PEDAGO
Diaajukan Untuuk Memenuuhi Salah Saatu Syarat Memperoleh Gelar Saarjana Pendiidikan Program Studi Pendiddikan Matemmatika
Oleh
DI PENDIDDIKAN MAATEMATIKA
TEMATIKAA DAN ILMUU PENGETTAHUAN ALLAM
URUAN DAAN ILMU PENDIDIKKAN SITAS SANNATA DHAARMA
YOGYAKAARTA 20122
ii
iii
“
Dan
Allah
mengeluarkan kamu dari perut ibumu dalam
keadaan tidak mengetahui sesuatu pun, dan
Dia
memberimu
pendengaran, penglihatan, dan hati nurani agar kamu
bersyukur.
”
(Q.S An-Nahl :78)
Sesungguhnya semangat untuk terus berbenah ketidaktahuan ini hanya dari‐MU Wahai Allah…
Segala puji bagi MU
“HANYA ADA SATU KEPASTIAN, TENTANG HIDUP. IA ADALAH KEMENANGAN.
KEMENANGAN BAGI TAK SEMBARANG ORANG.
v
ORANGG –ORANG IITU ADALAAH ORANGG-ORANG YAANG MEMIILIKI IMANN.”
Sebuah tapal
Semoga tidak
ataupun kert
Melainkan m
Mewajahkan
batas hitam pu
k hanya terhen
as usang di sud
menjadi energi y
kebajikan, men
utih sejarah ya
ti sebagai ongg
dut gelap guda
yang akan tetap
nebarkan manf
vi ang telah teruki
gokan ilmu di k
ang.
p tersimpan, h
faat bagi sekita
untuk ir.
kolong pikiran
hanya akan beru
ar.
k bapak fx.
Juga Alm n
ubah bentuk d
sudira & ibu
an tidak akan
mamaterku
terima kasih
u sri setyan hilang.
ingsih
, sanata dhharma
ABSTRAK
Fransidha Sidhara Hadi, 081414030, 2012. Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru Matematika di SMA Negeri 1 Klaten terkait Pengetahuan Guru tentang Konsepsi dan Miskonsepsi yang Dimiliki oleh Siswa dalam Pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian dalam skripsi ini bertujuan untuk mengungkap pengetahuan guru terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran matematika di SMA Negeri 1 Klaten.
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif deskriptif. Subjek penelitian adalah guru matematika kelas XI IPA 2 SMA N 1 Klaten dalam pembelajaran Kompetensi Dasar 3.4: Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah dengan materi pokok Turunan dan sub-pokok materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Pengumpulan data dilakukan dengan wawancara dengan guru dan siswa, serta observasi proses pembelajaran di kelas yang direkam dalam bentuk video. Analisis data dilakukan dengan langkah-langkah, yaitu : (i) transkripsi data, (ii) reduksi data, (iii) kategorisasi data, (iv) penarikan kesimpulan.
Hasil penelitian berupa PCK guru matematika terkait konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Tiitk Stasioner. PCK dalam penelitian ini terwujud dalam pengetahuan guru terkait konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Guru memiliki pengetahuan tentang mana saja bagian materi yang dimengerti dengan baik dan tidak dimengerti dengan baik oleh siswa. Melalui analisis pengenalan guru terhadap siswanya diperoleh kesimpulan bahwa guru cenderung mengenali siswa-siswinya dan melihat situasi kelas secara global, beberapa siswa yang dikenali dengan baik adalah siswa-siswi yang tergolong aktif dalam pembelajaran. Guru memperoleh pengetahuan mengenai siswanya kebanyakan ketika proses pembelajaran berlangsung, sebagian melalui rekan guru lain, dan selain itu guru mengenali konsepsi siswa ketika mengoreksi ulangan/test siswa.
PCK guru tentang konsepsi siswa yang tergolong mantap antara lain adalah pengetahuan guru bahwa : (i) semua siswa sudah mampu menentukan turunan fungsi; (ii) semua siswa mampu menentukan syarat fungsi naik (f ‘(x) > 0), fungsi turun (f ‘(x) < 0); (iii) ada siswa yang mampu mengenali bahwa sifat-sifat/ karakteristik suatu fungsi dapat ditentukan melalui turunan, tidak ada siswa yang sangat kurang dalam mengerti bahwa titik stasioner memiliki syarat f ‘(x) = 0, tidak ada siswa yang sangat kurang dalam menentukan titik koordinat stasioner dengan benar, semua siswa sudah tahu tentang menguji titik stasioner dengan turunan pertama ataupun kedua untuk diketahui jenisnya meski terkendala pada prosedur hitungan; (iv) ada siswa yang sempat keliru dalam menyebut titik ekstrim; (v) semua siswa sudah mengerti syarat titik belok yaitu f “(x) = 0; guru mengetahui ada hal yang belum dipahami tentang titik belok; (vi) semua siswa sudah bisa menggambar grafik.
PCK guru tentang konsepsi siswa yang tidak mantap antara lain adalah pengetahuan guru bahwa : (i) semua siswa sudah mengerti dengan baik bahwa titik stasioner bisa berupa titik ekstrim, hanya ada satu dua siswa yang bisa memahami definisi formal pengertian titik maksimum dan minimum.
vii
viii
Guru juga memiliki pengetahuan tentang miskonsepsi siswa. PCK guru tentang miskonsepsi siswa yang tergolong mantap antara lain : (i) guru mengetahui miskonsepsi siswa dalam prosedur menentukan interval fungsi naik dan turun; (ii) siswa pada umumnya keliru dalam menentukan titik stasioner (karena salah mensubstitusi nilai x); pernah ada siswa yang hanya menyebutkan x hasil hitungan f‘(x) =0 saja ketika ditanya “maksimum di mana?”; (iii) kebanyakan para siswanya kurang memahami bahwa titik stasioner itu bisa menjadi titik belok, tidak hanya titik ekstrim; (iv) kebanyakan para siswanya sempat kesulitan pada uji turunan pertama (hanya ada beberapa siswa yang baik dalam hal ini); (v) guru mengarahkan siswa yang keliru menentukan titik potong grafik dengan sumbu y.
Dalam penelitian kali ini tidak ditemukan adanya pengetahuan guru tentang miskonsepsi siswa yang tidak mantap.
Kata kunci : Pedagogical Content Knowledge (PCK), konsepsi siswa, miskonsepsi siswa, fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner
ix
ABSTRACT
Fransidha Sidhara Hadi, 081414030, 2012. The Pedagogical Content Knowledge (PCK) of Mathematics Teacher at SMA Negeri 1 Klaten Related to Her Knowledge on Students’ Conception and Misconception in the Learning Process of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point Learning Materials. Undergraduate Thesis. Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and Science Education, Teachers Training and Education Faculty, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This research in this undergraduate thesis was aimed to reveal the teacher’s knowledge related to students’ conception and misconception in the mathematics learning process in SMA Negeri 1 Klaten.
This was a descriptive-qualitative research. The subject of this research was the mathematics teacher of class XI IPA 2 in SMA Negeri 1 Klaten in basic competence 3.4: Using derivative to decide characteristics of an algebra function and to solve problems with main topic of Derivative and sub-topic of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point. Data gathering was done by interviewing the teacher and the students, also by observing the learning process in class which was recorded in video. Data analysis was done by the following steps, namely: (i) data transcription, (ii) data reduction, (iii) data categorization, (iv) conclusion.
Research result showed the teacher’s PCK on students’ conception and misconception in the learning process of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point. PCK in this research was showed in the form of the teacher’s knowledge about the students’ conception and misconception in the learning process of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point. The teacher had the knowledge about the concepts which the students understand well and the concepts which they do not understand well. From the analysis of teacher’s recognition towards her students, it could be concluded that the teacher tended to know her students and saw the class’ situation globally; some students she knew well were the active students in the learning process. The teacher had knowledge about her students mostly during the teaching-learning process, besides the teacher recognized the students’ conception from correcting their paper tests and also from the discussion with the other teachers.
The teacher’s PCK about students’ conception which was sound consisted of the following : (i) all students were able to decide the derivative of function; (ii) all students were able to decide the condition of increasing function (f ‘(x) > 0), decreasing function (f‘(x) < 0); (iii) some students were able to recognize that the characteristics of certain function could be decided using derivative, none of the students had less understanding about the f ‘(x) = 0 condition for a stationery point, none of the students had less understanding in deciding the coordinate of stationery point correctly, all students were able to test the stationery point using first or second derivative to know the type although they had problems with the calculation procedure; (iv) some students were wrong in mentioning the extreme point; (v) all students had understood the condition of inflection point, f “(x) = 0; the teacher noticed that some things were still not understood by the students concerning the inflection point; (vi) all students were able to draw graphs. The teacher’s PCK about students’ conception which was not sound consisted of: (i) all students understood well that a stationery point could be an extreme point, only one or two students understood the formal definition of maximum point and minimum point.
x
functions procedure; (ii) students were commonly wrong in deciding the stationery point (because they were wrong in substituting the x value); at a particular time, there were some students mentioned only the x (the absis) from the calculation result of f ‘(x) =0 when they was asked, “where is the maximum point?”; (iii) most students did not understand well that stationery point could be an inflection point, not just an extreme point; (iv) most students seemed troubled with the first derivative test (only few students did it well); (v) the teacher guided the students who were wrong in deciding the intersection point of the graph with the y axis.
In this research, it was not found the teachers’ knowledge of students’ misconception that was not sound.
xii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Semoga keselamatan dan
kesejahteraan selalu terlimpah bagi kita semua.
Segala puji bagi Allah S.W.T atas berkah dan ridhonya, skripsi dengan judul
“Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru Matematika di SMA Negeri 1
Klaten terkait Pengetahuan Guru tentang Konsepsi dan Miskonsepsi yang
dimiliki oleh Siswa dalam Pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun,
dan Titik Stasioner” dapat terselesaikan dengan baik. Penyusunan skripsi ini
merupakan salah satu syarat untuk perolehan gelar sarjana pada program studi
Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Penulis juga ingin menghaturkan terima kasih kepada:
1. Bapak St. Suwarsono selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membimbing dan mendukung penulis dengan sabar dalam penyusunan
skripsi ini dari awal hingga akhir.
2. Bapak M. Andy Rudhito selaku Kaprodi Pendidikan Matematika segenap
staff Prodi Pendidikan Matematika atas dukungan yang telah diberikan.
3. Ibu Tri Suwarni, selaku guru mata pelajaran Matematika dan Bapak
Suharjo selaku Wakasek Kurikulum SMA Negeri 1 Klaten atas
pengorbanan waktu, perhatian dan dukungan demi terlaksananya
xiii
4. Bapak Tantyo Hatmono, selaku kepala Sekolah SMA Negeri 1 Klaten
yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk melaksanakan
kegiatan penelitian.
5. Keluarga, Bapak, Mamah, Mas Alexander Frandy, Dek Ririn, Dek Pipit
atas dorongan dan pengertiannya, lahir dan batin.
6. Teman-teman Forum Keluarga Muslim atas inspirasi semangat
kebaikannya, kekokohan jiwa, dan kelapangan hati dalam menjalani
hidup.
7. Para rekan BEM USD 2011-2012 atas kerjasama yang tak pernah
terbayangkan, salut dan segenap adik-adik HMPS Pendidikan
Matematika USD angkatan perdana, semoga HMPS bisa terus ‘menyala’
untuk prodi tercinta.
8. Dita, Sinta, Wiwik, Titi, Ambar, Linda, yang telah berbagi rasa keluarga
selama jauh dari orang tua dan segenap rekan-rekan Prodi Pendidikan
Matematika yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu, atas
diskusinya, saran dan dorongan moralnya dalam saling menyemangati
selama berproses di Prodi hingga saat ini.
Semoga karya tulis ini dapat berguna dan menambah wawasan bagi
pembacanya. Karya tulis ini tidaklah sempurna, untuk itu, kritik dan saran yang
membangun sangat penulis harapkan.
Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Yogyakarta, 17 Desember 2012
xiv
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... iv
HALAMAN MOTTO ... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... ix
PERNYATAAN PERSETUJUAN ... xi
KATA PENGANTAR ... xii
DAFTAR ISI ... xiv
DAFTAR TABEL ... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xvii
DAFTAR LAMPIRAN ... xviii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ... 1
B. Identifikasi Masalah ... 4
C. Pembatasan Masalah ... 5
D. Rumusan Masalah ... 5
E. Tujuan Penelitian ... 6
F. Batasan Istilah ... 6
G. Manfaat Penelitian ... 8
BAB II KAJIAN TEORI A. Pedagogical Content Knowledge (PCK) ... 10
B. Konsepsi Siswa ... 19
C. Miskonsepsi Siswa ... 21
D. Penggunaan Turunan ... 23
1. Maksimum dan Minimum ... 23
2. Kemonotonan dan Kecekungan ... 25
3. Maksimum Lokal dan Minimum Lokal ... 33
4. Penggambaran Grafik Canggih (Polinom) ... 35
E. Kerangka Berpikir ... 38
BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian ... 40
B. Subyek Penelitian ... 40
C. Tempat dan Waktu Penelitian ... 41
D. Metode Pengumpulan Data dan Instrumen Penelitian ... 41
E. Validitas Data ... 49
F. Metode Analisis Data ... 50
BAB IV PELAKSANAAN PENELITIAN DAN ANALISIS DATA A. Pelaksanaan Penelitian di Lapangan ... 56
B. Analisis Data ... 64
1. PCK Guru Terkait Konsepsi Siswa ... 64
xv
3. Pengenalan Guru Terhadap Siswa ... 125
4. Sumber Pengetahuan Guru Berasal ... 131
C. Pembahasan Hasil Penelitian ... 132
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ... 141
B. Kelebihan dan Kekurangan Penelitian ... 147
C. Saran ... 147
DAFTAR PUSTAKA ... 149
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel Keterangan Judul Halaman
2.1 Pengembangan kategorisasi PCK oleh Baker,dkk (2006 : 299). 12 2.2 Tabel kategorisasi PCK dari Baker,dkk. 17-19 2.3 Sebab utama dan sebab khusus miskonsepsi siswa. 21-22 2.4 Kerangka berpikir penelitian PCK guru tentang konsepsi siswa. 39 3.1 Kisi-kisi observasi proses pembelajaran-pengamatan guru. 43
3.2 Kisi-kisi wawancara awal dengan guru. 47
3.3 Kisi-kisi wawancara lanjutan dengan guru. 48-49
4.1 PCK-konsepsi menentukan turunan fungsi. 67
4.2 PCK-konsepsi materi fungsi naik dan fungsi turun. 71
4.3 PCK-konsepsi titik stasioner. 89-90
4.4 PCK-konsepsi titik ekstrim. 96-97
4.5 PCK-konsepsi titik belok. 98
4.6 PCK-konsepsi pengetahuan sketsa grafik. 101
4.7 PCK-miskonsepsi fungsi naik dan fungsi turun. 106
4.8 PCK-miskonsepsi titik stasioner. 111
4.9 PCK-miskonsepsi titik belok. 115
4.10 PCK-miskonsepsi uji turunan pertama. 119
4.11 PCK-miskonsepsi pengetahuan sketsa grafik. 121
4.12 Kategorisasi data awal penelitian. 133-136
5.1 PCK guru terkait konsepsi dan miskonsepsi siswa. 122-
125,143-146 6.1 Macam titik stasioner beserta syarat prosedur hitungannya. 264
DAFTAR GAMBAR
Gambar Keterangan Judul Halaman
2.1 Fungsi f dengan domain S. 23
xvii
Gambar Keterangan Judul Halaman
2.5 Macam-macam Titik Kritis. 27
2.6 Garis bilangan f ’(x) = 6x2-6x-12. 32
4.1 Ilustrasi fungsi naik & fungsi turun oleh guru. 68, 271 4.2 Kekeliruan hitungan dari ide siswa(kiri) dan koreksi
hitungan dari guru (kanan).
118
4.3 Guru menunjuk kembali titik potong dengan sumbu y
sambil berkata : “Lho kok 2? Sini kok?”.
121, 272
4.4 S14 menyadari kekeliruannya sendiri saat menentukan titik stasioner f (x) = 2x3-3x2-12x+7.
130
4.5 Perhitungan S14 dalam menentukan ordinat titik stasioner dari 2x3+3x2-72x+5.
130
4.6 Kategorisasi Chick et al(2006) yang diacu oleh peneliti (lihat selengkapnya pada tabel 2.1).
132
4.7 PCK termasuk pengertian guru tentang materi spesifik apa yang mudah dan sulit bagi siswa : konsepsi dan miskonsepsi siswa dari berbagai latar belakang dan usia (Shulman :1986).
133
6.1 Illustrasi fungsi naik, fungsi turun, dan titik stasioner oleh guru.
6.10 Guru sedang mengingatkan kembali materi dengan menggunakan rumusan kunci.
277
6.11 Ketika guru menerangkan menggambar sket grafik f(x) =
x2-4x+1.
281
6.12 Contoh soal oleh guru. 286
6.13 Pekerjaan M di whiteboard. 290
xviii
Gambar Keterangan Judul Halaman
siswa Y dengan peneliti.
W.III.S14.1 S14 sempat keliru mengunakan prosedur penyelesaian pertidaksaman dalam menentukan naik turunnya f(x)= x2 -4x+1.
103, 258
W.III.S14.2 S14 menyelesaikan permasalahan menentukan naik turunnya fungsif(x)= x2-4x+1.
104, 259
W.III.S14.3 Hasil akhir pekerjaan S14 dalam menentukan naik turunnya fungsi f(x)= x2-4x+1.
105
K.I.1 Guru menuliskan hitungan untuk menentukan sketsa grafik.
152
K.I.2 Operasi hitungan uji f ’(x) awal (yang keliru). 156 K.I.3 Operasi hitungan uji f ’(x) yang sudah dibetulkan guru. 158, 275 K.II.1 Guru mengarahkan siswa untuk menentukan titik
stasioner.
160
K.II.2 Catatan milik B. 165
K.II.3 Hitungan yang ditanyakan M. 165
K.III.1 Guru menebalkan garis untuk mempertegas penjelasan tentang interval.
171, 288
K.III.2 Kurva cekung ke bawah yang dibuat guru. 173 K.III.3 Guru usai memperagakan sketsa grafik fungsi x2-9=0 174 K.III.4 Guru memperagakan bagaimana interval berlaku pada
sketsa grafik x2-9=0.
175
K.III.5 Soal yang diberikan kepada siswa. 176
K.IV.1 Guru mendemonstrasikan prosedur hitungan uji f ’(x). 185
K.IV.2 Pekerjaan M yang dikoreksi guru. 190
WS_M.1 Pemfaktoran f(x) = 2x3+3x2-72x+5 256
DAFTAR LAMPIRAN
Keterangan Halaman
Lampiran 1 Transkrip Data Observasi Kelas 152
Lampiran 2 Transkrip Data Wawancara dengan Guru 204
Lampiran 3 Transkrip Data Wawancara dengan Siswa 254
Lampiran 4 Ringkasan Materi Pembelajaran di Kelas 260
Lampiran 5 Deskripsi Pembelajaran di Kelas 269
Lampiran 6 Daftar Nilai Turunan dari Guru 294
Lampiran 7 Lembar Instrumen Wawancara Pengetahuan Guru Tentang Konsepsi Siswa
295
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Generasi muda merupakan tumpuan harapan bangsa. Merekalah
harapan bagi suatu bangsa untuk dapat meningkatkan taraf peradaban
menjadi lebih baik. Oleh karena itu, diupayakanlah pendidikan bagi
generasi muda melalui sebuah sistem yang konkretnya kita lihat sebagai
institusi-institusi pendidikan –baik formal maupun non formal- sebagai
tempat persemaian embrio-embrio penerus bangsa yang tangguh. Dengan
institusi ini potensi-potensi sumber daya manusia terus diupayakan menuju
peradaban yang lebih baik.
Berbicara tentang pendidikan, tidak asing jika kita berbicara
tentang guru. Sudah menjadi rahasia umum jika guru memainkan peran
penting dalam dunia pendidikan. Guru merupakan ujung tombak dalam
mencerdaskan anak bangsa (Pujiono, 2012). Berkaitan dengan hal ini
tugas yang dihadapi oleh seorang guru tidaklah sederhana.
Guru, selain menguasai materi pelajaran yang menjadi bidang
spesialisasi, juga diharapkan memiliki keterampilan pedagogis. Tidak
hanya itu, subjek yang dihadapi guru adalah para siswa. Sebagai
masing-masing individu, para siswa ini tentu saja memiliki cara berpikir serta latar
belakang kehidupan sosial dan budaya yang berbeda-beda. Hill, Ball, dan
Schilling (2008:372) mengungkapkan bahwa sudah menjadi kesepakatan
bersama bahwa guru matematika yang efektif adalah guru yang memiliki
pengetahuan khusus tentang cara berpikir siswa dan ide-ide siswa dalam
matematika.
Sejalan dengan pengalaman penulis pada saat melaksanakan
program pengalaman lapangan. Menciptakan paduan yang harmonis antara
kemampuan secara materi dengan kemampuan menyajikan materi di
dalam kelas bukanlah perkara yang mudah, apalagi yang berkaitan dengan
siswa. Ketika penulis mengkonsultasikannya dengan pihak terkait
mengenai permasalahan tersebut, mereka menyatakan bahwa para
mahasiswa calon guru harus menyadari bahwa kesulitan yang dialami
tersebut salah satunya dikarenakan minimnya pengalaman, hanya sebatas
itu saja, tanpa ada kejelasan solusi pada bagian mana dan harus mulai
darimana jika ingin mengatasi kesulitan tersebut. Berkaitan dengan hal ini
penulis secara tidak sengaja menemukan istilah Pedagogical Content
Knowledge (PCK) ketika membaca sebuah karya ilmiah di perpustakaan
universitas.
Setelah ditelusur lebih jauh, Pedagogical Content Knowledge
(PCK) merupakan salah satu istilah yang diangkat dalam menanggapi
ketidakseimbangan prioritas antara kemampuan penguasaan materi guru
dengan kemampuan pedagogisnya yang berakibat ke kecenderungan
pemisahan praktek antara keduanya. PCK merupakan teori yang mengkaji
tentang bagaimana bentuk-bentuk transformasi yang dilakukan guru dalam
menyampaikan materi pelajaran kepada para siswanya. PCK diusulkan
pertama kali oleh Shulman yang mengungkapkan dalam tulisannya pada
tahun 1986 bahwa kesuksesan mengajar tidak akan bisa tercapai hanya
dengan penguasaan materi saja atau penguasaan pedagogi saja.
Menilik PCK secara dekat lagi, PCK ini terbagi dalam beberapa
kategori. Secara umum, Shulman (1986:9) membaginya menjadi dua
kategori yaitu:
1. Pengetahuan mengenai berbagai macam bentuk representasi
dan bagaimana bahan ajar disampaikan agar bisa dipahami oleh
orang lain.
2. Pengetahuan guru mengenai pemahaman siswa terkait materi
termasuk kesulitan siswa tentang suatu topik, pra-konsepsi,
konsepsi dan miskonsepsi siswa dari berbagai usia dan latar
belakang.
Pembahasan mengenai PCK ini sudah cukup lama dilakukan oleh
berbagai aktivis-aktivis pendidikan di luar negeri maupun di dalam negeri.
Mereka mengadakan penelitian-penelitian mengenai PCK ini tidak lain
adalah untuk meningkatkan kualitas pembelajaran di kelas-kelas dari sisi
guru/pendidik, baik guru yang sudah memiliki pengalaman yang lama
dalam mengajar maupun para pre-service teachers.
Berangkat dari beberapa hal tersebut di atas, penulis tertarik untuk
meneliti lebih jauh tentang PCK, dan penulis akan berfokus pada
penelitian mengenai “Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru
Matematika di SMA N 1 Klaten Tentang Konsepsi dan Miskonsepsi yang
Dimiliki oleh Siswa dalam Pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi
Turun, dan Titik Stasioner”. Materi fungsi naik, fungsi turun, dan titik
stasioner dipilih karena bersesuaian dengan waktu penelitian ketika itu.
B. Identifikasi Masalah
Melalui pemaparan permasalahan yang telah dipaparkan dalam
latar belakang, akan diperjelas mengenai permasalahan yang lebih spesifik
yaitu :
1. Sebagai seorang calon guru matematika, ada kesulitan-kesulitan
dalam praktek mengajar terutama berkaitan dengan pengelolaan
siswa agar materi pembelajaran dapat tersampaikan dengan baik
kepada mereka.
2. Masih banyak guru matematika, apalagi di kota-kota kecil, yang
membutuhkan masukan untuk meningkatkan kualitas dirinya
sehingga mampu mengoptimalkan perannya sebagai pendidik di
instansinya masing-masing.
3. Kebijaksanaan Pengembangan Profesi Berkelanjutan bagi Guru
dari pemerintah masih membutuhkan masukan-masukan positif
untuk merealisasikannya agar mampu mengoptimalkan
peningkatan kualitas guru.
4. Kajian PCK berpotensi memberikan andil dalam upaya
meningkatkan kualitas guru, khususnya matematika, tetapi kategori
PCK kaitannya pengetahuan guru matematika terhadap siswanya
belum banyak diteliti lebih lanjut.
C. Pembatasan Masalah
Mengingat keterbatasan waktu, tenaga, biaya dan pengetahuan
peneliti, maka dalam penelitian ini perlu adanya pembatasan masalah.
Pembatasan masalah dilakukan hanya untuk menyederhanakan dan
menyempitkan lingkup masalah, akan tetapi tidak akan mengurangi sifat
ilmiah dari suatu pembahasan. Penelitian ini membatasi subyek sebagai
berikut:
1. Subyek guru adalah seorang guru Matematika SMA N 1 Klaten
yang mengajar kelas XI IPA 2 Tahun Ajaran 2011/2012.
2. Kategori pengetahuan PCK yang akan diteliti adalah pengetahuan
guru mengenai konsepsi dan miskonsepsi siswa selama
pembelajaran berlangsung.
3. Subyek siswa terdiri dari para siswa kelas XI IPA 2 SMA N 1
Klaten Tahun Ajaran 2011/2012.
4. Materi pembelajaran yang diteliti adalah tentang Fungsi Naik,
Fungsi Turun, Titik Stasioner.
D. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang permasalahan yang ada, ditentukan
rumusan masalah sebagai berikut :
1. Bagaimanakah Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru
matematika di SMA terkait pengetahuan guru tentang konsepsi yang
dimiliki oleh siswa-siswinya pada materi fungsi naik, fungsi turun,
titik stasioner?
2. Bagaimanakah Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru
matematika di SMA terkait pengetahuan guru tentang miskonsepsi
yang dimiliki oleh siswa-siswinya pada materi fungsi naik, fungsi
turun, titik stasioner?
E. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari tahu bagaimana
PCK guru matematika di SMA, khususnya menyangkut konsepsi dan
miskonsepsi yang ada pada siswa-siswinya dalam pembelajaran Materi
Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner.
F. Batasan Istilah
1. Pedagogical Content Knowledge (PCK)
Pedagogical Content Knowledge (PCK) merupakan
pengetahuan yang ada dalam diri guru, yakni produk pengetahuan
yang merupakan sinergi antara kedua pengetahuan guru, yakni
pengetahuan tentang materi (mata pelajaran yang menjadi spesialisasi)
dan pengetahuan pedagogis, yang terwujud dalam bentuk-bentuk
representasi, analogi-analogi, ilustrasi, contoh-contoh, eksplanasi dan
demonstrasi (dalam kata-kata) yang dipergunakan guru dalam
mengupayakan pembelajaran yang efektif dan efisien.
Basis PCK adalah pengetahuan yang ada pada guru. Oleh
karena itu PCK akan diukur dengan menggali pengetahuan yang ada
pada guru melalui wawancara kemudian mengkategorikannya sesuai
dengan fokus penelitian PCK kategori tertentu. Setelah itu dilakukan
verifikasi kembali pengetahuan guru melalui kenyataan di lapangan,
yakni melalui pengamatan proses pembelajaran dan wawancara siswa.
2. Konsepsi yang Dimiliki Oleh Siswa
Konsepsi yang dimiliki oleh siswa adalah kumpulan-kumpulan
pengertian yang dimiliki oleh siswa terhadap konsep-konsep yang
terlibat dalam topik-topik tertentu dalam pembelajaran, khususnya
yaitu terkait dengan mudah sulitnya topik-topik tersebut bagi siswa.
Konsepsi siswa dalam penelitian ini akan dilihat dalam
kerangka PCK guru (pengetahuan yang ada pada guru). Jadi konsepsi
yang dimilki oleh siswa ini akan diukur melalui kategorisasi PCK
guru yaitu pengetahuan guru tentang konsep-konsep yang dimengerti
dengan baik dan konsep-konsep yang dimengerti dengan tidak baik
oleh siswa (lihat Tabel 2.3).
3. Miskonsepsi yang Dimiliki Oleh Siswa
Menurut Suparno (2005:4), miskonsepsi atau salah konsep
menunjuk pada suatu konsep yang tidak sesuai dengan pengertian
ilmiah atau pengertian yang diterima para pakar dalam bidang itu.
Miskonsepsi siswa dalam penelitian ini akan dilihat dalam
kerangka PCK guru (pengetahuan yang ada pada guru). Jadi
miskonsepsi yang dimiliki oleh siswa akan diukur menggunakan
kategorisasi yang ada dalam framework peneliti PCK sebelumnya
(lihat penjelasan lebih lanjutnya pada bab IV-C tentang pembahasan
hasil penelitian) dan melalui perincian yang lebih mendalam terkait
kategorisasi PCK guru yang sudah terhimpun ke dalam kategori
“topik-topik yang tergolong sulit bagi siswa”.
4. Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner.
Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner ini
merupakan sub materi dari materi pokok Turunan. Materi ini bagian
dari K.D 3.4: Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik
suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah.
G. Manfaat Penelitian
1. Bagi Peneliti
a. Peneliti yang sekaligus calon guru dapat memperoleh kejelasan
mengenai PCK guru khususnya terkait pengetahuan guru tentang
konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembahasan materi
matematika di kelas. Dengan kejelasan PCK tersebut, peneliti yang
sekaligus sebagai calon guru akan memperoleh pembelajaran, salah
satunya adalah memberi pencerahan terkait pengalaman yang
dialami peneliti ketika PPL, juga hasil penelitian ini dapat dijadikan
sebagai bahan referensi, kelak ketika peneliti melanjutkan
pergulatan profesi di bidang pendidikan dan keguruan.
2. Bagi Guru
a. Guru dapat memperoleh kejelasan mengenai PCK khususnya
terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi siswa.
Hal ini diharapkan dapat menjadi bahan untuk pengembangan
kemampuan guru dalam melaksanakan proses pembelajaran.
3. Bagi Ilmu Pengetahuan
a. Dapat memberikan salah satu bukti perwujudan PCK guru di SMA
(bahan studi kasus) yang berkaitan dengan pengetahuan guru
mengenai konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran
materi matematika dalam suatu kelas.
b. Dapat memperkaya kajian PCK, khususnya mengenai khazanah
bukti perwujudan PCK dalam tindakan nyata guru SMA dalam
pembelajaran matematika di kelas. Hasil identifikasi PCK ini
diharapkan bisa menjadi modal pelengkap bagi pengembangan
kemampuan guru-guru matematika, terutama calon-calon guru
(pre-service teachers) matematika.
10
BAB II
KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan beberapa kajian teori yang dipergunakan dalam
pembahasan hasil penelitian. Teori tersebut antara lain Pedagogical Content
Knowledge , konsepsi dan miskonsepsi siswa.
A. Pedagogical Content Knowledge (PCK)
Shulman (1986:7), dalam tulisannya : Knowledge Growth in
Teaching, merumuskan permasalahan pada awal penelitiannya tentang
PCK sebagai berikut:
“What are the resources of teacher knowledge? What does a
teacher know and when did he or she come to know it?
How is new knowledge acquired, old knowledge retrieved,
and both combined to form a new knowledge base?”
Shulman (1986:9), menititikberatkan PCK pada knowledge base. Secara
lebih rinci, guru sebagai pendidik tidak hanya memiliki pengetahuan
tentang mata pelajaran yang menjadi spesialisasinya, tetapi juga
pengetahuan tentang pedagogi (cara mengajar) yang telah diperoleh
melalui bangku perkuliahan. Untuk bisa melaksanakan pembelajaran
dengan baik, dibutuhkan sinergi antara dua hal tersebut.
Pedagogical Content Knowledge (PCK) merupakan pengetahuan
yang ada pada guru, tidak sekedar melingkupi hal-hal yang berkaitan
dengan pengetahuan materi (dalam penelitian ini) matematika saja. Dalam
memutuskan aspek-aspek dalam mengajar, guru mempergunakan
pengetahuan pedagogis sekaligus pengetahuan isi (materi matematikanya).
Perpaduan antara keduanya diistilahkan dengan PCK. Lebih tepatnya lagi
adalah tentang bagaimana guru bisa mentransformasikan pengetahuan
pedagogis dan pengetahuan isi yang dimilikinya ke dalam kegiatan belajar
mengajar yang sesuai bagi para siswanya tanpa mengesampingkan
ketercapaian tujuan dari proses pembelajaran matematika juga situasi dan
kondisi tempat belajar mengajar. Proses transformasi ini melibatkan
“sebuah pemahaman mengenai bagaimana topik-topik, permasalahan, atau
isu-isu tertentu dikelola, direpresentasikan, dan diadaptasikan dengan
ketertarikan dan kemampuan para siswa yang berbeda-beda, menjadi
instruksi yang tampak dalam pembelajaran” (Shulman, 1987 dalam Chick,
Baker, Pham, dan Cheng, 2006 : 2)
Baker, Chick, Pham, dan Cheng (2006) berhasil merumuskan
framework mengenai PCK guru dalam penelitiannya. Kerangka berpikir
ini dipergunakan untuk mengidentifikasi komponen-komponen kunci
PCK, bagaimana komponen tersebut tampak dalam kegiatan belajar
mengajar, dan sejauh mana pengetahuan isi dan pedagogi saling
bersinergi. Usulan Baker, Chick, Pham, dan Cheng (2006) tertuang dalam
Tabel 2.1: Pengembangan Kategorisasi PCK oleh Chick, Baker, Pham dan Cheng(2006).
Mengadaptasi kategori-kategori yang diusulkan oleh Chick, Baker,
Pham dan Cheng (2006) kategorisasi PCK dalam pembelajaran
1. Jelas-jelas PCK
Kategori Jelas-jelas PCK merupakan kategori dimana
pengetahuan pedagogis dan pengetahuan isi benar-benar saling
terjalin(Chick et al, 2006:2). Kategori ini dijabarkan lagi ke
dalam sub-sub kategori antara lain :
a. Strategi Mengajar
Sub kategori ini membahas bagaimana guru
menentukan pendekatan, tujuan, bahan serta alat evaluasi
dalam pembelajaran dalam rangka memfasilitasi siswa
untuk mencapai tujuan pembelajaran yang sudah ditetapkan.
b. Cara Berpikir Siswa
Sub kategori ini membahas bagaimana pengetahuan
guru mengenai cara berpikir siswa-siswinya. Pengetahuan
ini salah satunya terlihat dari cara guru mengarahkan
siswanya tentang suatu konsep, juga dapat dilihat melalui
pengetahuan guru tentang tipe-tipe level pemahaman siswa.
Kategori ini berangkat dari gagasan Shulman
(1986:9) seperti yang sudah diungkapkan dalam bab I
terdahulu (lihat pada halaman 3) sebagai berikut :
“Pedagogical content knowledge also
Melalui hal ini diperoleh sebuah kejelasan peran
konsepsi siswa dalam proses pembelajaran. Setiap siswa
membawa konsepsi dan prakonsepsinya masing-masing.
Tidak semua konsepsi dan prakonsepsi yang dimiliki oleh
siswa bisa mendukung proses pembelajaran. Menghadapi
hal tersebut, guru memiliki peran untuk bisa mengolah hal
tersebut agar pembelajaran dapat berjalan efektif,
mengarahkan siswa agar sampai pada tujuan pembelajaran.
c. Cara Berpikir Siswa-Miskonsepsi
Sub kategori ini meliputi strategi guru untuk menata
kembali pemahaman siswa (dari miskonsepsinya). Hal ini
bisa terlihat melalui cara-cara guru mendiskusikan atau
membenahi miskonsepsi siswa tentang sebuah konsep.
d. Pemberian Tugas-Tugas
Sub kategori ini meliputi identifikasi guru terhadap
aspek-aspek dari tugas sehingga bisa menentukan
kompleksitas yang sesuai dari tugas tersebut terhadap tujuan
pembelajaran pada saat tertentu.
e. Penyajian Konsep yang Detail dan Sesuai
Sub kategori ini dapat terlihat dari cara guru
menyajikan sebuah konsep melalui illustrasi ataupun cara
matematika (termasuk di dalamnya diagram, alat peraga,
dan lain-lain).
f. Eksplanasi
Chick dan kawan-kawan menyebutnya sebagai
explanations. Kamus Oxford mendefinisikan kata
explanation sebagai “a statement, fact, or situation that
tells you why something happened; a reason given for
something”. Sub kategori ini menunjuk kepada PCK guru
yang tampak ketika guru memberikan
keterangan/penjelasan mengenai materi pembelajaran
tertentu kepada para siswanya.
g. Pengetahuan akan Contoh
PCK guru akan terlihat dari cara guru
mempergunakan contoh-contoh yang bisa membantu
memperjelas konsep atau prosedur. Lebih dalam lagi, sub
kategori ini membahas bagaimana guru menentukan
contoh-contoh yang sesuai untuk para siswanya dalam
pembelajaran materi tertentu.
h. Pengetahuan akan Sumber Belajar
Sumber belajar merupakan sarana bagi pembelajar
untuk bisa mengeksplorasi pengetahuan seluas-luasnya.
Dengan mengetahui berbagai macam sumber belajar, guru
kondisi lapangan yang dinamis ketika mengajar. Sub
kategori ini menjelaskan penggunaan sumber
belajar-sumber belajar yang tersedia oleh guru untuk mendukung
proses pembelajaran.
i. Pengetahuan akan Kurikulum
Kurikulum merupakan pedoman dari pemerintah
dalam melaksanakan pendidikan di sekolah-sekolah dalam
sebuah negara. Sub kategori PCK guru ini membahas
bagaimana suatu topik/materi pembelajaran sesuai dengan
kurikulum. Pengetahuan akan kurikulum memiliki peranan
strategis dalam menentukan topik/materi yang tetap pada
jalur yang sudah ditetapkan oleh pemerintah.
j. Tujuan Pembelajaran
Sub kategori ini tampak dalam pembahasan yang
dipaparkan guru tentang mengapa sebuah konten (materi
matematika) bisa termasuk di dalam kurikulum dan
bagaimana konten (materi matematika) itu bisa bermanfaat
bagi para siswanya.
2. Pengetahuan Isi (Materi Matematika) dalam Konteks Pedagogis
Kategori kedua ini, meliputi kemampuan guru untuk
menterjemahkan pengetahuan matematika yang dimilikinya ke
hubungan dan struktur-struktur di dalam matematika serta
pengetahuan dasar matematika (Chick et all, 2006:2).
3. Pengetahuan Pedagogis dalam Konteks Isi (Materi Matematika)
Kategori PCK tentang “pengetahuan pedagogis dalam
konteks isi (materi matematika) menunjukkan pengetahuan
guru tentang bagaimana menerapkan pengetahuan
pedagogisnya pada aspek-aspek isi (materi matematika)
tertentu. Kategori ini meliputi pengetahuan guru mengenai
strategi agar siswa fokus dalam pembelajaran dan pengetahuan
guru tentang teknik-teknik pengelolaan pembelajaran. (Chick
et all, 2006:2)
Tabel 2.2: Tabel Kategorisasi PCK yang diadaptasi dari ide Chick, Baker, Pham& Cheng (2006).
Kategori PCK Tampak ketika guru ...
Jelas-jelas PCK
Strategi Mengajar
Cara Berpikir Siswa
Cara Berpikir Siswa-tentang Miskonsepsi
Pemilihan Tugas
Mendiskusikan atau menggunakan
strategi-strategi/pendekatan-pendekatan, baik umum atau spesifik, untuk mengajarkan konsep atau keterampilan matematika
Mendiskusikan atau mengarahkan cara berpikir siswa tentang sebuah konsep, atau mengenali tipe dari level-level pemahaman siswa
Mendiskusikan atau mengarahkan miskonsepsi siswa tentang suatu konsep
Kategori PCK Tampak ketika guru ... Representasi Konsep yang Sesuai
dan Detail
Menjelaskan/menerangkan
Pengetahuan akan Contoh-contoh
Pengetahuan akan Sumber-sumber
Pengetahuan Kurikulum
Pengetahuan Mengenai Tujuan dari Materi/Konten
Mendeskripsikan atau
mendemonstrasikan cara-cara untuk memodelkan atau mengilustrasikan sebuah konsep (bisa mencakup materi atau diagram)
Menerangkan sebuah topik, konsep atau prosedur
Penggunaan sebuah contoh yang menggarisbawahi sebuah
konsep/prosedur
Mendiskusikan/menggunakan sumber-sumber yang tersedia untuk mendukung guru ketika mengajar
Mendiskusikan bagaimana materi/topik pelajaran sesuai dengan kurikulum
Mendiskusikan alasan-alasan bagi materi yang dimasukkan ke dalam kurikulum atau bagaimana materi itu akan digunakan
Pengetahuan akan Materi dalam Konteks Pedagogis
Pemahaman yang Mendalam Tentang Matematika Dasar
Menguraikan dan Menyusun Kembali Materi Ke Dalam Komponen-Komponen Kunci
Struktur Matematika dan Hubungan-Hubungan
Pengetahuan tentang Teknik Mengajar Untuk Materi Tertentu
Menunjukkan pemahaman konseptual yang luas dan mendalam dari aspek-aspek matematika yang teridentifikasi
Mengidentifikasi komponen
matematika penting ke dalam konsep dimana komponen tersebut mendasari dalam pemahaman dan penerapan konsep
Membuat hubungan antara konsep dengan topik, termasuk interdependensi antar konsep
Kategori PCK Tampak ketika guru ...
Metode-metode Penyelesaian Masalah
Mendemonstrasikan sebuah metode untuk memecahkan sebuah
permasalahan matematika
Pengetahuan akan Pedagogik dalam Konteks Materi
Tujuan Pembelajaran
Menarik Perhatian Siswa dan Menjaga Fokus Siswa
Teknik-teknik Kelas
Mendeskripsikan sebuah tujuan dari pembelajaran siswa
Mendiskusikan atau menggunakan strategi untuk menarik perhatian siswa
Mendiskusikan atau menggunakan hal-hal praktis dalam kelas secara umum
Seperti yang sudah disinggung dalam penjelasan sebelumnya,
bahwa secara umum Shulman (1986:9) membagi PCK menjadi dua
kategori. Salah satu kategorinya adalah tentang bagaimana pengetahuan
guru mengenai pemahaman siswa terkait materi termasuk kesulitan siswa
tentang suatu topik, pra-konsepsi, konsepsi dan miskonsepsi siswa dari
berbagai usia dan latar belakang. Kategori pengetahuan guru mengenai
siswa inilah yang akan diambil peneliti sebagai fokus, terkhusus lagi
mengenai konsepsi dan miskonsepsi siswa.
B. Konsepsi Siswa dalam Pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan
Titik Stasioner
Kamus Besar Bahasa Indonesia (2005:520) menyebutkan, konsepsi
berarti pengertian, rancangan cita-cita yang telah ada di pikiran, sedangkan
merujuk pada “A Comprehensive Dictionary of Psychological and
berikut : 1 kb. proses memahami (semua pengertian/rasa), 2 proses
pembentukan konsep (concept formation), 3 =konsep (dalam konteks
“konsep” yang umum, yang merupakan induk dari sub-sub konsep), 4
sebuah kelompok yang mengandung hubungan antar konsep-konsep.
Dalam sudut pandang PCK, konsepsi siswa menduduki posisi yang
strategis. Shulman (1986) dalam artikelnya “Those Who Understand :
Knowledge Growth in Teaching”, menyebutkan bahwa pengetahuan guru
tentang konsepsi dan prakonsepsi yang dimiliki oleh siswa dari berbagai
usia dan latar belakang tercakup dalam PCK guru.
“Pedagogical content knowledge also includes an
understanding of what makes the learning of specific topics easy or difficult: the conceptions and preconceptions that students of different ages and backgrounds bring with them to the learning of those most frequently taught topics and lessons...” (Shulman, 1986:9)
Posisi konsepsi siswa dalam pembelajaran kaitannya dengan
pengetahuan guru adalah tentang apa yang membuat suatu materi mudah
atau sulit dipelajari di dalam suatu proses pembelajaran. Untuk mengetahui
sulit mudahnya suatu materi untuk dipelajari dalam suatu proses
pembelajaran tidak bisa dilepaskan dari kemampuan guru dalam
mengenali para siswanya.
Mempertimbangkan beberapa informasi di atas, peneliti
mendefinisikan konsepsi siswa dalam pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi
Turun, dan Titik Stasioner sebagai kumpulan-kumpulan pengertian yang
dimiliki oleh siswa-siswi terhadap konsep-konsep yang terlibat, khususnya
Titik Stasioner. Konsep-konsep ini kemungkinan sudah dimengerti dengan
baik dan mampu mendukung siswa menuju proses pembelajaran yang
selanjutnya. Meskipun demikian, ada kemungkinan juga bahwa siswa
belum sepenuhnya mengerti atau bahkan –dimungkinkan juga- sama sekali
tidak mengerti akan materi yang sudah diajarkan. Jika siswa mengalami
hal seperti ini, konsepsi akan bergeser menjadi miskonsepsi.
C. Miskonsepsi Siswa
Suparno (2005:4) menjelaskan bahwa miskonsepsi atau salah
konsep menunjuk pada suatu konsep yang tidak sesuai dengan pengertian
ilmiah atau pengertian yang diterima para pakar dalam bidang itu. Bentuk
miskonsepsi dapat berupa konsep awal, kesalahan, hubungan yang tidak
benar antara konsep-konsep, gagasan intuitif atau pandangan yang naif.
Secara lebih rinci, Fowler (1987, dalam Suparno, 2005:5)
memandang miskonsepsi sebagai pengertian yang tidak akurat akan
konsep, penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang
salah, kekacauan konsep-konsep yang berbeda, dan hubungan hierarkis
konsep-konsep yang tidak benar.
Menurut Suparno (2005), beberapa faktor penyebab miskonsepsi
siswa antara lain adalah dari siswa itu sendiri, dari guru, buku/teks,
konteks, dan cara mengajar.
Tabel 2.3 : Sebab-sebab miskonsepsi siswa.
Sebab Utama Sebab Khusus
Siswa • Prakonsepsi
• Pemikiran humanistik
• Reasoning yang tidak lengkap/salah • Intuisi yang salah
• Tahap perkembangan kognitif siswa
• Kemampuan siswa
• Minat belajar siswa
Guru/Pengajar • Tidak menguasai bahan, tidak kompeten
• Bukan lulusan dari bidang ilmu terkait
• Tidak membiarkan siswa
mengungkapkan gagasan/ide
• Relasi guru-siswa tidak baik
Buku Teks • Penjelasan keliru
• Salah tulis, terutama dalam rumus
• Tingkat kesulitan penulisan buku terlalu tinggi bagi siswa
• Siswa tidak tahu membaca buku teks
• Buku fiksi sains kadang-kadang
konsepsnya menyimpang demi menarik pembaca
• Kartun sering memuat miskonsepsi
Konteks • Pengalaman siswa
• Bahasa sehari-hari berbeda
• Teman diskusi yang salah
• Keyakinan dan agama
• Penjelasan orangtua/orang lain yang
keliru
• Konteks hidup siswa (TV, radio, film
yang keliru)
• Perasaan senang/tidak senang; bebas atau
tertekan
Cara Mengajar • Hanya berisi ceramah dan menulis
• Langsung ke dalam bentuk matematika
• Tidak mengungkapkan miskonsepsi
siswa
• Tidak mengoreksi PR yang salah
• Model analogi
• Model praktikum
• Model diskusi
• Model demonstrasi yang sempit
Penyebab miskonsepsi siswa yang terurai di atas adalah penyebab
miskonsepsi siswa khususnya dalam pembelajaran fisika. Meskipun
berbeda konteks, yakni fisika dan matematika, tetapi dalam
penggunaannya terdapat beberapa macam kemiripan. Beberapa hal di atas
yang kurang relevan dengan pembelajaran matematika tidak akan dipakai
dalam penelitian kali ini misalnya saja pada poin Buku fiksi sains
kadang-kadang konsepnya menyimpang demi menarik pembaca dan model
praktikum. Di sini maksudnya adalah, bahwa dalam pembelajaran
matematika buku yang utama dipakai umumnya bukan buku fiksi sains
dan hampir tidak mungkin dalam pembelajaran matematika ada praktikum
seperti yang ada dalam pembelajaran sains (dalam hal ini adalah fisika).
D. Penggunaan Turunan
Pembahasan teori Penggunaan Turunan berasal dari buku
“Kalkulus dan Geometri Analitis” karangan Purcell&Varberg.
1. Maksimum dan Minimum
a. Definisi (Purcell&Varberg, 1987:185)
Gambar 2.1 : Fungsi f dengan domain S.
y
x S
y=f(x)
Perhatikan gambar 2.1.
Andaikan kita mengetahui
fungsi f dengan domain S. Akan
ditentukan apakah f memiliki
nilai maksimum atau minimum
Dalam hal ini asumsikan nilai-nilai tersebut ada. Kita ingin mengetahui
lebih lanjut di mana dalam S nilai-nilai itu berada. Kita mulai dengan
mendefinisikan dengan kosakata yang tepat.
Andaikan S, daerah asal f memuat titik c. Kita katakan bahwa :
(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk
semua x di S;
(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk
semua x di S.
(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai
maksimum atau nilai minimum.
b. Teorema Eksistensi Maks-Min (Purcell&Varberg, 1987:186)
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f
mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada selang
tersebut.
Gb. 2.2 : Grafik fungsi y= f(x) = 1/x.
Perhatikan gambar 2.2.
Apakah f memiliki nilai
maksimum atau nilai minimum pada S (domain f )?
Jawabannya bergantung,
pertama-tama, pada himpunan S tersebut.
- Pada (0,∞) f tidak
memiliki nilai maks atau min.
- Pada [1,3] nilai maks =
1, nilai min = 1/3
- Pada (1,3] tanpa nilai
Jawaban selanjutnya tergantung pada jenis fungsi. Perhatikan
contoh kasus berikut ini. Fungsi
Perhatikan bahwa meskipun dalam interval tertutup suatu fungsi
akan memiliki nilai maksimum dan minimum (gambar 2.2) tetapi jika
diterapkan pada fungsi yang tidak kontinu (meskipun sudah dibatasi
oleh selang tertutup, lihat gambar 2.3) ternyata fungsi tidak memiliki
nilai maksimum dan minimum (dalam kasus ini, hanya memiliki nilai
minimum).
2. Kemonotonan dan Kecekungan
a. Teorema Nilai Rata-rata
Secara geometris, jika pada grafik sebuah fungsi
kontinu terdapat garis singgung tak vertikal melalui A dan B, jika 1 ≤x < 2
jika 2 ≤x≤ 3
jika 1 ≤ x < 2
maka diantara titik A dan B tersebut terdapat paling tidak satu
titik C sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.
Seperti tampak pada sketsa gambar berikut :
Bukti teorema ini akan dipaparkan kemudian (lihat
pada sub poin b- Teorema Titik Kritis).
b. Teorema Titik Kritis (Purcell&Varberg, 1987:187)
Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c.
Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis;
yakni c berupa salah satu :
(i) titik ujung dari I;
(ii) titik stasioner dari f (f’(c)=0);
(iii) titik singular dari f (f’(c) tidak ada). A
B C
Gb 2.4 : Garis singgung yang sejajar dengan talibusur AB.
�(�)− �(�)
� − � =�′(�)
�(�)− �(�) =�′(�)(� − �)
Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) di mana :
atau, secara setara, dimana
(Purcell&Varberg, 1987:233 )
A
C3
B
C2
Bukti : Andaikan f(c) nilai maksimum f pada I dimana c
bukan titik ujung maupun titik singular. Akan cukup untuk
memperlihatkan bahwa c adalah titik stasioner.
f(c) nilai maksimum maka f(x) ≤ f(c) untuk semua x dalam I,
Titik ujung, titik stasioner dan titik singular merupakan
titik-titik kunci dari teori maks-min. Pada titik-titik ini nilai
ekstrim seringkali terjadi.
(i) (ii) (iii)
Sebarang titik dalam dalam daerah asal fungsi f yang termasuk
salah satu dari tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis.
Bukti Teorema Nilai Rata-rata
Perhatikan gambar 2.10.
s(x)= f(x) – g(x) ...(1)
Persamaan y = g(x) melalui (a, f(a)), (b, f(b)). Gradien g(x)
adalah [f(b)-f(a)/b-a]. Maka persamaan g(x) diperoleh:
Gb 2.10 :Sketsa grafik f(x), g(x) dan s(x) dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata.
�(�)− �(�) =�(�)− �(�)
� − � (� − �) … . (2)
�(�) =�(�) +�(�)− �(�)
� − � (� − �) … . (3)
Melalui persamaan (1) dan (3) dapat kita peroleh bentuk lain dari persamaan s(x) = f(x) – g(x), yaitu :
�(�) =�(�)− �(�)−�(�)− �(�)
� − � (� − �) … . (4)
Untuk x = a, persamaan (4) akan menjadi (a, f(a))
(b, f(b))
y = f(x)
s(x)
y = g(x)
b
a x x
�(�) =�(�)− �(�)−�(�)−�(�)
�−� (� − �) = 0
Untuk x = b, persamaan (4) akan menjadi
�(�) =�(�)− �(�)−�(�)− �(�)
� − � (� − �) = 0
Perhatikan bahwa s(a) = s(b) = 0 dan untuk x dalam (a,b) berlaku
�′(�) =�′(�)−�(�)− �(�)
� − �
Akan dibuktikan bahwa ada bilangan c diantara (a,b) sedemikian
sehingga s’(c) = 0 atau
�′(�) =�′(�)−�(�)− �(�)
� − �
0 =�′(�)−�(�)− �(�)
� − �
�′(�) =�(�)− �(�)
� − � .
S kontinu pada [a,b], karena merupakan selisih dua fungsi kontinu.
Menurut Teorema Eksistensi Maks-Min, S memiliki baik nilai maksimum
maupun minimum pada [a,b]. Akibatnya s’(x) = 0 untuk semua x dalam
(a,b).
Jika salah satu nilai tersebut (maksimum atau minimum) bukan nol, maka
nilai tersebut dicapai pada titik c (karena s(a) = s(b) = 0). Menurut
Teorema Titik Kritis s’(c) = 0.
c. Kemonotonan
1) Definisi menurut Purcell&Varberg (1987:193)
Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,
a) f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang
bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
b) f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang
bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 > x2 => f(x1) > f(x2)
c) f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I
atau turun pada I.
2) Turunan Pertama dan Kemonotonan
Kembali memperhatikan Teorema Nilai Rata-rata yang
sudah dibahas terdahulu. Kita andaikan bahwa f kontinu
pada I dan bahwa f’(x) > 0 di setiap titik x dalam I. Ambil
sembarang titik x1 dan x2 dengan x1 < x2. Berdasarkan
Teorema Nilai Rata-rata yang ditetapkan pada selang [x1,
x2], terdapat sebuah bilangan c dalam (x1, x2) yang
memenuhi :
f(x2) – f(x1) = f ’(c)( x2 – x1)
Karena f ’(x) > 0 maka diperoleh f(x2) > f(x1). Sesuai
dengan definisi dapat disimpulkan ketika f’(x) > 0 maka
f(x) naik.
Sedangkan andaikan f ’(x) < 0 di setiap titik dalam I.
Ambil sembarang titik titik x1 dan x2 dengan x1 < x2.
selang [x1, x2], terdapat sebuah bilangan c dalam (x1, x2)
yang memenuhi :
f(x2) – f(x1) = f ’(c)( x2 – x1)
Karena f ’(x) < 0 maka diperoleh f(x2) < f(x1). Sesuai
dengan definisi dapat disimpulkan ketika f ’(x) < 0 maka
f(x)turun.
Dengan ini dapat ditetapkan Teorema Kemonotonan
(Purcell&Varberg, 1987:194) : Andaikan f kontinu pada
selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam
dari I.
a) Jika f ’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f
naik pada I.
b) Jika f ’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f
turun pada I.
Contoh:
Jika f(x) = 2x3-3x2-12x+7, cari di mana f naik dan di mana f
turun.
Penyelesaian: f ’(x) = 6x2-6x-12 = 6(x+1)(x-2)
f ’(x) < 0 => f turun, berarti untuk mengetahui di mana f
turun maka 6(x+1)(x-2) < 0 dan 6(x+1)(x-2) > 0 perlu
dicari. Dengan mempergunakan prosedur penyelesaian
pertidaksamaan diperoleh :
f ’(x) < 0 => f turun
Gb. 2.6 : Garis bilangan f ’(x) = 6x2-6x-12.
Titik-titik pemisah adalah -1 dan 2 yang membagi
sumbu –x atas 3 selang, yaitu (-∞, -1), (-1,2), dan (2,∞).
Dengan mempergunakan titik-titik uji -2, 0, 3 dapat dilihat
bahwa f ’(x) > 0 pada x≤ -1 dan x ≥ 2 dan f ’(x) < 0 pada -1
≤ x ≤ 2. Berdasarkan teorema kemonotonan dapat
disimpulkan bahwa f naik pada (-∞, -1] dan [2,∞); f turun
pada [-1,2].
3) Turunan Kedua dan Kecekungan
Purcell&Varberg (1987:196) menyebutkan dalam
bukunya tentang turunan kedua dan kecekungan sebagai
berikut :
a) Definisi : Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka
I = (a,b). Jika f ’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung
ke atas di sana; jika f ’ turun pada I, f cekung ke bawah
pada I.
b) Teorema Kecekungan : Andaikan f terdeferensial dua
kali pada selang terbuka (a,b).
i. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f
cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f
cekung ke bawah pada (a,b).
-1 2
(0) (0)
+ ++ - - - - + + +
Contoh : Di mana f(x) = 1/3x3-x2-3x+4 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah?
Penyelesaian:
f ’(x) = x2-2x-3= (x+1) (x-3)
f ”(x) = 2x-2 = 2(x-1). Akan diselidiki di mana f naik (f’(x)>0), f turun (f’(x)<0), cekung ke atas (f”(x)>0), cekung ke bawah (f”(x)<0). Dengan mempergunakan penyelesaian pertidaksamaan diperoleh:
Gb. 2.7: Garis bilangan f ’(x) = x2-2x-3 dan f ”(x) = 2x-2.
Berdasarkan teorema kemonotonan, f naik pada (-∞, -1] dan
[3, ∞); f turun pada [-1,3]; cekung ke atas pada [1, ∞); cekung ke bawah pada (-∞,1].
4) Titik Balik
Purcell&Varberg (1987: 198) menyebutkan
penjelasan mengenai titik balik seperti berikut ini :
“Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c,f(c))
suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke
atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada
sisi lainnya dari c.”
Pada buku Kalkulus karangan Ayres&Mendelson
(2006:84), istilah titik balik disebut dengan titik belok
(inflection point).
3. Maksimum Lokal dan Minimum Lokal
a. Definisi (Purcell&Varberg, 1987:202) : Andaikan S daerah asal
f, memuat titik c. Kita katakan bahwa :
(i) f (c) nilai maksimum lokal jika terdapat selang (a,b)
yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai
maksimum f pada (a,b) ∩ S; 1
(0) + + + - - - -
f’’
-1 3
(0) (0)
+ ++ - - - - + + +
(ii) f (c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b)
yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah
minimum f pada (a,b) ∩ S ;
(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai
maksimum lokal atau minimum lokal.
b. Teorema Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal
Menurut Purcell&Varberg (1987:203), andaikan f kontinu
pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
(i) Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ‘ (x) < 0
untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai
maksimum lokal f.
(ii) Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ‘ (x) > 0
untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai
minimum lokal f.
(iii) Jika f ’(x) < 0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka
f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Bukti :
(i) Karena f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka
menurut Teorema Kemonotonan f naik pada (a,c].
Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) < 0 untuk
semua x dalam [c,b), maka f turun pada [c,b).
Sehingga, f (x) < f (c) untuk semua x dalam (a,b),
kecuali tentu saja di x = c. Jadi f(c) adalah
maksimum lokal.
(ii) Karena f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c), maka
menurut Teorema Kemonotonan f turun pada (a,c].
Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) > 0 untuk
semua x dalam [c,b), maka f naik pada [c,b).
Sehingga, f (x) > f (c) untuk semua x dalam (a,b),
kecuali tentu saja di x = c. Jadi f(c) adalah minimum
(iii) Karena f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c), maka
menurut Teorema Kemonotonan f turun pada (a,c].
Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) < 0 untuk
semua x dalam [c,b), maka f juga turun pada [c,b).
Sehingga, tidak terjadi f (x) > f (c) untuk semua x
dalam (a,b). Jadi f(c) bukan minimum lokal.
Dan karena f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c),
maka menurut Teorema Kemonotonan f naik pada
(a,c]. Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) > 0
semua x dalam [c,b), maka f juga naik pada [c,b).
Sehingga, tidak terjadi f (x) < f (c) untuk semua x
dalam (a,b). Jadi f(c) bukan maksimum lokal.
4. Penggambaran Grafik Canggih (Polinom)
Polinom derajat 1 atau 2 sudah tidak asing lagi untuk digambar
grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil untuk digambarkan.
Jika terdapat derajat yang cukup ukurannya (katakanlah 3 sampai 6),
kalkulus bisa membantu kita untuk menggambarkan. Perhatikan
contoh di bawah ini.
1) Contoh : Sketsakan grafik �(�) =3�5−20� 32
3
Penyelesaian : karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh
karena itu grafikya simetri terhadap titik asal. Dengan
menetapkan f(x)=0, kita temukan perpotongan sumbu x adalah
0 dan ±�20�3 ≈ ±2,6. Kita dapat melangkah sejauh ini
