Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen

(1)

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK

SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN

PEPI RAMDANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

PEPI RAMDANI. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Kuadratik Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Pada karya ilmiah ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen. Diperhatikan keadaan terburuk, hanya terdapat realisasi tunggal dari proses Poisson dengan fungsi intensitas yang terdiri atas komponen periodik dikalikan dengan komponen tren kuadratik yang diamati pada interval [0,n]. Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik adalah diketahui.

Penduga komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut telah disusun dan Mean Square Error (MSE)penduga telah dibuktikan konvergen menuju nol untuk n . Selain itu, juga telah diformulasikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean Square Error (MSE) dari penduga yang dikaji. Ditentukan juga bandwidthoptimal asimtotik bagi penduga tersebut.

(3)

ABSTRACT

PEPI RAMDANI. Estimation of Periodic Component of the Intensity Function of Form Periodic Function Multiplied by Quadratic Trend of a Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKUand RETNO BUDIARTI.

This manuscript is concerned with estimation of periodic component of the intensity function of form periodic function multiplied by quadratic trend of a non-homogeneous Poisson process. It is considered the worst case, where there is only a single realization of a Poisson process with intensity function of form periodic component multiplied by a quadratic trend were observed in the interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known.

An estimator of the periodic component of the intensity function has been formulated and its Mean Square Error (MSE) has been proved converges to zero as n . In addition, asymptotic approximations to the bias, variance, and the Mean Square Error (MSE) of the estimator have been formulated. An asymptotically optimal bandwidth for this estimator is also determined.

(4)

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK

SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN

PEPI RAMDANI

G54070046

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk

Fungsi Periodik Kali Tren Kuadratik Suatu Proses Poisson

Non-Homogen

Nama

: Pepi Ramdani

NRP

: G54070046

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

Ir. Retno Budiarti, MS.

NIP. 19620305 198703 1 001

NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

2. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, dan motivasinya).

3. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji (terimakasih atas semua ilmu dan sarannya).

4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).

5. Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono, Mas Heri.

6. Keluargaku tercinta: bapak dan ibu (terima kasih atas semua doa, dukungan, dan kasih sayangnya), Kakakku Novi, dan Adikku Rini.

7. Ibu Ayi (terima kasih atas doa dan motivasinya). 8. Teman sebimbingan: Wenti, Anis, Tita, dan Nadiroh.

9. Teman-teman Math 44: Ruhiyat, Devi, Lugina, Dian, Solihudin, Puying, Ipul, Endro, Na’im, Dika, dan teman-teman Math 44 lainnya (Selamat berjuang teman-temanku). 10. Kakak-kakak 44: Ka Apri, Ka Agung, Ka Ace, Ka Wira, Ka Nanu, dan kakak-kakak

Math 43 lainnya.

11. Teman-teman TPB: Samsi, Ari, dan Eno.

12. Teman-teman Pondok Handayani: Riski, Ganjar, Mas Wisnu, Mas Rahmat, Pa Sem, Pa Urim, dan Dian (terima kasih atas doa dan motivasinya).

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Maret 2011

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 22 April 1989 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Aep Saepudin dan Mimin.

Tahun 2001 penulis lulus dari SDN Wado 1. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 1 Wado. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 1 Malangbong ( sekarang SMAN 9 Garut ) dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Maatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI... vii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang... 1

1.2. Tujuan ... 1

II. LANDASAN TEORI ... 1

2.1. Ruang Contoh , Kejadian, dan Peluang ... 1

2.2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

2.3. Momen, Nilai Harapan, dan Ragam... 2

2.4. Kekonsistenan Penduga ... 3

2.5. Proses Stokastik ... 4

2.6. Proses Poisson ... 4

2.7. Beberapa Definisi dan Lema Teknis ... 5

III. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 6

3.1. Perumusan Masalah ... 6

3.2. Perumusan Penduga ... 6

3.3. Kekonvergenan MSEPenduga... 7

3.4. Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSEPenduga... 10

3.5. Penentuan BandwidthOptimal Asimtotik... 12

IV. KESIMPULAN... 13

DAFTAR PUSTAKA ... 14

(9)

viii

DAFTAR LAMPIRAN

(10)

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Terdapat banyak fenomena yang terjadi dalam kehidupan sehari–hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Model semacam ini menggunakan aturan-aturan peluang untuk menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di masa yang akan datang. Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari–hari. Fenomena sederhana misalnya, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon dapat dimodelkan dengan proses stokastik.

Proses stokastik terdiri atas proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya dibatasi pada proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik.

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan tersebut, fungsi intensitas lokal 

 

s

menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s.

Salah satu contoh penerapan proses Poisson periodik adalah proses tersebut dapat digunakan untuk memprediksi proses kedatangan pelanggan untuk hari berikutnya. Namun, model periodik untuk jangka panjang pada banyak kasus tidak relevan sehingga perlu mengakomodasi kehadiran suatu tren. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik. Sehingga karya ilmiah ini mempelajari penduga komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen.

1.2. Tujuan

Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk:

(i) Menentukan perumusan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen.

(ii) Membuktikan kekonsistenan penduga yang dikaji.

(iii) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga.

(iv) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga.

(v) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi MSEpenduga.

(vi) Menentukan bandwidth optimal dari penduga.

II. LANDASAN TEORI

2.1. Ruang Contoh , Kejadian, dan Peluang

Suatu kejadian yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat, tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.

Definisi 1 (Ruang Contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω.

(Grimmet and Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Definisi 3 (Kejadian Lepas)

Kejadian Adan Bdisebut kejadian lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

 

 .

(Grimmet and Stirzaker 1992) Definisi 4 (Medan-σ)

Medan- adalah suatu himpunan F _yang

anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut:

1. Ø∈F_.

2. Jika A∈F_{, maka} c

A ∈F_.

3. Jika A A1, 2,  ∈F, maka 1

i i

A 





∈F_.

(11)

2

Definisi 5 (Ukuran Peluang)

Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan F _{adalah medan-}σ pada Ω.

Suatu fungsi Pyang memetakan unsur – unsur

F ke himpunan bilangan nyata , atau P:F _{disebut ukuran peluang jika:}

1. P tak negatif, yaitu untuk setiap A ∈F, P(A)≥0.

2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika

1, 2,

A A ∈F _denganA_jA_k  ,

jk, maka

 

1 1

.

n n

A A

 

 

 _

 

 



P



P

3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1.

Pasangan (Ω, F_,_{P) disebut ruang ukuran}

peluang atau ruang probabilitas.

(Hogg etal. 2005) Definisi 6 (Kejadian Saling Bebas)

Kejadian Adan Bdikatakan saling bebas jika:

P(A∩B)=P(A)P(B).

Secara umum, himpunan kejadian



A i_i; I



dikatakan saling bebas jika:

 

i i

i J i J

A A

 

 _

 

 



P



P

untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmet and Stirzaker 1992) 2.2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah Acak)

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω∈Ω ke satu dan hanya satu bilangan real X(ω) disebut peubah acak.

Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A



_{x x}_; _X

 

 _,  



_.

(Hogg etal. 2005) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil. Definisi 8 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.

(Hogg etal. 2005)

Definisi 9 (Fungsi Sebaran)

Misalkan Xadalah peubah acak dengan ruang

A_{. Misalkan kejadian} A 



,X



A_,

maka peluang dari kejadian Aadalah



X x



F_X

 

x . P

Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah

acak X.

(Hogg etal. 2005) Definisi 10 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p:

 

0,1 yang diberikan oleh :

 





.

X

p x P Xx

(Hogg etal. 2005) Definisi 11 (Peubah Acak Poisson)

Suatu peubah acak X disebut peubah acak

Poisson dengan parameter λ, λ > 0 jika fungsi

massa peluangnya diberikan oleh:

 

!

k X

p k e

k  

 , untuk k0,1,.

(Ross 2007) Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut–turut 1 dan 2.

Maka X + Ymemiliki sebaran Poisson dengan parameter  1 2.

(Taylor and Karlin 1984) Bukti: lihat Lampiran1.

2.3. Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 12 (Nilai Harapan)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pX

 

x . Nilai

harapan dari X, dinotasikan dengan E

 

X , adalah

 

X 



xpX

 

x E

jika jumlah di atas konvergen mutlak.

(Hogg etal. 2005) Definisi 13 (Ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pX

 

x dan

nilai harapan E

 

X . Ragam dari X, dinotasikan dengan Var X

 

atau 2

X

(12)

3

 









 





 

2 2

2

= .

X

X x

X X

x X p x

  





E E

E

(Hogg etal. 2005) Definisi 14 (Momen ke–k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau mk dari peubah acak X

adalah

 

k k

m E X .

(Hogg etal. 2005) Definisi 15 (Momen Pusat ke–k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-katau k dari peubah acak X

adalah







1



.

k

k X m

 E 

(Hogg etal. 2005) Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak Xdengan nilai harapannya disebut ragam atau variance dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Definisi 16 (Fungsi Indikator)

Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi

 

0,1

A  

I , yang diberikan oleh :

 

1, jika A

0, jika A.

A

 

  

  _

 I

(Grimmet and Stirzaker 1992) Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut :

 

A

A

EI P .

2.4. Kekonsistenan Penduga

Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak,

n

X X untuk n .

Definisi 17 (Kekonvergenan dalam Peluang)

Misalkan X X X, 1, 2, adalah barisan peubah

acak pada suatu ruang peluang (Ω, F_,_P).

Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen

dalam peluang ke X, dinotasikan P , n

X X

jika untuk setiap 0 berlaku



XnX 



0

P , untuk n .

(Grimmet and Stirzaker 1992) Definisi 18 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg etal. 2005) Definisi 19 (Penduga)

Misalkan X X1, 2,,Xn adalah contoh acak.

Suatu statistik U X X



1, 2,,Xn



yang

digunakan untuk menduga fungsi parameter

 

g  , dikatakan sebagai penduga



estimator



bagi g

 

 , dilambangkan dengan gˆ_n

 

 . Bilamana nilai

1 1, 2 2, , n n

X x X x  X x , maka nilai



1, 2, , n



U X X  X disebut sebagai dugaan



estimate



bagi g

 

 .

(Hogg etal. 2005) Definisi 20 (Penduga Tak Bias)

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g

 

 , yaitu



1, 2, , n



 

,

U X X X g 

 

 

E 

disebut penduga tak bias bagi g

 

 . Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

(ii) Jika lim



₁, ₂, , _n



 

nEU X X  X g  , maka U X X



1, 2,,Xn



disebut

penduga tak bias asimtotik bagi g

 

 . (Hogg etal. 2005) Definisi 21 (Penduga Konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g

 

 , disebut penduga konsisten bagi g

 

 .

(Hogg etal. 2005) Definisi 22 (MSE suatu Penduga)

Mean Square Error (MSE)dari suatu penduga Ubagi parameter g

 

 didefinisikan sebagai

 



 



 





 

2

=

MSE U U g

Bias U Var U



 



(13)

4

dengan Bias U

 

E

   

U g  . 2.5. Proses Stokastik

Definisi 23 (Proses Stokastik)

Proses stokastik X



X t

 

, tT



adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 2007) Jadi untuk setiap tpada himpunan T, X t

 

adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan tsebagai state(keadaan) dari proses pada waktu t.

Definisi 24 (Proses Stokastik Waktu Kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika Tadalah suatu interval.

(Ross 2007) Definisi 25 (Inkremen Bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu

 



,



X X t tT disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua

0 1 2 n

t   t t t , peubah acak

 

1

 

0 ,

 

2

 

1 , ,

 

n

X t X t X t X t  X t 

 

n1

X t_ adalah bebas.

(Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 26 (Inkremen Stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu

 



,



X X t tT disebut memiliki inkremen stasioner jika X s



 t



X t

 

memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sebarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik– titik tersebut.

2.6. Proses Poisson

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks Tadalah interval bilangan tak negatif, yaitu



0,



.

Definisi 27 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik



N t

 

, t0



disebut proses pencacahan jika N t

 

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan N t

 

harus memenuhi syarat– syarat berikut :

(i) N t

 

0 untuk semua t 

 

0, . (ii) Nilai N t

 

adalah integer.

(iii) Jika st maka N t

 

N s

 

,

 

, s t 0, .

(iv) Untuk st maka N t

 

N s

 

sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang



s t,



.

(Ross 2007) Definisi 28 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan



N t

 

, t0



disebut proses Poisson dengan laju λ, λ>0,

jika dipenuhi tiga syarat berikut : (i) N

 

0 0.

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sebarang

interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan t.

Jadi untuk semua t s, 0,





 





 

!

k t

e t

N s t N s k

k

 _  

   

P ,

k0,1,. (Ross 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh:

 



N t



t

E .

Definisi 29 (Proses Poisson tak Homogen) Suatu proses Poisson



N t

 

, t0



disebut

(14)

5

sebarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari tyaitu 

 

t .

(Ross 2007) Definisi 30 (Intensitas Lokal)

Intrensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen X dengan fungsi intensitas λ pada titik s adalah 

 

s , yaitu nilai fungsi λ di s.

(Cressie 1993) Definisi 31 (Fungsi Periodik)

Suatu fungsi λ disebut periodik jika



s k



 

s

    untuk semua sdan k. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi

λ tersebut.

(Browder 1996) Definisi 32 (Proses Poisson Periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001) 2.7. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 33 (Fungsi Terintegralkan Lokal)

Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan

lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh

 

B

B s ds

 



  .

(Dudley 1989) Definisi 34 (O(.))

Simbol “big-oh” ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u x

 

dan v x

 

, dengan xmenuju suatu limit L. Notasi u x

 

O v x



 



, xL, menyatakan bahwa

 

u x

v x terbatas, untuk xL. (Serfling 1980)

Definisi 35 (o(.))

Suatu fungsi f disebut o h

 

, untuk h0, jika

 

0

lim 0

h

f h

h

  .

Hal ini menyatakan bahwa f h

 

0 lebih cepat dari h0.

(Ross 2007) Dengan menggunakan Definisi 34 dan Definisi 35 diperoleh hal berikut :

(i) Suatu barisan bilangan nyata

 

a_n disebut terbatas dan ditulis a_nO

 

1 untuk n , jika ada bilangan terhingga Adan B sehingga AanB, untuk semua

bilangan asli n.

(ii) Suatu barisan

 

b_n yang konvergen ke nol untuk n , dapat ditulis bno

 

1 , untuk n .

(Purcell and Varberg 1998) Definisi 36 (Titik Lebesgue)

Titik sdisebut titik Lebesgue dari suatu fungsi

λ jika berlaku





 

0 1

lim 0

2

h h

h

x s s dx

h  

 

  



.

Syarat cukup agar s titik Lebesgue bagi λ

adalah fungsi λ kontinu di s.

(Wheeden and Zygmund 1977) Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g mempunyai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

 

   





1 !

k n

n k

k

g x

g y g x y k o y x

k



 



  

untuk yx.

Bukti:lihat Serfling (1980).

Lema 3 (Pertaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μdan ragam 2

, maka untuk setiap

0

k ,





2

X k

k

 

  

P .

(15)

6

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Perumusan Masalah

Misalkan N adalah suatu proses Poisson non-homogen pada interval



0,



dengan

fungsi intensitas λ yang tidak diketahui.

Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen, yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode 0 yang dikalikan dengan komponen tren kuadratik, yang juga tidak diketahui. Dengan kata lain, untuk sebarang titik s



0,



, kita dapat menuliskan fungsi intensitas λ sebagai berikut

 



*

 



2

c

s s as

  

(1) dengan *

 

c s

 adalah fungsi periodik dengan periode τdan amerupakan koefisien dari tren kuadratik.

Persamaan (1) dapat juga ditulis menjadi

 



*

 



2

c

s a s s

  

(2) dengan *

( ) c

a s adalah fungsi periodik. Jika dinotasikan

 

*

 

c s a c s

   , maka persamaan (2) dapat ditulis menjadi

 



 



2

.

c

s s s

  

(3) Karena c adalah fungsi periodik, maka

persamaan berikut

 





c s c s k

    (4) berlaku untuk setiap s



0,



dan k, dengan  adalah himpunan bilangan bulat. Karena s diketahui, maka masalah pendugaan fungsi intensitas 

 

s dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik _c

 

s . Karena c

 

s adalah fungsi

periodik dengan periode τ, maka untuk menduga c

 

s pada s



0,



cukup diduga

nilai c

 

s pada s

 

0, .

Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi c

 

s

untuk s

 

0, , dengan hanya menggunakan realisasi tunggal N

 

 dari suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas 

 

s seperti pada persamaan (3), yang diamati pada interval

 

0,n .

3.2. Perumusan Penduga

Penduga bagi c

 

s pada s

 

0, dapat

dirumuskan sebagai berikut

 



  





, 2

0

1 ˆ

( )

, 0,

2

c n k

n n

n

s

n s k

N s k h s k h n

h

 



 







    



(5) dengan N



 

0,n



menyatakan banyaknya kejadian pada interval

 

0,n dan hn adalah

barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

0 n

h  (6) untuk n . Pada penduga di atas, hn

disebut bandwidth.

Untuk menyusun penduga diperlukan data

 



0,



N n , yaitu data realisasi proses Poisson pada interval

 

0,n , dengan n bilangan real dan nharus relatif besar dibandingkan periode

τ. Fungsi intensitas 

 

s dapat didekati dengan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s atau pada interval



s h s h _n,  _n



. Oleh karena itu, penduga bagi 

 

s , dinotasikan dengan ˆ

 

s , diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s. Secara matematis dapat ditulis menjadi

 





,





ˆ

2

n n

n

N s h s h

s

h

    . (7) Berdasarkan sifat keperiodikan _c pada persamaan (4), maka didapatkan penduga

komponen periodik fungsi intensitas λ di

sekitar sk, yaitu ˆc

 

s yang menyatakan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar sk

dibagi



sk



2 . Secara matematis dapat ditulis menjadi

 













2

, ˆ

2

n n

c

n

N s k h s k h

s

s k h

 





   



 . (8)

Data yang diamati pada interval

 

0,n . Dinotasikan n_ n



(16)

7

Sehingga didapatkan suatu penduga bagi c

untuk s k 

 

0,n , yaitu

 





, 2 0 1 1 ˆ c n k s

n_ _{s k}

     





  



, 0,



.

2

n n

n

N s k h s k h n

h

 

    

(9) Dengan mengganti n dengan

n

 , maka

diperoleh penduga komponen periodik c

 

s ,

yaitu

 



  





, 2 0 1 ˆ ( ) , 0, 2 c n k n n n s

n s k

N s k h s k h n

h              



seperti pada persamaan (5).

3.3. Kekonvergenan MSEPenduga

Teorema 1: (Kekonvergenan MSE

Penduga)

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dan 2

n

n h   untuk n  berlaku, maka

 



ˆc n,



0

MSE  s 

(10) untuk n , asalkan sadalah titik Lebesgue bagi c.

Bukti:

Berdasarkan Definisi MSE (Definisi 22), teorema di atas merupakan akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 tentang ketakbiasan asimtotik dan Lema 5 tentang kekonvergenan ragam.

Lema 4: (Ketakbiasan Asimtotik)

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, maka

 



ˆc n, s



c

 

s E

(11) untuk n , asalkan sadalah titik Lebesgue bagi c. Dengan kata lain, ˆc n,

 

s adalah

penduga tak bias asimtotik bagi c

 

s .

Bukti:

Untuk membuktikan (11) akan diperlihatkan bahwa

 



ˆ,



 

lim _{c n} _c

nE  s  s . (12) Untuk menyelesaikan persamaan (12) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut

 



,



2 0 1 ˆ ( ) c n k s

n s k

      



E



  



, 0,



2

n n

n

N s k h s k h n

h        E . (13) Karena 1

2hn

tidak mengandung indeks k, maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi

 







  





, 2 0 1 ˆ

2 ( )

, 0, .

c n

k n

n n

s

nh s k

N s k h s k h n

             



E E

Kemudian komponen



  



n, n 0,



N skh skh  n

E pada

persamaan (13) dapat dihitung sebagai berikut



  





 



 



, 0, 0, . n n n n

s k h s k h

N s k h s k h n

x I x n dx

              



 E (14) Dengan melakukan penggantian peubah





y  x s k , persamaan (14) dapat ditulis menjadi



  











 



, 0, 0, . n n n n h h

N s k h s k h n

y s k I y s k n dy

           



     E (15) Dengan menggunakan persamaan (3) dan (4), maka persamaan (15) dapat ditulis menjadi



  



n, n 0,



N skh skh  n

E







 





2 0, . n n h c h

y s k y s k

I y s k n dy

            



(16) Berdasarkan sifat keperiodikan (4), maka persamaan (16) dapat ditulis menjadi



  











 





2 , 0, 0, . n n n n h c h

N s k h s k h n

y s y s k

I y s k n dy

(17)

8

 











 





, 2 0 2 1 ˆ

2 ( )

0, . (18) n n c n k n h c h s

nh s k

y s y s k

I y s k n dy

                





E

Persamaan (18) bisa ditulis menjadi

 















 



, 2 2 0 1 ˆ 2 0, . ( ) n n h

c n c

n h k

s y s

n h

y s k

I y s k n dy

s k             _ _         





E (19) Perhatikan bahwa







 



 

2 2 0 0, ( ) 1 k

y s k

I y s k n

s k n O              



(20) untuk n . Jadi persamaan (19) dapat ditulis menjadi

 









 

, ˆ 1 1 . 2 n n c n h c n h s n

y s O dy

n h   _        _ _  _  _    



E (21) Dilakukan operasi perkalian pada ruas kanan persamaan (21) sehingga didapat

 













, 1 ˆ 2 1 1 . 2 n n n n h

c n c

n h

h c n h

s y s dy

h

O y s dy

n h           _ _{ }_     



E (22) Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (22) dapat ditulis menjadi





 









 





1 2 1 2 n n n n h

c c c

n h h

c c

n h

y s s s dy

h

y s s dy

h              



 

1 . 2 n n h c n h s dy h _ 





(23) Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (23) adalah konvergen ke nol, digunakan nilai yang lebih besar, yaitu





 

1 . 2 n n h c c n h

y s s dy

h   





  (24)

Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi

c

 , maka kuantitas pada persamaan (24) konvergen menuju nol jika n , atau dapat juga ditulis o

 

1 . Sedangkan suku kedua persamaan (23) adalah

 

1 . 2 n n h c c n h

s dy s

h   





(25) Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka





 





 

   

1 1 2 2 1 n n n n h h

c c c

n h n h

c

y s s dy s dy

h h s o           



untuk n .

Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama ruas kanan persamaan (22) adalah





   

1 1 2 n n h c c n h

y s dy s o

h _



   

untuk n .

Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (22) adalah





   





 

1 1 2 1 1 1 1 n n h c n h c

O y s dy

n h

O s o

n O n o       _   _{ }      _{ }        _{ } 



untuk n . Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan kedua dari persamaan (22), maka diperoleh

 



ˆc n, s



c

   

s o 1 E

untuk n .

Dengan demikian Lema 4 terbukti. Lema 5: (Kekonvergenan Ragam)

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, c terbatas di sekitar s

dan 2

n

n h   untuk n , maka

 



ˆc n,



0

Var  s 

(26) untuk n .

Bukti :

Karena hn0 jika n , maka untuk

(18)

9



s jh sn, jhn



tidak tumpang tindih atau tidak overlap asalkan k j. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson, diperoleh bahwa



n, n



N skh skh dan



n, n



N sjh sjh untuk k j adalah dua peubah acak bebas. Sehingga dapat diperoleh

 







  









2

, 2 2 4

0

1 ˆ

4 ( )

, 0, .

c n

k n

n n

Var s

n h s k

Var N s k h s k h n

             



(27) Karena N adalah suatu peubah acak Poisson, maka ragam N sama dengan nilai harapan N, sehingga persamaan (27) menjadi

 







  





2

, 2 2 4

0

1 ˆ

4 ( )

, 0, .

c n

k n

n n

Var s

n h s k

N s k h s k h n

             



E (28) Perhatikan persamaan (17) menyatakan bahwa



  











 





2 , 0, 0, . n n n n h c h

N s k h s k h n

y s y s k

I y s k n dy

                 



E

Dengan demikian persamaan (28) dapat ditulis menjadi

 















 



2

, 2 2 4

0

2

1 ˆ

4 ( )

0, .

n

h

c n c

k

n h

Var s y s

n h s k

y s k I y s k n dy

                





(29) Sekarang kita tulis persamaan (29) menjadi

 















 



2 , 2 2 4 0 1 ˆ 2 2 0, . ( ) n n h

c n c

n

n h

k

Var s y s

h n h

y s k

I y s k n dy

s k             _ _         





(30) Perhatikan bahwa







 



 

2 4 0 2 2 0, ( ) 1 6 k

y s k

I y s k n

s k o               



(31) untuk n .

Maka persamaan (30) menjadi

 









 

2 , 2 2 2 1 ˆ 2 2 1 . 6 n n h

c n c

n

n h

Var s y s

h n h o dy                     



(32) Persamaan (32) diuraikan menjadi

 













2 , 2 2 1 ˆ 2 12 1 1 +o . 2 n n n n h

c n c

n n h h c n n h

Var s y s dy

h n h

y s dy h n h                     



(33) Karena c terbatas di sekitar s, maka

terdapat suatu konstanta K sehingga

 

c s K

  (34) untuk semua s 



h hn, n



.

Kemudian kedua ruas dari pertidaksamaan (34) diintegralkan untuk s 



h hn, n



dan

dikalikan 1 2hn

, maka

 

1 1 2 2 n n n n h h c

n h n h

s ds K ds

h   h 





. (35) Ruas kanan dari pertidaksamaan (35) adalah

1 2 n n h n h

K ds K h 





. (36)

Maka pertidaksamaan (35) dapat ditulis menjadi

 

1 2 n n h c n h

s ds K h  





.

Karena K merupakan konstanta, maka dapat ditulis K sama dengan O

 

1 . Sehingga suku pertama persamaan (33) dapat ditulis menjadi





 

2 2 2 2 2 1 1 2 12 12 1 = . n n h c n

n h n

n

y s dy O

h

n h n h

O n h                  



(37) Berdasarkan asumsi pada Lema 5, bahwa

2

n

n h   untuk n , maka persamaan (37) sama dengan o

 

1 untuk n .

Sedangkan suku kedua dari ruas kanan persamaan (33) dapat ditulis menjadi





 

2 2

1 1 1

o o 1

2 n n h c n

n h n

y s dy O

h

n h   n h

   

 

   

(19)

10 2 1 o . n n h        (38) Berdasarkan asumsi pada Lema 5, bahwa

2

n

n h  , untuk n , maka ruas kanan persamaan (38) konvergen ke nol atau sama dengan o

 

1 untuk n . Dengan menggabungkan hasil dari persamaan (37) dan (38) diperoleh

 



ˆc n,



0

Var  s 

untuk n .

Dengan demikian Lema 5 terbukti.

Dari Lema 4 telah diperoleh bahwa

 



ˆc n, s



c

 

s

E , yang berarti untuk n  maka E



ˆ_{c n}_,

 

s



_c

 

s 0. Dari Lema 5 telah diperoleh bahwa

 



ˆc n,



0

Var  s  untuk n . Akibatnya dengan menggunakan definisi MSE (Definisi 22) akan diperoleh

 





 







 



, 2 , , ˆ

ˆ ˆ ₀

c n

c n c n

MSE s

Var s Bias s



 

  

untuk n .

Dengan demikian Teorema 1 terbukti.

3.4. Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSEPenduga

Teorema 2: (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias)

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi , 2

n

nh  , dan c

memiliki turunan kedua ''

c

 berhingga pada s, maka

 





 

''

 

2

 

2 ,

ˆ

6

c

c n c n n

s

s s  h o h

   

E

(39) untuk n .

Bukti:

Berdasarkan bukti Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan dari

 

, ˆ

c n s

 dapat dituliskan seperti pada persamaan (21). Karena c memiliki turunan

kedua pada s maka c kontinu pada s,

mengakibatkan c memiliki nilai yang

terbatas di sekitar s. Dengan Formula Young (Lema 2), maka diperoleh

 

   



2



1 ! k n k c c c k s

x s x s o x s

k



 



 



  

untuk xs. Bila diuraikan menjadi

 

      





' '' 2 2 1! 2! c c c c s s

x s x s x s

o x s

 

     

 

untuk xs.

Misalkan x y s, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi





 

      

 

' '' 2 2 1! 2! c c c c s s

y s s y y

o y

 

    



untuk y0. Sehingga kita dapat menuliskan





1 2 n n h c n h

y s dy h  





 

      

 



 

' '' 2 2 ' '' 2 2 1

2 1! 2!

1 1

2 2

1 1

2 2 2

n n n n n n n n n n h c c c n h h h c c

n h n h

h h

c

n h n h

s s

s y y

h

o y dy

s dy s y dy

h h

s

y dy o y dy

h h              _        



(40) untuk n .

Suku pertama dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi

 

1 . 2 n n h c c n h

s dy s

h _



  (41) Suku kedua dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi

 





' ' 2 ' 2 2 1 1

2 2 2

1 = 2 2 =0. n n n n h h c c h

n h n

c

n n n

s

s y dy y

h h s h h h       _   _ _ _     _     



(42) Kemudian suku ketiga dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi

 





'' '' 2 3 '' 3 3 1 1

2 2 4 3

1 = 4 3 n n n n h h c c n h

n h n

c

n n n

s s

y dy h

(20)

11

 

'' 3 '' 2 2 = 4 3 = . 6 c n n c n s h h s h         (43) Suku terakhir dari ruas kanan pada persamaan (40) dapat diuraikan menjadi

 

2

 

2

1 2 n n h n n h

o y dy o h

h _



 (44) untuk n .

Kemudian hasil uraian dari keempat suku pada ruas kanan pada persamaan (40) digabungkan, maka persamaan (40) dapat ditulis menjadi





 

''

 

2

 

2

1 2 6 n n h c

c c n n

n h

s

y s dy s h o h

h        



untuk n .

Sehingga ruas kanan persamaan (21) menjadi

 

''

 

2

 

2 1

1 6

c

c n n

s

s h o h O

n    _ _  _        _ _{ }_  

 

''

 

2

 

2 1

6

c

c n n

s

s h o h O

n

 

  _{ }

_   _  _{ }

  (45)

untuk n .

Berdasarkan asumsi nh_n2 , maka suku kedua dari ruas kanan persamaan (45), yaitu

1 O

n

   

  sama dengan

 

2

n

o h , untuk n . Sehingga persamaan (45) dapat ditulis menjadi

 





 

''

 

2

 

2 ,

ˆ

6

c

c n c n n

s

s s  h o h

   

E

untuk n .

Teorema 3: (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam)

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, maka

 





2

 

, 2 2

1 ˆ 12 c c n n n s

Var s o

n h n h

 

  _{ } 

 

(46) untuk n  dan asalkan s adalah titik Lebesgue bagi c.

Bukti:

Berdasarkan bukti Lema 5 mengenai kekonvergenan ragam, maka ragam dari

 

,

ˆ c n s

 dapat ditulis seperti pada persamaan (33). Pada bukti Lema 4 telah ditunjukkan bahwa 1





   

1

2 n n h c c n h

y s dy s o

h _



    , jika n .

Kemudian suku kedua ruas kanan dari persamaan (33) sama dengan persamaan (38) dan konvergen menuju nol. Dengan demikian persamaan (33) dapat ditulis menjadi

 







   



 

2 , 2 2 2

2 2 2

2 2 2 ˆ ₁ 12 1 1 1 = 12 1 = , 12

c n c

n n c

n n n

c

n n

Var s s o

n h

o n h

s

o o

n h n h n h

s o

n h n h

                     _ _ _ _           

untuk n .

Teorema 4: (Aproksimasi Asimtotik bagi

MSE)

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi dan c memiliki turunan

kedua ''

c

 berhingga pada s, maka

 





2

 



''

 



2 4 , 2 ˆ 36 12 c c

c n n

n

s s

MSE s h

n h

  

  

 

4 2

1

n n

o o h

n h

 

  

 

(47) untuk n .

Bukti:

Berdasarkan definisi MSEmaka

 







 



2



 



, , ,

ˆ ˆ ˆ

c n c n c n

MSE  s  Bias  s Var  s

(48) dengan Bias



ˆc n,

 

s



E



ˆc n,

 

s



c

 

s .

Dengan menggunakan Teorema 2 dan Teorema 3 diperoleh

 





''

 

2 2 , ˆ 6 c

c n n n

s

(21)

12

 





2

 

, 2 2

1 ˆ 2 c c n n n s

Var s o

n h n h

 

  _{ } _

 .

Sehingga ruas kanan persamaan (48) dapat ditulis menjadi

 





 

   

 

2 '' 2 2 2 2 2 2 '' ''

4 2 2 4

2 2 2 1 6 12 36 3 1 12 c c n n n n c c

n n n n

c

n n

s s

h o h o

n h n h

s s

h h o h o h

s o

n h n h

           _  _               _{ }    (49) untuk n .

Karena c memiliki turunan kedua

''

c



berhingga pada s, maka

 

'' 1 3 c s O   ,

akibatnya suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) bernilai o h

 

n4 untuk n ,

sehingga diperoleh persamaan (47). Dengan demikian Teorema 4 terbukti.

3.5. Penentuan Bandwidth Optimal Asimtotik

Ukuran terbaik dari suatu penduga relatif terhadap kesalahannya adalah penduga dengan MSE yang bernilai minimum. Misalkan M h

 

n yang merupakan fungsi dari

n

h , menyatakan suku utama dari

 



ˆc n,



MSE  s , yaitu

 



 



2 '' 2

4

2 ₃₆ .

12 c c n n n s s

M h h

n h   

 

Dapat diperoleh nilai hn yang

meminimumkan M h

 

n untuk n tetap,

dengan membuat turunan pertama M h

 

n

sama dengan nol, sehingga diperoleh

 



 



' 2 '' 2 3 2 2 0 0 9 12 n c c n n M h s s h n h        

 





 





 





 





 





2 '' 2 3 2 2 2 '' 2 5 2 2 5 2 2 '' 2

5 ₂ _'' 2

2 2

5

5 _'' 2

9 12 9 12 9 12 9 12 9 12 c c n n c c n c n c c n c c n c s s h n h s s h n s h n s s h n s s h n s                          

Selanjutnya diperiksa apakah hn yang

diperoleh meminimumkan M h

 

n , dengan

memeriksa turunan kedua dari M h

 

n , yaitu

 



 



2 '' 2

'' 2

2 3 ₃ .

6 c c n n n s s

M h h

n h   

 

Telah kita ketahui bahwa nilai 0,

 

0

c s

  ,



''

 



2 ₀

c s

  , 2

0 n  , dan bandwidth yang bernilai positif, sehingga

 

'' ₀

n

M h  .

Dengan demikian hn yang diperoleh

meminimumkan M h

 

_n . Sehingga nilai optimal bagi bandwidthadalah

 





2 2 5 5 ₂ '' 9 . 12 c n c s h n s     

Bandwidth optimal yang diperoleh di atas bersifat asimtotik karena kita tidak mengetahui nilai c''

 

s , sehingga konstanta

 





2 5 ₂ '' 9 12 c c s s   

(22)

13

IV. KESIMPULAN

Karena s diketahui, maka masalah

pendugaan fungsi intensitas 

 

s untuk

 

0,

s  dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik

 

c s

 untuk s



0,



. Penduga bagi _c

 

s di titik s

 

0, adalah

 



  





, 2

0

1 ˆ

( )

, 0,

.

2

c n

k

n n

n

s

n s k

N s k h s k h n

h

 



 







    



Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa:

(i) ˆ_{c n}_,

 

s adalah penduga tak bias asimtotik bagi c

 

s dan Var



ˆc n,

 

s



0 untuk

n , sehingga diperoleh

 



ˆc n,



0

MSE  s 

untuk n .

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah



 



 

''

2 2

,

ˆ

6

c

c n c n n

s

s s  h o h

   

E

untuk n .

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah



 



 

2

, 2 2

1 ˆ

12

c c n

n n

s

Var s o

n h n h

 

  _{ } _

 

untuk n .

(iv) Aproksimasi asimtotik bagi MSEpenduga adalah

 





 



 



 

2 '' 2

4

, 2

4 2

ˆ

36 12

1

c c

c n n

n n n

s s

MSE s h

n h

o o h

n h

  

  

 

 _ _

 

untuk n .

(v)Bandwidth optimal asimtotik yang meminimumkan aproksimasi asimtotik dari MSEpenduga adalah

 





2 2

5

5 ₂

''

9

. 12

c n

c

s

h n

s

  



(23)

14

DAFTAR PUSTAKA

Browder, A.1996. Mathematical Analysis:

An Introduction. Springer. New York.

Cressie, N. A. C. 1993. Statistic for Spatial Data. Revised Ed