yang penting dan biasa dilakukan dalam proses pembelajaran. Seperti ilmu pengetahuan lain, fisika berdasar pada pengamatan eksperimen dan pengukuran kuantitatif. Tujuan utama dari ilmu fisika adalah memperoleh sejumlah hukum dasar yang mengatur fenomena alam dan menggunakannya untuk memperoleh teori yang dapat memperkirakan hasil dari eksperimen. Hukum dasar yang dipergunakan untuk membangun teori dijabarkan dalam bahasa matematika, sebuah alat untuk menjembatani antara teori dan eksperimen.

Pada sebuah eksperimen akan dilakukan pengamatan, pengukuran, pencatatan data dalam bentuk yang teratur, diikuti dengan analisa data dan diakhiri dengan mengambil kesimpulan. Tujuan utama dari kerja laboratorium adalah memberikan dasar dalam ilmu eksperimen sehingga pada akhirnya mahasiswa dapat melakukan penelitian yang dapat dilakukan sendiri. Tujuan dasar dari kerja laboratorium fisika adalah membekali siswa agar :

1. Memperoleh pemahaman tentang konsep dan teori dasar ilmu fisika.

2. Terbiasa dengan berbagai jenis peralatan dan belajar bagaimana melakukan pengukuran yang dapat dipercaya (reliable).

3. Belajar bagaimana melakukan pengukuran yang benar berikut memahami kesalahan pengukurannya.

4. Belajar bagaimana menganalisis data.

5. Belajar bagaimana membuat grafik dan menganalisa hubungan antara besaran-besaran fisika.

2

Analisa Kesalahan

B

ila kita melakukan pembuktian hukum-hukum fisika atau mencari besaran fisis diperlukan pengukuran. Pembacaan skala pada voltmeter, stopwatch atau batang penggaris sebagai contoh, dapat diterapkan langsung pada serangkaian analisa terhadap besaran atau hukum yang sedang dipelajari. Ketidakpastian (uncertainty) dalam pembacaan, akan menghasilkan ketidakpastian pada hasil akhir. Sebuah pengukuran yang tanpa disertai ketidakpastian akan mengakibatkan penerapan yang terbatas. Untuk itu, penting sekali dalam perkuliahan dasar teknik laboratorium untuk memasukan pembahasan tentang ketidakpastian dalam setiap pengukuran. Ketidakpastian kadang disebut sebagai kesalahan/ralat (error) eksperimental.

Jenis-jenis Kesalahan Eksperimen

Dalam pengumpulan data, terdapat dua jenis kesalahan eksperimen yaitu kesalahan sistimatik (systematic error) dan kesalahan acak (random error) yang akan memberi andil dalam kesalahan pada pengukuran suatu besaran.

Kesalahan sistimatik ditimbulkan oleh sebab yang teridentifikasi dan pada prinsipnya dapat dihilangkan. Kesalahan sistimatik ada empat jenis, yaitu :

a. Instrumental – contoh: peralatan yang tidak terkalibrasi dengan benar, seperti termometer yang menunjukan suhu 102°C saat dicelupk an ke dalam air mendidih atau mununjukan suhu 2°C saat dicelupkan dalam air es pada tekanan atmosfir.

b. Pengamatan – contoh: paralaks dalam pembacaan skala

c. Lingkungan – contoh: tenaga listrik yang turun sehingga menyebabkan pengukuran arus menjadi terlalu rendah

d. Teori – disebabkan oleh penyederhanaan dari suatu model atau pendekatan pada persamaan, contoh: jika gaya gesek bekerja saat eksperimen namun gaya tersebut tidak dimasukan dalam teori, yang mengakibatkan antara eksperimen dan teori akan tidak sama.

Kesalahan acak merupakan perubahan negatif-positif yang mengakibatkan setengah dari pengukuran akan terlalu tinggi atau terlalu rendah. Sumber kesalahan acak tidak selalu dapat diidentifikasi. Sumber kesalahan acak yang mengkin adalah

a. Pengamatan – contoh : kesalahan dalam penilaian seorang pengamat saat pembacaan skala alat ukur pada bagian-bagian terkecil

3 Gbr 1. Data pengukuran (a) dengan kesalahan acak (b) dengan kesalahan acak dan sistimatik.

Setiap tanda menunjukan nilai pengukuran.

Analisa Statistik dari Kesalahan Acak

Jika besaran fisis, seperti pengukuran panjang dengan batang penggaris atau pengukuran waktu dengan stopwatch dilakukan berulang kali maka sebaran pembacaan disebabkan karena kesalahan acak. Untuk suatu kumpulan data, nilai rata-rata atau didefinisikan sebagai

∑

(1)

Dengan xi adalah harga pengukuran ke-i dan n adalah banyaknya pengukuran. Semua harga pengukuran akan tersebar disekitar nilai rata-rata seperti ditunjukkan dalam Gbr. 2. (dalam beberapa kasus, mendekati “nilai benar” jika n banyak sekali dan tidak ada kesalahan sistimatik). Sebaran yang kecil dari nilai pengukuran disekitar nilai rata-rata menunjukan tingkat presisi yang tinggi.

Gbr.2. Setiap tanda garis menunjukan hasil pengukuran. Nilai terukur tersebar disekitar nilai

rata-rata .

Nilai terbaik dari suatu pengukuran telah ditentukan dengan menghitung rata-rata ( ). Kita juga harus memperkirakan ketidakpastian atau kesalahan nilai tersebut. Standar deviasi didefinisikan sebagai

∑ (2)

Jika standar deviasi kecil, maka sebaran nilai terukur di sekitar nilai rata-rata akan kecil sehingga presisi dalam pengukuran menjadi tinggi. Catat bahwa deviasi standar selalu positif dan memiliki satuan yang sama dengan nilai terukur.

Kesalahan atau ketidakpastian nilai rata-rata ( ) adalah standar deviasi dari harga rata-rata (sm) yang didefinisikan sebagai :

√ (3)

nilai benar

b)

4 Dimana s adalah standar deviasi dan n adalah banyaknya pengukuran. Sehingga dapat dituliskan

∑

(4)

Hasil akhir pengukuran dituliskan sebagai

(5) Persamaan (5) memiliki makna bahwa kemungkinan nilai terukur akan berkisar dalam jangkauan, hingga .

Bila kesalahan sistimatik dalam suatu pengukuran dapat diperkirakan dan ditambahkan ke dalam hasil akhir pengukuran, maka hasil akhir akan menjadi

3 (6)

Dengan u adalah nilai kesalahan sistematik. Bila dilakukan pengukuran tunggal, dimana sm = 0, maka nilai dengan harga u sebesar setengah nilai skala terkecil dari alat ukur.

Perkiraan Kesalahan Acak

Kita dapat memperkirakan kesalahan (error estimate) pengukuran dengan cara penilaian dan pengalaman. Sebagai contoh, bila sudah diketahui bahwa kesalahan dalam sebuah alat ukur adalah sama dengan skala terkecil dari alat ukur tersebut, namun jenis peralatan sangat bervariasi dalam reabilitas skala terkecil sehingga harus memperhatikan sejumlah penilaian. Jika kita mengukur posisi suatu tanda adalah 92,4 cm dengan menggunakan penggaris dengan skala terjecil dalam millimeter, maka kita dapat menuliskan hasil pengukuran menjadi 92,4 ± 0,1 cm.

Gbr. 3 Kesalahan d2 lebih besar dari pada d1 karena titik pusat tanda tidak sama

Gbr. 3. menunjukkan suatu cara penilaian yang harus diperhatikan saat memperkirakan kesalahan sebuah pengukuran. Jarak d1 adalah jarak pisah dari dua

garis vertikal sedangkan d2 adalah jarak antara titik pusat dua buah tanda. Walaupun

kita mengukur d1 dan d2 dengan mistar yang sama (memiliki skala terkecil alat ukur yang sama), kesalahan d2 akan lebih besar dari pada d1.

Perambatan Kesalahan

Perambatan kesalahan merupakan metode sederhana untuk menentukan kesalahan sebuah nilai, dimana nilai tersebut dihitung dengan menggunakan dua atau lebih nilai terukur dan dengan menyertakan perkiraan kesalahan yang diketahui.

d

1

5

Penjumlahan dan Pengurangan dalam Pengukuran

Misalkan x, y, dan z adalah tiga nilai terukur dengan perkiraan kesalahan sebesar δx,

δy, dan δz. Hasil dari tiga pengukuran dapat dituliskan dalam bentuk

, , (7)

dimana setiap perkiraan kesalahan bisa berupa skala terkecil dari alat ukur. Jika w merupakan nilai yang akan dihitung dari pengukuran di atas, maka akan didefinisikan menjadi

! (8)

Bila perkiraan kesalahan dari x, y, dan z diketahui, maka kesalahan w dapat peroleh dengan menghitung turunan dari Pers (8)

"! " " " (9)

Perhitungan dengan analisa statistik menunjukan bahwa δw merupakan akar kuadrat

dari penjumlahan kuadrat dari perkiraan kesalahan :

! # (10)

Perkalian dan Pembagian dalam Pengukuran

Luas dari persegi panjang dengan lebar w dan tinggi h adalah $ ! · &. Bila kita mengukur lebar dan tinggi persegi panjang berikut harga perkiraan kesalahannya, maka kita akan mengetahui nilai w ± δw dan h ± δh sehingga kita dapat menghitung A

± δA. Untuk menentukan δA, pertama-tama kita dapat menggunakan kalkulus turunan

untuk memperoleh turunan luas dari dA

"$ _')'("! '(_'*"&

&"! !"& (11)

Seperti dalam penjumlahan dan pembagian, analisa statistik menunjukan pendekatan yang lebih baik dari fraksi kesalahan dari luas δA/A adalah

+(

(

,

+))

-

,

+**

-

(12)

Penyimpangan

Persentase penyimpangan adalah salah satu metode untuk membandingkan nilai eksperimen dengan nilai yang diterima atau nilai literatur. Definisi dari persentase penyimpangan adalah

6

Angka Penting

D

alam memperkirakan hasil suatu pengukuran, kita dapat menuliskan perkiraan terbaik dengan angka penting serta ketidakpastianya sehingga jumlah angka desimal sesuai dengan perkiraan terbaik. Untuk penulisan perkiraan terbaik, mengikuti aturan angka penting sedangkan penulisan ketidakpastian mengikuti aturan jumlah desimal. Cara menentukkan angka penting adalah

1. Angka bukan nol yang terletak di posisi paling kiri adalah digit paling berarti 2. Jika tidak ada tanda koma desimal, angka bukan nol yang terletak di posisi

paling kanan adalah digit paling kurang berarti

3. Jika ada tanda koma desimal, angka yang terletak di posisi paling kanan termasuk angka nol adalah digit paling kurang berarti

4. Jumlah angka berarti adalah jumlah seluruh digit yang terletak diantara dijit paling berarti dan digit paling kurang berarti ditambah dua

Contoh : 1234123.400123,41000,10,10 0,0001010 100,0 semua nilai tersebut mempunyai empat angka penting

Angka penting adalah semua angka yang diperoleh langsung dari proses pengukuran dan memasukan angka nol untuk tujuan letak titik desimal. Definisi ini dapat

Pengukuran dan kesalahan eksperimental harus memiliki dijit penting terakhir pada tempat yang sama (relativ terhadap titik desimal).

Sebagai contoh : 54,1 ± 0,1121 ± 4 8,764 ± 0,002 (7,63 ± 0,10) × 103.

Pembulatan Angka Penting

Pembulatan angka ½ dapat dilakukan dengan menggunakan aturan

1. Jika dijit paling kanan pada deretan angka setelah koma desimal lebih besar dari angka 5, angka paling kurang berarti dinaikan nilainya

2. Jika dijit paling kanan pada deretan angka setelah koma desimal kurang dari angka 5, angka peling kurang berarti tidak perlu dinaikan nilainya

3. Jika dijit paling kanan pada deretan angka setelah koma desimal sama dengan angka 5, angka paling kurang berarti dinaikan nilainya, hanya jika dia bilangan ganjil.

7

Angka Penting pada Perhitungan

Sesungguhnya, angka yang tepat dari penulisan angka penting harus diperoleh melalui analisa kesalahan. Namun analisa kesalahan membutuhkan waktu dan biasanya dalam kegiatan laboratorium hal ini ditunda terlebih dahulu. Dalam beberapa kasus, harus diperoleh angka penting yang cukup sehingga pembulatan tidak membahayakan. Sebagai contoh ;

0,91 × 1,23 = 1,1 SALAH

Dalam contoh diatas, angka 0,91 dan 1,23 diketahui menunjukan sekitar 1%, dimana hasilnya 1,1 didefinisikan sekitar 10%. Dalam kasus ini, akurasi hasil berkurang hampir sepersepuluh karena kesalahan pembulatan. Sekarang, faktor sepuluh dalam akurasi menjadi penting dan tidak boleh dibuang dalam analisa yang ceroboh.

0,91 × 1,23 = 1,1193 SALAH

Dijit tambahan yang tidak penting merupakan beban, dan selanjutnya hal ini mengakibatkan akibat yang salah dari hasil

0,91 × 1,23 = 1,12 BENAR

0,91 × 1,23 = 1,119 kurang baik, tapi bisa diterima Dalam perkalian atau pembagian kadang dapat diterima untuk memakai jumlah yang sama dari angka penting dari hasil sebagai faktor terakhir. Contoh

2,6 × 31,7 =82,42 = 82

5,3 ÷ 748 = 0,007085 = 0,0071

Contoh Menghitung Volume Silinder

Menghitung volume silinder dilakukan dengan cara mengukur tinggi silinder sebanyak satu kali dengan menggunakan penggaris dengan skala terkecil 1 mm dan mengukur diameter menggunakan jangka sorong dengan skala terkecil sebesar 0,05 mm sebanyak lima kali. Hasil yang diperoleh dapat dilihat pada tabel berikut

Perhitungan hasil pengukuran dan perambatan kesalahan berdasarkan teori analisa kesalahan diperoleh

1. Pengukuran tinggi silinder dilakukan 1 kali, maka deviasi dari harga rata-rata ketinggian smh = 0, sehingga hasil pengukuran ketinggian adalah & &K 3 * 32,0 3 · 0 0,5 32,0 0,5 NN, dengan besar nilai u adalah ½ dari skala terkecil penggaris (1 mm)

8 2. Pengukuran diameter silinder dilakukan 5 kali sehingga diperoleh nilai

rata-rata diameter silinder sebesar

OP 1_{Q R O} 23,90 23,95 23,95 23,90 23,85₅ 23,91 NN

Sedangkan deviasi dari harga rata-rata diamater _U adalah

U V_{Q Q 1 R O O}1 P 0,04 NN

Maka harga pengukuran diameter silinder adalah

O OP 3 U 23,91 3 · 0,04 0,025 23,91 0,14 NN

3. Perhitungan volume silinder adalah

X 1_{4 YO &} 1_{4 3,14 23,91 32,0} 14360,8 NN[

Dengan perhitungan perambatan kesalahan sebagai berikut berdasarkan

"X \]^X_{^O_ "O} ]^X_{^&_ "&}

Dengan

"X ]_{^O_ "O ]}^X ^X_{^&_ "& ]}1_{2 YO&_ "O ]}1_{4 YO _ "&}

maka

"X

X O "O2 1& "&

Karena nilai perkiran kesalahan lebih kecil dari pada nilai pengukuran

X ` X; O ` "; & ` & , maka perkiraan kesalahan X adalah

X X\]_{O O_}2 ]1_{& &_} 14360,8\]_{23,91 0,14_}2 ]_{32,0 0,5_}1 881,9 NN[

Sehingga volume silinder adalah (14400 ± 900) mm3 atau (144 ± 9) × 102 mm3.

Analisa Grafik

S

alah satu cara terbaik untuk memperoleh hubungan antara variabel terukur adalah dengan cara memplot data menjadi grafik dan menganalisa grafik tersebut. Prosedur di bawah ini harus diikuti saat memplot data

1. Gunakan pinsil atau pena yang tajam. Ujung pinsil atau pena yang melebar akan mengakibatkan ketidakakuratan.

2. Gambarkan grafik pada satu halaman penuh dari laporan. Grafik yang diciutkan akan mengurangi keakurasian analisa grafik.

3. Beri judul grafik

9 5. Berilah nama masing-masing sumbu beserta satuannya

6. Pilih skala untuk setiap sumbu dan mulai setiap sumbu pada titik nol, bila mungkin

7. Gunakan error bar untuk menunjukkan kesalahan pengukuran

8. Gambarkan kurva melalui titik-titik data. Jika kesalahanya acak, maka 1/3 dari titik-titik tersebut akan tidak berada pada sekitar jangkauan kesalahan dari kurva terbaik.

Sebagai contoh, perhatikan percobaan tentang kecepatan benda (variabel terikat) sebagai fungsi dari waktu (sebagai vaiabel bebas) dengan data di bawah ini

Kecepatan (m/s) Waktu (s)

0,45 ± 0,06 1

0,81 ± 0,06 2

0,91 ± 0,06 3

1,01 ± 0,06 4

1,36 ± 0,06 5

1,56 ± 0,06 6

1,65 ± 0,06 7

1,85 ± 0,06 8

2,17 ± 0,06 9

Gbr 3 menunjukkan grafik berdasarkan data di atas Grafik berdasarkan data tersebut menunjukan kecepatan v merupakan fungsi linier dari waktu t. Persamaan umum untuk garis lurus adalah

(14)

Dimana m adalah kemiringan garis dan b adalah perpotongan terhadap sumbu vertikal yang merupakan nilai y saat x = 0. Bila v = y, dan x = t, a = m, dan v0 = b maka :

(15)

Kecepatan vs Waktu

Gbr. 3. Grafik kecepatan terhadap waktu

10 Ini merupakan bentuk dari persamaan untuk garis tanpa putus yang melewati data, dimana v0 adalah nilai kecepatan saat t = 0 dan a adalah kemiringan garis yang merupakan percepatan benda. Berdasarkan grafik v0 = 0,32 m/s. Untuk menghitung kemiringan, pilih dua titik pada garis yang cukup terpisah.

b cdNefeQgbQ

∆i_∆j ,[k l,ml no vertikal (0,32 m/s) serta berapa ketidakpastian kemiringan dan perpotongan tersebut? Pada grafik kecepatan vs waktu, garis tanpa putus menunjukkan garis lurus dimana kemiringanya telah dihitung.

Dua garis putus-putus menunjukkan kemungkinan kemiringan garis terbesar dan terkecil dari yang sesuai dengan data. Susuai dalam arti setiap garis memotong sekitar 2/3 dari error bar. Kesalahan atau ketidakpastian dari kemiringan didefinisikan sebagai

Kesalahan pada perpotogan dengan sumbu vertikal diperoleh berdasarkan perpotongan dengan sumbu vertikal dari kemiringan garis maksimum dan minimum :

cd brb&bQ sdfsz{zQgbQ tu x|x*x }~j~ w tu v wx xt y y (20) Bila δv0 merupakan kesalahan v0

•l l,mk l, € N/ 0,32 N/ (21)

Nilai eksperimen dan kesalahan untuk v0 adalah •l •l 0,20 0,02 N/

Untuk contoh kedua, perhatikan percobaan dari jarak tempuh sebuah benda sebagai fungsi dari waktu, dengan data fungsi linier terhadap waktu t. Berdasarkan grafik menujukkan d sebanding terhadap

11

Jarak vs Waktu

Gbr. 4. Grafik jarak terhadap waktu

Anggap kita mengetahui hubungan teoritik antara d dan t sebagai

(22) Dimana a adalah percepatan benda. Jika data sesuai dengan hubungan persamaan (22) maka grafik d vs t2 akan menghasilkan garis lurus.

Jarak terhadap kuadrat waktu digambarkan pada Gbr. 5. Berdasarkan grafik menunjukan fungsi linier dari t2 sehingga data sesuai dengan hubungan teoritik di atas. Persamaan garis lurus di atas adalah

(23)

Jarak vs (Waktu)

2

12

Least Square (Kuadrat Terkecil)

S

ejumlah N data (xi, yi) akan dicari persamaan garis lurus untuk serangkaian data tersebut. Prosesnya kadang disebut sebagai regresi linier. Jika sebaran pengukuran berdasarkan sebaran Gauss, dapat diperlihatkan bahwa garis lurus yang dibuat akan meminimalisasi jumlah jarak vertikal di kuadrat untuk setiap titik (xi, yi) terhadap garis lurus y = mx + b seperti terlihat pada Gbr. 6.

Maka dapat dicari nilai m dan b dengan cara meminimalisasi fungsi s sebagai

(24)

Bila suku sebelah kanan dikuadratkan maka

(25)

Dengan Σ adalah penjumlahan semua indeks i. Jika

(26) Untuk memperoleh m dan b bedasarkan nilai minimum s. Hasilnya merupakan dua persamaan

q.

(27)

Gbr. 6. Garis lurus akan meminimalisasi jumlah jarak vertikal kuadrat di.

Dimana bila kita cari m dan b akan diperoleh

.

(28)

dengan kesalahan

.

13 Sedangkan

, - •∑

∑ ∑ ‚ ∑ _∑∑ ∑ ‚ ∑ ‚ ƒ ∑ ‚_{„∑ …}

†

(30)

Kekuatan hubungan antara x dan y dapat dihitung dari koefisien kolerasi :

f ,

+‡ˆ

+‡+ˆ

∑ ‚ ‚K

#∑ ∑ ‚ ‚K (31)

Atau dapat ditulis sebagai

f ,

∑ ‚ ∑ ∑ ‚