Beberapa Definisi
Ruang Contoh Kejadian dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.
Definisi L.1 (Ruang contoh dan kejadian)
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan . Himpunan bagian dari ruang contoh disebut kejadian.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.2 (Kejadian lepas )
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong ( ).
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.3 (Medan- )
Medan- adalah himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari yang memenuhi syarat-syarat berikut :
(1)
(2) Jika A maka Ac .
(3) Jika A1, A2, …, maka .
Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ( disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.4 (Ukuran peluang)
Ukuran peluang P pada ruang ukuran ( ) adalah fungsi P : yang
memenuhi : (1)
(2) Jika A1,A2, … adalah himpunan anggota yang saling lepas yaitu
untuk setiap i, j dengan maka :
.
Tripel ( ) disebut dengan ruang peluang.
Definisi L.5 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : .
Secara umum, himpunan kejadian { } dikatakan saling bebas, jika :
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi L.6 (Peubah acak)
Peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa {
} untuk setiap .
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.7 (Fungsi sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah yang
didefinisikan oleh
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.8 (Peubah acak diskret)
Peubah acak X disebut diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai {x1, x2,…}
dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Grimmett and Stirzaker 2001) Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespodensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
Definisi L.9 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh : p(x) = P (X = x).
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.10 (Peubah acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter jika
fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh : , untuk k= 0, 1, 2, …
Nilai Harapan, Momen dan Ragam
Definisi L.11 (Nilai harapan, momen dan ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p(x). Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
E(X)=
Momem ke-k dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah
Misalkan momen ke-1 dari x adalah E(X) = . Maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah
Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X. Ragam (variance) dari X, dinotasikan dengan Var (X) atau adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya yaitu :
2
p(x). Ragam merupakan momen ke-2 dari peubah acak X.
(Hogg et al. 2005)
Kekonvergenan
Definisi L.12 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)
Barisan ( n) dikatakan mempunyai limit L dan kita tuliskan atau
n L jika apabila setiap terdapat bilangan M sedemikian rupa
sehingga jika n > M maka ada, kita katakan
barisan tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen. (Stewart 1999) Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak.
Definisi L.13 (Kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan X, X1, X2, … adalah peubah acak dalam ruang peluang ( ). Kita
katakan bahwa barisan peubah acak Xn konvergen dalam peluang ke X,
dinotasikan .
Definisi L.14 (Konvergen dalam rataan ke – r)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P).
Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak X,
dengan r ≥ 1, ditulis Xn r X untuk n , jika r n
X untuk semua n
dan Xn X r 0 untuk n .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi L.15 (Konvergen hampir pasti)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P).
Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X,
ditulis as
n
X X , untuk n , jika untuk setiap ε > 0,
lim n 1 .
n X X Dengan kata lain konvergen hampir pasti adalah
konvergen dengan peluang satu.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi L.16 (Konvergen dalam sebaran)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P).
Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X,
ditulis Xn d X, jika P(Xn ≤ x) → P(X ≤ x) untuk n , untuk semua titik x
dimana fungsi sebaran FX(x) adalah kontinu.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi L.17 (Statistik)
Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang tidak diketahui.
Definisi L.18 (Penduga)
Misalkan X1,X2,…Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2, …,Xn)yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ) , dilambangkan dengan n ( )
Bilamana nilai X1=x1 , X2=x2 ,…Xn=xn , maka nilai U(X1, X2, …,Xn) disebut
sebagai dugaan (estimate) bagi g( )
(Hogg et al. 2005)
Definisi L.19 (Penduga tak bias)
(1) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter , yaitu
= disebut penduga tak bias bagi parameter .
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
(2) Jika = maka )disebut
penduga tak bias asimtotik
(Hogg et al. 2005)
Definisi L.20 (Penduga konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter , disebut
penduga konsisten bagi
(Hogg et al. 2005)
Definisi L.21 (MSE suatu penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter didefinisikan sebagai berikut :
MSE(U)= E(U – g( ))2 = (Bias (U))2 + Var (U), dengan Bias(U) = EU -
(Hogg et al. 2005)
Definisi L.22 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh
Definisi L.23 (Titik Lebesgue)
Titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika .
(Dudley 1989)
Definisi L.24 (O(.) dan o(.))
Symbol „big-oh’ dan „litle-o‟ ini merupakan cara membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(1) Notasi u(x) = O(v(x)), x L menyatakan bahwa
terbatas untuk x L.
(2) Notasi u(x) = o(v(x)), x L menyatakan bahwa
untuk x L.
(Serfling 1980) Dengan menggunakan definisi di atas kita peroleh hal berikut
(1) Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis
untuk semua bilangan asli n.
(2) Suatu barisan bn yang konvergen ke 0, untuk dapat ditulis bn = o(1).
(Purcel dan Varberg 1998)
Lema teknis
Lema L.1
Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku
(Ghahramani 2005)
Bukti
Dari Definisi 11 kita bisa menuliskan bahwa
2
2 2
=
Jadi lema L.1 terbukti.
Lema L.2 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka
untuk .
(Serfling 1980)
Lema L.3 (Ketaksamaan Markov)
Jika adalah peubah acak, maka untuk setiap t > 0,
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Misalkan A adalah himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan , maka
Sehingga
Lema L.4 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam terbatas σ2 maka
2 2 (X t) t untuk setiap t ≥ 0. (Ghahramani, 2005). Bukti :
Karena X 2 0, dengan ketaksamaan Markov
2 2 2 2 2 2 ( ) (X ) t X t t .
Oleh karena X 2 t adalah eqivalen X2 t , maka Lema L.4 terbukti.
Lema L.5 (Deret-p) Deret 1 1 p n n
(disebut juga deret-p) konvergen jika p > 1, dan divergen jika p ≤ 1.
Bukti : lihat Steawart, 1999.
Lema L.6 (Teorema Limit Pusat (CLT))
Misalkan X X1, 2,...adalah barisan peubah acak yang i.i.d (independent and identically distributed) dengan nilai harapan dan ragam 2. Maka distribusi dari 1 2 ... 0,1 , d n n X X X n Z Normal n
jika n , atau dengan kata lain
1 2 ... lim lim n n n n X X X n Z x x n 2 2 1 . 2 x y e dy (Ghahramani 2005) Bukti:
Untuk membuktikan Teorema Limit Pusat diperlukan Teorema Kekontinuan Levy, sebagai berikut :
Lema 7 (Teorema Kekontinuan Levy)
Misalkan X X1, 2,...adalah barisan peubah acak dengan masing-masing fungsi distribusi F F1, 2,...dan fungsi pembangkit momen
1, 2,... .
X X
M M Misalkan adalah
peubah acak dengan fungsi distribusi F dan fungsi pembangkit momen MX t . Jika semua nilai t,
n X
M t konvergen ke MX t , maka titik-titik dari F yang kontinu, F konvergen ke n F.
Bukti Teorema Limit Pusat:
Misalkan Yn Xn , maka Yn 0 dan Var Yn 2, akan dibuktikan
1 2 ... , n n X X X n Z
n untuk n 1 konvergen ke distribusi Z.
Jika Y Y1, 2,...berdistribusi identik maka Y Y1, 2,... mempunyai pembangkit momen yang sama, yaitu M. Dari kebebasan peubah acak Y Y1, 2,...,Y diperoleh n
1 2 ... exp n n Z Y Y Y M t t n 1 2 ... n Y Y Y t M n 1 2 ... n Y Y Y t t t M M M n n n . n t M n (L.1)
Dari Teorema Kekontinuan Levy, cukup dibuktikan bahwa
n Z M t konvergen ke 2 exp 2 t
yang merupakan fungsi pembangkit momen dari Z. Ekuivalen dengan menunjukkan bahwa
2 lim ln 2 n Z n t M t (L.2) Misalkan h t n maka 2 2 2 t n
h sehingga dari persamaan (L.1) dihasilkan
2 2 2 2 2 2 ln ln ln ln , n Z M h t t M t n M h M h h h maka 2 2 0 ln lim ln lim . 2 n Z n h M h t M t h (L.3) Karena M 0 1 dan 2 0 ln lim h M h
h nilai tidak tetap, maka untuk menentukan nilainya dapat digunakan aturan L‟Hopital dua kali, sehingga diperoleh
2
0 0 0
ln ' '
lim lim lim
2 2 h h h M h M h M h M h h h hM h 2 0 " " 0 lim , 2 2 ' 2 0 2 h M h M M h hM h M Dengan 2 " 0
M dan Yi 0, maka dari (L.3) diperoleh bahwa
2 2 2 lim ln . 2 2 2 n Z n t t M t yaitu persamaan (L.2).
