1.1 Latar Belakang Masalah
Setiap manusia memiliki kebutuhan yang harus dipenuhi. Kebutuhan manu-sia untuk setiap orangnya berbeda-beda, baik dari kuantitas maupun dari kualitas. Di zaman modern saat ini, begitu banyak barang dan atau jasa yang diberikan un-tuk memenuhi kebutuhan setiap manusia. Meskipun demikian, kebutuhan manusia jumlahnya tak sebanding dengan barang dan atau jasa yang tersedia. Oleh karena itu, dibutuhan keputusan atau kebijakan dalam memilih barang dan atau jasa yang di-gunakan untuk memenuhi kebutuhan manusia. Disinilah peran penting matematika, khususnya optimisasi dalam mendasari keputusan ataupun kebijakan dalam memilih barang dan atau jasa yang digunakan untuk memenuhi kebutuhan manusia.
Optimisasi adalah salah satu bidang ilmu di matematika yang mempelajari tentang pemilihan sistematis nilai variabel real atau bulat dari suatu himpunan yang meminimalkan atau memaksimalkan suatu fungsi real. Optimisasi yang sering dike-nalkan adalah program linear. Program linear telah banyak digunakan di berbagai bidang antara lain ekonomi, teknik, industri, dan lain-lain. Meski demikian, banyak masalah optimisasi yang tidak dapat diselesaikan dengan program linear, contohnya antara lain adalah masalah meminimalkan norma dan program kuadratik berkendala kuadrat. Oleh karena itu, mempelajari optimisasi selain program linear diperlukan dan bermanfaat untuk menyelesaikan masalah-masalah optimisasi yang lebih luas, salah satunya adalah program kerucut orde dua (second order cone programming).
Program kerucut orde dua atau second order cone programming (SOCP) adalah masalah optimisasi yang meminimalkan fungsi tujuan linear atas kendala sistem per-samaan linear dan cartesian product sebanyak berhingga dari kerucut orde dua atau second order cone (SOC). Alizadeh dan Goldfarb (2003) menyatakan bahwa bebe-rapa masalah optimisasi dapat diformulasikan menjadi SOCP antara lain program linear, masalah meminimalkan norma, program kuadratik berkendala kuadrat, dan lain-lain. Berdasarkan latar belakang tersebutlah penulis tertarik dan menganggap penting untuk mempelajari SOCP lebih lanjut.
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Definisi dan sifat dari himpunan kerucut (cone), pointed, dan SOC di ruang Rn atas R.
2. Definisi dan sifat dari primal-dual SOCP. 3. Sifat aljabar dari SOC.
4. Algoritma primal-dual titik interior untuk menyelesaikan primal-dual SOCP.
1.3 Batasan Masalah
Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada perumusan masa-lah di skripsi ini. Skripsi ini hanya membahas sifat sederhana dari himpunan keru-cut, pointed, dan SOC yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya di skripsi ini. Selain itu, tidak dibahas mengenai masalah-masalah optimisasi yang dapat diformu-lasikan menjadi SOCP dan teori dualitas dari SOCP, serta tidak dibahas mengenai konsep-konsep Aljabar Jordan Euclidean yang bersesuaian dengan SOC untuk me-landasi pembentukan algoritma primal-dual titik interior. Aljabar Jordan Euclidean tersebut dianggap sebagai sifat aljabar dari SOC dan lebih dipandang sebagai ruang vektor dilengkapi dengan operasi biner yang komutatif dan bilinear, sebab memer-lukan penelitian tersendiri secara terpisah.
1.4 Maksud dan Tujuan
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mema-hami optimisiasi SOCP, terkait mengenai SOC dan primal-dual SOCP. Selanjutnya, untuk memahami salah satu algoritma primal-dual titik interior untuk SOCP, sehingga masalah primal-dual SOCP dapat diselesaikan.
1.5 Tinjauan Pustaka
Pada skripsi ini, digunakan sejumlah buku dan jurnal sebagai acuan. Sebagai acuan utama dari skripsi ini adalah buku karangan Faraut dan Koranyi (1994), jurnal
karangan Alizadeh dan Goldfarb (2003), dan jurnal karangan Wang dan Bai (2009). Pembahasan terkait himpunan kerucut dan pointed diacu berdasarkan buku karangan Faraut dan Koranyi (1994) yang membahas sedikit definisi himpunan konveks, keru-cut, dan pointed untuk pengantar symmetric cone. Pembahas mengenai definisi dan sifat dari SOC, primal-dual SOCP, dan sifat aljabar dari SOC diacu berdasarkan jur-nal Alizadeh dan Goldfarb (2003). Selain itu, sifat aljabar dari SOC diacu juga dari jurnal karangan Wang dan Bai (2009). Kedua jurnal tersebut menjelaskan bahwa sifat aljabar dari SOC merupakan suatu Aljabar Jordan Euclidean dan memberikan ide untuk pembentukan algoritma primal-dual titik interior untuk primal-dual SOCP berdasarkan sifat aljabar dari SOC tersebut. Pembahasan mengenai algoritma primal-dual titik interior untuk SOCP di skripsi ini diacu pada jurnal karangan Wang dan Bai (2009). Algoritma di jurnal karangan Wang dan Bai (2009) dibentuk berdasarkan sifat aljabar dari SOC yang sama dengan di jurnal karangan Alizadeh dan Goldfarb (2003), tetapi ide untuk pembentukan algoritma yang diberikan sedikit berbeda. Pemben-tukan algoritma di jurnal karangan Wang dan Bai (2009) menggunakan fungsi injektif bernilai real pada [0, +∞) di R dan diferensiabel pada (0, +∞), dengan ψ0(t) > 0 untuk setiap t > 0, untuk mencari arah perbaikan dan diberikan juga analisis untuk algoritma tersebut.
Untuk dasar teori mengenai ruang Rn, digunakan buku karya Bartle dan
Sher-bert (2000) dan Bartle (1976). Bartle (1976) membicarakan mengenai konsep topolo-gi, barisan, dan fungsi kontinu di ruang Rn dan Bartle dan Sherbert (2000)
mem-bicarakan mengenai ruang Rn untuk kasus n = 1. Untuk dasar teori mengenai
ma-triks bilangan real, digunakan buku acuan karya Bellman (1970) yang membicarakan mengenai matriks bilangan real terkait persamaan karakteristik, nilai eigen, vektor eigen, matriks simetris, matriks ortogonal, definit positif, dan diagonalisasi matriks simetris. Untuk dasar teori mengenai matriks blok (partisi), digunakan buku karya Zhang (2011) yang membahas mengenai teori matriks. Untuk dasar teori mengenai relasi himpunan, digunakan buku acuan karya Goodaire dan Parmenter (2003) yang membahas mengenai relasi suatu himpunan dan jenis-jenis dari relasi.
Adapun buku atau jurnal lain yang digunakan sebagai acuan penunjang/tam-bahan dalam skripsi ini, khususnya untuk sifat aljabar dari SOC dan algoritma primal-dual titik interior untuk SOCP adalah jurnal karangan Wang dan Bai (2012) dan jur-nal karangan Schmieta dan Alizadeh (2003) yang membicarakan mengenai algoritma primal-dual titik interior untuk symmetric optimization, dengan SOCP sebagai keja-dian khususnya. Selain itu, untuk primal-dual SOCP adalah buku karangan Ben-tal
dan Nemirovski (2001) yang membicarakan himpunan konveks, kerucut, dan pointed di ruang Rn, serta conic programming dengan SOCP sebagai kejadian khususnya.
1.6 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai himpunan kerucut (cone) dan pointed di ruang Rn. Setelah itu, dilakukan studi literatur mengenai sifat di ruang Rnterkait him-punan konveks, topologi, barisan, dan fungsi kontinu, serta dilanjutkan melakukan studi literatur mengenai relasi pada himpunan dan matriks bilangan real. Pemahaman himpunan kerucut (cone) dan pointed di ruang Rndiperlukan untuk memahami
bah-wa kerucut orde dua (SOC) merupakan himpunan kerucut (cone) dan pointed di ruang Rn. Pemahaman di ruang Rn dan relasi himpunan diperlukan untuk membuktikan bahwa SOC merupakan himpunan tertutup, konveks, dan himpunan semua titik in-teriornya tidak kosong di ruang Rn dan terdapat suatu relasi urutan parsial di ruang Rnberdasarkan SOC. Pemahaman mengenai sifat dari SOC yang diperoleh kemudi-an digunakkemudi-an untuk membahas sifat dari cartesikemudi-an product sebkemudi-anyak berhingga dari SOC. Pemahaman mengenai sifat cartesian product sebanyak berhingga dari SOC yang diperoleh kemudian digunakan untuk memahami program kerucut orde dua (SOCP) dan sifat terkait primal-dual SOCP, khususnya syarat cukup solusi optimal dari primal-dual SOCP.
Pemahaman mengenai matriks bilangan real terkait persamaan karakteristik, nilai eigen, vektor eigen, matriks simetris, matriks ortogonal, definit positif, dan dia-gonalisasi matriks simetris diperlukan untuk selanjutnya mempelajari sifat aljabar dari SOC. Sifat aljabar dari SOC disini merupakan salah satu contoh dari Aljabar Jordan Euclidean, tetapi di skripsi ini dipandang sebagai ruang Rn dilengkapi de-ngan operasi biner ◦. Berdasarkan hasil pembahasan mengenai sifat aljabar dari SOC dengan pemahaman matriks blok bilangan real, dapat diperluas untuk cartesian pro-ductsebanyak berhingga dari SOC. Berdasarkan hasil perluasan dari sifat aljabar dari SOC untuk cartesian product sebanyak berhingga dari SOC, selanjutnya dipelajari algoritma primal-dual titik interior untuk SOCP. Kemudian, berdasarkan pemahaman mengenai matriks bilangan real dan fungsi kontinu di R dipelajari mengenai anali-sis dari algoritma primal-dual titik interior tersebut agar terdefinisi dengan baik atau menuju solusi optimal dari primal-dual SOCP.
1.7 Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, maksud dan tujuan penulisan skripsi, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas tentang relasi, ruang Rnatas R sebagai ruang bernorma dengan norma standar, dan sifat-sifat tentang matriks bilangan real.
BAB III PROGRAM KERUCUT ORDE DUA
Pada bab ini dibahas mengenai definisi himpunan kerucut (cone) dan pointed di Rn,
definisi dan sifat dari SOC, serta definisi dan sifat dari primal-dual SOCP. BAB IV SIFAT ALJABAR UNTUK KERUCUT ORDE DUA
Pada bab ini dibahas mengenai sifat aljabar untuk SOC. Sifat aljabar di bab ini adalah terkait ruang Rn atas R dilengkapi dengan operasi biner ◦ yang memiliki hubungan dengan SOC. Selanjutnya, operasi biner ◦ diperluas menjadi ◦r, sehingga ruang Rn
dilengkapi ◦r memiliki hubungan dengan cartesian product dari sebanyak r SOC.
BAB V ALGORITMA PRIMAL-DUAL TITIK INTERIOR UNTUK PRO-GRAM KERUCUT ORDE DUA
Pada bab ini dibahas mengenai pembentukan algoritma primal-dual titik interior un-tuk SOCP. Pembenun-tukan algoritma primal-dual titik interior ini dilandasi dari sifat aljabar yang dibahas pada bab IV.
BAB VI PENUTUP
Pada bab ini berisi kesimpulan-kesimpulan yang diperoleh dari penulisan ini, beserta saran-saran yang dapat diambil berdasarkan materi-materi yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.
