Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMA 2013 Tingkat Kabupaten Kota

Pembahasan Soal

OSN Guru 2013

OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA

OSN Guru Matematika SMA

(Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota)

Disusun oleh:

PEMBAHASAN SOAL

OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

JUNI 2013

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

1. Seorang guru Matematika kelas XII sedang merencanakan pembelajaran materi panjang proyeksi vektor ortogonal. Agar siswa dapat memahami pentingnya materi tersebut, guru itu memikirkan bagaimana lintasan belajarnya. Tuliskan lintasan belajar (urutan proses pembelajaran) sebelum menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal.

Pembahasan:

Lintasan belajar menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal:

(1)Mengingatkan kembali panjang proyeksi vektor ortogonal adalah tentang perbandingan trigonometri dan berkaitan dengan sudut antara dua vektor yang sudah terlebih dahulu dibahas di bab sebelumnya.

(2)Menggambar dua vektor, misalnya, ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ dan = ⃗⃗⃗⃗⃗ , untuk menentukan panjang proyeksi vektor ortogonal dari ⃗ pada .

(3)Mendiskusikan bagaimana menentukan proyeksi vektor ortogonal adalah dengan menentukan proyeksi sebuah titik pada vektor adalah menentukan proyeksi titik pada vektor , yaitu titik , dengan menarik garis yang melalui dan tegak lurus sehingga akan berpotongan di S.

(4)Menghubungkan konsep sudut antara dua vektor, cos � = ⃗ ∙⃗

|⃗ ||⃗ |, dan mengingatkan kembali bahwa cos � juga merupakan perbandingan sisi segitiga siku-siku , yang merupakan cikal bakal untuk menentukan panjang proyeksi vektor ortogonal, yaitu panjang ruas garis ⃗⃗⃗⃗ .

⃗

2. Untuk mencapai tujuan pembelajaran ”Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika”, pak Amin menyusun sebuah bahan ajar LKS den�an men��unakan pembelajaran teori konstruktivime. Tuliskan langkah-langkah untuk menentukan suku ke-n dengan bahan ajar tersebut.

Pembahasan:

LEMBAR KERJA SISWA

Tujuan : Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.

Prasyarat : Siswa mempunyai kompetensi barisan bilangan.

Siswa mempunyai kompetensi penyelesaian persamaan linear dua variabel.

Barisan Aritmetika

Perhatikan barisan bilangan di bawah ini, dan tentukan 3 suku berikutnya: (a)2, 4, 6, 8, ..., ..., ...

Apabila selisih dari dua suku yang berdekatan ini selalu tetap atau bernilai sama, maka selisih tetap ini disebut dengan beda barisan bilangan.

Pada barisan bilangan (a) beda = ... Pada barisan bilangan (b) beda = ... Pada barisan bilangan (c) beda = ...

Definisi Barisan Aritmetika

Barisan bilangan � , � , � , � , … , �_� disebut barisan aritmetika jika � − � = � − � = � − � = ...= �_�− �_�− = bilangan tetap . Bilangan tetap disebut beda dari barisan aritmetika.

3. Pada suatu tes salah satu soalnya adalah sebagai berikut:

”Bentuk √ + √ + √ dapat disederhanakan menjadi + √ bentuk dimana dan masing-masing merupakan bilangan bulat. Nilai + adalah ....”

Skor total untuk jawaban tersebut adalah 6. Berdasarkan soal di atas tuliskan pedoman penskorannya!

Pembahasan:

√ + √ + √ = √ + √ + √ .……….

= √ + √ + + √ ×

= √ + √ + √ . .………..

= √ + √ . .………..

= √ + √ . .………..

= √ + + √ ×

= √ + √ .………. = √ + .………..……….

Pedoman penskoran:

1. Mengubah bentuk akar √ menjadi √ . (1 poin)

2. Menyederhanakan bentuk √ + √ menjadi √ + √ . (1 poin) 3. Menjumlahkan + √ menjadi . (1 poin)

4. Mengubah bentuk akar √ menjadi √ (1 poin)

5. Menyederhanakan bentuk √ + √ menjadi √ + √ . (1 poin)

6. Mengubah bentuk √ + √ menjadi bentuk sederhana √ + . (1 poin)

4. Nilai dari + + + + + + + + + + … + + + + + … + adalah ....

Pembahasan:

Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi:

∑ ₊

�=

= ∑ ₊

�=

Perhatikan bentuk

� �+ bisa dijabarkan menggunakan pecahan parsial menjadi:

+ = + +

⇒ ₊ = + ₊+

⇔ ₊ = + ₊ +

Dengan kesamaan aljabar diperoleh: = dan + = ⇒ = −

Sehingga,

+ = − + = ( − + )

Jadi,

∑ ₊

�=

= ∑ ( − _{+ )}

�=

= ∙ ∑ ( − _{+ )}

�=

= ∙ [( − ) + ( − ) + ( − ) + … + ( − ) + ( − )]

= ∙ ( − )

= ∙ ( )

=

Jadi,

5. Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku adalah bilangan asli. Jika panjang salah satu sisi dari dua sisi yang saling tegak lurus adalah 8, maka luas terbesar yang mungkin dari segitiga tersebut adalah ....

Pembahasan:

Perhatikan sketsa segitiga siku-siku di samping! Pada segitiga siku-siku berlaku:

+ =

+ > > dan >

Panjang salah satu sisi tegak lurus ∆ adalah 8. Misal = , maka pada segitiga berlaku: + = ⇒ − = dan + > ⇒ − < Sehingga diperoleh + >

Dari + > dan − < dan + − = ,

Jadi, diperoleh kesimpulan bahwa + dan − faktor dari 64.

Sehingga kemungkinan nilai + dan − adalah sebagai berikut:

No + − + − Keterangan

Jadi luas segitiga adalah:

∆ =

Jadi luas segitiga adalah:

∆ =

6. Diberikan = + . Misalkan dan adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi + − = + . Nilai minimum dari + adalah ....

Pembahasan:

= + , sehingga diperoleh

+ − = +

⇒ + + − + = + +

⇔ + + − + + = + + +

⇔ + − =

⇔ − + =

⇔ − + =

⇔ − =

⇔ − =

⇔ =

Ingat untuk sebarang bilangan-bilangan real positif , , … , _� berlaku:

≥ ≥

dengan,

= + + … + �; = √ ∙� ∙ … ∙ �; =

+ + … +

�

Dari teorema AM-GM dan = diperoleh: ≥

⇒ + ≥ √

⇔ + ≥ √ ⇔ + ≥ √

8. Untuk menghabiskan sebungkus kacang secara bersama-sama, Aang dan Katara memerlukan waktu 15 menit. Sedangkan Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit. Adapun Aang dan Saka memerlukan waktu 20 menit. Banyak kacang yang dihabiskan oleh Saka dalam waktu jam adalah .... bungkus.

Pembahasan:

Misal adalah kecepatan makan kacang dengan satuan bungkus per menit.

adalah waktu yang dibutuhkan dan menyatakan jumlah bungkus kacang yang dihabiskan, maka hubungan antara , , dan bisa dinyatakan dalam persamaan:

= ⇒ =

Aang dan Katara memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa ditulis dalam model matematika sebagai berikut:

�+ � ′ =

Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa ditulis dalam model matematika sebagai berikut:

�+ � ′ =

Aang dan Saka memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa ditulis dalam model matematika sebagai berikut:

�+ � ′ =

Ketiga persamaan membentuk sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu: �+ � ′ = ⇒ ′ �+ ′ �=

Dengan menggunakan metode Crammer (determinan matriks) untuk menyelesaian SPLTV tersebut sehingga dapat diperoleh kecepatan makan si Saka tiap menit sebagai berikut:

� =

| |

| |

= =

Sehingga jumlah kacang yang dihabiskan oleh Saka dalam waktu jam adalah:

= �∙ = ∙ ′ = = bun�kus

9. _{Jika ° = , maka nilai} sin °

sin ° tan ° + cos ° − cot ° + tan ° adalah …. Nyatakan dalam

Pembahasan:

Ingat! Bentuk sin + cos = � cos − � dengan, � = √ + dan tan � =

Perhatikan bentuk sin ° tan ° + cos ° bisa diubah menjadi � cos − � ,

dengan, � = √ + = √tan ° + = √sec ° = sec °

dan tan � =tan °⇒ � = °

Sehingga, sin ° tan ° + cos ° = sec ° cos ° − ° = sec ° cos °

sin °

sin ° tan ° + cos ° − cot ° + tan ° ⇒

sin °

sec ° cos ° − cos °

sin ° +cos °sin °

⇔ sin °

cos ° cos °− cos °cos ° + sin °sin °cos ° sin ° ⇔sin ° cos °_{cos °} −_{cos ° cos ° + sin ° sin °}cos ° sin °

⇔sin ° cos °_{cos °} −_coscos ° sin °_{° − °}

⇔sin ° cos °_{cos °} −cos ° sin °_{cos °}

⇔sin ° cos ° − cos ° sin °_{cos °}

⇔sin_{cos °}° − °

⇔_{cos °}sin °

⇔ tan °

⇔ tan ° + °

⇔ √ − cos_{+ cos} ° + °_{° + °}

⇔ √ + sin °_{− sin °}

⇔ √ + sin °_{− sin ° ×} + sin °_{+ sin °}

⇔ √ + sin °_{− sin °}

⇔ √ + sin °_{cos °}

⇔ + sin °_{cos °}

10.Jika | | + + = dan + | | − = , maka + = ....

Pembahasan:

| | + + = {_{− + + =}+ + = , untuk ≥ _{, untuk <}

Sehingga dari persamaan | | + + = akan diperoleh persamaan sebagai berikut: (1) + = , untuk ≥

(2) = , untuk <

+ | | − = { + − =_{− − =} , untuk ≥ _{, untuk <}

Sehingga dari persamaan + | | − = akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

(3) = , untuk ≥ (4) − = , untuk <

 Dari persamaan (1) dan (3) akan diperoleh:

= , untuk ≥ ⇒ + =

⇔ = −

Karena jika = maka nilai = − dan ini bertentangan dengan syarat ≥ , sehingga pasangan dan ini tidak memenuhi.

 Dari persamaan (2) dan (3) akan diperoleh: = , untuk < ⇔ = , untuk ≥

Karena jika = dan ini bertentangan dengan syarat < , maka pasangan dan ini juga tidak memenuhi.

 Dari persamaan (2) dan (4) akan diperoleh: = , untuk < ⇒ − =

⇔ =

Karena jika = menghasilkan nilai = − dan ini bertentangan dengan syarat ≥ , maka pasangan dan ini juga tidak memenuhi.

 Dari persamaan (1) dan (4) akan diperoleh: + = , untuk ≥ × + =

− = , untuk < × − = = − = −

= − ⇒ − (− ) =

⇔ =

Karena untuk = dan = − memenuhi ≥ dan < , maka pasangan dan ini memenuhi.

Pembahasan soal OSN Guru Matematika SMA 2013 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini.

Untuk download pembahasan soal SNMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.