FISIKA MATEMATIKA 1 BILANGAN KOMPLEKS

(1)

MATERI PERKULIAHAN FISIKA MATEMATIKA 1

“BILANGAN KOMPLEKS”

DOSEN PEMBIMBING: Sri Hartini, M.Sc

Oleh Kelompok 2 Hana Pertiwi

Marlina Mahmudah M. Hafiz Ridho

Nor Hanifah

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(2)

2017 BAB II

BILANGAN KOMPLEKS a z2

+bz+c=0 Penyelesaian:

z=−b ±

√

4ac−b 2

2a

Deskriminan d=

√

b2₋₄_ac

Jika D < 0, maka akar negatif (jika

√

d bernilai negatif, maka dinyatakan dengan bilangan imajiner.

√

−1=i (Bilangan Imajiner) Contoh :

√

−16=4

√

−1=4i

√

−25=5

√

−1=5i

i2=

√

−1.

√

−1=−1

4i .5i=20i2=20

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bagian real dan bagian imajiner

z=(x+iy)

x : bagian real, Re (z) = x y : bagian Imajiner Im (z) = y

- Untuk memplot bilangan kompleks pada suatu bidang dapat dilakukan pada bidang kompleks atau diagram Argand.

- Bidang kompleks dapat digunakan koordinat kartesius dan koordinat polar. - Pada koordinat kartesius sumbu x disebut sumbu real dan sumbu y disebut

(3)

Hubungan koordinat kartesius dan polar

r=

√

x2+y2, r2=x2+y2

sinθ=y

r, y=rsinθ

cosθ=x

r , x=rcosθ

tanθ=y

x ,θ=arctanθ

x+iy=rcosθ+irsinθ

¿r(cosθ+isinθ)

INGAT:

Persamaan Euler

eiθ=cosθ+isinθ

x+iy=rcosθ+irsinθ

¿r(cosθ+isinθ)

¿r eiθ

Contoh soal :

Titik (1,

√

3) pada koordinat kartesius jika dinyatakan dalam bentuk polar adalah…

(4)

r=

√

x2+y2=

√

(1)2+(

√

3)2=

√

1+3

¿

√

4=2

sinθ=y

r , y=2sinθ

cosθ=x

r , x=2 cosθ

tanθ=y x=

√

3 1 =

√

3 tanθ=

√

3

x+iy=2 cos 60o+i2 sin 60o

θ=arctan

√

3 ¿2.1

2+i2. 1 2

√

3

θ=60o=π

3 ¿1+i

√

3

Koordinat polar adalah P(r ,θ)=P(2,π 3)

x+i

√

3=2 cosπ

3+i2sin

π

3

¿2ei π3

1. Kompleks Konjugate

Z=x+iy=rcosθ+i rsinθ

¿r(cosθ+isinθ)

¿r eiθ

Z¿_{atauZ adalahbilangan konjugate}

θ −sin¿ Z¿

=Z=x−iy=rcos(−θ)+ir¿

¿r(cosθ−isinθ)

¿r e−iθ

Contoh :

Z=−i , Z¿

(5)

Z=5+7i, Z¿

=5−7i

2. Aljabar pada Bilangan Kompleks

Contoh :

1)

(

1+i2

)

=(1+i) (1+i) ¿1+2i+i2

¿1+2i−1=2i

2)

₃2_−i+i×3+i

3+i=

6+5i+i2

9−3i+3i−i2=

6+5i−1 9+1 =

5+5i

10

¿1

2+ 1 2i

3. Absolute z

z=x+iy →r=

√

x2+y2

|z|=r=

√

x2+y2

z . z∗¿=(x+iy) (x−iy)

√¿ ¿x2_+iyx_−iyx_−i2_y2

=x2_−i2_y2 =

√

x2

+y2 z . z∗¿

|z|=r=

√

x2+y2=√¿

Absolute z

Contoh Tentukan nilai absolute z dari

|

√

5+3i 1−i

|

Jawab :

z . z∗¿

|z|=¿√¿

|z|=

|

√

5+3i 1−i .

√

5−3i

1+i

|

=

|

√

5−3

√

5i+3

√

5i−9i2 1+i−i−i2

|

¿

|

√

5+9

1+1

|

=

|

√

14

2

|

=

√

7

Absolute z dari

|

√

5+3i

1−i

|

adalah

√

7 Latihan!

1. Plot bilangan kompleks berikut pada bidang kompleks dan tentukan konjugatenya! a. i−1

(6)

c. 2(cos π 6+isin

π

6) d. cosπ−isinπ

2. Sederhanakan bilangan kompleks 3₂+_+ii 3. Tentukan nilai absolute z dari 5−2i

5+2i Jawab :

1a) i−1→ x=−1, y=1

r=

√

x2

−y2_tan_θ=y x=

1

−1=−1

r=

√

(−1)2−(1)2=

√

2θ=arctan−1=135°=3

4π

z=x+iy=rcosθ+irsinθ

¿

√

2cos3

4 π+i

√

2 sin 3 4π

¿

√

2(cos3

4 π+isin 3 4π) _¿

_√

₂_ei3π

4

1b) −4i→ x=0, y=−4 r=

√

x2−y2tanθ=y

x= −4

0

r=

√

(0)2−(−4)2θ=arctan−4

0 =270°= 3 2π

r=

√

16=4

z=x+iy=rcosθ+irsinθ

¿4 cos3

2π+i4 sin 3 2π

¿4(cos3

2π+isin 3 2π)

_¿₄_ei3π

(7)

1c)

→ Konjugate z=

√

3+i

Deret Kompleks Tak Hingga

(8)

S_n=X_n+Y_n

Xn dan Yn real  Deret akan konvergen jika :

S=Xn+iYn=lim n→ ∞Sn

 Ujilah deret

∑

2 <1→ Deret Konvergen

Deret Kompleks dan Lingkaran Kekonvergenan

 Deret Kompleks

∑

anz n

 Tentukan lingkaran kekonvergenan dari deret kompleks berikut 1+iz+z

Syarat konvergen ρ<1→ Deret Konvergen

(9)

Euler’s Formula

 Persamaan Euler

eiθ=cosθ+isinθ

 Pada bilangan kompleks berlaku :

z₁. z₂=r₁ei θ1.r

2e

i θ2=r

1r2e

i(θ1+θ2)

z₁ z2

=r1

r2

ei(θ1+θ2)

ex

=1+x+x 2

2!+ x3

3!+… ez

=1+z+ z2

2!+ z3

3!+…

z=x+iy

eiθ

=1+iθ+(iθ) 2

2! + (iθ)3

3! +… ¿1+iθ−θ2

2!− iθ3

3!+ θ4

4!+… ¿

(

1−θ

2

2!+ θ4

4!+…

)

+

(

iθ− iθ3

3!+…

)

¿

(

1−θ

2

2!+ θ4

4!+…

)

+i

(

θ− θ3

3!+…

)

(10)

 Temukan nilai

2e

iπ

6 eiθ

=cosθ+isinθ

Bentuk polar ₂_eiπ6

r=2 θ=π

6= 180

6 =30°

₂_eiπ6₌_2.₍_cos30_°_+i_{sin 30}_°₎ ¿2.

(

1

2

√

3+i 1 2

)

¿

√

3+i

Power and Roots of Complex Numbers



Persamaan De Moivre

Zn

=

(

r eiθ

₎

n_=rn_einθ

(

eiθ

)

n=(cosθ+isinθ)n+(cosnθ+isinnθ) Z

1

n₌

₍

_{r e}iθ

₎

1n

=r 1

n_e iθ n₌n

√

r

(

cosθ

(11)

(12)

Polar Kartesius

(13)

Polar Kartesius

The Exponential and Trigonometric Functions

1. Fungsi trigonometik kompleks:

ez_=ex+iy_=ex_eiy 3. Berlaku untuk Z

(14)

sinZ=e

iZ

−e−iZ

2i cosZ=

eiZ+e−iZ

2

Hyperbolic Functions

1. Persamaan hiperbolik:

sinhZ=e

Z_−e−Z

2 coshZ=

eZ_+e−Z

2 tanhZ=sinhZ

coshZ sec hZ=

1 coshZ

cothZ= 1

tanhZ csc hZ=

1 sinhZ siniy=isinhy cosiy=coshy

cosh2Z−sinh2Z=1 _dZd coshZ=sinhZ

Logarithms

 _W=lnZ=ln

(

r eiθ

)

=lnr+lneiθ=lnr+iθ

Complex Roots And Powers

ab=eblna ab=blna

Invers Trigonometric And Hyperbolic Function

W=cosZ=e

iZ

+e−iZ

2

(15)