Perencanaan Premi Optimal Untuk Perusahaan Reasuransi Dengan Reinstatement

(1)

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN

REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT

INDAH ROSLIYANA

G54103035

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

2

ABSTRACT

INDAH ROSLIYANA. Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements. Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.

Reinsurance is a company which agrees to indemnify an insurance company against all or a portion of the primary insurance risk underwritten by the ceding company under one or more insurance contracts. Essentially, the reinsurance mechanism is equal to an insurance mechanism. All principals and procedures that hold in insurance process also hold for reinsurance. One of them is premium plan.

This study discuss premium plan in a reinsurance contract using reinstatement premium. Reinsurance contract with reinstatement can be formulated in many ways. In this contract, the reinstatement premium is defined as a random variable. The reinstatement premium used is a constant that is not influenced by loss. This premium is not paid in the beginning of the contract, but it is paid when the loss of the reinsurance company is greater than a maximum bound paid to insured. It is expected that the company will not obtain a loss in taking risk.

(3)

3

ABSTRAK

INDAH ROSLIYANA. Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.

Perusahaan reasuransi adalah suatu perusahaan yang di dalamnya terdapat perjanjian antara beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian risiko, untuk menghindarkan risiko yang terlalu besar. Secara prinsip, mekanisme reasuransi sama dengan mekanisme asuransi. Semua prinsip dan prosedur yang berlaku pada proses asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah satunya adalah mengenai perencanaan premi.

Tulisan ini membahas tentang perencanaan premi dalam suatu kontrak resuransi yang menggunakan premi reinstatement. Kontrak reasuransi dengan reinstatement dapat diformulasikan dalam banyak cara. Dalam kontrak ini, premi reinstatement didefinisikan sebagai peubah acak dan premi reinstatement yang digunakan adalah konstanta sehingga besarnya tidak dipengaruhi oleh jumlah kerugian. Premi ini tidak dibayarkan pada awal kontrak, melainkan ketika kerugian perusahaan reasuransi lebih besar daripada batas maksimum yang akan dibayarkan kepada tertanggung. Sehingga diharapkan perusahaan tidak akan mengalami kerugian dalam menanggung risiko.

(4)

4

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

INDAH ROSLIYANA

G54103035

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

5

Judul : Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan

Reinstatement

Nama :

Indah

Rosliyana

NRP :

G54103035

Menyetujui :

Pembimbing I,

Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.

NIP 131878945

Pembimbing II,

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP 131663020

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.

NIP 131473999

(6)

6

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia yang sangat besar sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement.

Tanpa bantuan dan dukungan dari berbagai pihak mungkin penulis tidak dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.selaku Pembimbing I atas waktu, bimbingan, saran serta masukan yang telah diberikan hingga penulisan karya ilmiah ini selesai.

2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku pembimbing II atas bimbingan dan masukan yang telah diberikan dalam penyelesaian karya ilmiah ini.

3. Bpk. Drs. Effendi Syahril. Grad. Dipl. Sc. selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan.

4. Kedua orangtuaku dan adikku tersayang.

5. Keluarga keduaku Bpk. H. Amroni dan Ibu Hj. Amroni atas semua bimbingan dan nasihat yang telah diberikan kepada penulis. Untuk nenekku tercinta dan untuk semua kakak-kakakku. 6. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu

berikan, serta staff Departemen Matematika : Pak Deny, Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Bu Susi, Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

7. Teman-teman Matematika angkatan 40 : Marisa (untuk 4 tahun persahabatan kita), Mika (teman seperjuanganku dalam suka dan duka), Vina (sahabat yang selalu membuatku ceria), Amie (tetap semangat), Achie, Ifni dan Tiwi (untuk bantuannya dalam persiapan seminar), Septi, Metha, Bedu, Rama, Mufti, Azis, Yudi, Dimas, Sawa, Elis, Nchie, Ulfa, Sriti, Marlin, Yuda, Uli, Walidah, Dwi, Demi, Gatha (atas semangatnya), Mita (untuk segala bantuan yang telah diberikan), Herni, Nisa, Prima, Aam, Lili, Manto, Mukafi, Ari, Jayu, Rusli, Berri, Anton, Ali, Abay, Fe, Yusuf, Putra (tetap semangat). Kalian telah membuat hari-hariku penuh warna. 8. Kakak-kakak kelasku Math’39, Math’38, Math’37, Math’36 dan seterusnya. Serta adik-adik

kelasku Math’41 dan Math’42.

9. Seluruh keluarga besar Wisma Blobo, terima kasih atas semua bantuan yang telah diberikan. 10.Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Terima kasih atas segalanya.

Harapan penulis adalah semoga karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya.

Bogor, Mei 2007

Indah Rosliyana

(7)

7

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 April 1985 sebagai anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Tahrim dan Ibu Maryana.

Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI.

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

PENDAHULUAN

Latar Belakang... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 1

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

Fungsi Kerapatan Peluang... 2

Nilai Harapan... 2

Ragam dan Kovarian ... 2

Matriks ... 3

Asuransi dan Reasuransi ... 3

PEMBAHASAN Kontrak Reasuransi dengan Reinstatement ... 4

Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal... 5

Sifat dari Perencanaan Premi Optimal ... 8

Contoh ... 10

SIMPULAN... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 13

(9)

viii

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Saat ini, sudah menjadi suatu fakta bahwa perusahaan asuransi mempunyai modal yang terbatas. Dengan modal yang terbatas itu, sebuah perusahaan asuransi tidak leluasa untuk melakukan akseptasi terhadap risiko-risiko yang diterimanya. Hal ini disebabkan oleh adanya peraturan perundangan yang berisi bahwa perusahaan asuransi hanya diperkenankan mempunyai retensi sendiri sebesar 10% dari modal yang dimiliki.

Menjawab permasalahan di atas, reasuransi hadir untuk memberikan solusi atas kapasitas akseptasi terbatas yang dimiliki perusahaan asuransi. Reasuransi juga berperan sebagai proteksi otomatis pada perusahaan asuransi.

Secara prinsip, mekanisme reasuransi adalah sama dengan mekanisme asuransi. Semua prinsip dan prosedur yang berlaku pada asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah satunya adalah mengenai perencanaan premi.

Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan premi optimal untuk kontrak reasuransi

dengan reinstatement. Di dalam kontrak ini, premi reinstatement, yaitu jumlah yang harus dibayarkan ketika kerugian perusahaan reasuransi melebihi jumlah batas tertentu yang telah ditentukan, adalah konstanta.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Hess and Schmidt (2004) yang berjudul Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements.

Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. Mempelajari eksistensi sebuah

perencanaan premi yang

meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi.

2. Menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal ada, unik dan memenuhi prinsip premi bersih serta dapat dihitung dari momen pertama dan kedua fungsi kerugian reinsurer.

3. Mempelajari sifat perencanaan premi optimal.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Definisi 3 (Medan-σ )

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut :

1. ∅ ∈F ,

2. Jika A A1, 2,...∈F maka 1

i i

A

∞

=

∈F,

3. Jika A∈F maka Ac∈F.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi

: [0,1]

P F→ pada

(

Ω,F

)

yang memenuhi : 1. P

( )

∅ =0,P

( )

Ω =1,

2. Jika A A1, 2,...∈F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai∩Aj = ∅ untuk setiap pasangan i≠ j, maka

( )

1 1

i i

P A P A

∞ ∞

= =

⎛ ⎞₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

.

(10)

2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 5 (Peubah Acak)

Misalkan Fadalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω →R dengan sifat

( )

{

ω∈ Ω:X ω ≤x

}

∈F untuk setiap x∈R. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari R.

Catatan :

Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 7 (Fungsi Sebaran)

Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A. Misalkan kejadian A= −∞

(

,x

]

⊂A, maka peluang dari kejadian A adalah

(

)

( )

( ) P

x x

p A = X≤x =F x .

Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.

(Hogg and Craig, 1995)

Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi fX

( )

x sehingga fungsi sebaran

( )

P

(

)

X

F x = X≤x dapat dinyatakan sebagai

( )

X X

F x f u du

∞ −∞

= ∫ ,

x∈R, dengan f R: →

[ ]

0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X.

Fungsi Kerapatan Peluang

Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang) Misalkan

(

Ω,F,P

)

adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p R: →

[ ]

0,1 yang diberikan oleh :

( )

(

)

x

p x =P X =x .

Nilai Harapan

Definisi 10 (Nilai Harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang px

( )

x , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan

[ ]

E X , adalah

[ ]

E X x

( )

x

xp x

=

∑

,

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

2. Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fx

( )

x . Nilai harapan dari X adalah

[ ]

( )

E X xf x dx

∞

−∞

=

∫

,

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg dan Craig, 1995)

Teorema 1

Beberapa sifat dari nilai harapan

1. Jika k suatu konstanta, maka

[ ]

E k =k.

2. Jika k suatu konstanta dan V V1, 2 adalah peubah acak, maka:

[

1 1 2 2

]

1

[ ]

1 2

[ ]

2

E k V +k V =k E V +k E V . Secara umum, jika k k1, 2,...,knadalah konstanta dan V V1, 2,...,Vnadalah peubah acak, maka

[

1 1 2 2 ... n n

]

E k V +k V + +k V

[ ]

1 1 2 2 ... n n

k E V k E V k E V

= + + + .

Bukti: lihat Hogg dan Craig (1995).

Definisi 11 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misalkan Φ( )x =E Y X( | =x). Maka ( )x

Φ disebut nilai harapan bersyarat dari Y jika diketahui X, dan dituliskan ( |E Y X).

Ragam dan Kovarian

Definisi 12 (Ragam)

Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai

Var X

( )

=E_⎣⎡

(

X−E X[ ]

)

2⎤_⎦ 2

(

[ ]

)

2

E X⎡ ⎤ E X

= _⎣ _⎦− .

(11)

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN

INDAH ROSLIYANA

G54103035

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(12)

2

ABSTRACT

INDAH ROSLIYANA. Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements. Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.

Reinsurance is a company which agrees to indemnify an insurance company against all or a portion of the primary insurance risk underwritten by the ceding company under one or more insurance contracts. Essentially, the reinsurance mechanism is equal to an insurance mechanism. All principals and procedures that hold in insurance process also hold for reinsurance. One of them is premium plan.

This study discuss premium plan in a reinsurance contract using reinstatement premium. Reinsurance contract with reinstatement can be formulated in many ways. In this contract, the reinstatement premium is defined as a random variable. The reinstatement premium used is a constant that is not influenced by loss. This premium is not paid in the beginning of the contract, but it is paid when the loss of the reinsurance company is greater than a maximum bound paid to insured. It is expected that the company will not obtain a loss in taking risk.

(13)

3

ABSTRAK

INDAH ROSLIYANA. Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.

Perusahaan reasuransi adalah suatu perusahaan yang di dalamnya terdapat perjanjian antara beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian risiko, untuk menghindarkan risiko yang terlalu besar. Secara prinsip, mekanisme reasuransi sama dengan mekanisme asuransi. Semua prinsip dan prosedur yang berlaku pada proses asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah satunya adalah mengenai perencanaan premi.

Tulisan ini membahas tentang perencanaan premi dalam suatu kontrak resuransi yang menggunakan premi reinstatement. Kontrak reasuransi dengan reinstatement dapat diformulasikan dalam banyak cara. Dalam kontrak ini, premi reinstatement didefinisikan sebagai peubah acak dan premi reinstatement yang digunakan adalah konstanta sehingga besarnya tidak dipengaruhi oleh jumlah kerugian. Premi ini tidak dibayarkan pada awal kontrak, melainkan ketika kerugian perusahaan reasuransi lebih besar daripada batas maksimum yang akan dibayarkan kepada tertanggung. Sehingga diharapkan perusahaan tidak akan mengalami kerugian dalam menanggung risiko.

(14)

4

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

INDAH ROSLIYANA

G54103035

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(15)

5

Judul : Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan

Reinstatement

Nama :

Indah

Rosliyana

NRP :

G54103035

Menyetujui :

Pembimbing I,

Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.

NIP 131878945

Pembimbing II,

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP 131663020

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.

NIP 131473999

(16)

6

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia yang sangat besar sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement.

Tanpa bantuan dan dukungan dari berbagai pihak mungkin penulis tidak dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.selaku Pembimbing I atas waktu, bimbingan, saran serta masukan yang telah diberikan hingga penulisan karya ilmiah ini selesai.

2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku pembimbing II atas bimbingan dan masukan yang telah diberikan dalam penyelesaian karya ilmiah ini.

3. Bpk. Drs. Effendi Syahril. Grad. Dipl. Sc. selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan.

4. Kedua orangtuaku dan adikku tersayang.

5. Keluarga keduaku Bpk. H. Amroni dan Ibu Hj. Amroni atas semua bimbingan dan nasihat yang telah diberikan kepada penulis. Untuk nenekku tercinta dan untuk semua kakak-kakakku. 6. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu

berikan, serta staff Departemen Matematika : Pak Deny, Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Bu Susi, Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

7. Teman-teman Matematika angkatan 40 : Marisa (untuk 4 tahun persahabatan kita), Mika (teman seperjuanganku dalam suka dan duka), Vina (sahabat yang selalu membuatku ceria), Amie (tetap semangat), Achie, Ifni dan Tiwi (untuk bantuannya dalam persiapan seminar), Septi, Metha, Bedu, Rama, Mufti, Azis, Yudi, Dimas, Sawa, Elis, Nchie, Ulfa, Sriti, Marlin, Yuda, Uli, Walidah, Dwi, Demi, Gatha (atas semangatnya), Mita (untuk segala bantuan yang telah diberikan), Herni, Nisa, Prima, Aam, Lili, Manto, Mukafi, Ari, Jayu, Rusli, Berri, Anton, Ali, Abay, Fe, Yusuf, Putra (tetap semangat). Kalian telah membuat hari-hariku penuh warna. 8. Kakak-kakak kelasku Math’39, Math’38, Math’37, Math’36 dan seterusnya. Serta adik-adik

kelasku Math’41 dan Math’42.

9. Seluruh keluarga besar Wisma Blobo, terima kasih atas semua bantuan yang telah diberikan. 10.Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Terima kasih atas segalanya.

Harapan penulis adalah semoga karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya.

Bogor, Mei 2007

Indah Rosliyana

(17)

7

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 April 1985 sebagai anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Tahrim dan Ibu Maryana.

Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI.

(18)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

PENDAHULUAN

Latar Belakang... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 1

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

Fungsi Kerapatan Peluang... 2

Nilai Harapan... 2

Ragam dan Kovarian ... 2

Matriks ... 3

Asuransi dan Reasuransi ... 3

PEMBAHASAN Kontrak Reasuransi dengan Reinstatement ... 4

Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal... 5

Sifat dari Perencanaan Premi Optimal ... 8

Contoh ... 10

SIMPULAN... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 13

(19)

viii

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Saat ini, sudah menjadi suatu fakta bahwa perusahaan asuransi mempunyai modal yang terbatas. Dengan modal yang terbatas itu, sebuah perusahaan asuransi tidak leluasa untuk melakukan akseptasi terhadap risiko-risiko yang diterimanya. Hal ini disebabkan oleh adanya peraturan perundangan yang berisi bahwa perusahaan asuransi hanya diperkenankan mempunyai retensi sendiri sebesar 10% dari modal yang dimiliki.

Menjawab permasalahan di atas, reasuransi hadir untuk memberikan solusi atas kapasitas akseptasi terbatas yang dimiliki perusahaan asuransi. Reasuransi juga berperan sebagai proteksi otomatis pada perusahaan asuransi.

Secara prinsip, mekanisme reasuransi adalah sama dengan mekanisme asuransi. Semua prinsip dan prosedur yang berlaku pada asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah satunya adalah mengenai perencanaan premi.

Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan premi optimal untuk kontrak reasuransi

dengan reinstatement. Di dalam kontrak ini, premi reinstatement, yaitu jumlah yang harus dibayarkan ketika kerugian perusahaan reasuransi melebihi jumlah batas tertentu yang telah ditentukan, adalah konstanta.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Hess and Schmidt (2004) yang berjudul Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements.

Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. Mempelajari eksistensi sebuah

perencanaan premi yang

meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi.

2. Menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal ada, unik dan memenuhi prinsip premi bersih serta dapat dihitung dari momen pertama dan kedua fungsi kerugian reinsurer.

3. Mempelajari sifat perencanaan premi optimal.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.

Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.

Definisi 3 (Medan-σ )

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut :

1. ∅ ∈F ,

2. Jika A A1, 2,...∈F maka 1

i i

A

∞

=

∈F,

3. Jika A∈F maka Ac∈F.

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi

: [0,1]

P F→ pada

(

Ω,F

)

yang memenuhi : 1. P

( )

∅ =0,P

( )

Ω =1,

2. Jika A A1, 2,...∈F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai∩Aj = ∅ untuk setiap pasangan i≠ j, maka

( )

1 1

i i

P A P A

∞ ∞

= =

⎛ ⎞₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

.

(20)

2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 5 (Peubah Acak)

Misalkan Fadalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω →R dengan sifat

( )

{

ω∈ Ω:X ω ≤x

}

∈F untuk setiap x∈R. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari R.

Catatan :

Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 7 (Fungsi Sebaran)

Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A. Misalkan kejadian A= −∞

(

,x

]

⊂A, maka peluang dari kejadian A adalah

(

)

( )

( ) P

x x

p A = X≤x =F x .

Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.

(Hogg and Craig, 1995)

Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi fX

( )

x sehingga fungsi sebaran

( )

P

(

)

X

F x = X≤x dapat dinyatakan sebagai

( )

X X

F x f u du

∞ −∞

= ∫ ,

x∈R, dengan f R: →

[ ]

0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X.

Fungsi Kerapatan Peluang

Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang) Misalkan

(

Ω,F,P

)

adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p R: →

[ ]

0,1 yang diberikan oleh :

( )

(

)

x

p x =P X =x .

Nilai Harapan

Definisi 10 (Nilai Harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang px

( )

x , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan

[ ]

E X , adalah

[ ]

E X x

( )

x

xp x

=

∑

,

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

2. Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fx

( )

x . Nilai harapan dari X adalah

[ ]

( )

E X xf x dx

∞

−∞

=

∫

,

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg dan Craig, 1995)

Teorema 1

Beberapa sifat dari nilai harapan

1. Jika k suatu konstanta, maka

[ ]

E k =k.

2. Jika k suatu konstanta dan V V1, 2 adalah peubah acak, maka:

[

1 1 2 2

]

1

[ ]

1 2

[ ]

2

E k V +k V =k E V +k E V . Secara umum, jika k k1, 2,...,knadalah konstanta dan V V1, 2,...,Vnadalah peubah acak, maka

[

1 1 2 2 ... n n

]

E k V +k V + +k V

[ ]

1 1 2 2 ... n n

k E V k E V k E V

= + + + .

Bukti: lihat Hogg dan Craig (1995).

Definisi 11 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misalkan Φ( )x =E Y X( | =x). Maka ( )x

Φ disebut nilai harapan bersyarat dari Y jika diketahui X, dan dituliskan ( |E Y X).

Ragam dan Kovarian

Definisi 12 (Ragam)

Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai

Var X

( )

=E_⎣⎡

(

X−E X[ ]

)

2⎤_⎦ 2

(

[ ]

)

2

E X⎡ ⎤ E X

= _⎣ _⎦− .

(21)

3

Definisi 13 (Kovarian)

Misalkan Xdan Yadalah dua peubah acak dengan E X( )=µ1dan E Y

( )

=µ2, maka

(

1

)(

2

)

Cov( , )X Y =E⎡_⎣ X−µ Y−µ ⎤_⎦ =E XY( )−µ µ1 2,

disebut kovarian peubah acak Xdan Y. (Hogg dan Craig, 1995)

Matriks

Definisi 14 (Invers Matriks)

Suatu matriks A berukuran

n n

×

dikatakan taksingular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B sehingga

AB

=

BA

=

I

. Matriks B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A.

(Leon, 2001)

Definisi 15 (Transpos dari Suatu Matriks) Tranpos dari suatu matriks A berukuran

m n

×

adalah matriks B berukuran

n m

×

yang didefinisikan oleh :

ji ij

b

=

a

untuk

j

=

1,...,

n

dan

i

=

1,...,

m

. Transpos dari A dinotasikan dengan

A

T.

(Leon, 2001)

Definisi 16 (Matriks Simetris)

Suatu matriks A berukuran

n n

×

disebut simetris jika

A

T

=

A

.

(Leon, 2001)

Asuransi dan Reasuransi

Definisi 17 (Asuransi)

Asuransi atau pertanggungan adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana pihak tertanggung mengikat diri kepada penanggung, dengan membayar premi-premi asuransi untuk memberi penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung karena suatu peristiwa yang tidak pasti. Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses asuransi, yaitu:

1. Tertanggung, yaitu pihak yang mempunyai risiko atas harta benda dipertanggungkan.

2. Perantara asuransi, yaitu pihak yang memberikan jasa perantara dalam hal penutupan asuransi. Perantara ini bisa berupa agen asuransi yang bertindak

untuk dan atas nama perusahaan asuransi, atau bisa berupa broker asuransi yang bertindak untuk dan atas nama tertanggung.

3. Penanggung, yaitu pihak yang memberikan jaminan atas objek yang dipertanggungkan.

Terdapat beberapa fungsi dan peran asuransi, antara lain:

1. Transfer risiko, yaitu dengan membayar premi yang relatif kecil seseorang atau perusahaan dapat memindahkan ketidakpastian atas hidup dan harta bendanya (risiko) ke perusahaan asuransi. 2. Memberikan jaminan perlindungan dari

risiko-risiko kerugian yang diderita suatu pihak.

3. Meningkatkan efisiensi, karena tidak perlu secara khusus mengadakan pengamanan dan pengawasan untuk memberikan perlindungan yang memakan banyak tenaga, waktu dan biaya.

4. Dasar bagi pihak bank untuk memberikan kredit, karena bank memerlukan jaminan perlindungan atas agunan yang diberikan oleh peminjam uang.

(Noekman, 2004)

Definisi 18 (Reasuransi)

Perjanjian antara beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian risiko, untuk menghindarkan risiko yang terlalu besar.

Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses reasuransi, yaitu:

1. Tertanggung ulang, yaitu badan hukum/perusahaan yang memberikan pertanggungan atas risiko yang dimiliki oleh seorang tertanggung, atas imbalan jasa.

2. Perantara reasuransi, yaitu pihak-pihak yang bertindak untuk dan atas nama penanggung dalam hal mencarikan proteksi asuransi. Pihak perantara reasuransi ini tidak mempunyai tanggung jawab hukum atas risiko yang dilimpahkan oleh tertanggung kepada penanggung, maupun atas risiko yang dilimpahkan oleh penanggung kepada penanggung ulang.

3. Penanggung ulang, yaitu pihak-pihak yang memberikan pertanggungan ulang kepada pihak yang mengalihkan risiko kepadanya, atas dasar pembayaran jasa. Terdapat beberapa fungsi dan peran reasuransi, antara lain:

(22)

4

3. Menimbulkan rasa aman.

4. Memberikan perlindungan atas risiko katastropik (risiko yang terjadi di luar perkiraan dan menimbulkan kerugian yang sangat besar).

5. Melakukan penyebaran risiko. 6. Memenuhi peraturan perundangan.

(Noekman, 2004)

PEMBAHASAN

Kontrak reasuransi dengan reinstatement Misalkan bilangan real H∈

(

0,∞

)

dan peubah acak S:Ω →R dengan P⎡_⎣

{

0≤ ≤S H

}

⎤_⎦=1. S adalah peubah acak yang menyatakan kerugian total dari reinsurer danH adalah konstanta yang menyatakan batas atas liabilitas dari reinsurer.

Kerugian Reasuransi

Asumsikan bahwa kerugian total X' yang ditanggung oleh sebuah perusahaan asuransi dapat direpresentasikan sebagai berikut :

'

1

' '

N

j

X Yj

=

∑

(1)

dimana: X'= total klaim '

N =banyaknya orang yang mengajukan klaim

Yj'=besarnya klaim dari tertanggung ke-j, dengan

1,..., ' j= N .

Diasumsikan pula barisan

{ }

Yj' _{j N}_∈ _' adalah bebas stokastik identik dan bebas terhadap

'

N . Hal ini berarti pasangan

(

N',

{ }

Yj' _{j N}_∈ _'

)

adalah model kolektif untuk kerugian total

'

X . Kerugian total reinsurer dalam kontrak reasuransi dengan prioritas d∈

(

0,∞

)

dan nilai h∈

(

0,∞

)

, dapat dihitung dari:

(

)

{

}

'

1

min ' ,

N

j

X Yj d + h

=

∑

− (2)

dimana d adalah batas maksimum klaim yang akan dibayarkan perusahaan asuransi terhadap pihak tertanggung dan h adalah batas maksimum yang dapat dibayarkan oleh perusahaan reasuransi terhadap klaim yang diajukan.

Peubah acak dari model bersama untuk kerugian tertanggung tidak dapat diamati oleh perusahaan reasuransi, tetapi telah ditunjukkan oleh Hess [2003] bahwa model kolektif

(

N',

{ }

Yj' _{j N}_∈

)

dapat

ditransformasikan ke dalam model kolektif

{ }

(

N Yj, _j_∈Ν

)

yaitu seperti kerugian reinsurer yang dapat direpresentasikan sebagai :

{

}

1

min ,

N

j

X Yj d h

=

∑

− (3)

dengan:

X = kerugian reinsurer

N=jumlah klaim yang melebihi prioritas Yj=besarnya klaim ke-

j

yang melebihi

prioritas.

Jika kontrak reasuransi merupakan prioritas total D∈

[

0,∞

)

dan batas maksimum total H∈

(

0,∞

)

, maka kerugian reinsurer menjadi:

(

)

{

}

min ,

S= X−D + H (4) dimana:

(

)

, jika

(

)

0

0, jika 0

X D X D

X D

+ ⎧ −⎪ − ≥

− _{= ⎨}

− < ⎪⎩

Peubah acak S memenuhi

{

0

}

1

P⎡_⎣ ≤ ≤S H ⎤_⎦= .

Kemudian diasumsikan kontrak reasuransi pada Sdengan n∈N0 reinstatement di dalam rentang

[

0,H

]

dibagi ke dalam n+1 bagian

[ ]

0,h ,

(

h h, 2

]

,...,

(

nh H,

]

dengan

1

H h

n

=

+ . (5) Premi awal π ∈0 R dibayarkan pada awal kontrak yaitu pada rentang

[ ]

0,h , dan premi reinstatement π ∈k R dibayarkan ketika kerugian S melebihi kh dengan k∈

{

1,...,n

}

.

Setiap barisan finiteπ=

{ }

πk k∈_{_0,1,...,n_}⊆R menjadi perencanaan premi untuk kontrak reasuransi dengan n-reinstatement.

(23)

5

{

}

(

)

{

}

{

}

0 , 0

1 , 1,..., k

P S h k

P kh S k h k n α _{= ⎨}⎧⎪ ⎡⎣ ≤ ≤ ⎤⎦ =

⎡ < ≤ + ⎤ ∈

⎪ ⎣ ⎦

⎩

(6)

[ ]

0,1 k

α ∈ ,∀ ∈k

{

0,1,...,n

}

dan memenuhi n

k k=0

1 α =

∑

. (7)

Kerugian Reasuransi saat D=0

Pada kasus D=0, kerugian reinsurer dapat ditulis sebagai:

{ }

{

}

0 1

min min , ,

m

N m

m j

S χ Yj d h H

∞ = = = ⎧ ⎫ = ⎨ − ⎬ ⎩ ⎭

∑

(8)

dimana: _{ _} 1, jika

0, jika N m N m N m χ ₌ _{= ⎨}⎧ = ≠ ⎩

Jika sekurang-kurangnya terdapat m-klaim yang melebihi prioritas dan jika klaim ke-m melebihi prioritas seperti :

{

}

{

}

1

1 1

min , min ,

m m

j j

Yj d h kh Yj d h

−

= =

− ≤ < −

∑

(9)

maka premi reinstatement πkharus dibayar. Misalnya Π adalah kumpulan dari semua perencanaan premi untuk kontrak reasuransi dengan n-reinstatement. Untuk rencana premi π =

{ }

πk k∈_{_0,1,...,n_}∈ Π, premi total

reinstatement didefinisikan sebagai peubah

acak

( )

0 { } 1 n

k kh S k

δ π π π χ _< =

= +

∑

. (10)

Nilai harapan dari kuadrat error penduga dari π didefinisikan sebagai :

E⎡_⎣

(

δ π

( )

−S

)

2⎤_⎦. (11) Rencana premi π=

{ }

πk k∈_{_0,1,...,n_}∈ Π dikatakan tak bias jika:

( )

[ ]

E⎡_⎣δ π ⎤_⎦=E S , (12) tak negatif jika π ≥k 0,∀ ∈k

{

0,1,...,n

}

, dan optimal jika π mengakibatkan

( )

(

)

2

E⎡_⎣δ π −S ⎤_⎦ minimum.

Pada pembahasan selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa terdapat perencanaan premi unik

{ }

_{ _}

0,1,..., k _k _n

π∗ π ∗ ∈

= ∈ Π yang

meminimumkan E⎡_⎣

(

δ π

( )

−S

)

2⎤_⎦ , bersifat tak bias dan tak negatif.

Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal

Untuk semua perencanaan premi

{ }

k k_{0,1,...,n_}

π= π _∈ , premi total dapat direpresentasikan sebagai berikut:

( )

0 { } 1

n

k kh S k

δ π π π χ _< =

= +

∑

. (13)

Terlihat bahwa δ π

( )

merupakan penjumlahan linear dari χ_{_{h S}_<_},...,χ_{_{hn S}_<_} di mana: { } 1, jika 0, jika kh S kh S kh S χ _< _{= ⎨}⎧ <

≥

⎩ (14) Dengan demikian meminimumkan

( )

(

)

2

E⎡_⎣δ π −S ⎤_⎦ terhadap semua perencanaan premi π ∈Π dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Masalah kredibilitas sangat penting bagi suatu perusahaan reasuransi, karena hal ini akan mempengaruhi seberapa besar tingkat kepercayaan tertanggung terhadap perusahaan tersebut. Kredibilitas ini sangat erat kaitannya dengan kemampuan suatu perusahaan reasuransi dalam menanggung kerugian-kerugian yang dialami oleh pihak tertanggung.

Telah diketahui bahwa masalah kredibilitas mempunyai solusi unik. Jika matriks koragam X dari vektor acak dibentuk oleh peubah acak penjelas yang memiliki invers, maka solusinya memiliki representasi unik sebagai penjumlahan fungsi linear dari peubah acak penjelas, dan jika invers dari matriks koragam X diketahui, maka formula eksplisit dapat diberikan untuk koefisien pada solusi. Didefinisikan : { } { } . . . h S nh S χ χ < < ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_⎢ _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Χ (15)

dengan

[ ]

Χ E S µ = = µ E

dan Σ=Var[X] ρ= Cov[ , ]XS 2

Var[ ]S

σ = .

(24)

6

Untuk k∈

{

1,...,n

}

, didefinisikan matriks

nxn

∈

k R sebagai berikut :

( )

: , n n k i j

b ×

= ∈

k

B R (16) dengan :

: ,

1, jika , 0, selainnya

k i j

i j k b = ⎨⎧ ≤

⎩

Dengan demikian akan diperoleh matriks sebagai berikut:

1 0 0 0

0 0 0 0

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 B ,

1 1 0 0

0 0 0 0

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 B ,…,

1 1 1 1

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n B dan didefinisikan 1 n k k α =

=

∑

B_k. (17)

Dengan demikian akan didapatkan matriks A :

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 1

2 3 4 2 3 4 3 4 5 4 5 6 1

3 4 5 3 4 5 3 4 5 4 5 6 1

4 5 6

n n n n n n n

α α α

α α α α

α

α α α

α α α α

α

α α α

α α α α

α

α α α

α

− − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + +

A 4 5 6 4 5 6 4 5 6 1

1 1 1 1 1

n n n n n n n

n n n n n n n n n n n

n n n n n n

α α α

α α α α

α

α α α

α α

α α α

α

− − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{+ + + +} _{+ + + +} _{+ + + +} ₊ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Kemudian akan didefinisikan matriks n n×

∈

G R oleh

,

, jika 1

0, selainnya n k k i i j j g =α

⎧ ₌

⎪ = ⎨ ⎪⎩

∑

(18)

Sehingga didapatkan matriks sebagai berikut:

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5 6

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

n n n n n n n α α α α α α α α α α α α α α α α α α α − + + + + ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ₊ ₊ ₊ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + + + + ⎟ ⎜ ⎟ =_⎜ + + + + _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G

Selanjutnya hubungan antara Σ, A dan G akan ditunjukkan dalam Lema sebagai berikut:

Lema 1

Matriks Σmemenuhi : Σ= - GG' (19) Bukti: lihat Lampiran.

Untuk k∈

{

0,1,...,n

}

, didefinisikan matriks _∈ n n×

k

C R :

( ) ( ) (

{

)

}

( ) (

{

) (

)

}

: ,

1, jika , , , 1, 1

1, jika , , 1 , 1, 0, selainnya

k i j

i j k k k k

c i j k k k k

⎧ ∈ + + ⎪⎪ = −⎨ ∈ + + ⎪ ⎪⎩ (20) Kemudian didapatkan C =0 1 (21)

1 0 0 0

0 0 0 0

(25)

7

Lema 2

Matriks A adalah invertible dan memenuhi : 1 1 n k k α − = =

∑

-1 k

C (22)

Bukti:

Untuk k∈

{

1,...,n

}

, matriks n n k × ∈ D R didefinisikan: : , 1, jika 1, jika 1 0, selainnya k i j

i k j

d i k j

≤ = ⎧

⎪

= −⎨ < + = ⎪

⎩

(23)

1 1 0 0

0 0 0 0

− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 D ,

0 1 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

− ⎛ ⎞ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 D ,…,

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

− ⎛ ⎞ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ n D Kemudian persamaan: , jika , selainnya k k l

k=l

⎧ = ⎨ ⎩ D B C

O (24)

∀ k l, ∈

{

1,...,n

}

.

Dengan demikian, berdasarkan persamaan (17) akan diperoleh:

1 1 1 n n k k k k α α − = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜_⎝

∑

⎟⎜_⎠⎝

∑

⎟_⎠ -1 k k AA C

(

1

)

(

)

1 n k k k α α − =

=

∑

B Ck k

1 n

k=

=

∑

D_k

= . ■

Lema 3

Matriks Σadalah invertible dan memenuhi: 1 0 n k k k α − = =

∑

-1

Σ C (25)

Bukti:

Ambil G = 1 dan 1 adalah simetris dan

idempotent.

Dari Lema 1 didapatkan: Σ= - GG'

= -

(

1

)(

1

)

'

= A - (AB )(1 1' ') = A - AB1 1 = - 1 = - G

=

(

- G

)

. ■ Dengan menggunakan Lema 2 dan persamaan

(

)

2

0 1 α

= −

G G, diperoleh:

(

)

1 1 1

0

0 1

n n

k k k k

k k

α− α− α −

= =

⎛ ⎞₌ ⎛ ₊ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝ 1

∑

⎠

Σ C - G C

(

)

(

1

)

0

α− ₊ -1 1

= - G A

(

)

(

1

)

0

α−

1

= - G A + I

(

)

(

-1

)

0

α

= - G G + I

-1 -1

0 0

α α

= 2+

G - G - G

-1

(

)

(

)

0

α 2

= G - G + - G -1

(

)

(

)

0 0

α α

= G - 1 - G + - G =α0-1

(

α0G +

) (

- G

)

= G +

(

- G

)

= . ■

Lema ini menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal memiliki solusi yang unik.

Teorema 2

Terdapat perencanaan premi

{ }

k k_{0,1,...,n_}

π∗ π∗ ∈

= ∈Π yang meminimumkan

( )

(

)

2

E⎡_⎣δ π −S ⎤_⎦ dan premi total dari perencanaan premi π∗ yang memenuhi:

( )

(

)

δ π∗ _{= +}µ _ρ -1

'Σ Χ- µ (26) dan

( )

(

)

2

E⎡_⎢δ π∗ −S ⎤_⎥=σ +

⎣ ⎦

-1

ρ'Σ ρ . (27)

Secara khusus, premi awal π0

∗

memenuhi: 0

π∗_{= −}µ -1

(26)

8

Dan premi reinstatement π1,...,πn

∗ ∗ memenuhi: 1 . . . n π π ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ =} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ -1

Σ ρ. (29)

Perencanaan premi π∗ adalah tak bias. Bukti lihat Hess and Schmidt [2001].

Sifat dari Perencanaan Premi Optimal Teorema 2 memperlihatkan eksistensi dan keunikan dari perencanaan premi optimal yang sama baiknya dengan formula eksplisit untuk premi awal dan premi reinstatement dari rencana premi ini, akan ditunjukkan bahwa perencanaan premi optimal adalah tak negatif.

Untuk k∈

{

0,1,..., ,n n+1

}

, didefinisikan:

{ }

{

}

{

}

cov , , jika 1,...,

0, jika 0, 1

kh S k

S k n

k n

χ

ρ ⎧⎪ ⎡⎣ < ⎤⎦ ∈

= ⎨ ∈ + ⎪⎩ (30) dan 1 . . . n ρ ρ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

ρ . (31)

Pada bagian ini akan diperoleh sebuah formula pelengkap untuk perencanaan premi optimal.

Teorema 3

Perencanaan premi optimal

{ }

_{ _} 0,1,..., k _k _n

π∗ π∗ ∈ = memenuhi:

{

}

1 0 1 1 1

, jika 0

, jika 1,..., k

k k k k

k k k k n ρ µ α π ρ ρ ρ ρ α α ∗ + − − ⎧ − = ⎪⎪ = ⎨ ₋ ₋ ⎪ ₋ _∈ ⎪⎩ (32) Bukti:

{

0,1,...,

}

k n

∀ ∈ , kita memiliki :

(

1

)

(

1

)

1 k = ρk−ρk+ k− ρk−ρk+ k+

C ρ c c (33)

dengan

{

}

{

}

, jika 1,..., :

0, jika 0, 1

k k k n k n ⎧ ∈ ⎪ = ⎨ _∈ ₊ ⎪⎩ e c

dimana ek adalah unit vektor ke-k dari n R . Didefinisikan: 1 . . . n π π ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ *

π . (34)

Dengan menggunakan Teorema 2 dan Lema 3, diperoleh:

_π*=_{Σ ρ}-1

(

)

(

)

(

)

1 0 1

1 1 1

0 1 1 1 1 . n k k k n

k k k k k k k

k n

k k k k

k

k k k

α α ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ α α − = − + + + = + − = − = = − − − ⎛ − − ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠

∑

Cρ c c e

Persamaan * k

π terbukti untuk k∈

{

1,...,n

}

. Selanjutnya berdasarkan persamaan (41), kita mempunyai :

1 n n

j k k j k

α = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∑

µ e . (35)

Dengan menggunakan Teorema 2 kembali, diperoleh:

* 0

π = −µ ' -1

µΣ ρ = −µ ' * µπ 1 1 1 1 n n

k k k k

j

k j k k k

ρ ρ ρ ρ µ α α + α− = = − ⎛ ⎞⎛ − − ⎞ = − _⎜ _⎟⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

1 1

1 1 1

j n

k k k k

j

j k k k

ρ ρ ρ ρ µ α α + α− = = − ⎛ − − ⎞ = − ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∑

1 0 1

1 0 n j j j j j ρ ρ ρ ρ µ α α α + = ⎛ − − ⎞ = − ⎜_⎜ − ⎟_⎟ ⎝ ⎠

∑

1 1 1 0 n j j j j j ρ ρ ρ µ α α α + = ⎛ − ⎞ = − ⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠

∑

1 1 1 0 n j j j j α ρ µ ρ ρ α + = ⎛ ⎞ = − ⎜ − + ⎟ ⎝ ⎠

∑

1 1 1 0 n j j ρ µ ρ α α = ⎛ ⎞ = − _{+ ⎜} _⎟ ⎝

∑

⎠

(

)

1

1 0 0 1 ρ µ ρ α α ⎛ ⎞ = −_⎜ + − _⎟ ⎝ ⎠ 1 0 ρ µ α = − . ■

Persamaan π0

∗_{terbukti untuk}

0

k= .

(27)

9

dan menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal adalah tak negatif.

Teorema 4

Perencanaan premi optimal

{ }

k k_{0,1,...,n_}

π∗ π∗ ∈ = memenuhi:

{

}

( )

{

}

( )

{

}

{

}

| 0 , jika 0

| 1

| 1 , jika 1,..., . k

E S S h k E S kh S k h

E S k h S kh k n π∗

⎧ ⎡_⎣ ≤ ≤ ⎤_⎦ = ⎪⎪ _⎡ _{< ≤ +} _⎤

=⎨ ⎣ ⎦

⎪

⎡ ⎤

− − < ≤ ∈

⎪ ⎣ ⎦

⎩

(36) Secara khusus,perencanaan premi optimal adalah tak negatif.

Bukti:

{

1,...,

}

k n

∀ ∈ , kita mempunyai: E S_⎣⎡ |

{

kh< ≤S

(

k+1

)

h

}

⎤_⎦

( ) { }

(

)

{

}

1 1 kh S k h

E S

P kh S k h

χ _{< ≤ +}

⎡ ⎤

⎣ ⎦

=

⎡ < ≤ + ⎤

⎣ ⎦

{ } {( ) }

(

1

)

1

kh S k h S

k

E Sχ E Sχ α ⎡ < ⎤ ⎡ + < ⎤

= _⎣ _⎦− _⎣ _⎦

1 1

1 n n

k j k j

j k j k

k ρ µ α ρ µ α α + = = + ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ = ⎜_⎜⎜ + ⎟ ⎜− + ⎟⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

∑

⎠

(

)

(

1

)

1

k k k

k ρ ρ µα α + = − + 1 k k k ρ ρ µ α + − = + dan

E S⎡_⎣ |

{

(

k−1

)

h< ≤S kh

}

⎤_⎦ ( ) { }

(

)

{

}

1 1 k h S kh

E S

P k h S kh

χ ₋ _{< ≤}

⎡ ⎤

⎣ ⎦

=

⎡ − < ≤ ⎤

⎣ ⎦

( )

{ } { }

(

1

)

1 1

kh S k h S

k

E Sχ E Sχ

α − < <

− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎣ _⎦_{− ⎣} _⎦ 1 1 1

1 n n

k j k j

j k j k

k ρ µ α ρ µ α α − = − = − ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ = ⎜_⎜⎜ + ⎟ ⎜− + ⎟⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

∑

⎠

(

)

(

1 1

)

1 1

k k k

k ρ ρ µα α − − − = − + 1 1 k k k ρ ρ µ α− − − = + .

Sehingga didapatkan :

* k

π

(

)

{

}

{

(

)

}

| 1 | 1

E S kh S⎡ k h⎤ E S⎡ k h S kh⎤

= _⎣ < ≤ + _⎦− _⎣ − < ≤ _⎦

1 1

1

k k k k

k k ρ ρ ρ ρ µ µ α + α− ₋ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ =⎜ + ⎟ ⎜− + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1

k k k k

k k

ρ ρ ρ ρ

α + α− −

− −

= − , untuk k∈

{

1,...,n

}

■ Dan dengan argumen serupa, dihasilkan: E S⎡_⎣ | 0

{

≤ ≤S h

}

⎤_⎦

{ }

{

}

0 0 S h E S

P S h

χ _{≤ ≤} ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ≤ ≤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { } { }

(

0

)

1

S h S

k

E Sχ E Sχ α ⎡ < ⎤ ⎡ < ⎤

= _⎣ _⎦− _⎣ _⎦

1

0 1

1 n n

j j j j k µ α ρ µ α α = = ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ = ⎜_⎜⎜ ⎟ ⎜− + ⎟⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

∑

⎠

(

0 1

)

0

1 _µα _ρ α = − 1 0 ρ µ α

= − , untuk k=0. ■

Selanjutnya, untuk premi dari perencanaan premi optimal mengikuti Teorema 3. Sebagai tambahan, kita mempunyai :

(

)

{

}

| 1

E S⎡_⎣ kh< ≤S k+ h ⎤_⎦≥kh

(

)

{

}

| 1

E S⎡ k h S kh ⎤

≥ _⎣ − < ≤ _⎦ untuk semua

{

1,...,

}

k∈ n . Kita juga mempunyai

{

}

| 0 0

E S⎡_⎣ ≤ ≤S h ⎤_⎦≥ .

Sehingga secara tidak langsung perencanaan premi optimal ini adalah tak negatif.

Teorema 5

Nilai harapan dari kuadrat error penduga dari premi total pada perencanaan premi optimal memenuhi persamaan :

( )

(

)

2

(

)

₂

2 1

1 0

n

k k k k

E δ π∗ S σ α − ρ ρ + =

⎡ ₋ ⎤₌ ₊ ₋

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

(37) dan variannya memenuhi persamaan:

( )

1

(

)

2

1 0

n

k k k

k

Var δ π∗ α − ρ ρ ₊

=

⎡ _{⎤ =} ₋

⎣ ⎦

∑

. (38)

Bukti:

Untuk setiap k∈

{

0,1,...,n

}

, didefinisikan: 2

2

k = k

C C (39) dan

C_kρ=

(

ρ_k−ρ_k₊₁

)

c_k−

(

ρ_k−ρ_k₊₁

)

c_k₊₁ (seperti ditunjukkan dalam bukti Teorema 3), oleh karena itu:

(28)

10

k

'

ρCρ

2 1 2 k = _ρ' C ρ 1 2 k k

= ρ'C Cρ

(

) (

)

1 '

2 k k

= Cρ Cρ

(

)

(

)

(

)

'

1 1 1

1

2 ρk ρk+ k ρk ρk+ k+

= − c − − c

(

ρk−ρk+1

)

ck−

(

ρk−ρk+1

)

ck+1

)

(

)(

)

(

'

)

(

)(

)

1 1 1 1

1

2 ρ ρk k+ k k+ ρ ρk k+ k k+

= − c −c − c −c

(

) (

2

) (

'

)

1 1 1

1

2 ρk ρk+ k k+ k k+

= − c −c c −c

(

) (

2

) (

'

)

1 1 1

1

2 ρk ρk+ k k+ k k+

= − e −e e −e

(

)

2

(

' ' ' '

)

1 1 1 1 1

1

2 ρ ρk k+ k k k k+ k+ k k+ k+

= − e e −e e −e e +e e

(

) (

2

)

1 1

1 0 0 1 2 ρk ρk+

= − − − +

(

)

2 1 k k

ρ ρ +

= − .

Dari Teorema 2 dan Lema 3 kita peroleh :

( )

(

)

2

E⎡_⎢δ π∗ −S ⎤_⎥=σ +

⎣ ⎦

' -1 ρ Σ ρ

(

)

2 ' 1

0 2 2 1 1 0 n k k k n

k k k

k σ α σ α ρ ρ − = − + = ⎛ ⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ = + −

∑

ρ C ρ

Kemudian akan ditunjukkan

( )

₁

(

)

2

1 0

n

k k k

k

Var δ π∗ α − ρ ρ ₊

=

⎡ _{⎤ =} ₋

⎣ ⎦

∑

.

Dengan menggunakan salah satu persamaan (15) dan Teorema 2

(

( )

)

2

E⎡_⎢δ π∗ −S ⎤_⎥

⎣ ⎦

=E_⎜⎛δ π

( )

∗ 2⎞_⎟+E S

( )

2 −2E

(

δ π

( )

∗

)

E S

( )

⎝ ⎠

=Var⎡_⎣δ π

( )

∗ ⎤_⎦+Var S

[ ]

−0

1

(

1

)

2 2

0

n

k k k

k

α − ρ ρ σ

+ =

=

∑

− + .

Maka terbukti bahwa varian dari premi total pada perencanaan premi optimal memenuhi persamaan (38).

Contoh

Untuk ilustrasi secara umum, di asumsikan kerugian pengasuransi mempunyai distribusi eksponensial ‘truncated’.

Contoh (Truncated Exponential Distribution)

Anggap peubah acak Xdengan:

{

}

0

0, jika 0

, jika 0 x

t

x P X x

eαdt x α − ≤ ⎧ ⎪ ≤ = ⎡ _{⎤ ⎨}

⎣ ⎦ _>

⎪ ⎩

∫

untuk beberapa parameter α∈

(

0,∞

)

, yang berarti bahwa distribusi Xadalah sebaran eksponensial dengan parameter α . Didefinisikan:

{

}

min , S= X H

Kemudian premi bersih untuk S adalah:

E S

[ ]

0

.

H

t H

t eα −αdt H e−α

=

∫

+

0

1

| .

t t H H

teα e α H eα α

− − −

= − − +

1 1

0 .

H H H

Heα eα H eα

α α

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −_⎜ − _{⎟ ⎜}− − _⎟+

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 H 1

eα α − α = − +

(

)

1 1 H eα α − = − .

Besarnya peluang premi reinstatement dibayarkan adalah :

{

}

0

h t

P⎡_⎣ ≤ ≤S h ⎤_⎦=

∫

αe−αdt

0 h

t

eαdt α − =

∫

0 1 | t h eα α α − ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ |0 t h

e−α

= −

(

)

0 h

e−α e−

= − − −

1= −_e−αh_. P_⎣⎡

{

kh< ≤S

(

k+1

)

h

}

⎤_⎦

(k 1)h t

kh

e αdt

α +

−

=

∫

(k1)h t

kh

eαdt

α + −

=

∫

( 1) 1

| t k h

(29)

11

( 1)

|

t k h kh

e−α +

= −

(

)

(k 1)h (kh)

e−α + e−α

= − − − (kh) (k1)h

e−α e−α +

= − .

P⎡_⎣

{

nh< ≤S H

}

⎤_⎦ H

t t

nh H

e αdt e αdt α − ∞α −

=

∫

+

∫

H

t t

nh H

eαdt eαdt

α − α∞ −

=

∫

+

∫

1 1

| |

t H t

nh H

eα eα

α α α − α − ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟+ _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

| |

t H t

nh H

e−α e−α ∞

= − + −

(

)

( )

H nh H

e−α e−α e− ∞α e−α

= − − − − +

nh

e−α

= . Kemudian akan dicari besarnya premi yang harus dibayarkan :

{0 } 0 h

t S h

E S⎡_⎣ χ _{≤ ≤} ⎤ =_⎦

∫

t eα −αdt

0 h

t t

te−α e−αdt = − +

∫

0

1 |

t t h

teα eα α

− −

= − −

h 1 h 0 1 heα eα

α α

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −_⎜ − _{⎟ ⎜}− − _⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

h 1 h 1

heα eα

α α

− −

= − − +

1

(

1 h

)

h

e α heα

α − −

= − − .

E S⎡_⎣ χ_{_{kh S}_{< ≤ +}₍_k₁₎_h_}⎤_⎦

(k 1)h t

kh

t eα αdt

+ −

=

∫

(k1)h

t t

kh

teα e αdt