• Tidak ada hasil yang ditemukan

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA ARDY KRESNA CRENATA G

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA ARDY KRESNA CRENATA G"

Copied!
58
0
0

Teks penuh

(1)

ARDY KRESNA CRENATA

G54052461

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

(2)

ABSTRAK

ARDY KRESNA CRENATA. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N.K. KUTHA ARDANA

.

Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika mengalami perubahan setiap waktunya dalam periode yang panjang dan perubahan yang terjadi saat ini dimungkin terjadi lagi di masa yang akan datang. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu rantai Markov, maka perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Untuk menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika, dalam karya ilmiah ini digunakan model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya. Model ini mengasumsikan bahwa nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika bergantung pada rantai Markov yang merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati dan bergantung juga pada nilai tukar Rupiah empat waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan dalam perhitungannya digunakan algoritma iteratif Expectation Maximization (EM). Untuk memudahkan proses pendugaan parameter, proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 7. Dengan diperolehnya parameter model, dapat dihitung dugaan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika. Berikut ini hasil yang diperoleh: Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) 2,1%, galat absolut maksimum 19,16%, galat absolut minimum 0,0036%, hanya 1,95% dari persentase galat absolut yang ada berada di atas 10%. Hasil tersebut menunjukkan bahwa model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya ini dapat merepresentasikan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dengan baik.

(3)

ARDY KRESNA CRENATA. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to US Dollar Using Four Previous Time in Hidden Markov Time Series. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N.K. KUTHA ARDANA

.

The exchange rate of Rupiah to US Dollar fluctuates according to time in a long period. An existing exchange rate might happen again in the future. Assume that the causes of the fluctuation are not observed directly and form a Markov chain, then the exchange rate of Rupiah to US Dollar can be modeled by the hidden Markov time series. In this research, the model used to describe the exchange rate of Rupiah to US Dollar is the four previous time in hidden Markov time series. This model assumes that the exchange rate of Rupiah to US Dollar depends on Markov chain explained by the cause of occurence and the four previous exchange rates of Rupiah to US Dollar. The model parameter is estimated by using the maximum likelihood method, while the estimation itself is calculated using the expectation maximization algorithm, which is implemented using Mathematica. After estimating the parameter, the exchange rate of Rupiah to US Dollar are calculated. The results are as follows. The symmetric mean absolute percentage error (SMAPE) is 2,1%, the maximum absolute error is 19,16%, the minimum absolute error is 0,0036%, and only 1,95% of the whole absolute percentage error that is bigger than 10%. These results show that the four previous time in hidden Markov time series can describe the exchange rate of Rupiah to US Dollar very well.

(4)

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA

MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV

EMPAT WAKTU SEBELUMNYA

ARDY KRESNA CRENATA

G54052461

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

(5)

NIM : G54052461

Menyetujui,

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

Ir. N.K. Kutha Ardhana, MSc.

NIP. 19650505 198903 2 004 NIP.

19640823 198903 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus:

(6)

KATA PENGANTAR

Hampir empat tahun waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Sesuatu yang fantastis tentunya, mengingat banyak orang beranggapan saya mampu menyelesaikannya dalam waktu kurang dari satu tahun saja. Bagi saya sendiri, sejujurnya, waktu empat tahun ini terlalu lama dan saya banyak mengalami kerugian karenanya. Namun, keterlambatan ini bukanlah tanpa alasan, tidak terjadi begitu saja, dan bukan sesuatu yang tak bisa dipertanggungjawabkan. Meskipun sangat wajar banyak yang tak bisa menerima bentuk pertanggungjawaban saya, saya tetap tak ingin terlalu menyesali apa yang telah terjadi dan menganggapnya semata proses untuk membentuk diri saya yang sekarang. Empat tahun, waktu yang terlalu lama untuk menyelesaikan tugas akhir sebagai mahasiswa sarjana, namun barangkali masih terlalu singkat untuk menjadi seorang penulis profesional dan menyelesaikan sebuah buku dengan kualitas yang diakui para penulis profesional lainnya, dan saya telah melakukan yang kedua. Jadi, di satu sisi saya meminta maaf karena terlalu lamanya waktu yang saya butuhkan untuk menyelesaikan tugas akhir ini tentu merusak rataan waktu kelulusan mahasiswa Departemen Matematika, namun di sisi lain saya dengan bangga mempersembahkan kepada Departemen Matematika sesuatu yang barangkali sebelumnya tak pernah terbayangkan akan ada: sebuah kumpulan cerpen, pemenang Sayembara Buku Indie 2011, Pendamping.

Atas selesainya tugas akhir ini, juga rampung dan terbitnya kumpulan cerpen tersebut, saya harus menyebut beberapa nama sebagai penghormatan dan ungkapan terima kasih. Kepada Fisca Ambarsari Silalahi yang sudah selalu menemani dan mengingatkan saya untuk menyelesaikan tugas akhir ini, yang juga sudah selalu memberikan kepada saya inspirasi dan tenaga untuk terus menulis dan melakukan hal-hal positif lainnya, terima kasih. Kepada kedua orangtua saya yang sudah mengorbankan banyak hal yang saya tahu sesungguhnya di luar yang mereka rencanakan dan siapkan, terima kasih. Kepada adik-adik saya yang sudah merelakan perhatian dan materi yang semestinya milik mereka diberikan kepada saya, terima kasih. Kepada Popi Puspitasari yang sudah beberapa kali menjadi orang yang mengingatkan bahwa saya terlalu berharga untuk kalah dan menyerah, terima kasih. Kepada kedua dosen pembimbing saya, Ibu Berlian Setiawaty dan Bapak N.K. Kutha Ardana, yang sudah sangat bersabar menghadapi keegoisan dan kekanak-kanakan saya, yang sudah sangat membantu dan memotivasi, terima kasih. Kepada teman-teman di Saungkuring yang menemani waktu-waktu saya setiap harinya, terima kasih. Kepada Faramita Anggraeni yang sudah sewaktu-waktu menampung kegelisahan dan kesedihan saya, juga kemarahan saya, terima kasih. Kepada Bapak I Gusti Putu Purnaba yang sudah bersedia menjadi dosen penguji luar, terima kasih. Kepada Ibu Farida Hanum yang sudah mau-maunya direpotkan lagi dan lagi oleh saya, terima kasih. Kepada Bapak Agah Garnadi yang sudah sangat sering mengingatkan saya lewat sosial media, terima kasih. Kepada teman-teman lainnya, beberapa diantaranya adalah sahabat, terima kasih. Semoga Tuhan yang kalian imani membalas kebaikan-kebaikan kalian dengan kebaikan-kebaikan-kebaikan-kebaikan-Nya.

Akhirnya, saya hanya bisa berharap semoga tugas akhir ini, karya ilmiah ini, memberikan sesuatu yang positif bagi orang lain nantinya, entah dalam wujud apa. Adapun tentang kumpulan cerpen saya, semoga bisa memberikan pengertian bahwa hidup adalah memilih sesuatu yang membuat kita nyaman.

Bogor, Oktober 2012

(7)

dari enam bersaudara, putra dari Endang Suhandi dan Eroh Rohaeni. Pada awalnya ia adalah penyuka eksak dan pemburu penghargaan yang sifatnya akademis, sampai akhirnya ia dipertemukan dengan sastra dan lambat laun menyukainya. Di usia SMA, ia sempat memenangkan sebuah sayembara penulisan cerpen tingkat pelajar se-Jawa Barat, juga sebuah sayembara penulisan puisi tingkat pelajar se-Cianjur, lalu beberapa tahun lamanya ia vakum menulis. Ia pun mencoba kembali menjadi seorang akademisi. Akan tetapi, pada akhirnya, ketika kesibukannya sebagai seorang mahasiswa telah banyak berkurang, ia mulai kembali menekuni sastra dan merasakan jatuh cinta untuk kedua kalinya. Sampai saat ini tidak banyak media massa yang pernah memuat karya-karyanya, tapi beberapa nama bisa disebut: Koran Tempo, Pikiran Rakyat, Jurnal Nasional, Bali Post, Koran Sindo, Jurnal Cerpen Indonesia. Ia juga tak banyak memenangkan sayembara penulisan, tapi beberapa bisa disebut: juara 1 lomba cerpen gelar jepang UI 2011, juara 2 lomba cerpen mimpi kemudian.com 2011, juara 2 lomba cerpen amarah lembaga bhinneka 2012, 1 dari 5 pemenang sayembara buku indie 2011. Bukunya yang sudah terbit adalah sebuah kumpulan cerpen berjudul “Pendamping” yang ia dedikasikan bagi kekasihnya dan dua cerpenis idolanya: Linda Christanty dan Avianti Armand. Selain menjalani hari-hari sebagai mahasiswa Matematika di Institut Pertanian Bogor, ia pun bergiat di Komunitas Wahana Telisik Seni-Sastra (WTS) dan Komunitas Rumah Kata Bogor. Satu hal yang begitu kuat diyakininya adalah bahwa meskipun ia akhirnya memilih jalan lain, apa yang selama ini ia tempuh telah membentuknya dan membuatnya menjadi dirinya yang sekarang. Sastra memang berada pada garis yang berbeda dengan Matematika. Tapi baginya, menempuh jalan sastra adalah juga menunjukkan bahwa Matematika itu ada. Seringkali, ketika ia berhadapan dengan sebuah karya sastra, ia merasa seperti berhadapan dengan sebuah teorema Matematika. Baginya, sastra adalah Matematika, begitu pula sebaliknya.

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN... . 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI... .. 2

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 3

Rantai Markov ... 5

Algoritme Expectation Maximization (EM) ... 7

MODEL HIDDEN MARKOV……….. 9

Pengertian Model Hidden Markov dan Karakteristiknya ... 9

Penduga Kemungkinan Maksimum dan Algoritme EM... 9

MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA .... 11

Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya ... 11

Pendugaan Parameter Model ... 16

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA ... 20

Data Input ... 20

Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika ... 20

Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya ... 21

Perbandingan Dengan Model Deret Waktu Hidden Markov Tiga Waktu Sebelumnya... ... 23

SIMPULAN DAN SARAN ... 25

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Grafik Perubahan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Per Minggu ... 20

Gambar 2. Grafik Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan Nilai Dugaan Model Deret Waktu hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya ... 23

Gambar 3. Persentase Galat dari SMAPE untuk Tiap Nilai Duga y(t) ... 23

Gambar 4. Gambar 4. Grafik Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya dengan Menggunakan Model Deret Waktu Hidden Markov Tiga Waktu Sebelumnya dan Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya ... 24

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 1. Pengaruh Nilai Awal Terhadap Hasil ... 22

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1: Bukti Lema 2 ... ... 27

Lampiran 2: Nilai Awal bagi ˆt t| 1 ... 29

Lampiran 3: Bukti Persamaan (34) sampai dengan (38) ... 30

Lampiran 4: Tabel Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya ... 34

Lampiran 5: Program untuk Mencari Parameter Menggunakan Software Mathematica 7 ... 38

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Menarik untuk diketahui bahwa keadaan perekonomian saat ini memiliki kemungkinan untuk terulang di masa depan. Nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika misalnya, dengan mengamati dinamika yang terjadi selama ini, bisa jadi ternyata memiliki pola yang pada suatu waktu terulang dengan nyaris sama. Dengan kata lain, ada peluang hal itu terjadi. Adanya peluang ini memungkinkan untuk memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dengan suatu proses stokastik. Benar atau tidaknya pola itu terulang nantinya, tergantung seberapa tepat model yang digunakan.

Di dalam karya ilmiah ini, model yang digunakan untuk menunjukkan perilaku nilai tukar rupiah terhadap Dollar Amerika adalah model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya. Kejadian saat ini, diasumsikan dipengaruhi oleh kejadian satu sampai dengan empat waktu sebelumnya. Hidden Markov sendiri menandakan bahwa ketika suatu kejadian yang diamati terjadi, ada hal-hal yang tak diamati yang menjadi penyebab kejadian itu terjadi. Ide karya ilmiah ini sendiri berasal dari Hamilton (1990,1994).

Untuk memetakan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika saat ini lewat

data satu sampai dengan empat waktu sebelumnya, diperlukan penduga parameter. Metode yang digunakan untuk mencari penduga parameter dalam karya ilmiah ini adalah Maximum Likelihood. Perhitungannya sendiri menggunakan algoritma Expectation Maximization (EM).

Dalam perkembangan lebih lanjut, dibuat suatu program komputasi untuk mencari parameter yang akan digunakan dalam model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya ini. Software yang digunakan adalah Mathematica 7. Sementara itu, digunakan juga software MathType 5 untuk memudahkan penulisan simbol-simbol matematika yang ada.

Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mengembangkan model deret waktu

hidden Markov empat waktu sebelumnya beserta penduga parameternya.

2. Mengimplementasikan model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya untuk masalah perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika.

3. Membandingkan hasil yang diperoleh dengan model deret waktu hidden Markov tiga waktu sebelumnya.

(11)

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak.

(Hogg et all 2005)

Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan  . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari .

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 3 (Medan- )

Koleksi dari himpunan bagian  disebut sebagai medan-σ jika memenuhi syarat: a.

 

.

b. Jika A A1, 2,  maka 1 . i i A    c. Jika A maka

A

C

.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh

 Ukuran peluang adalah suatu fungsi

:

[0,1]

P

pada



yang memenuhi: 1. P( ) 0, ( ) 1P 

2. Jika A A1, 2,... adalah himpunn yang saling lepas yaitu Ai Ajuntuk setiap pasangan ij, maka 1 1 ( ) i i i i P A P A          

Pasangan

 , P

disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 5 (Peluang Bersyarat)

Jika P B( )0, maka peluang bersyarat dari kejadian Asetelah diketahui kejadian B ialah

|

P A

 

B

.

P A B

P B  

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

( ) ( ) ( ).

P ABP A P B Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian

A ii| I

disebut saling bebas jika ( ) i i i J i J P A P A        

untuk setiap himpunan bagian berhingga I

dari J.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 7 (Hukum Penggandaan) JikaP A A A( 1 2 3...An1)0, maka 1 2 3 1 ( ... n n) P A A A A A  1 2 1 3 1 2 1 2 3 ( ) ( | ) ( | )... ( n| ... n). P A P A A P A A A P A A A A A Persamaan diatas disebut dengan hukum penggandaan.

(Ghahramani 2005)

Definisi 8 (Hukum Total Peluang)

Jika

C C1, 2,...Cn

adalah partisi dari ruang contoh suatu percobaan dan P C( i)0 untuk

1, 2,3,..., ,

in maka untuk sebarang kejadian A dari S berlaku

 

1 ( | ) ( ). n i i i P A P A C P C  

Persamaan di atas merupakan Hukum Total Peluang.

Misalkan P C( )0 dan P C( C)0 maka berdasarkan hukum total peluang,

( ) ( | ) ( ) ( | C) ( C), P AP A C P CP A C P C dengan CC komplemen dari C.

(Ghahramani 2005)

Definisi 9 (Kontinu Absolut)

Misalkan  dan merupakan ukuran peluang pada ( , ). Ukuran peluang  dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang  jika berlaku

A0 mengakibatkan A0 untuk setiap A . Dinotasikan

v

.

(Royden 1963)

Teorema 1 (Radon Nikodym)

Jika Pdan Pmerupakan dua ukuran peluang pada ( , ) sehingga untuk setiap

 

, 0

BP B menyebabkan P B

 

0, maka terdapat sebuah peubah acak tak negatif

(12)

3  sehingga

 

C P C  

dP untuk semua . C Dinotasikan d P . dP  

(Wong dan Hajek 1985)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 10 (Peubah Acak)

Misalkan adalah medan- dari S. Peubah acak X merupakan fungsi X S:  di mana

 

S X:  x

 untuk setiap x . (Ghahramani 2005)

Definisi 11 (Fungsi Sebaran)

Jika X adalah peubah acak, maka fungsi F yang terdefinisi pada ( , ) oleh

( ) ( )

F tP Xt disebut fungsi sebaran dari X. Syarat dari fungsi sebaran:

1. F adalah fungsi tak turun yaitu jika tu, maka F t( )F u( ).

2. lim ( ) 1. tF t  3. lim ( ) 0.

tF t

4. F adalah fungsi kontinu kanan yaitu untuk setiap t , (F t ) F t( ).Artinya, jika tn adalah barisan yang menurun dari bilangan real yang konvergen ke t, maka

lim ( )n ( )

nF tF t .

(Ghahramani 2005)

Definisi 12 (Peubah Acak Diskret)

Misalkan X adalah peubah acak, maka X

disebut diskret jika himpunan nilai-nilai yang mungkin untuk X adalah berhingga atau terhitung.

(Ghahramani 2005)

Definisi 13 ( Fungsi Kepadatan Peluang) Fungsi kepadatan peluang p dari suatu peubah acak X yang memiliki ruang contoh

x x x1, 2, 3,...

adalah fungsi yang memetakan dari ke yang memenuhi syarat-syarat berikut: a. p x( )0jika x

x x x1, 2, 3,... .

b. p x( )iP X( xi) dan p x( )i 0di mana (i0,1, 2,3...). c. 1 ( )i 1. i p x   

(Ghahramani 2005)

Definisi 14 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)

Nilai harapan dari peubah acak diskret X dengan himpunan dari kejadian yang mungkin A dan fungsi kepadatan peluang p x( ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ). x A E X xp x  

(Ghahramani 2005)

Definisi 15 (Varians Peubah Acak Diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan kejadian yang mungkin A. Fungsi kepadatan peluang p x( ) dan

( ) ,

E X  maka varians dari X didefinisikan sebagai: 2 2 ( ) X ( ) ( ). x A Var X

x

p x   

 (Ghahramani 2005)

Definisi 16 (Peubah Acak Kontinu)

Misalkan X adalah peubah acak, X disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya

( ) X

F x adalah fungsi yang kontinu untuk setiap .

x

(Hogg et al 2005)

Definisi 17 (Fungsi Kepekatan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak kontinu,

( ) X

f t disebut fungsi kepekatan peluang jika fungsi sebaran F xX( )didefinisikan

( ) ( ) x X X F x f t dt  

dan memenuhi syarat berikut: 1. fX( )t dt 1.



2. Jika fX( )t kontinu, maka

'( ) ( ).

X X

F xf x 3. Untuk bilangan real ab,maka

( ) ( ) . b X a P aXb

f t dt 4.P X( x)0 untuk semua x . (Ghahramani 2005)

Definisi 18 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)

Jika X adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang fX( ),x maka nilai harapan dari X didefinisikan ( )E X xfX( )x dx.   

(Ghahramani 2005)

(13)

Definisi 19 (Varians Peubah Acak Kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan

( )

E x  dan fungsi kepekatan peluang ( ),

X

f x maka varians dari X didefinisikan sebagai: ( ) 2 ( )2 ( ) . X X Var Xxf x dx    

 (Ghahramani 2005)

Definisi 20 (Fungsi Kepadatan Peluang Bersama)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan ruang contoh yang sama yaitu S, maka ( , )p x yP X( x Y, y)disebut fungsi kepadatan peluang bersama dari X dan Y jika memenuhi syarat berikut:

1. p x y( , )0. 2.

( , ) 1.

x S y S

p x y

 



(Ghahramani 2005)

Definisi 21 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu pada ruang contoh yang sama. Jika fungsi sebarannya didefinisikan

, ( , ) , ( , )1 2 1 2, y x X Y X Y F x y f t t dt dt   

 

maka fX Y, disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y untuk semua

2

( , )x y  jika memenuhi syarat berikut: 1. fX Y, ( , )x y 0.

2. Misalkan ruang contoh dari X dan Y adalah , maka

X Y, ( , ) 1.

Rf x y dx dy



(Hogg et al 2005)

Definisi 22 (Fungsi Kepadatan Peluang Bersyarat)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, fungsi kepadatan peluang bersama dari X dan Y adalah p x y( , )serta fungsi massa peluang marjinal dari Y adalah pY( )y di mana

( ) 0, Y

p y  maka fungsi massa peluang dari X dengan syarat Yydidefinisikan

| ( | ) ( | ) X Y p x yP Xx Yy ( , ) ( , ) . ( ) Y( ) P X x Y y p x y P Y y p y      (Ghahramani 2005)

Definisi 23 (Nilai Harapan Bersyarat Peubah Acak Diskret)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dan misalkan himpunan semua nilai-nilai yang mungkin dari X adalah A, maka nilai harapan dari X dengan syarat Yydidefinisikan oleh:

 

 

, ( | ) ( | ) . x A Y p x y E X Y y x P X x Y y p y   

   (Ghahramani 2005)

Definisi 24 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, fungsi kepekatan peluang bersama

, ( , )

X Y

f x y serta fungsi kepekatan peluang marjinal dari Y adalah fY( )y di mana

( ) 0, Y

f y  maka fungsi kepekatan peluang dari X dengan syarat

Y

y

didefinisikan sebagai berikut | ( | ) , ( , ) ( ) X Y X Y Y f x y f x y f y  . (Ghahramani 2005)

Definisi 25 (Nilai Harapan Bersyarat Peubah Acak Kontinu)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, maka nilai harapan dari X dengan syarat Yy didefinisikan sebagai berikut E X Y( | y) xfX Y| ( | )x y dx



 

.

(Ghahramani 2005)

Definisi 26 (Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks)

Misalkan SN adalah himpunan vektor. Maka S disebut himpunan konveks jika untuk semua x x, 'S dan

 

0,1 berlaku

1

x

x'S.

Misalkan f merupakan fungsi yang terdefinisi pada himpunan konveks S, maka f disebut fungsi konveks jika memenuhi persamaan f

1

xx'

 

1 

  

f x f x

 

' .

(Osborne 1997)

Teorema 2

Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks S. Jika f memiliki turunan kedua, maka f fungsi konveks jika dan hanya jika

2f x

 

  0, x S.

(14)

5

Definisi 27 (Ketaksamaan Jensen)

Misalkan X adalah peubah acak bernilai real dengan E X( ) berhingga dan g x adalah ( ) fungsi konveks, maka

E g X

 

g E X

 

.

(Hogg et al 2005)

Rantai Markov

Definisi 28 (Ruang State)

Misalkan K merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka K disebut ruang state.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 29 (Proses Stokastik)

Proses Stokastik S

S tt, T

adalah suatu koleksi dari sebuah peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh  ke suatu ruang state K. Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, St adalah suatu peubah acak.

(Ross 1996)

Dalam hal ini anggap tsebagai waktu dan nilai dari peubah acak St sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Definisi 30 (Rantai Markov Dengan Waktu Diskret)

Misalkan St suatu peubah acak. Proses stokastik

St, t0,1, 2,...

dengan ruang state

0,1, 2,..., N

disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap

0,1, 2,...

t berlaku

t | t1 , t 2 t 2,...

P Sj S i S i

t | t1

P S j Si    ji p

untuk semua kemungkinan nilai dari

0, , ,...,1 2 t 2,

i i i i i dan j

1, 2,3,...,N

. (Ross 1996)

Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini St dengan state yang lalu S S S0, 1, 2,...,St2dan state kemarin St1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu dan hanya bergantung pada state kemarin.

Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan peluang transisi

 

pji dengan i j, 1, 2,..., .N Nilai dari peluang transisi pji menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke suatu state maka

a. pji0 untuk semua i j, 

1, 2,...,N

. b. 1 1 N ji j p  

untuk semua i

1, 2,...,N

. Peluang transisi

NN

dapat dituliskan dalam bentuk matriks P yang disebut juga matriks transisi, yaitu

11 1 1 P N N NN p p p p           =

di mana j menandakan baris dan i menandakan kolom dari matriks P.

Definisi 31 (Matriks Transisi)

Misalkan

St, t0,1, 2,...

adalah rantai Markov dengan ruang state

1, 2,3,...,N

. Matriks transisi P

 

ji

N N p

 adalah matriks dari peluang transisi pjiP S

tj S| t1i

untuk i j, 

1, 2,...,N

.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 32 (Terakses)

Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i dinotasikan dengan pji k. Suatu state j disebut terakses dari state i (notasi: ij), jika minimal ada sebuah bilangan bulat k0 sehingga pji k 0 di mana pji k adalah peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i.

(Ross 1996)

Definisi 33 (Berkomunikasi)

Dua state i dan j dikatakan berkomunikasi (notasi: ij)jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i.

(15)

Definisi 34 (Kelas State)

Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan tak kosong C sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari C adalah berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada yang merupakan anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari C.

(Ross 1996)

Definisi 35 (Rantai Markov Tak Tereduksi) Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya.

(Ross 1996)

Definisi 36 (First-Passage Time Probability)

 n ji

f merupakan peluang bahwa mulai dari state i proses bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap n1, 2, 3,...  n

, ji n k fP Xj Xj untuk semua

0 1  k n 1|X 1

, 0,1, 2,...

i j dan fji 0 untuk semua

, 0,1, 2,... .

i j Selanjutnya, untuk setiap

, 0,1, 2,... i j didefinisikan   1 . n ji ji n f f   

(Ross 1996)

Definisi 37 (Recurrent dan Transient) State i disebut recurrent jika fji 1, dan disebut transient jika fji1.

(Ross 1996)

Teorema 3 (Recurrent dan Transient) State

i

adalah recurrent jika  

0 n ii n p    

dan transient jika   0 . n ii n p    

(Ross 1996)

Definisi 38 (Periode, Periodik, dan Aperiodik)

1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika pii n 0 untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah

persekutuan pembagi terbesar bagi n sehingga pii n 0.

2. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode lebih besar dari dua disebut periodik.

(Ross 1996)

Definisi 39 (Positive Recurrent dan Null

Recurrent)

Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state

i

maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state

i

adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent.

(Ross 1996)

Definisi 40 (Ergodic)

Rantai Markov yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic.

(Ross 1996)

Teorema 4 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi)

Untuk Rantai Markov ergodic tak tereduksi

 

lim jin

np ada dan nilainya tak tergantung pada i.   lim n, 1. j ji n p j

   j

 adalah solusi unik tak negatif dari

1 N j j ji i p    

dan 1 1 N j j   

. (Ross 1996)

Definisi 41 (Vektor Peluang Steady State) Vektor peluang

  

1, 2, 3,...,

N

yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1, 2, 4,..., N untuk n  di mana

1

 

1

1 | N t t t t i P S j P S j Si P Si   

  

1

1 N ji t i p P S i  

j  

disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan tak negatif serta jumah semua unsurnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga

(16)

7

disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrum distribution) dari Rantai Markov yang bersangkutan.

(Ross 1996)

Definisi 42 (Symmetric Mean Absolute

Percentage Error)

Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) adalah sebuah ukuran keakuratan berdasarkan persentase galat yang biasanya didefinisikan sebagai berikut:

1 | | 1 SMAPE = ( ) / 2 n t t t t t A F nA F  

di mana At adalah data asli sedangkan Ft adalah data duga. Berbeda dengan MAPE (Mean Absolute Percentage Error) yang tidak memiliki batas atas maupun batas bawah, SMAPE memiliki keduanya. Kisaran nilai SMAPE berdasarkan rumus di atas berada pada rentang 0% hingga 200%. Pada kenyataannya, kisaran dari 0% hingga 100% dianggap lebih bisa menginterpretasikan keakuratan sesungguhnya, sehingga pada prakteknya rumus di bawah ini lebih sering digunakan: 1 | | 1 SMAPE = ( ) n t t t t t A F nA F  

(sumber:http://en.wikipedia.org/wiki/SMAPE) Algoritma Expectation Maximization Misalkan

P;



adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada

,

dan kontinu absolut terhadap P0 . Misalkan

.

Y Fungsi likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter  berdasarkan informasi Y adalah

 

0 0 | . dP L E Y dP      

Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh ˆ argmaxL

 

.

 

Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung. Oleh karena itu algoritma Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang. Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:

1. Set nilai awal parameter

ˆkdengan k0. 2. Set

*

ˆk dan hitung 

 , *

dengan

* * * , E logdP |Y . dP               

3. Cari

ˆk1arg max arg max

 , *

.

4. Ganti k dengan k1dan ulangi langkah 2 sampai dengan 4 hingga kriteria hentinya tercapai.

Misalkan g x

 

 log

 

x . Karena turunan kedua dari g x

 

selalu positif,

 

 

2 2 log g x x    12 0, x 0, x    

maka g x

 

merupakan fungsi konveks. Berdasarkan ketaksamaan Jensen, karena

 

log x merupakan fungsi konveks maka dapat dihasilkan barisan

ˆ ;k1 k0

yang merupakan fungsi likelihood yang tak turun.

Lema 1:

 

 

*

1 ˆ ˆ logLk logLk    , Bukti: Didefinisikan 1 , 1 k k i i k    

 dengan 1 , i i i dP dP      maka 1 , 1 k k i i k    

 1 2 3... k      3 1 2 0 1 2 1 ... k k dP dP dP dP dP dP dP dP          0 k dP dP    atau 0 . k k k dP dP    

Dengan cara serupa diperoleh

1 0 1 1 k k k dP dP        serta 1 1 k k k dP dP       sehingga

(17)

 

ˆ 1

 

ˆ logLk logLk 1 ˆ ˆ 0 0 0 0 log dPk | log dPk | E Y E Y dP dP                   

0 1 0 logE k |Y logE k|Y    

ˆ 1 log | log k kE kY k    

ˆ 1 log | k k k k E Y    1 ˆ log k | . k k dP E Y dP             

Berdasarkan ketaksamaan Jensen diperoleh

1 1 ˆ ˆ log k | log k | k k k k dP dP E Y E Y dP dP                           atau

 

 

1 ˆ 1 ˆ ˆ

log log log k | .

k k k k dP L L E Y dP                  

Hasil kedua ruas pada persamaan

 

 

*

1

ˆ ˆ

logLk logLk    , akan bernilai sama jika dan hanya jika

ˆ

k1

ˆ .

k Bentuk

*

,  

disebut Pseudo Likelihood bersyarat.

(18)

MODEL HIDDEN MARKOV

Pengertian Model Hidden Markov dan

Karakteristiknya

Model Hidden Markov terdiri dari pasangan state

 

St yang merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati dan proses observasinya

 

Yt . Misalkan

 

St adalah rantai Markov yang tidak diamati dengan ruang state

1, 2,3,...,N

. Jika

 

St berada pada state j, maka proses yang diamati Yt mempunyai sebaran normal

, 2

.

j j

N   Pasangan

S Yt, t

disebut model hidden Markov. Fungsi kerapatan peluang dari Yt dengan syarat peubah acak Stbernilai

jadalah

2

2 1 | ; exp 2 2 t t t t j j y f y S j              (1) untuk j1, 2,..., .N Dalam hal ini  adalah vektor dari parameter populasi yang memuat

1, 2, 3,..., N

    dan 2 2 2 2

1, 2, 3,..., N.

   

Peubah yang tidak diamati

 

St diduga telah dibangkitkan oleh beberapa sebaran peluang, di mana peluang tak bersyarat

t Sj dinotasikan dengan j,

t ;

j P Sj

(2) untuk j1, 2,..., .N

Peluang   1, 2, 3,...,Njuga termasuk dalam

 sehingga  didefinisikan sebagai

2 2

1,..., N, 1,..., N, 1,..., N .

      

Peluang dari kejadian bersama Stj dan Yt yang berada pada interval

 

c d, dapat diperoleh dengan mengintegralkan

t, t ;

t| t ;

 

t ;

P y Sj

f y Sj

P Sj

(3) sehingga dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh

, ;

exp

2

2 . 2 2 j t t t t j j y P y S j              

(4) Fungsi kerapatan peluang tak bersyarat dari Yt diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (4) untuk semua kemungkinan nilai j

1 ; , ; . N t t t j f yP y S j  

 (5) Karena St merupakan peubah yang tidak diamati, persamaan (5) merupakan fungsi kerapatan yang relevan untuk menggambarkan data yang diamati sebenarnya

Y

t

.

Jika

Y

t bersifat bebas stokastik identik maka log-likelihood untuk data yang diamati dapat dihitung dari

 

 log

f y

1;

 

f y2;

 

...f yT;

1 log ; . T t t f y   

(6) Penduga kemungkinan maksimum dari  diperoleh dengan memaksimumkan persamaan (6) dengan kendala

1 2

...

N

1

 

  

dan

j0 untuk

1, 2,..., .

jN Hal tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan algoritma EM.

Setelah diperoleh penduga bagi  dapat diketahui peluang terjadinya suatu kejadian

t

Y serta dapat disimpulkan state mana yang paling memungkinkan menjadi penyebab terjadinya suatu kejadian. Dari definisi peluang bersyarat diperoleh

| ;

,

;

; t t t t t P y S j P S j y f y      

| ; . ; j t t t f y S j f y      (7)

Diketahuinya parameter populasi  memungkinkan menggunakan persamaan (1) dan (5) untuk menghitung persamaan (7) untuk setiap pengamatan Yt pada contoh. Hal ini menunjukkan bahwa jika diberikan data yang diamati, maka state yang paling berpengaruh untuk pengamatan pada waktu t adalah state j.

Penduga Kemungkinan Maksimum dan Algoritma EM

Penduga maksimum likelihood ˆ dapat diperoleh dengan memaksimumkan

 

1 log ; T t t f y    

dengan kendala 1 2 ... N 1.      Untuk menyelesaikan

(19)

permasalahan ini digunakan metode Lagrange sebagai berikut:

 

  

1 1 2 ... N

J

 

 

 

1 2 1 log ; ... . T t N t f y       

     (8) Berdasarkan persamaan (8) diperoleh

2 2 ( ) ; 1 exp 2 2 t j t j j j y f y         

t| t ;

, f y S j

  (9)

2

2 2 ( ) ; 1 exp 2 2 t j t j t j j j j y y f y                  2

, ;

, t j t t j y P y S j       (10)

2 2 2 2 2 ( ) ; 1 exp 2 2 t j t j j j j y f y                   

2 2 2 3 ; exp 2 2 2 t j t j j j j f y y                  

 

2

2 2 4 exp . 2 2 2 t j t j j j j j yy             

2

2 2 4 2 1 exp 2 2 2 2 t j j t j j j j j y   y                           

2

2 4 1 , ; , 2 2 t j t t j j y P y S j                 

 

11

 

 

1 1 | ; , ; T t t t j t f y S f y        

(12)

 

2

1 1 , ; , ; T t j t t t j t j y P y S j f y            

(13)

 

2 2 2 4 1 1 1 ; 2 2 T t j t t j j j y f y                

t, t ;

. P y S j

  (14) Berdasarkan (7), persamaan (12) sampai dengan (14) bisa dituliskan sebagai:

 

 

 

1 1 1 ; | ; ; T t t t j t j t f y P S j y f y            

1 1 | ; , T j t t t P S j y    

 (15)

 

2

1 1 ; ; T t j t t j t j y f y f y           

P S

tj y| t;

2 1 | ; , T t j t t t j y P S j y      

 (16)

 

2 2 2 4 1 1 1 ; 2 2 T t j t t j j j y f y                 

t;

 

t | t;

f y

P Sj y

2 2 4 1 1 2 2 T t j t j j y               

t | t;

. P Sj y

(17) Untuk mencari nilai ˆ ˆ2

, , j j

 

dan ˆj yang memaksimumkan fungsi log-likelihood maka turunan pertama dari persamaan Lagrange (8) harus sama dengan nol, yaitu

 

2 1 | ; 0 T t j t t t j j y J P S j y            

1 1 | ; | ; T T t t t j t t t t y P S j y   P S j y      

sehingga diperoleh

1 1 ˆ | ; ˆ ˆ | ; T t t t t j T t t t y P S j y P S j y        

. (18) Selanjutnya

 

2 0 j J     

2

2 4 1 1 | ; 0 2 2 T t j t t t j j y P S j y              

2 2

1 | ; 0 T j t j t t t y P S j y         

2

2

1 1 | ; | ; T T t j t t j t t t t yP S j y   P S j y       

sehingga diperoleh

(20)

11

2 2 1 1 | ; . | ; T t j t t t j T t t t y P S j y P S j y          

(19) Sementara itu

 

1

1 | ; 0 T j t t t j J P S j y             

1 1 | ; 0 T j j t t t j P S j y         

1 | ; . T t t j t P S j y     

(20) Dari persamaan di atas, untuk j1, 2,...,N diperoleh

1 1 1| ; | ; T T t t t t t t P S yP S N y       

1 2 N

  

   

 

 

1 1 . 1 T t   

yang mengakibatkan T. Jika T  dimasukkan ke dalam persamaan (20) maka

1 | ; T t t j t P S j yT   

sehingga diperoleh ^ ^ 1 | ; . T t t t j P S j y T          

(21)

t | t;

P Sj y

sama dengan satu jika pengamatan berada pada state

j

dan sama dengan nol jika pengamatan berada pada state selainnya. Maka penduga rata-rata untuk state

j

pada persamaan (18) akan sama dengan nilai rata-rata dari yt untuk pengamatan yang diketahui berasal dari state

.

j

Pada kasus yang lebih umum di mana

t | t;

P Sj y

berada di antara dan 1 untuk beberapa pengamatan, penduga ˆj adalah bobot rata-rata dari semua pengamatan, di mana bobot untuk setiap pengamatan

Y

t

sepadan dengan peluang bahwa pengamatan pada waktu t telah dibangkitkan oleh state

j

.

Kemungkinan lainnya pengamatan berasal dari state

j

,

,bobot yang lebih besar memperlihatkan bahwa pengamatan berada pada penduga ˆ .j Dengan cara yang sama,

2

ˆj

 adalah bobot rata-rata kuadrat standar deviasi untuk

Y

t dari ˆ .j

Karena persamaan (18), (19), dan (21) tak linear, maka tidak mungkin menyelesaikannya secara analitik bagi ˆ sebagai fungsi dari

1, 2,..., t

Y Y Y . Sehingga untuk mencari penduga kemungkinan maksimum akan lebih mudah jika menggunakan aloritma iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM.

MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV

EMPAT WAKTU SEBELUMNYA

Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya

Pada bab ini akan dibahas model Hidden Markov yang merupakan deret waktu dengan bentuk sebagai berikut:

 

* * * 1 2 1 1 2 2 t t t t s t s t s Y

Y

Y

        

*

 

*

3 4 3 Yt 3 st 4 Yt 4 st t               (22) dengan: -

2

0, t N

bebas stokastik identik -     1, 2, ,1 2, 3, dan 4 konstanta real

-

 

Y proses yang diamati dan bernilai skalar t

-

 

*

t

S

rantai Markov dengan ruang state

 

* 1, 2 S  -

2

1, 2, ,1 2, 3, 4,          - * * 11 12 * * 21 22 p p P p p       

matriks peluang transisi

Dalam kasus ini

Y

t tidak hanya bergantung pada * t S dan * 1, t S tetapi juga bergantung pada * * 2, 3, t t SS dan St*4. Agar

tetap memenuhi sifat Markov, perlu didefinisikan peubah baru St dengan ketentuan-ketentuan sebagai berikut:

(21)

jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan jika dan (23)

1,

t

S

* * * * 1 2 3 1, 1, 1, 1, t t t t SS  S  S  St*41

2,

t

S

* * * * 1 2 3 1, 1, 1, 1, t t t t SS  S  S  St*42 3, t S  * * * * 1 2 3 1, 1, 1, 2, t t t t SSSS  * 4 1 t S  4, t S  * * * * 1 2 3 1, 1, 1, 2, t t t t SSSS  * 4 2 t S  5, t SSt*1,St*11,St*22,St*31, * 4 1 t S  6, t S  * * * * 1 2 3 1, 1, 2, 1, t t t t SS  S  S  St*4 2

7,

t

S

* * * * 1 2 3 1, 1, 2, 2, t t t t SSSS  * 4 1 t S

8,

t

S

* * * * 1 2 3 1, 1, 2, 2, t t t t SSSS  * 4 2 t S  9, t SSt*1,St*12,St*21,St*31, * 4 1 t S  10, t SSt*1,St*12,St*21,St*31, * 4 2 t S  11, t SSt*1,St*12,St*21,St*32, * 4 1 t S

12,

t

S

* * * * 1 2 3 1, 2, 1, 2, t t t t SSSSSt*4 2

13,

t

S

* * * * 1 2 3 1, 2, 2, 1, t t t t SSSSSt*4 1 14, t S  * * * * 1 2 3 1, 2, 2, 1, t t t t SSSSSt*4 2 15, t S  * * * * 1 2 3 1, 2, 2, 2, t t t t SSSSSt*41 16, t S  * * * * 1 2 3 1, 2, 2, 2, t t t t SSSSSt*4 2 17, t SSt*2,St*11,St*21,St*31, * 4 1 t S

18,

t

S

* * * * 1 2 3 2, 1, 1, 1, t t t t SS  S  S  St*42

19,

t

S

* * * * 1 2 3 2, 1, 1, 2, t t t t SSSS  * 4 1 t S

20,

t

S

* * * * 1 2 3 2, 1, 1, 2, t t t t SS  S  S  * 4 2 t S  21, t S  * * * * 1 2 3 2, 1, 2, 1, t t t t SSSSSt*41 22, t S  * * * * 1 2 3 2, 1, 2, 1, t t t t SSSS  * 4 2 t S  23, t SSt*2,St*11,St*22,St*32, * 4 1 t S  24, t S  * * * * 1 2 3 2, 1, 2, 2, t t t t SSSSSt*4 2 25, t SSt*2,St*12,St*21,St*31, * 4 1 t S  26, t SSt*2,St*12,St*21,St*31, * 4 2 t S 

27,

t

S

* * * * 1 2 3 2, 2, 1, 2, t t t t SSSS  * 4 1 t S  28, t SSt*2,St*12,St*21,St*32, * 4 2 t S  29, t S  * * * * 1 2 3 2, 2, 2, 1, t t t t SSSS  * 4 1 t S 

30,

t

S

* * * * 1 2 3 2, 2, 2, 1, t t t t SSSS  * 4 2 t S  31, t SSt*2,St*12,St*22,St*32, * 4 1 t S  32, t S  * * * * 1 2 3 2, 2, 2, 2, t t t t SSSS  * 4 2 t S

Gambar

Gambar 1. Grafik Perubahan Nilai Tukar Rupiah terhadap  Dollar  Amerika Per Minggu  Sumber : www.bankofcanada.ca
Tabel 1. Pengaruh Nilai Awal pada Hasil
Gambar 2. Grafik Nilai Tukar Rupiah terhadap  Dollar Amerika dan Nilai Dugaan Model Deret  waktu hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya
Gambar 4. Grafik Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya dengan  Menggunakan Model Deret Waktu Hidden Markov Tiga Waktu Sebelumnya dan Model Deret
+3

Referensi

Dokumen terkait

Dengan kata lain, kalimat efektif adalah kalimat yang dapat mewakili pikiran penulis atau pembicara secara tepat sehingga pendengar/pembaca dapat memahami pikiran

2 Lakukan salah satu dari yang berikut: 23 Menggunakan Windows a Pada saat dokumen terbuka, klik File Print (Cetak).. c Dari menu drop-down Paper Size (Ukuran Kertas) pada tab

Dalam penelitian ini terdapat teori-teori yang digunakan seperti Business Process Modeling Notation (BPMN), Object Oriented Analysis and Design (OOAD), Consistency

Upaya Hukum Kasasi terhadap Ganti Kerugian dalam pembangunan Pelebaran Jalan Kampung Tambaklorok, Kota Semarang merupakan upaya hukum yang pertama dan terakhir

Hasil penelitian ini juga sesuai dengan teori Modigliani dan Miller pada tahun 1963 yang menyatakan bahwa dengan memasukkan pajak penghasilan perusahaan, maka penggunaan

semua makhluk-Nya): Yang Maha Tinggi di atas makhluk-Nya, yang berkuasa terhadap mereka menurut yang Dia I kehendaki, yang memiliki alam jagat raya dan kebesaran yang

Karya Ilmiah skripsi yang berjudul “ Peningkatan Aktivitas dan Hasil Belajar IPA Pokok Bahasan Gaya dengan Model Pembelajaran Berbasis Masalah pada Siswa Kelas IV SD Negeri 2

Antara yang berikut, yang manakah berkaitan dengan hak Yang di-pertuan berdasarkan sistem tersebut. I Bertindak atas nasihat