MAKALAH FISIKA KUANTUM Operator Dalam Me

MAKALAH FISIKA KUANTUM

“Operator Dalam Mekanika Kuantum dan Persamaan Nilai

Eigen”

Oleh Kelompok 4 :

1.

Clara Sinta Saragih

2.

Rita Deby

3.

Sehati Winarsih

4.

Wahyu Azhar Ritonga

FISIKA NONDIK 2012

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan Schrődinger untuk atom yang hanya mempunyai satu elektron dapat kita selesaikan secara pasti, tetapi tidak demikian halnya untuk atom yang berelektron banyak dan juga molekul, karena dalam kedua sistem yang terakhir terjadi repulsi antara satu elektron dengan elektron lain. Untuk itu, kita butuh metode lain untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk atom berelektron banyak dan molekul..

Pengukuran besaran fisis (observabel) dalam mekanika klasik dapat dilakukan dengan cara dan hasil yang pasti dan tanpa mengganggu sistem yang diukur observabelnya, serta dapat dilakukan pengukuran besaran observabel secara serentak (pada saat yang sama). Menurut mekanika kuantum, pengukuran suatu observabel akan mempengaruhi dan mengubah keadaan sistem: pengukuran beberapa besaran (misalnya posisi dan kecepatan atau momentum) tidak dapat dilakukan secara serentak denga hasil ukur yang pasti / eksak (ketakpastiannya terbatasi oleh prinsip ketakpastian Heisenberg). Mekanika kuantum merupakan teori kebolehjadian yang bersifat abstrak, seperti konsep panjang gelombang, rapat kebolehjadian, operator, dan lain-lain. Mekanika kuantum disusun di atas postulat-postulat. Ada dua pendekatan formulasi mekanika kuantum, yakni dengan Mekanika Gelombang yang dikembangkan oleh Schrodinger, dan Mekanika Matriks yang dikembangkan oleh Heisenberg. Jadi target bab ini adalah membahas secara lebih mendalam mengenai teorema mekanika kuantum.

1.2 Tujuan

1. Untuk mengetahui operator-operator dalam Fisika Kuantum 2. Mempelajari nilai eigen dan fungsi eigen dari operator Commute 3. Mengetahui teorema-teorema dalam operator Hermit

5. Mempelajari fungsi eigen untuk operator posisi

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengantar

Operator adalah suatu instruksi matematis yang bila dikenakan atau dioperasikan pada suatu fungsi maka akan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi lain. Untuk operator Oˆ dapat ditulis sebagai

^

O(⃗r ,t)=❑'(⃗r ,t)

(Tanda aksen ‘ bukan berarti diferensial atau turunan, tapi hanya untuk membedakan dengan fungsi asalnya).

Sebelum mulai, marilah kita mengenal beberapa notasi integral yang akan dipergunakan. Definit integral seluruh ruang atas operator sembarang yang terletak di antara dua buah fungsi yaitu fm dan fn biasanya ditulis:

∫

f

_m¿

A f

_{n d}

 =

⟨

f

m

|

A

|

f

n

⟩

=

(

f

m

|

A

|

f

n

)

=

⟨

m

|

A

|

n

⟩

(1-1)

Notasi (1-1) di atas diperkenalkan oleh Dirac, dan disebut notasi kurung. Bentuk integral di atas juga sering ditulis:

∫

f

_m¿

A f

_{n d}

 = Am n (1-2)

Notasi untuk integral seluruh ruang atas dua buah fungsi fm dan fn ditulis:

∫

f

_m¿

f

_{n d}

 =

⟨

f

m

|

f

n

⟩

=

(

f

m

|

f

n

)

= m n (1-3)

Karena

[

∫

f

m

¿

_f

n

]

¿

=

∫

f

m ¿

f

_{n d}

, maka:

m n * ₌ m n _(1-4)

d

dan dalam kasus khusus yaitu fm = fn maka (1-4) dapat ditulis : m m *₌ m m

.

Hal-hal lain yang perlu diingat adalah:

1.

∫

f

m ¿

f

_{n d}

 = 1 jika fm = fn dan fungsinya disebut ternormalisasi. (1-5)

`

∫

f

m

¿

f

_{n d}

 = 0 jika fm  fn dan fungsinya disebut ortogonal (1-6)

Catatan:

∫

f

_m¿

f

_{n d}

 juga boleh ditulis m n (Kronikle Delta) yang harganya = 0

jika fm  _{fn dan berharga 1 jika fm = fn}

2. Jika :

A

 = a  dengan a bilangan konstan, maka  disebut fungsi eigen

sedang a disebut nilai eigen atau: jika  adalah fungsi eigen terhadap

operator

A

, maka berlaku hubungan:

A

 = a  dengan a adalah nilai

eigen. (1-7)

2.2 Operator Hermit

Untuk memahami operator ini, kita harus mengingat kembali pengertian operator linear dan pengertian nilai rata-rata. Operator linear adalah operator yang mewakili besaran fisik, misal operator energi, operator energi kinetik, operator momentum angular dan lain-lain. Selanjutnya telah kita ketahui pula bahwa jika

A

_{adalah operator linear yang mewakili besaran fisik A, maka nilai rata-rata A} dinyatakan dengan:

A ₌

∫

Ψ

¿

AΨ

_d

 (1-8)

dengan  adalah fungsi keadaan sistem. Karena nilai rata-rata selalu merupakan

A ₌ A *

atau:

∫

Ψ

¿

AΨ

_d

 =

∫

Ψ

(

AΨ

)

¿

d (1-9)

Persamaan (1-9) harus berlaku bagi setiap fungsi  yang mewakili

keadaan tertentu suatu sistem atau persamaan (1-9) harus berlaku bagi setiap fungsi berkelakuan baik (well behaved function). Operator linear yang memenuhi persamaan (1-9) itulah yang disebut operator Hermit.

Beberapa buku teks menulis operator Hermit sebagai operator yang mengikuti persamaan:

∫

f

¿

A g

_d

 =

∫

g

(

A f

)

¿

d (1-10)

untuk fungsi f dan g yang berkelakuan baik. Perlu dicatat secara khusus bahwa

pada ruas kiri persamaan (1-10), operator

A

bekerja pada fungsi g sedang di ruas kanan, operator bekerja pada fungsi f. Dalam kasus khusus yaitu jika f = g maka bentuk (1-10) akan tereduksi menjadi bentuk (1-9).

2.2.1 Teorema yang berhubungan dengan Operator Hermit

Ada beberapa teorema penting sehubungan dengan operator Hermit, yaitu:

1. Teorema 1: Nilai eigen untuk operator Hermit pasti merupakan bilangan

real.

2. Teorema 2: Dua buah fungsi 1 dan 2 berhubungan dengan operator

Hermit

A

dan baik 1 maupun 2 adalah fungsi eigen terhadap

operator

A

dengan nilai eigen yang berbeda, maka 1 dan 2 adalah

ortogonal. Jika kedua fungsi tersebut mempunyai nilai eigen yang sama atau degenerate (jadi tidak ortogonal), maka selalu ada cara agar dijadikan ortogonal.

Ada dua hal penting yang termuat dalam pernyataan teorema 1 yaitu bahwa operator yang dipergunakan adalah operator Hermit jadi harus mengikuti (1-9) dan ada pernyataan eigen value, ini berarti bahwa fungsi yang dibicarakan adalah fungsi eigen, jadi hubungan (1-7) berlaku. Untuk ini kita misalkan

fungsinya adalah , dan karena 

A

adalah operator hermit, maka menurut (1-9):

∫

Ψ

¿

Harga a = a* _{hanya mungkin jika a bilangan real.}

atau:

∫

Ψ

1

Substitusikan (1-12) ke dalam (1-13), menghasilkan:

a2



, jadi persamaan (1-14) boleh ditulis:

a2

maka kita hanya boleh mengatakan bahwa dua fungsi eigen yang berhubungan dengan operator Hermit adalah ortogonal jika kedua fungsi eigen itu tidak degenerate.

Apakah Degenerate itu ?

Telah disinggung di atas bahwa jika dua atau lebih fungsi eigen yang independen mempunyai nilai eigen sama, maka kasus seperti itu disebut degenerate. Untuk lebih memahami masalah degenerate ini, marilah kita ingat kembali fungsi gelombang partikel dalam kotak yang telah kita pelajari. Fungsi gelombang partikel dalam kotak 3 dimensi dinyatakan sebagai:

 = xyz dengan : gelombang tersebut maka nilai eigennya adalah energi yang besarnya:

E =

Jika kotaknya kubus dengan rusuk L:

E =

Jika kotaknya berbentuk kubus, maka menurut (1-19) harga nilai eigen E

1-1-2 = E1-2-1 = E2-1-1 =

Keadaan seperti itulah contoh kasus degenerate. Untuk kasus degenerate tersebut, biasanya dikatakan bahwa derajad degenerasinya = 3, karena ada 3 fungsi gelombang berbeda yang nilai eigen-nya sama yaitu 1-1-2; 1-2-1 dan 2-1-1. Sudah

barang tentu masih tak terhingga banyaknya kasus degenerate untuk fungsi gelombang partikel dalam kotak berbentuk kubus misal pasangan 1-1-3; 1-3-1 dan

3-1-1 dan masih banyak lagi.

Satu hal yang penting dari keadaan degenerate itu ialah, bahwa jika fungsi-fungsi eigen yang degenerate itu dikombinasilinearkan, maka akan terbentuk fungsi eigen yang baru.

Contoh: Jika fungsi  adalah kombinasi linear dari 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 yang

dinyatakan dalam bentuk:

 = c11-1-2 + c21-2-1 + 2-1-1 (1-20)

Karena 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 adalah degenerate, maka  pasti merupakan fungsi

eigen yang nilai eigennya sama dengan nilai eigen fungsi-fungsi penyusunnya.

Yang harus diingat adalah bahwa jika  adalah kombinasi linear dari 1-1-2

dan 1-3-1 sehingga dapat ditulis:  = c11-1-2 + c21-3-1

maka bukan fungsi eigen karena nilai eigen 1-1-2 dan c21-3-1 pasti tidak sama.

Relasi (1-20) disebut degenerasi karena fungsi eigen penyusunnya degenerate sedang (1-21) bukan degenerasi. Jika kepada kita ditanyakan berapa energi  pada

(1-20) maka jawabnya adalah E =

h m L

2

2

8 6



  



  

.

2.2.4 Ortogonalisasi

Misal kita mempunyai dua buah fungsi eigen yang degenerate, jadi nilai eigennya sama maka menurut teorema 2 kedua fungsi tersebut tidak ortogonal. Pertanyaannya adalah dapatkah kita membuatnya menjadi ortogonal? Jawabnya adalah, dapat.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus degenerasi (yang fungsi-fungsinya tidak ortogonal), dapat kita buat menjadi ortogonal. Kita

misalkan kita mempunyai operator Hermit

A

dan dua buah fungsi eigen independen yaitu fungsi f dan fungsi G yang mempunyai nilai eigen yang sama yaitu s, maka berarti:

A

_{f = s f ;}

A

_{G = s G}

Karena nilai eigen keduanya sama, maka f dan G pasti tidak ortogonal. Agar diperoleh dua fungsi baru yang ortogonal, ditempuh langkah sebagai berikut:

Kita buat fungsi eigen baru yaitu g1 dan g2 yang merupakan kombinasi

linear f dan G sehingga membentuk misalnya:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan c adalah konstanta.

Kita harus menentukan harga c tertentu agar g1 dan g2 ortogonal. Agar ortogonal

harus dipenuhi syarat:

∫

g

₁¿

_g

∫

f

¿

Sekarang kita telah mempunyai dua fungsi ortogonal yaitu g1 dan g2 yaitu:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan c = -

∫

f

¿

G

∫

f

¿

f

Prosedur yang telah kita tempuh ini disebut Ortogonalisasi Schmidt.

2.3 Ekspansi Sembarang Fungsi Menjadi Kombinasi Linear Fungsi Eigen

Setelah kita membicarakan ortogonalitas fungsi eigen dari operator Hermit, sekarang akan kita bicarakan sifat penting lain dari fungsi tersebut; sifat ini mengijinkan kita untuk mengubah bentuk sembarang fungsi F(x) menjadi

, maka ekspansi fungsi yang dimaksud adalah:

Bagaimana mendapat (1-23) di atas ? Marilah kita ikuti langkah-langkah berikut:

Kedua ruas (1-22) kita kalikan dengan  m* sehingga diperoleh:

m* F(x) =

Jika kedua ruas (1-24) diintegralkan maka diperoleh:

m* F(x) dx =

Telah kita ketahui bahwa :

m* n dx

Contoh:

Diketahui: F(x) = x untuk 0 < x < a/2

F(x) = 1- x untuk a/2 < x < a

Ekspansilah F(x) ke dalam fungsi eigen untuk partikel dalam kotak satu dimensi yang panjang kotaknya = a.

Jawab:

Fungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi dengan panjang kotak = a adalah:

Jadi bentuk ekspansinya menurut (1-22):

=

Kita masukkan (1-31) ke dalam (1-30), maka:

F(x) =

2.3.1 Pengertian Complete Set

Pada contoh ekspansi fungsi diatas, fungsi F(x) dapat diekspansi ke dalam

bentuk kombinasi linear fungsi gelombang partikel dalam kotak n dan dalam hal

ini himpunan fungsi  disebut himpunan lengkap atau Complete Set. Apakah

semua n dapat digunakan untuk mengekspansi fungsi F? Jawabnya ternyata

tidak, hanya himpunan fungsi yang merupakan himpunan lengkap saja yang dapat digunakan untuk mengekspansi fungsi F. Selanjutnya mengenai himpunan lengkap, dibuat definisi sebagai berikut:

himpunan fungsi tersebut dapat digunakan untuk mengekspansi sembarang fungsi F menjadi kombinasi linear dengan mengikuti

persamaan F(x) =

a_{n n}

1 ~



dengan an adalah tetapan sembarang.

Contoh himpunan fungsi gelombang yang bukan himpunan lengkap adalah himpunan fungsi gelombang elektron atom hidrogen yang sudah pernah kita pelajari. Meskipun kita tahu bahwa fungsi gelombang elektron atom hidrogen yaitu (n, l, m ) adalah fungsi r,,, namun jika seandainya kita mempunyai

sembarang fungsi F(r,,) maka fungsi tersebut tidak dapat diekspansi menjadi

kombinasi linear , karena seperti kita ketahui bahwa  hidrogen hanya

berhubungan dengan energi diskrit saja padahal energi elektron bisa saja kontinum, yaitu ketika elektron dalam proses lepas dari sistem atom menjelang terjadinya ionisasi. Jadi n atom hidrogen bukan merupakan himpunan lengkap

sehingga tidak mungkin kita mengekspansi F(r,,) menjadi himpunan linear (n, l,

m). Fungsi gelombang hidrogen baru disebut himpunan fungsi lengkap jika

menyertakan himpunan fungsi gelombang yang berkorelasi dengan energi kontinum yang biasanya ditulis (E, l, m). Jika fungsi gelombang hidrogen sudah

dinyatakan secara lengkap seperti itu maka fungsi F(r,,) dapat diekspansi, yaitu

menjadi kombinasi linear fungsi diskrit dan kombinasi linear fungsi kontinum.

2.3.2 Teorema 3

Jika g1, g2... adalah himpunan lengkap fungsi eigen dari operator

A

dan

jika fungsi F juga fungsi eigen dari operator

A

dengan nilai eigen k (jadi

A

F

= k F) sedang F diekspansi dalam bentuk F =

∑

i

a

i

g

i _{, maka gi yang ai nya}

nilai eigen F. Selanjutnya sebagai rangkuman dapat dinyatakan bahwa Fungsi-fungsi eigen dari operator Hermite, membentuk himpunan lengkap ortonormal dan nilai eigennya adalah real.

2.4 Eigen Fungsi Dari Operator Commute

Jika fungsi  secara simultan adalah fungsi eigen dari dua buah operator

A

_dan

B

_{dengan nilai eigen aj dan bj, maka pengukuran properti A}

menghasilkan aj dan pengukuran B menghasilkan bj. Jadi kedua properti A dan B

mempunyai nilai definit jika  merupakan fungsi eigen baik terhadap

A

maupun

B

.

Telah dinyatakan bahwa suatu fungsi adalah eigen terhadap

A

dan

B

jika kedua operator tersebut commute atau:

A

_{i = aii dan}

B

_{i = bii Jika :}

(1-32)

[

A

,

B

] = 0

(1-33)

Yang harus kita buktikan adalah: [

A

,

B

] = 0

Kita tahu: [

A

,

B

] =

A

B

-

B

A

(1-34)

Jika dioperasikan pada i :

[

A

,

B

]i =

A

B

i -

B

A

i

=

A

(

B

i ) -

B

(

A

i )

= bi

A

i - ai

B

i

= bi aii - ai bii

[

A

,

B

] = bi ai - ai bi = 0 (terbukti)

(1-35)

Pembuktian di atas adalah pembuktian untuk teorema 4 yang bunyinya:

Teorema 4: Jika Operator linear

A

dan

B

mempunyai himpunan fungsi

eigen yang sama maka

A

dan

B

adalah commute.

Perlu diingat

A

dan

B

yang dimaksud oleh teorema 4 hanya

A

dan

B

yang masing-masing merupakan operator linear. Jika

A

dan

B

bukan operator linear maka keduanya bisa tidak commute meskipun seandainya keduanya mempunyai fungsi eigen yang sama. Sebagai contoh (,) yang kita

bahas, adalah fungsi eigen dari operator

L

x dan operator

L

y

tetapi kedua operator tersebut non commute.

Teorema 5 : Jika operator Hermite

A

dan

B

adalah commute, maka kita

dapat memilih himpunan lengkap fungsi eigen untuk kedua operator itu.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Anggap saja fungsi gi adalah fungsi eigen dari operator

A

dengan nilai

eigen ai maka kita dapat menulis:

A

_{gi = ai gi}

(1-36)

B

₍

A

_{gi ) =}

B

_{(ai gi )}

(1-37)

Karena

A

dan

B

commute dan karena

B

linear maka:

A

₍

B

_{gi) = ai (}

B

_gi)

(1-38)

Persamaan (1-38) di atas menyatakan bahwa fungsi

B

gi adalah fungsi

eigen terhadap operator

A

dengan nilai eigen ai, persis sama dengan fungsi gi

yang juga fungsi eigen terhadap operator

A

dengan nilai eigen ai. Marilah kita

untuk sementara menganggap bahwa nilai eigen dari operator

A

tersebut non degenerate, hingga untuk sembarang harga nilai eigen ai yang diberikan berasal

dari satu dan hanya satu fungsi eigen yang linearly independent. Jika ini benar,

maka kedua fungsi eigen gi dan

B

gi yang mempunyai nilai eigen sama yaitu ai

harus linearly dependent, yaitu, fungsi yang satu harus merupakan kelipatan sederhana dari yang lain,

B

_{gi = ki gi}

(1-39)

dengan ki adalah konstan. Persamaan (1-39) itu menyatakan bahwa fungsi gi

merupakan fungsi eigen dari operator

B

sebagaimana yang hendak kita buktikan.

Jadi, jika

A

dan

B

commute dan fungsi gi adalah fungsi eigen

terhadap

A

maka gi juga merupakan fungsi eigen dari

B

(Jadi Teorema 5

adalah kebalikan dari Teorema 4)

Teorema 6: Jika gi dan gj adalah fungsi eigen dari operator Hermite

A

dengan

¿ a_j)_, dan jika

B

adalah operator linear yang commute terhadap

A

_{, maka:}

< gj

B

gi > = 0 atau

∫

s−r

g

_j

B

g

_i

d = 0

(1-40)

dengan s-r adalah seluruh ruang. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Karena

A

dan

B

commute, maka fungsi eigen terhadap

A

adalah juga fungsi eigen terhadap

B

, meski dengan nilai eigen berbeda. Jadi gi juga

fungsi eigen terhadap

B

, yang jika nilai eigennya dimisalkan ki maka:

B

_{gi = ki gi}

(1-41)

dengan demikian (1-40) boleh ditulis:

∫

s−r

g

_j

k

_i

g

_i

d =

k

_i

_∫

s−r

g

_j

g

_i

=

k

i _{. 0 = 0 (terbukti)}

2.5 Operator Paritas

Ada operator mekanika kuantum yang tidak dikenal dalam mekanika klasik, contohnya adalah operator paritas. Marilah kita ingat kembali bahwa dalam osilator harmonis, kita mengenal adanya fungsi genap dan ganjil. Akan kita lihat bagaimana sifat ini dikaitkan dengan operator paritas.

Operator paritas,

∏

¿¿ dapat dilihat dari efeknya apabila ia bekerja pada sembarang fungsi. Operator ini akan mengubah tanda semua koordinat Cartessius,

sehingga kita boleh mendefinisikan:

∏

¿¿ f ( x, y, z ) = f (-x, -y, -z)

Contohnya:

∏

¿¿ ( x2 _{- 2 x. e}-2y _{+ 3 z}3 _{) = { (-x)}2 _{-2 (-x). e}2y _{+ 3 (-z)}3 _}

Jika seandainya gi adalah fungsi eigen dari operator paritas dengan nilai

eigen ai maka kita dapat menulis:

∏

¿¿ gi = ai gi

(1-42)

Sifat paling penting dari operator ini adalah kuadratnya:

∏

¿

2

¿

_{f ( x, y, z ) =}

_∏

¿¿

∏

¿¿ _{f ( x, y, z ) =}

∏

¿¿ _{f (-x, -y, -z) = f ( x, y, z )}

Karena f nya fungsi sembarang maka

∏

¿

2

¿

_{adalah operator satuan (unit}

Operator), jadi:

∏

¿

2

¿

₌

1

(1-43)

Sekarang, bagaimana jika kita gunakan

∏

¿

2

¿

_{untuk (1-42) ? Hasilnya adalah:}

∏

¿

2

¿

_g

i =

∏

¿¿

∏

¿¿ gi =

∏

¿¿ ai gi = ai

∏

¿¿ gi =

a

i

2

gi

(1-44)

Karena

∏

¿¿ adalah unit operator, maka (1-44) menjadi:

gi =

a

i

2

gi

(1-45)

atau: ai = + 1

(1-46)

Karena ai adalah nilai eigen untuk

∏

¿

2

¿

_{, maka nilai eigen untuk}

∏

¿

2

¿

_{adalah 1}

dan -1. Perlu dicatat bahwa hal ini berlaku untuk semua operator yang kuadratnya merupakan operator satuan.

∏

¿¿ _{gi = ai gi}

Karena nilai eigen operator ini + 1, maka persamaan di atas dapat ditulis:

∏

¿¿ _{gi = + 1 gi}

(1-47)

Jika gi adalah g(x, y, z), maka:

∏

¿¿ _{g (x, y, z) = + 1 g(x, y, z ) atau} (1-48)

g (-x, -y, -z) = + 1 g(x, y, z )

(1-49)

Jika nilai eigennya +1, maka:

g (-x, -y, -z) = g(x, y, z )

(1-50)

jadi g fungsi genap. Jika nilai eigen = -1, maka:

g ( - x , - y , - z ) = -g( x , y , z )

(1-51)

jadi g adalah fungsi ganjil.. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

fungsi eigen dari operator paritas adalah

semua fungsi well behaved yang mungkin

baik genap maupun ganjil.

Bagaimana jika Operator Paritas Commute dengan operator Hamilton ?

operator

H

. Kemudian, jika operator paritas dan Hamilton commute, kita boleh menulis:

[

∏

¿¿ ,

H

] = 0

(1-52)

dan juga boleh menyatakan bahwa i adalah fungsi eigen bagi operator paritas

tidak peduli fungsi tersebut ganjil atau genap. Untuk sistem partikel tunggal,

[

H

,

∏

¿¿ ] = [

(-Dengan demikian (1-53) dapat ditulis:

[

H

,

∏

¿¿ ] = [ V,

∏

¿¿ ]

Sekarang kita evaluasi ruas kanan (1-54):

[ V(x),

∏

¿¿ ] F(x) = V(x)

∏

¿¿ F(x) -

∏

¿¿ V(x) F(x)

= V(x) F(-x) - V(-x) F(-x) (1-55)

Nilai (1-55) ditentukan oleh fungsi energi potensial. Jika fungsi energi potensial adalah fungsi genap, maka V(x) = V(-x), maka (1-55) menjadi:

[ V(x),

∏

¿¿ ] = 0 sehingga (1-54) menjadi:

[

H

,

∏

¿¿ ] = 0

(1-56)

Ini berarti:

Teorema 7: Jika fungsi V adalah fungsi genap, maka

H

dan

∏

¿¿ adalah

commute, sehingga kita dapat memilih sembarang fungsi gelombang stasioner baik genap maupun ganjil sebagai fungsi eigen dari kedua operator tersebut.

Fungsi genap atau ganjil yang merupakan fungsi eigen bagi kedua operator Hamilton dan paritas itu disebut fungsi definit paritas.

Jika semua energi levelnya adalah nondegenerate (umumnya memang benar untuk sistem partikel tunggal) berarti hanya ada satu fungsi gelombang independen yang berhubungan dengan masing-masing energi level. Jadi untuk kasus nondegenerate, maka fungsi gelombang stasioner yang fungsi energi potensialnya fungsi genap adalah definit paritas. Sebagai contoh fungsi gelombang osilator harmonis adalah definit paritas karena fungsi energi potensialnya ½ kx2 _{(fungsi energi potensial genap).}

banyak sekali pilihan fungsi gelombang sebagai akibat dari kombinasi linear dari fungsi-fungsi degenerasi itu.

2.6 Pengukuran dan Keadaan Superposisi

Mekanika kuantum dapat dipandang sebagai suatu cara untuk menghitung probabilitas dari berbagai kemungkinan hasil pengukuran. Sebagai contoh, jika kita mempunyai fungsi (x,t) maka probabilitas hasil pengukuran posisi partikel

pada saat t berada antara x dan x + dx dinyatakan oleh (x,t)2 dx

Sekarang kita akan memperhatikan pengukuran properti secara umum, misal besaran A. Untuk ini yang dipertanyakan adalah bagaimana menggunakan 

untuk menghitung probabilitas masing-masing hasil pengukuran A yang mungkin. Kita akan mengupas informasi apa saja yang dikandung oleh  yang merupakan

jantungnya mekanika kuantum. Subyek pembahasan kita adalah sistem n partikel dan menggunakan q sebagai simbol dari koordinat 3n. Telah kita postulatkan bahwa hanya nilai eigen ai dari operator  lah yang merupakan kemungkinan

hasil pengukuran besaran A.

Dengan menggunakan gi sebagai fungsi eigen dari Â, maka kita boleh

menulis:

 gi ( q ) = ai gi ( q )

(1-57)

Telah kita postulatkan pada sub bab 1.3 bahwa fungsi eigen dari sembarang operator Hermite yang mewakili besaran fisik teramati, membentuk himpunan lengkap. Karena gi adalah himpunan lengkap kita dapat mengekspansi fungsi 

dalam suatu deret yang suku-sukunya adalah gi jadi:

(q,t) =

∑

i

c

_i

g

_i(q)

Agar dapat menggambarkan bahwa  adalah fungsi waktu, maka koefisien ci

harus merupakan fungsi waktu sehingga (1-58a) lebih baik ditulis:

(q,t) =

∑

i

c

_i

(t)

g

i(q)

(1-58b)

Karena 2 adalah rapat peluang (probability density) maka:

∫*  d = 1

(1-59)

Substitusi (1-58a) ke dalam (1-59) menghasilkan:

∫∑

Karena pengintegralan hanya terhadap koordinat, maka:

∑

Kita akan menguji signifikansi (1-62) secara singkat:

Ingat bahwa jika  fungsi ternormalisasi, maka nilai rata besaran A adalah:

Dengan menggunakan (1-58), maka:

Bagaimana menginterpretasi (1-63) ? Perlu diketahui, bahwa nilai eigen suatu operator adalah kemungkinan dari bilangan-bilangan yang diperoleh jika kita melakukan pengukuran terhadap besaran yang diwakili oleh operator tersebut. Dalam sembarang pengukuran terhadap besaran A, kita akan memperoleh salah satu harga ai. Kemudian marilah kita ingat kembali teori mengenai rata-rata yang

kita pelajari dalam matematika. Jika kita mempunyai n buah data X dengan

Sekarang jika dari pengukuran terhadap besaran A diperoleh nilai-nilai eigen a1,

< A > =

∑

i

P

i

a

i

(1-65)

dengan Pi adalah probabilitas mendapatkan nilai ai pada pengukuran besaran A.

Jika hanya ada sebuah fungsi eigen independen untuk setiap nilai eigen (nondegenerate) maka banyaknya eigen fungsi sama dengan banyaknya nilai eigen. Selanjutnya dengan membandingkan (1-65) terhadap (1-63) maka dapat dipastikan bahwa

ci2 = Pi

(1-66)

yaitu probabilitas memperoleh harga ai ketika dilakukan pengukuran terhadap

besaran A.

Teorema 8: Jika ai adalah nilai eigen non degenerate dari operator  dan gi

adalah fungsi eigen ternormalisasi (Â gi = ai gi) maka, manakala

besaran A diukur dalam sistem mekanika kuantum yang fungsi statenya pada waktu diadakan pengukuran adalah , probabilitas

mendapatkan hasil ai adalah ci2, dengan ci adalah koefisien gi

pada ekspansi  = i ci gi. Jika nilai eigen ai degenerate,

probabilitas mendapatkan ai pada saat A diukur adalah jumlah dari

ci2 fungsi-fungsi eigen yang nilai eigennya ai.

Kapankah hasil pengukuran besaran A dapat diprediksi secara tepat? Kita

dapat melakukan itu jika semua koefisien pada ekspansi =icigi adalah nol

kecuali satu koefisien saja yaitu misalnya ck. Untuk kasus ini maka (1-66)

menjadi ck2 = Pk = 1. Artinya peluang untuk mendapatkan nilai eigen seharga

ak = 1, artinya, nilai eigennya pasti ak.

Selanjutnya kita dapat memandang ekspansi deret =icigi sebagai

ekspresi bentuk umum fungsi  yang merupakan superposisi dari fungsi eigen gi

dari operator Â. Masing-masing fungsi eigen gi berhubungan dengan nilai eigen

Selanjutnya bagaimana cara menghitung koefisien ci sehingga pada

akhirnya kita dapat menghitung ci2 ? Caranya kita kalikan  = i ci gi dengan

g*

j kemudian integralkan ke seluruh ruang, sehingga diperoleh:

∫ g*

j  d = ∫g*j i ci gi d = i ci∫g*j gi.d = cii ∫g*j gid

Jika ortonormal:

∫g*

j  d = ci

atau:

ci = ∫ . g*j d = g*j >

(1-67)

Kuantitas < g*

j > disebut amplitudo probabilitas. Selanjutnya probabilitas

mendapatkan nilai eigen non degenerate ai pada pengukuran A adalah [lihat

(1-66)]:

Pi = ci2 = ∫ . g*j d2 =< g*j >2

(1-68)

Jadi jika kita mengetahui state sistem sebagaimana ditentukan oleh fungsi  maka

kita dapat menggunakan (1-68) untuk memprediksi probabilitas dari berbagai kemungkinan hasil pengukuran besaran A.

Teorema 9: _{Jika besaran B diukur dalam sistem mekanika kuantum yang fungsi}

statenya pada saat pengukuran adalah , maka probabilitas dari

pengamatan nilai eigen aj dari operator  adalah <gj >2,

dengan gj adalah fungsi eigen ternormalisasi yang mempunyai nilai

eigen aj.

Integral <gj > = ∫ g*j d akan mempunyai nilai absolut substansial jika fungsi

ternormalisasi gj dan  berada pada daerah yang saling berdekatan dan dengan

demikian maka bisa terjadi gj terlalu besar sedang  terlalu kecil (atau

sebaliknya) sehingga hasil kali gj.selalu terlalu kecil. Akibatnya absolut

kuadratnya juga terlalu kecil sehingga probabilitas untuk mendapatkan nilai eigen ai juga sangat kecil.

Contoh: Dilakukan pengukuran terhadap Lz elektron atom hidrogen yang

fungsinya pada saat diadakan pengukuran adalah fungsi 2px. Tentukan

hasil-hasil pengukuran yang mungkin dan tentukan pula probabilitas masing-masing hasil pengukuran.

Jawab:

a. 2px adalah kombinasi linear dari 2p(+1) dan 2p(-1). Jadi harga Lz yang

mungkin adalah

ℏ

dan -

ℏ

karena Lz adalah m

ℏ

.

b. Untuk menentukan probabilitas masing-masing, kita ekspansi 2px atas

fungsi-fungsi penyusunnya: 2px = 2-1/22p(+1) + 2-1/22p(-1).

Persamaan diatas adalah bentuk ekspansi 2px atas 2p(+1) dan 2p(-1) dengan

koefisien c1 = c2 = 2-1/2. Menurut teorema 8, probabilitasnya adalah: P1 = 2

-1/2_2 _{= ½ = P}

2. P1 adalah probabilitas mendapatkan Lz =

ℏ

sedang P2 adalah

probabilitas mendapatkan Lz = -

ℏ

Contoh: Akan dilakukan pengukuran terhadap energi (E) bagi partikel dalam box

yang panjangnya a dan pada saat pengukuran dilakukan partikel berada pada keadaan non stasioner  = 301/2a-5/2x (a-x) untuk 0 < x <

a. Tentukan hasil-hasil pengukuran yang mungkin dan tentukan pula probabilitas masing-masing hasil pengukuran

Jawab: Untuk partikel dalam box:

E = n2_h2 _/(8ma2_{)dengan n = 1, 2, 3,... dan non degenerate (karena 1}

dimensi) sedang fungsi eigennya adalah n = (2/a)1/2 sin (n/a) x. Untuk

menghitung probabilitasnya maka kita ekspansi  saat itu atas n, jadi:

Menurut (1-67) : ci = ∫ . g*j d

jadi: cn = ∫ . n d = 301/2a-5/2 (2/a)1/2 ∫ {x (a-x)}sin (n/a) x dx

=

240

1/2

n

3

π

3 _{[ 1 - (-1)}n _{] (Buktikan)}

(1-69)

Pn = cn2 =

240

n

6

π

6 _{[ 1 - (-1)}n _]2_.

Catatan: Jika anda akan membuktikan (1-69) yang perlu dicatat adalah bahwa cos n = (-1)n

2.7 Postulat-Postulat Mekanika Kuantum

Sepanjang perjalanan kita dalam mempelajari mekanika kuantum, kita telah mengenal postulat-postulat mekanika kuantum. Sekarang ini, kita akan merangkumnya:

Postulat I. Keadaan (state) sistem dideskripsi oleh fungsi  yang merupakan fungsi

koordinat dan waktu. Fungsi ini disebut fungsi keadaan atau fungsi gelombang yang memuat semua informasi mengenai sistem. Selanjutnya juga dipostulatkan bahwa  harus bernilai tunggal, continous,

ternormalisasi dan quadratically integrable.

Postulat II. Setiap besaran fisik teramati, berhubungan dengan operator Hermite

linear. Untuk menurunkan operator ini, tulislah ekspresinya secara mekanika klasik dalam koordinat Cartessius, dan hubungkanlah dengan komponen momentum linearnya, kemudian gantilah setiap koordinat x

Postulat III. Nilai yang mungkin, yang dapat diperoleh dari besaran fisik A hanyalah nilai eigen ai dalam persamaan  gi = ai gi dengan  adalah operator

yang berhubungan besaran fisik A dan gi adalah fungsi eigen yang well

behaved.

Postulat IV. Jika  adalah operator Hermite linear yang mewakili besaran fisik

teramati tertentu, maka fungsi gi dari operator  membentuk himpunan

lengkap.

Catatan:

Postulat IV di atas lebih bersifat sebagai postulat matematik artinya kurang bersifat postulat fisik, karena tidak ada pembuktian matematik sama sekali terhadap postulat ini. Karena tidak ada pembuktian matematik terhadap kelengkapan himpunan, maka kita harus berasumsi terhadap kelengkapannya. Postulat IV mengijinkan kita untuk mengekspansi fungsi gelombang untuk sembarang keadaan sebagai superposisi dari fungsi-fungsi eigen ortonormal dari sembarang operator mekanika kuantum. Ekspansinya adalah dalam bentuk:

 = i ci gi

(1-70)

Postulat V. Jika (q,t) adalah fungsi ternormalisasi yang mewakili suatu sistem pada

saat t, maka nilai rata-rata besaran fisik A pada saat t, adalah:

< A > = ∫* d (1-71)

Postulat VI. Keadaan bergantung waktu dalam sistem mekanika kuantum dinyatakan

dengan menggunakan persamaan Schrodinger bergantung waktu:

−

ℏ

_i

∂

Ψ

∂

t

₌

H

_

dengan

H

adalah operator Hamilton (Energi) sistem itu

2.8 Pengukuran dan Interpretasi Mekanika Kuantum

Dalam mekanika kuantum perubahan suatu sistem terjadi melalui dua macam cara. Yang pertama perubahan yang terjadi secara berangsur-angsur dari waktu ke waktu (reversibel). Perubahan jenis ini ditunjukkan oleh persamaan Schrodinger bergantung waktu (1-72). Cara kedua adalah perubahan yang terjadi secara spontan (irreversibel), diskontinyu (tidak terus menerus) dan probabilitas kejadiannya sangat fluktuatif dan ditentukan oleh sistem itu sendiri. Jenis perubahan spontan ini tidak dapat diprediksi secara pasti karena hasil pengukurannya juga tidak dapat diprediksi secara pasti; hanya probabilitas kejadiannya saja yang dapat diprediksi. Perubahan spontan dalam  disebabkan

oleh pengukuran yang disebut reduksi fungsi gelombang. Pengukuran terhadap besaran A yang menghasilkan ak berakibat mengubah fungsi menjadi gk yaitu

fungsi eigen operator  yang nilai eigennya ak. Untuk lebih jelasnya adalah

sebagai berikut: Misal kita melakukan dua kali pengukuran terhadap Lz elektron

dalam atom hidrogen. Pada pengukuran pertama dihasilkan Lz = 2

ℏ

. Pada saat ini fungsi gelombangnya tentu fungsi gelombang dengan m = 2, sehingga secara

umum fungsi gelombangnya adalah ( n,

ℓ

, 2) dengan

ℓ

> 2 dan n >

ℓ

+1.

Selanjutnya misal pada pengukuran kedua diperoleh Lz = -

ℏ

. Pada pengukuran kedua ini, hasil pengukuran pasti berasal dari fungsi gelombang hidrogen yang m

= -1, sehingga fungsi gelombangnya adalah (n,

ℓ

,-1) dengan

ℓ

> 1 dan n >

ℓ

_{+1. Jadi tampak adanya perubahan fungsi gelombang secara mendadak akibat} adalah pengulangan pengukuran. Inilah penjelasan dari reduksi fungsi gelombang.

Hal penting lain yang perlu mendapat perhatian mengenai pengukuran adalah bahwa dalam mekanika kuantum, pengukuran merupakan sesuatu yang sangat kontroversial. Bagaimana dan kegiatan apa yang terjadi dalam kaitannya dengan reduksi  pada saat terjadi pengukuran sungguh sesuatu yang sangat tidak

bagi mekanika kuantum, sementara fisikawan lain menyatakan bahwa reduksi 

merupakan teorema yang diturunkan dari postulat lain. Para ahli saling berbeda pendapat mengenai reduksi  ini (L.E Balentine, 2004). Balentine mendukung

interpretasi ansemble statistika pada mekanika kuantum, yang dikemukakan oleh Einstein, yang menyatakan bahwa fungsi gelombang tidak mendeskripsi keadaan sistem tunggal (sebagaimana dalam interpretasi ortodok) tetapi memberikan deskripsi statistikal terhadap sekelompok sistem (dalam jumlah besar/ ansemble); dengan interpretasi seperti ini maka silang pendapat mengenai reduksi fungsi gelombang tidak terjadi.

"Bagi sebagian besar fisikawan, problema untuk mendapatkan teori mekanika kuantum yang berhubungan dengan pengukuran masih merupakan suatu persoalan yang belum ada penyelesaiannya. Adanya perbedaan pendapat.... ketidakpastian dalam pengukuran kuantum... dan lain-lain.... semua itu merefleksikan adanya ketaksepahaman dalam menginterpretasi mekanika kuantum secara global" (M. Jammer, 2003)

Pada tahun 1964 J.S. Bell membuktikan bahwa dalam eksperimen tertentu yang melibatkan dua partikel yang terpisah jauh, yang pada awalnya berada pada daerah yang sama dalam ruangan, orang harus membuat beberapa kemungkinan teori variabel tersembunyi untuk memprediksi adanya perbedaan dengan yang dilakukan oleh mekanika kuantum. Dalam teori lokal, dua partikel yang sangat berjauhan akan saling independen. Hasil beberapa eksperimen sesuai dengan prediksi mekanika kuantum, dan hal ini memperkuat keyakinan mekanika kuantum untuk melawan teori variabel tersembunyi lokal.

Selanjutnya analisis yang dilakukan oleh Bell dan kawan-kawan menunjukkan bahwa hasil eksperimen ini beserta prediksinya terhadap mekanika kuantum adalah tidak kompatibel dengan pandangan dunia mengenai realisme dan lokalitas. Realisme (juga disebut obyektivitas) adalah doktrin yang menyatakan bahwa realitas eksternal itu eksis dan sifat-sifat definitnya adalah independen terhadap benar tidaknya realitas yang kita amati. Sedang lokalitas adalah ke-instan-an aksi pada jarak yang memungkinkan sebuah sistem berpengaruh terhadap yang lain ketika sistem itu harus melintas dengan kecepatan yang tidak melebihi kecepatan cahaya.

Teori kuantum memprediksi dan eksperimen mengkorfirmasi bahwa manakala pengukuran dilakukan pada dua partikel yang pada mulanya berinteraksi dan kemudian dipisahkan oleh jarak yang tak terbatas maka hasil pengukuran terhadap partikel yang satu dipengaruhi oleh pengukuran partikel yang lain dan juga dipengaruhi oleh sifat kedua partikel yang diukur. Hal ini membuat adanya pendapat bahwa mekanika kuantum adalah magic (D. Greenberger, 2004).

Meskipun prediksi-prediksi eksperimen mekanika kuantum tidak arguabel, trtapi ternyata interpretasi konseptualnya masih saja menjadi topik debat yang hangat dan menarik bagi para ahli, bahkan sampai saat ini.

1 H(x)

Kita telah menurunkan fungsi eigen untuk operator momentum linear dan momentum angular. Pertanyaan kita sekarang adalah, bagaimana fungsi eigen untuk operator posisi ?

Operator posisi ditulis

x

yang operasinya adalah x kali atau

x

_{= x.}

Jika fungsi eigen posisi kita misalkan g(x) dan nilai eigennya a, maka:

x

_{g(x) = a g(x) atau:}

x g(x) = a g(x) atau

(1-73)

(x - a) g(x) = 0

(1-74)

Dari (1-87) dapat disimpulkan bahwa :

untuk x = a  g(x) ¿ 0

(1-75)

untuk x ¿ a _ g_(x) = 0

(1-76)

Kesimpulan di atas membawa kita kepada pemikiran mengenai sifat g(x), yaitu

bahwa seandainya fungsi state  = g(x), dan jika dilakukan pengukuran terhadap x,

maka kemungkinan hasilnya adalah a, dan itu hanya benar jika probabilitas nya

2 adalah nol untuk x ¿ a agar memenuhi (1-89). Sebelum membahas lebih lanjut mengenai fungsi g(x), akan diperkenalkan fungsi Heaviside step H(x) yang

Gambar 1.1: Fungsi Heaviside step

Dari gambar itu tampak bahwa:

H(x) = 1 untuk x > 0

H(x) = ½ untuk x = 0

(1-77)

H(x) = 0 untuk x < 0

Selanjutnya akan diperkenalkan fungsi Delta Dirac (x) yang merupakan turunan

dari fungsi Heaviside step.

(x) = d H(x) / dx

(1-78)

Dari (1-90) dan (1-91) diperoleh:

(x) = 0 untuk x ¿ 0

(1-79)

Karena pada x = 0 terjadi lompatan mendadak pada harga H(x), maka turunan tak

terhingga, jadi:

(x) = ~ untuk x = 0

(1-80)

Sekarang kita perhatikan (1-90). Jika x diganti x - a, maka (1-90) akan menjadi lebih umum, yaitu dalam bentuk:

H(x - a) = 1 untuk (x – a) > 0

H(x - a) = ½ untuk (x - a) = 0

H(x - a) = 0 untuk (x – a )< 0

Evaluasi terhadap integral tersebut menggunakan metode parsial ∫U dV = UV - ∫V dU dengan U = f(x) sedang dV = (x-a) dx sehingga dU = f '(x) dx, maka V = H(x-a)

Karena H(x-a) hilang kalau x < a maka (1-84) menjadi:

Suku

∫

a

~

H(x-a) f '(x) dx pada (1-84) adalah ∫V dU jadi (1-84) menjadi:

∫

−~

~

f(x)(x-a) dx = f(a)

(1-86)

Jika kita bandingkan (1-86) dengan persamaan j Cj ij = Ci kita dapat melihat

bahwa peran fungsi delta Dirac dalam integral sama dengan peran Kronecker delta dalam jumlah atau sigma.

Jadi dapat dipastikan:

∫

−~

~

(x-a) dx = 1

(1-87)

Sifat dari fungsi delta Dirac sama dengan sifat (1-75) dan (1-76), dari fungsi eigen posisi g(x). Dengan demikian secara tentatif dapat dinyatakan bahwa fungsi eigen

posisi adalah:

g(x) = (x-a)

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1. Operator adalah suatu instruksi matematis yang bila dikenakan atau dioperasikan pada suatu fungsi maka akan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi lain.

2. Sifat pertama operator Hermit adalah bahwa nilai-nilai operator itu adalah real.

3. Sifat kedua dari operator Hermit adalah bahwa fungsi-fungsi eigennya adalah orthogonal.

4. Terdapat 9 teorema yang berhubungan dengan operator Hermit. 5. Jika operator berbentuk matriks, maka perkalian dengan fungsi akan

7. Postulat IV mekanika kuantum lebih bersifat sebagai postulat matematik artinya kurang bersifat postulat fisik, karena tidak ada pembuktian matematik sama sekali terhadap postulat ini. Karena tidak ada pembuktian matematik terhadap kelengkapan himpunan, maka kita harus berasumsi terhadap kelengkapannya.

3.2 Saran

Kami berharap setelah pembahasan makalah ini akan ada perbaikan atau saran- saran yang berdampak positif untuk perkembangan pengetahuan setiap pemabaca untuk topik bahasan tentang operator-operator dalam mekanika kuantum dan fungsi eigen.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.2014. http://kimia.unnes.ac.id/v4/wp/Bab-1-Teorema-Mekanika-Kuantum-FIN.doc

Anonim. 2014. http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pengabdian/mgmp-fisika-bantul.pdf