Himpunan
Sumber:
•
Menjelaskan himpunan,
himpunan bagian, himpunan
semesta, himpunan kosong,
komplemen himpunan, dan
melakukan operasi biner pada
himpunan menggunakan
masalah kontekstual.
•
Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan himpunan, himpunan
bagian, himpunan semesta,
himpunan kosong, komplemen
himpunan dan operasi biner
pada himpunan.
• menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk
himpunan dengan mendata anggotaanggotanya,
• menentukan anggota, bukan anggota, dan banyak
anggota himpunan serta notasinya,
• mengenal pengertian himpunan kosong serta notasinya,
himpunan berhingga dan tak hingga,
• menemukan dan menentukan himpunan bagian dan
banyak himpunan bagian dari suatu himpunan,
• mengenal pengertian himpunan semesta dan himpunan
kuasa dari suatu himpunan,
• menentukan representasi himpunan dengan
menggunakan diagram Venn,
• menentukan hasil operasi irisan, gabungan, selisih, dan
komplemen pada himpunan serta menyajikannya dengan menggunakan diagram Venn,
• menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn
untuk menyelesaikan masalah yangberkaitan dengan kejadian sehari-hari.
Apabila kalian dapat menyebutkan atau menghitung anggota suatu himpunan, maka himpunan tersebut
disebut himpunan
berhingga, contohnya adalah himpunan
binatang buas. Jika
banyak anggota suatu himpunan tidak dapat
dihitung, maka himpunan tersebut disebut
himpunan tak hingga, contohnya adalah
kumpulan bintang di
langit yang dapat kalian lihat di malam hari.
Cobalah kalian sebutkan contoh lain untuk
himpunan tak hingga!
2.1.1 Pengertian Himpunan
Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam
matematika dikenal dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang
matematikawan
berkebangsaanJerman, yaitu Georg Cantor yang hidup antara tahun 1845−1918
Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas.
• Dalam hal ini, yang dimaksud didefinisikan dengan jelas
adalah dapat ditentukan dengan tegas, benda apa saja yang termasuk dan yang tidak termasuk dalam suatu himpunan yang diketahui.
• Benda-benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut
anggota, elemen, atau unsur dari suatu himpunan. Untuk selanjutnya dipergunakan istilah anggota atau elemen.
2.1 PENGERTIAN DAN KEANGGOTAAN
SUATU HIMPUNAN
Contoh:
1. Kumpulan hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda,
sapi.
Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.
Jadi, kumpulan di atas adalah himpunan, karena jelas batasannya.
2. Kelompok bilangan yang merupakan faktor dari 12. Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11. Jadi, kelompok di atas adalah himpunan, karena jelas batasannya.
3. Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi. Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm
batasannya.
•
Contoh 1 dan 2 merupakan himpunan,
sebab dapat disebutkan dengan tegas
benda yang merupakan anggota dan
yang bukan anggota kelompok tersebut.
•
Pada contoh 3, batasannya tidak jelas.
Oleh karena itu, contoh tersebut bukan
merupakan himpunan. Jadi, kumpulan
atau kelompok tidak dapat disebut
himpunan jika batasannya tidak jelas.
•
Contoh 1 dan 2 merupakan himpunan,
sebab dapat disebutkan dengan tegas
benda yang merupakan anggota dan
yang bukan anggota kelompok tersebut.
•
Pada contoh 3, batasannya tidak jelas.
Oleh karena itu, contoh tersebut bukan
merupakan himpunan. Jadi, kumpulan
atau kelompok tidak dapat disebut
Himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dan
seterusnya sampai Z. Misalkan himpunan
buah-buahan di atas piring pada Gambar di samping diberi nama B, maka: B = {pisang, kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dan
seterusnya sampai Z. Misalkan himpunan
buah-buahan di atas piring pada Gambar di samping diberi nama B, maka: B = {pisang,
apel, mangga, belimbing}.
Sumber : RitaE, pixabay.com
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN
LAMBANGNYA
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN
LAMBANGNYA
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN
LAMBANGNYA
•
Banyak anggota suatu himpunan, misalnya
anggota himpunan A dapat dinyatakan
dengannotasi
n(A)
.
•
Jadi, notasi n
(
B
)
artinya banyak anggota
pada himpunan B dan n
(
C
)
artinya banyak
anggota pada himpunan C.
•
Banyak anggota suatu himpunan, misalnya
anggota himpunan A dapat dinyatakan
dengannotasi
n(A)
.
•
Jadi, notasi n
(
B
)
artinya banyak anggota
pada himpunan B dan n
(
C
)
artinya banyak
Contoh :
1. Diketahui himpunan bilangan asli genap yang kurang dari 9.
Misalkan himpunan tersebut diberi nama A, maka dapat ditulis:
A = {bilangan asli genap yang kurang dari 9}.
2. Diketahui P = {huruf-huruf pembentuk kata “siswa”}.
• Pada himpunan tersebut, kata siswa terdiri atas 5
huruf, yaitu s, i, s, w, dan a.
Karena terdapat anggota yang sama, yaitu s dan hanya boleh ditulis satu kali, : P = {s, i, w, a}.
• s anggota P, ditulis s ∈ P.
i anggota P, ditulis i ∈ P.
w anggota P, ditulis w ∈ P.
u bukan anggota P, ditulis u ∉ P.
• Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah, ditulis:
Kamu bisa menguji pemahaman dengan
mengerjakan soal
2.2.1 Menyatakan Himpunan dengan Kata-kata atau Sifat Keanggotaan
Contoh :
1. A = {Senin, Selasa, Sabtu}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan himpunan adalah:
A = {nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huruf S}.
2. C = {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan himpunan adalah:
C = {bilangan prima antara 20 dan 50}.
2.2 MENYATAKAN SUATU
HIMPUNAN
2.2.2 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
NOTASI PEMBENTUK HIMPUNAN
penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh diabaikan.
1. P = {nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf J}.
Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah sebagai berikut.
P = {Januari, Juni, Juli} atau P = {Juni, Januari, Juli}.
2. Q = {x | x < 5, x A}, dengan A adalah himpunan ∈
bilangan asli.
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, himpunan itu ditulis sebagai berikut.
Q = {1, 2, 3, 4} atau Q = {3, 1, 4, 2}.
penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh diabaikan.
1. P = {nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf J}.
Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah sebagai berikut.
P = {Januari, Juni, Juli} atau P = {Juni, Januari, Juli}.
2. Q = {x | x < 5, x A}, dengan A adalah himpunan ∈
bilangan asli.
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, himpunan itu ditulis sebagai berikut.
Q = {1, 2, 3, 4} atau Q = {3, 1, 4, 2}.
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
MENDAFTAR
ANGGOTA-ANGGOTANYA
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
MENDAFTAR
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
MENDAFTAR
ANGGOTA-ANGGOTANYA
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
MENDAFTAR
ANGGOTA-ANGGOTANYA
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak, dan memiliki pola tertentu, maka
penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik, dibaca “dan seterusnya”.
1. A = {bilangan asli}, dapat kita tuliskan sebagai: A = {1, 2, 3, 4, . . .}. himpunan tak berhingga. 2. J = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka: J = {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 99}. himpunan berhingga. Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak, dan memiliki pola tertentu, maka
penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik, dibaca “dan seterusnya”.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Himpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai anggota, dapat ditulis
dengan notasi atau simbol { } atau
∅
Perhatikan!
{ } adalah himpunan yang tidak mempunyai
anggota, dan
{0} adalah himpunan yang mempunyai
anggota. Banyak anggotanya adalah 1, yaitu
0.
Jadi, { } berbeda dengan {0}, atau { } ≠ {0}.
Himpunan kosong
adalah himpunan yang
tidak mempunyai anggota, dapat ditulis
dengan notasi atau simbol { } atau
∅
Perhatikan!
{ } adalah himpunan yang tidak mempunyai
anggota, dan
{0} adalah himpunan yang mempunyai
anggota. Banyak anggotanya adalah 1, yaitu
0.
Jadi, { } berbeda dengan {0}, atau { } ≠ {0}.
2.3 HIMPUNAN KOSONG
2.3 HIMPUNAN KOSONG
Contoh:
1. Himpunan bilangan kuadrat antara 50 dan
60 adalah himpunan kosong, karena antara
50 dan 60 tidak terdapat bilangan kuadrat.
2. Himpunan nama hari dalam seminggu yang
dimulai dengan huruf J bukan himpunan
kosong karena ada nama hari yang dimulai
dengan huruf J, yaitu Jumat.
Contoh:
1. Himpunan bilangan kuadrat antara 50 dan
60 adalah himpunan kosong, karena antara
50 dan 60 tidak terdapat bilangan kuadrat.
2. Himpunan nama hari dalam seminggu yang
dimulai dengan huruf J bukan himpunan
•
Himpunan semesta adalah himpunan yang
memuat semua anggota himpunan yang
dibicarakan.
•
Himpunan semesta disebut juga semesta
pembicaraan atau himpunan universum.
Lambang himpunan semesta adalah S.
•
Himpunan semesta adalah himpunan yang
memuat semua anggota himpunan yang
dibicarakan.
•
Himpunan semesta disebut juga semesta
pembicaraan atau himpunan universum.
Lambang himpunan semesta adalah S.
Contoh: 1.
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A sehingga
himpunan S merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
Contoh: 1.
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A sehingga
himpunan S merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
2.4 HIMPUNAN SEMESTA
2.4 HIMPUNAN SEMESTA
3.
C
= {3, 5, 7}.
Himpunan-himpunan yang dapat memuat
semua
anggota himpunan
C
di antaranya
adalah {bilangan ganjil}, {bilangan prima},
atau {bilangan asli}.
Dengan demikian:
{bilangan ganjil}, {bilangan prima}, dan
{bilangan asli} merupakan
himpunan
semesta
dari himpunan
C
.
3.
C
= {3, 5, 7}.
Himpunan-himpunan yang dapat memuat
semua
anggota himpunan
C
di antaranya
adalah {bilangan ganjil}, {bilangan prima},
atau {bilangan asli}.
Dengan demikian:
{bilangan ganjil}, {bilangan prima}, dan
{bilangan asli} merupakan
himpunan
2.5.1 Membuat Diagram
Venn
• Cara lain untuk
menyatakansuatu himpunan, yaitu dengan gambar atau
diagram yang disebut diagram Venn.
• Diagram ini diperkenalkan
pertama kali oleh John Venn, ahli matematika
berkebangsaan Inggris yang hidup pada tahun 1834−1923.
Sumber : upload.wikimedia.org
Ketentuan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai berikut.
a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri atas diberi simbol S.
b. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
c. Setiap himpunan yang termuat di dalam
himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8}. Karena semua anggota himpunan A
termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A berada di dalam himpunanS
d. Untuk himpunan-himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, pada diagram Venn anggota-anggota tersebut tidak digambarkan
dengan noktah karena tidak praktis pengerjaannya. Misal: S = {siswa di sekolahmu}, D = {siswa di
kelasmu}.
Ketentuan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai berikut.
a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri atas diberi simbol S.
b. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
c. Setiap himpunan yang termuat di dalam
himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8}. Karena semua anggota himpunan A
termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A berada di dalam himpunanS
d. Untuk himpunan-himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, pada diagram Venn anggota-anggota tersebut tidak digambarkan
dengan noktah karena tidak praktis pengerjaannya. Misal: S = {siswa di sekolahmu}, D = {siswa di
Contoh:
1. Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
P = {1, 3, 5, 7},
Q = {6, 7, 8}.
Contoh:
1. Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
P = {1, 3, 5, 7},
Q = {6, 7, 8}.
2. Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
E = {1, 3, 5}, F = {6, 8}.
Jawab: Perhatikan anggota-anggota E
dan F!
Ternyata anggota-anggota E dan F tidak ada yang sama,
sehingga diagramnya seperti pada gambar di samping.
2. Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
E = {1, 3, 5}, F = {6, 8}.
Jawab: Perhatikan anggota-anggota E
dan F!
Ternyata anggota-anggota E dan F tidak ada yang sama,
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
2.6.1 Pengertian Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A B⊂
Pada diagram Venn di samping, ternyata himpunan A termuat di dalam B. setiap anggota A, yaitu a, b, dan c menjadianggota B. Dalam hal ini, dikatakan bahwa A adalah himpunan bagian dari B
Dari diagram Venn pada Gambar di samping, dapat juga dikatakan
Contoh:
1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
B = {anggota A yang genap}.
C = {anggota A yang lebih dari 3}.
Tentukan hubungan himpunan B dan C terhadap A!
Jawab:
• B = {2, 4}, maka {2, 4} {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ atau B ⊂ A.
• C = {4, 5}, maka {4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ atau C ⊂ A.
2. Untuk himpunan H = {a, b, c, d}, tulislah himpunan-himpunan bagian dari himpunan H
a. Mempunyai 2 anggota. b. Mempunyai 3 anggota.
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H yang mempunyai 2 anggota adalah: {a, b}, {a, c}, {a, d},
{b, c}, {b, d}, {c, d}.
Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari
himpunan itu sendiri.
Jadi, untuk sembarang himpunan A, selalu
berlaku A A.
⊂
Untuk setiap himpunan, misalnya himpunan A
dan B berlaku:
Jika himpunan A B dan B A, maka himpunan
⊂
⊂
A = B.
A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN
BAGIAN DARI A
A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN
BAGIAN DARI A
A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN
BAGIAN DARI A
Contoh :Diketahui himpunan P = {m, a, r, g, i, n} dan Q = {m,
i, g, r, a, n}.
a. Apakah P ⊂ Q?
b. Apakah Q ⊂ P?
c. Kesimpulan apa yang dapat ditemukan dari kedua himpunan tersebut?
B. HIMPUNAN KOSONG SEBAGAI
HIMPUNAN BAGIAN
B. HIMPUNAN KOSONG SEBAGAI
HIMPUNAN BAGIAN
2.6.2 MENENTUKAN SEMUA HIMPUNAN
BAGIAN DARI SUATU HIMPUNAN
Dalam pola bilangan segitiga Pascal terdapat
hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang berada tepat di atasnya
Dalam pola bilangan segitiga Pascal terdapat
hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang berada tepat di atasnya
Pola bilangan segitiga Pascal pada Gambar di atas dapat digunakan untuk menentukan
banyak himpunan bagian dari suatu himpunan
Pola bilangan segitiga Pascal pada Gambar di atas dapat digunakan untuk menentukan
banyak himpunan bagian dari suatu himpunan
2.6.3 HIMPUNAN BAGIAN DAN POLA
BILANGAN SEGITIGA PASCAL
Contoh:
Tentukan banyak himpunan bagian dari W= {a, b, c, d, e, f} yang mempunyai:
a. satu anggota, b. tiga anggota, c. empat anggota.
Contoh:
Tentukan banyak himpunan bagian dari W= {a, b, c, d, e, f} yang mempunyai:
a. satu anggota, b. tiga anggota, c. empat anggota.
Perhatikan keterangan pada pola bilangan segitiga Pascal di atas untuk himpunan
dengan enam anggota, yaitu 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota adalah 6.
b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 3 anggota adalah 20.
c. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota adalah 15.
Perhatikan keterangan pada pola bilangan segitiga Pascal di atas untuk himpunan
dengan enam anggota, yaitu 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota adalah 6.
b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 3 anggota adalah 20.
Himpunan kuasa dari himpunan H adalah himpunan yang
memuat semua himpunan bagian dari H.
Himpunan kuasa dari himpunan H ditulis dengan notasi P(H).
Himpunan kuasa dari himpunan H adalah himpunan yang
memuat semua himpunan bagian dari H.
Himpunan kuasa dari himpunan H ditulis dengan notasi P(H).
Himpunan kuasa dari himpunan H dapat dinyatakan dengan notasi P(H) dan banyak
anggota dari himpunan kuasa P(H) dinyatakan dengan
n(P(H)). Dengan demikian, untukhimpunan H = {u, m,
y} dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Himpunan kuasa dari himpunan H adalah:
P(H) = { , { ∅ u }, { m }, { y }, {u, m}, {u, y}, {m,
y}, {u, m, y}}.
2. Banyak anggota dari himpunan kuasa H adalah:
n(P(H)) = 8.
Himpunan kuasa dari himpunan H dapat dinyatakan dengan notasi P(H) dan banyak
anggota dari himpunan kuasa P(H) dinyatakan dengan
n(P(H)). Dengan demikian, untukhimpunan H = {u, m,
y} dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Himpunan kuasa dari himpunan H adalah:
P(H) = { , { ∅ u }, { m }, { y }, {u, m}, {u, y}, {m,
y}, {u, m, y}}.
2. Banyak anggota dari himpunan kuasa H adalah:
n(P(H)) = 8.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
2.7.1 Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B atau
A B adalah suatu himpunan
∩
yang anggota anggotanya
merupakan anggota
himpunan A yang sekaligus
menjadi anggota himpunan B
juga. Dengan notasi
pembentuk himpunan, irisan
A dan B didefinisikan
sebagai:
A B = {x | x A dan x
∩
∈
∈
B}.
1. Diketahui: K = {bilangan prima kurang dari 12},
L = {bilangan ganjil antara 2 dan 8}.
a. Tentukan K ∩ L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang menyatakan K ∩ L!
Jawab:
a. K = {2, 3, 5, 7, 11} L = {3, 5, 7} b.
Anggota K yang sekaligus menjadi anggota L adalah 3, 5, dan 7, maka:
2. Diketahui: P = {1, 2, 3, 4, 5},
Q = {2, 4, 6, 8}.
a. Tentukan P ∩ Q dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang
menyatakan P ∩ Q!
Jawab:
a. P = {1, 2, 3, 4, 5} b. Q = {2, 4, 6, 8}
Anggota P yang sekaligus menjadi anggota Q adalah
a. Pengertian Gabungan Himpunan
Gabungan himpunan A dan B atau A B
∪
adalah suatu himpunan yang
anggota-anggotanya merupakan anggota A, atau
anggota B, atau anggota persekutuan A
dan B. Dengan notasi pembentuk
himpunan, gabungan A dan B didefinisikan
sebagai:
A B = { x | x A atau x B }.
∪
∈
∈
2.7.2 GABUNGAN (UNION)
HIMPUNAN
2.7.2 GABUNGAN (UNION)
HIMPUNAN
2. Diketahui: K = {bilangan asli kurang dari 7},
L = {lima bilangan prima yang pertama}.
a. Nyatakan K ∪ L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah K ∪ L!
Jawab:
a. K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b.
L = {2, 3, 5, 7, 11}
K ∪ L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11}
2. Diketahui: K = {bilangan asli kurang dari 7},
L = {lima bilangan prima yang pertama}.
a. Nyatakan K ∪ L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah K ∪ L!
Jawab:
a. K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b.
L = {2, 3, 5, 7, 11}
Selisih himpunan A dan B atau A – B adalah
himpunan semua
anggota A yang tidak menjadi anggota B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, selisih
himpunan A dan B didefinisikan sebagai:
A – B = { x | x A dan x B }.
∈
∉
Selisih himpunan A dan B atau A – B adalah
himpunan semua
anggota A yang tidak menjadi anggota B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, selisih
himpunan A dan B didefinisikan sebagai:
A – B = { x | x A dan x B }.
∈
∉
2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN
2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN
Contoh
Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 4, 7}, dan
B = {2, 3, 5, 6, 7}.
Tentukan selisih himpunan berikut!
a. A – B b. B – A
Tentukan selisih himpunan berikut!
Dari diagram Venn di samping, tentukan selisih himpunan berikut!
a. S – (P ∩ Q) c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q)
b. S – (P ∪ Q)
Jawab: a. S – (P ∩ Q) = S – {c, d} c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q) = {a, b, e, f, g, h, i, j}. = {a, b, e, c, d, f, g} – {c, d}
= {a, b, e, f, g}.
b. S – (P ∪ Q) = S – {a, b, e, c, d, f, g} = {h, i, j}.
Dari diagram Venn di samping, tentukan selisih himpunan berikut!
a. S – (P ∩ Q) c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q)
b. S – (P ∪ Q)
Jawab: a. S – (P ∩ Q) = S – {c, d} c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q) = {a, b, e, f, g, h, i, j}. = {a, b, e, c, d, f, g} – {c, d}
= {a, b, e, f, g}.
Komplemen himpunan
A
adalah suatu
himpunan yang anggotaanggotanya
merupakan
anggota S yang bukan anggota A
.
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat
ditulis:
A’
= {
x
|
x
∉
A
dan
x
∈
S
}.
Komplemen himpunan
A
adalah suatu
himpunan yang anggotaanggotanya
merupakan
anggota S yang bukan anggota A
.
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat
ditulis:
A’
= {
x
|
x
∉
A
dan
x
∈
S
}.
Contoh: Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 6}.
a. Nyatakan A ∪ (A ∩ B) dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dengan memberi arsiran!
Contoh: Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 6}.
a. Nyatakan A ∪ (A ∩ B) dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dengan memberi
arsiran!Jawab: a. A ∪ (A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10} {1, 3} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, ∪
10}.
b. Langkah-langkah membuat diagram Venn A ’ ∪ (A ∩ B) adalah:
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
1.
Setelah diadakan pencatatan terhadap 50
anak tentang jenis olahraga yang digemari,
terdapat 32 anak gemar voli, 40 anak gemar
bulu tangkis, dan 25 anak gemar
kedua-duanya.
a.
Buatlah diagram Venn dari keterangan di
atas!
b.
Berapa anak yang tidak gemar voli maupun
bulu tangkis?
1.
Setelah diadakan pencatatan terhadap 50
anak tentang jenis olahraga yang digemari,
terdapat 32 anak gemar voli, 40 anak gemar
bulu tangkis, dan 25 anak gemar
kedua-duanya.
a.
Buatlah diagram Venn dari keterangan di
atas!
b.
Berapa anak yang tidak gemar voli maupun
bulu tangkis?
2.8 PENERAPAN DIAGRAM VENN UNTUK
IRISAN DAN GABUNGAN HIMPUNAN
2.8 PENERAPAN DIAGRAM VENN UNTUK
Jawab:
a. V = {anak yang gemar voli}
B = {anak yang gemar bulu tangkis}
Yang hanya gemar voli : 32 – 25 = 7 anak.
yang hanya gemar bulu tangkis 40 – 25 = 15 anak.
b. Banyak anak yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis adalah 3 anak. Yang tidak gemar voli
maupun bulu tangkis, yaitu:
2. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 25
orang gemar minum es buah, 35 orang gemar minum es krim, dan yang gemar kedua minuman tersebut
sebanyak x orang.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa orang siswa yang gemar kedua jenis minuman tersebut?
2. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 25
orang gemar minum es buah, 35 orang gemar minum es krim, dan yang gemar kedua minuman tersebut
sebanyak x orang.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa orang siswa yang gemar kedua jenis minuman tersebut?
Jadi, yang gemar kedua jenis minuman
