MATEMATIKA BISNIS Sesi 1 ini akan membahas manfaat dari mempelajari Matematika Bisnis dalam kehidupan sehari-hari terutama dalam perekonomian

Modul ke: Fakultas Program Studi

MATEMATIKA BISNIS

Sri Purwaningsih,SE.,M.Ak EKONOMI BISNIS Manajemen dan Akuntansi

Sesi 1 ini akan membahas manfaat dari mempelajari

Matematika Bisnis dalam kehidupan sehari-hari terutama dalam perekonomian

Defenisi Matematika Bisnis dan

Teori Himpunan dan Bilangan

DESKRIPSI MATA KULIAH

• Mata kuliah ini merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah dengan menggunakan bahasa matematik, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisa dan dipecahkan.

KOMPETENSI

• Mahasiswa mampu menerapkan konsep-konsep matematika dalam bidang ekonomi.

METODE PEMBELAJARAN

1. Masing-masing mahasiswa diwajibkan membawa buku yang sama dengan buku yang dipakai oleh dosen supaya transfer ilmu bisa berjalan lebih baik.

2. Mahasiswa diharapkan siap untuk berpartisipasi aktif dalam kuliah dan diharapkan juga untuk secara mandiri aktif

menemukan (discover) pengetahuan.

3. Di luar kelas, mahasiswa diharapkan aktif berdiskusi dengan teman-temannya.

4. Mahasiswa diwajibkan mempresentasikan hasil diskusi mengenai materi sesuai dengan pembagian kelompok.

5. Dosen akan memberikan kuis mendadak di awal atau akhir kuliah.

Sesi MATERI KULIAH

1 Pengantar, Kontrak Perkuliahan/Silabus .Kegunaan Matematika secara umum, Sistem Himpunan dan sistem Bilangan

2 Deret Hitung dan Ukur dalam Ekonomi dan Bisnis

3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan Pertumbuhan penduduk

4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

5 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (Keseimbangan pasar, pajak dan subsidi)

6 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (BEP dan fungsi konsumsi)

8 MIDTEST

9 Penerapan Fungsi Non Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

10 Fungsi Diferensial Sederhana dan Majemuk

11 Penerapan Fungsi Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis

12 Fungsi Integral Tak Tentu dan Tentu

13 Penerapan Integral (surplus produsen dan konsumen)

14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse)

15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming) 16 U A S

PENILAIAN

• UTS/Mid Tes Æ 20% • UAS/Final Tes Æ 30%

• Presentasi Materi berupa teori, contoh soal,

dan jawaban Æ 40%

TATA TERTIB PERKULIAHAN

• Perkuliahan dimulai tepat waktu sesuai dengan jadwal atau kesepakatan kelas.

• Toleransi keterlambatan 15 menit.

• Apabila mahasiswa terlambat tetap

diperbolehkan masuk untuk mengikuti

perkuliahan namun dianggap tidak hadir tanpa alasan (bolos) dalam presensi.

• Apabila dosen terlambat maka mahasiswa yang datang sebelumnya mendapatkan point bonus 5.

• Jumlah kehadiran minimal 75% dari

tatap muka (tatap muka minimal 12 kali dan maksimal 14 kali).

• Apabila mahasiswa tidak dapat

memenuhi maka tidak akan

mendapatkan nilai (walaupun mengikuti seluruh perkuliahan).

• Bolos (tidak masuk tanpa ijin) Æ maksimal 3 kali

• Tidak masuk karena sakit atau ijin

menggunakan surat Æ tidak dianggap bolos • Apabila dosen tidak dapat hadir maka

perkuliahan tetap ada dengan diberikan tugas yang dikerjakan oleh mahasiswa. Bagi mahasiswa yang masuk (menandatangani daftar hadir) serta mengumpulkan tugas akan diberi point bonus 10

• Ketentuan ini berlaku apabila dosen sudah

tidak hadir lebih dari 25% tatap muka minimal (tatap muka minimal 12 kali dan maksimal 14 kali).

• Menggunakan kemeja atau kaos berkerah, bercelana panjang atau rok, bersepatu, dan tidak mengenakan topi selama perkuliahan berlangsung

• Dosen wajib menyerahkan nilai akhir sesuai dengan tanggal pengumuman nilai di kalender akademik. Apabila ada pertanyaan mengenai nilai, dilayani sampai dengan 1 (satu) minggu setelah tanggal tersebut.

• Pengajuan ujian susulan, baik UTS maupun UAS, hanya dilayani apabila mahasiswa

mengajukan surat permohonan yang disetujui oleh Ketua Jurusan S-1 Manajemen FE UMB. Alasan tidak dapat mengikuti ujian yang

• sakit (melampiri surat keterangan dokter atau bukti mondok di rumah sakit)

• keluarga sakit keras/meninggal dunia (surat keterangan dari pengurus RT)

• INFORMASI TAMBAHAN

Bila ada pertanyaan dapat menghubungi: Sri Purwaningsih

0881.376.6157

Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, tentunya kita tidak akan pernah terlepas dari kegiatan ekonomi.

Beberapa istilah-istilah dalam perekonomian keuangan perlu dipahami diantaranya bunga tunggal, diskonto tunggal, bunga majemuk, system kredit-cicilan, dan anuitas.

Sebelum membicarakan tentang bahasan bunga tunggal, bunga majemuk dan seterusnya akan diberikan defenisi matematika dan pembahasan tentang prinsip-prinsip matematika yang digunakan dalam ekonomi dan bisnis.

DEFENISI MATEMATIKA

• Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari matematika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis.

• Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

• Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika. Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa. • Dengan mempelajari matematika,

membawa seseorang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat.

PENGGOLONGAN DAN JENIS ANALISA PADA ILMU EKONOMI

JENIS ANALISA PADA ILMU EKONOMI 1. ILMU DESKRITIF.

GAMBARAN TENTANG SUATU KONDISI ATAU KEADAAN DENGAN SEBENARNYA.

CONTOH : TURUN NILAI KURS RUPIAH TERHADAP US DOLLAR.

2. TEORI ILMU EKONOMI.(TEORI EKONOMI). DIDASARKAN PADA KONDISI NYATA YANG

TERJADI PADA MASYARAKAT TERUTAMA SIFAT-SIFAT HUBUNGAN EKONOMI.

CONTOH : PERMINTAAN BARANG AKAN NAIK JIKA HARGA TURUN, SEBALIKNYA PERMINTAAN AKAN TURUN JIKA HARGA NAIK.

3. TEORI EKONOMI APLIKASI.

MENGANALISA DAN MENELAAH TENTANG

HAL-HAL YANG PERLU DILAKUKAN MENGENAI SUATU KEJADIAN DALAM PEREKONOMIAN.

Ekonomi dan Matematika

Ekonom

i

Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:

a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.

b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktifkan logika dengan asumsi-asumsinya.

Dapat memakai sebanyak n variabel dalam

menggambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)

Mis Q_d = f(Pr, Inc, Pi, … ), dimana:

Pr = harga komoditi yang bersangkutan Inc = pendapatan,

Kelemahannya pendekatan matematis:

a. Bahasa matematis tidak selalu mudah

dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran.

Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis

tersebut,misal dalam: permintaan, produksi,

pendapatan nasional, dan lain-lain sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari

a. Seorang ahli ekonomi yang memiliki

pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan:

1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis

2. Membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi.

Kesimpulan dari bahasa adalah:

1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi.

2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model)

PRINSIP-PRINSIP MATEMATIKA YANG

DIGUNAKAN DALAM EKONOMI DAN BISNIS

Dalam ilmu matematika, dikenalkan konsep barisan dan deret aritmetika dan geometri.

Konsep dari barisan dan deret tersebut dalam bidang ekonomi antara lain digunakan dalam

membahas tentang: model perkembangan

usaha, model pertumbuhan penduduk, bunga majemuk, nilai masa datang dari anuitas, dan cadangan, nilai sekarang dari anuitas, dan penyisihan pinjaman

• Jika perkembangan variable variable tertentu dalam kegiatan usaha (misalnya: produksi,

biaya,pendapatan,penggunaan tenaga

kerja,penanaman modal) berpola seperti barisan

aritmetika, maka prinsip-prinsip barisan

aritmetika dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabel tersebut.

• Penerapan deret ukur yang paling konvensional

dibidang ekonomi adalah dalam hal

penghitungan pertumbuhan penduduk,karena penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.

DEFINISI HIMPUNAN

• Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi Ilmu Matematika modern pada umumnya dan di bidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya.

• Dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan sehimpunan atau sekelompok data observasi dari lapangan

HIMPUNAN

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x _{∈ A}}

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10

Jawaban :

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x _{∈ B }} 3. D = { x | x < 20 , x _{∈ A }}

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya Jawaban: = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 } 1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x _{∈ A}} 2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x _{∈ B }} 3. D = { x | x < 20 , x _{∈ A }}

Keanggotaan Suatu Himpunan Contoh: A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } 1 ∈ A 1 ∉ B 3 ∈ A 3 ∉ B 5 ∈ A 5 ∉ B 7 ∈ A 7 ∉ B 9 ∈ A 9 ∉ B 2 ∈ B 2 ∉ A 4 ∈ B 4 ∉ A 6 ∈ B 6 ∉ A 8 ∈ B 8 ∉ A 10 ∈ B 10 ∉ A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

12 ∈ B 12 ∉ A

Catatan: Lambang ∈ dibaca “elemen” atau anggota

Lambang ∉ dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota

D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

HIMPUNAN KOSONG DEFINISI:

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau _∅

Contoh:

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

Himpunan Lepas

Definisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama

Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ? Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G

Himpunan Tidak Saling Lepas

Definisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas

(berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama

Contoh :

P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P ⊄ Q

Himpunan Semesta

Definisi :

Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan Contoh : A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } D = { 2,3,5,7,11 } E = { 0, 2, 4, 6 } Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E

1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ? 2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?

Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C

merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

HIMPUNAN BAGIAN

Definisi:

A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A ⊂ B

Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ? b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B ⊂ A

b. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C ⊄ A

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut 1. A = { a, b, c }

2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Jawab:

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 _{= 2 x 2 x 2 = 8}

2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 _{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32}

3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 _{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128}

Himpunan Sama

Definisi:

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya

Contoh :

A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B

Himpunan Ekuivalen

Definisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama

Contoh :

P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)

Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P _{∩ Q} P _{∩ Q = { d, e }}

Jawab :

Gabungan Dua Himpunan ( Union) Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A _{∪ B adalah himpunan semua} objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota

himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P _{∪ Q}

Komplemen (Complement)

{

x x A

}

A' = / ∉

• Komplemen dari himpunan A adalah himpunan

yang terdiri dari unsur-unsur yang terdapat dalam himpunan semesta U tapi tidak merupakan unsur dari himpunan A.

• Notasi : A’ atau Ā, maka

U

Gabungan (Union)

• Gabungan dari himpunan A dan B adalah

suatu himpunan dimana unsur-unsurnya adalah unsur yang berada di A atau di B atau dikeduanya.

U

A

B

B

Irisan (Intersection)

• Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu

himpunan yang unsur-unsurnya dimiliki oleh A dan juga dimiliki oleh B secara bersamaan.

U

A

B

B

Selisih Himpunan (Set Difference)

• Selisih dari dua himpunan A dan B adalah

suatu himpunan yang semua unsur-unsurnya termasuk di A tetapi tidak termasuk di B.

U

A

B

B

Diagram Venn

Langkah-langkah menggambar diagram venn

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah 4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi

anggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu

7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh:

Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }

Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab: 6 3 2 4 1 5 8 10 9 12 A B C S 7 11 13 14

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C

2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

Contoh 2:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?

c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?

Jawab:

N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21 B = {siswa gemar menari} _{n(B) = 16}

A _{∩ B = {siswa gemar keduanya}} n(A ∩ B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

10

A B

11 6

S

5

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh 3:

Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B } M = { x | x > 15, x ∈ S }

N = { x | x > 12, x ∈ S } Gambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x _{∈ B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }} M = { x | x > 15, x ∈ S } = { 16,17,18,19,20} N = { x | x > 12, x ∈ S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} M _{∩ N = { 16,17,18,19,20 }} 16 17 18 19 20 M N 13 14 15 S 11 12

Contoh 4:

Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?

c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Jawab: N(S) = 60

Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20 B = {siswa suka siomay} _{n(B) = 46}

Maka A ∩B = {suka keduanya}

(A ∩B)c ₌ {_{tidak suka keduanya} n((A} ∩_{B)c) = 5}

n(A ∩B) = x {siswa suka bakso saja} = 20 - x

{siswa suka siomay saja} = 46 - x

Perhatikan Diagram Venn berikut

x A _{20 - x 46 - x B} S 5 n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5 60 = 71 - x X = 71 – 60 = 11

a. Yang suka keduanya adalah x = 11 orang

b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang

c. Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang

Latihan 1

Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb :

64 suka donat, 94 suka bolu, 58 suka kacang, 26 suka donat dan bolu, 28 suka donat dan kacang, 22 suka bolu dan kacang, 14 suka ketiga jenis makanan tersebut.

Berapa orang tidak suka makan semua jenis makanan yang disebutkan di atas ?

Penyelesaian

A = {orang yang suka donat} B = {orang yang suka bolu}

C = {orang yang suka kacang }

|A B C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

= 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154

Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang jenis sayur

Penyelesaian

64 suka donat, 94 suka bolu 58 suka kacang,

26 suka donat & bolu, 28 suka donat & kacang, 22 suka bolu & kacang

14 suka ketiga jenis makanan tsb a + b + d + e = 64 b + c + e + f = 94 d + e + f + g = 58 b + e = 26 d + e = 28 e + f = 22 e = 14 b= 12 e = 14 d = 14 _{f = 8} c = 60 a = 24 g = 22 KACANG DONAT BOLU

Latihan 2

y Gambarkan sebuah diagram venn untuk

menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā

Himpunan Bilangan

y Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalah himpunan bilangan bulat positif (himpunan bilangan asli/bilangan alam), yaitu ,1,2,3,... Notasinya adalah N.

y Himpunan N tertutup terhadap operasi-operasi perkalian dan pertambahan. Artinya bila kita lakukan operasi-operasi tersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya juga merupakan bilangan asli. Tetapi untuk operasi pengurangan dan pembagian tidaklah demikian. Jadi N tidak tertutup terhadap operasi pengurangan dan pembagian. Artinya bila kita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilangan asli maka akan menimbulkan himpunan bilangan baru.

a – b akan menghasilkan bil asli bila a > b

a : b akan menghasilkan bil asli bila a merupakan kelipatan dari b

Beberapa operasi himpunan diantaranya : 1. 2. 3. 4. 5. 6 7.

Operasi Himpunan (Set Operation)

A B B A ∪ = ∪ A B B A ∩ = ∩ (B C) (A B) (A C) A ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ (A ∪ B)' = A'∩B' (A ∩ B)' = A'∪B' ( )A' ' = A A B B A − ≠ −

Adapun operasi penambahan dan perkalian pada bilangan asli tunduk pada hukum-hukum berikut: 1. a+b = b+a ; hukum komutasi penjumlahan

2.(a+b)+c=a+(b+c); hukum asosiasi penjumlahan 3. axb = bxa ; hukum komutasi perkalian

• Karena bilangan asli tertutup untuk operasi pengurangan dan pembagian, maka para matematikawan menciptakan bilangan nol, bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan.

• Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Desimalnya selalu berakhir atau berulang.

Misal: ½ = 0,5

13/11 = 1.1818181818...

2/7 = 0,285714285714... (285714 berulang) 11/13 = 0,846153846153... (846153 berulang)

• Gabungan bilangan bulat dan bilangan

pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata bilangan rasional juga tidak mampu untuk memenuhi akan bilangan matematika. Maka

pada tahun 500 SM, Phytagoras

memperkenalkan suatu bilangan yang disebut bilangan Irrasional. Misal: = 1,414213562... = 3,141592654... e = 2,718281828... 2

π

• Bilangan riil adalah bilangan yang mungkin

bulat, mungkin pecahan dan mungkin irrasional.

Skema Himpunan Bilangan

Bilangan Kompleks

Bilangan Nyata (Riil)

Bilangan Irrasional Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

Positif Nol Negatif

Bilangan Pecahan Bilangan Khayal

Pangkat

Akar

&

• Pangkat

– Kaidah pemangkatan bilangan

– Kaidah perkalian bilangan berpangkat – Kaidah pembagian bilangan berpangkat • Akar

– Kaidah pengakaran bilangan

– Kaidah penjumlahan bilangan terakar – Kaidah perkalian bilangan terakar

– Kaidah pembagian bilangan terakar • Logaritma

- Basis Logaritma

- Kaidah-kaidah Logaritma

• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu

indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

• Notasi xa _{: bahwa x harus dikalikan dengan x}

itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.

( )

. 5 1 . 4 dimana 8. 0 0 . 3 7. . 2 6. ) 0 ( 1 . 1 1 0 b a b a a a b c a x ab b a a a a X x x x a c x x x x x x y x y x x x b = = = = = = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≠ = −

( )

225

15

)

5

3

(

5

3

:

contoh

729

3

3

3

3

:

contoh

2 2 2 2 6 4 2 4 2

=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

+ + a a a b a b a

xy

y

x

x

x

x

25 9 5 3 5 : 3 : contoh : 9 1 3 3 3 : 3 : contoh : 2 2 2 2 4 2 4 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = = = − − − a a a b a b a y x y x x x x

Akar

• Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan

bilangan berpangkat.

• Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang

memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a).

• Bentuk umum :

m

x

x

m

a a

=

=

jika

b b b b b b b a b a b b

y

x

y

x

x

x

xy

x

x

x

x

=

⋅

=

=

=

.

4

.

3

.

2

.

1

1

Kaidah penjumlahan (pengurangan)

bilangan terakar

• Bilangan-bilangan terakar hanya dapat

ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis. b a b a b a

x

n

m

x

n

x

m

±

=

(

±

)

bc a c a b b b b x x xy y x = = ⋅ . sebelumnya akar -akar dari pangkat kali hasil ialah akarnya baru -pangkat an; bersangkut bilangan dari baru pangkat akar adalah bilangan sebuah dari ganda Akar sama. berpangkat akarnya -akar apabila dilakukan dapat hanya Perkalian a. bilanganny -bilangan kali hasil dari akar adalah erakar bilangan t -bilangan kali Hasil

` Hasil bagi

bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi

bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

b

b

b

y

x

y

x =

a m x m m xa = a = xlog = Logaritma Bentuk akar Bentuk pangkat Bentuk

Logaritma

Logaritma pada hakekatnya merupakan

kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.

Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun. • Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama

dengan satu.

• Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs)

• log_m berarti 10 _log

m, log 24 berarti 10 log 24

• Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma

Napier

• ln _m berarti elog_m

m m x x n m m a m x m a x n m n m n m mn x x n m x x a x m x a x x x x x x x x x = = ⋅ ⋅ = = ⋅ = − = = + = = log . 5 1 log log log 9. log log . 4 1 log log 8. log . 3 log log log 7. 0 1 log . 2 log log log . 6 1 log . 1

Kaidah-kaidah Logaritma

• Logaritma dapat digunakan untuk mencari

bilangan yang belum diketahui (bilangan anu)

dalam sebuah persamaan, khususnya

persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.

• Persamaan logaritmik ialah persamaan yang

bilangan anunya berupa bilangan logaritma,

sebagai contoh :

log (3x + 298) = 3

• Dengan melogaritmakan kedua ruas,

hitunglah x untuk 3x+1 _{= 27}

• Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3

Terima Kasih