Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya

(1)

Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional

Aditif Dan Kontinunya

Sadjidon

Jurusan Matematika

Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

Abstrak

Pada paper ini dibahas tipe lain ruang barisan Orlicz selisih, ℓϕ(∆),

yang didefinisikan sebagai: ℓ_ϕ(∆) :={x= (x_k) : ∆x∈ ℓ_ϕ} dengan ∆x= (∆x_k) = (x_k−x_k

−1). Selanjutnya, ruang yang dilengkapi dengan norma kxk=|x₁|+k∆xkℓϕ merupakan ruang bernorma-F yang lengkap dan juga

mempunyai sifatAK_{. Berdasarkan pengertian fungsional aditif dan kontinu} pada ruang barisan Orlicz, ℓ_ϕ_{, dibahas fungsional aditif dan kontinu pada} ruang barisan Orlicz selisih.

Kata kunci_{: Ruang bernorma-}Fyang lengkap, SifatAK, Ruang barisan

Orlicz selisih, Fungsional aditif dan kontinu

1. Pendahuluan.

Representasi fungsional aditif orthogonal pada beberapa ruang barisan telah banyak dibicarakan antara lain dalam [1]. Sedangkan untuk ruang barisan, khusus-nya ruang barisan Orlicz [3][4] telah membahaskhusus-nya secara lengkap. Lebih lanjut [3] membahas fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan Orlicz. Sementara itu [2] memperkenalkan beberapa ruang barisan selisih antara lainℓ∞(∆),c0(∆). Berdasarkan [2] ini serta memperhatikan hasil-hasil penelitian dari [4] , maka dico-ba mengkontruksi suatu ruang dico-barisan selisih yang lain yaitu ruang dico-barisan Orlicz

(2)

sesilih. Disamping itu dengan memperhatikan hasil-hasil dari [2] dapat dikon-struksi pula fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan Orlicz selisih.

2. Ruang Bernorma-

_F

DiberikanX ruang barisan bilangan real yang merupakan ruang vektor atas R. JikaX dilengkapi dengan norma-F yaitu normak.kyang memenuhi :

(i) kxk ≥0;kxk= 0⇐⇒x= 0

(ii) kxk=k −xk

(iii) kx+yk ≤ kxk+kykuntuk semuax, y∈X

(iv) kαnx(n)−αxk →0 jikaαn→αdankx(n)−αxk →0

maka X disebut ruang barisan bernorma-F. Jika X ruang barisan bernorma-F

yang lengkap, makaX disebut ruang Frechet.

Selanjutnya, ruang FrechetX dikatakan ruangF K jika untuk setiapk, fungsi

Pk :X →R.denganPk(x) =xk kontinu.

Barisan blok {zn_} _{di dalam ruang barisan} _X _{adalah suatu barisan dengan}

elemen ke-nyaitu :

zn₌_{₀_,_{· · ·}_,₀_{, z}

i(n−1)+1,· · ·, zi(n),0,· · · }

dengani(0) = 0 dan{i(n)} adalah suatu barisan naik dari bilangan asli.

Misalkan X suatu ruang barisan bernorma-F, maka X dikatakan mempu-nyai Gliding Hump Property (GHP), jika untuk setiap barisan blok{zn_} _dengan

kzn_{k →} _{0 untuk} _n _{→ ∞}_{, terdapat suatu barisan bagian bilangan asli} _{_n₍_k₎_}

sehingga ∞ P

k=1

zn(k)_∈_X_.

Mudah dipahami bahwa setiap ruang barisan bernorma-F yang lengkap mem-punyaiGHP.

3. Ruang Barisan Orlicz Selisih

Diberikan ϕ fungsi kontinu bernilai real naik pada [0,∞) dengan ϕ(0) = 0 dan

ϕ(t) = ϕ(|t|) untuk semua t. Fungsi ini disebut fungsi Orlicz. Suatu himpunan Orlicz dinotasikan denganℓϕadalah himpunan semuax={xk} sehingga

ρ(x) = ∞ X

k=1

<+∞ atau ℓϕ=

(

x={xk};

∞ X

k=1

ϕ(xk)<+∞

(3)

Mudah ditunjukkan bahwa himpunan Orliczℓϕ merupakan himpunan konvex.

Suatu fungsi ϕ dikatakan memenuhi kondisi δ2 jika terdapat α > 0 dan β > 0 sehingga

ϕ(2t)≤αϕ(t) untuk |t| ≤β

Fungsi Orlicz ϕ ternyata memenuhi kondisiδ2, sehingga himpunan Orliczℓϕ

merupakan ruang linier.

Selanjutnya, didefinisikan suatu norma padaℓϕdengan:

kxk=inf ½

ξ >0;ρ µ

x ξ ¶

≤ξ ¾

untuk setiapx∈ℓϕ. Ruangℓϕ yang dilengkapi dengan norma di atas merupakan

ruang bernorma-F yang lengkap atau ruang Frechet dan disebut ruang barisan Orlicz.

Sekarang akan diberikan pengertian ruang barisan Orlicz selisih. Seperti hal-nya ruang barisan Orlicz, himpunan barisan Orlicz selisih didefinisikan sebagai:

ℓϕ(∆) ={x= (xk); ∆x∈ℓϕ} dengan ∆x= (∆xk) = (xk−xk−1). Bahwa ruang ℓϕ(∆) merupakan ruang linier.

Selanjutnya, didefinisikan suatu norma pada ℓϕ(∆) dengan kxk = |x1| +

k∆xkℓϕ. Dengan norma ini, akan ditunjukkan bahwa ℓϕ(∆) merupakan ruang

bernorma yang lengkap. Hal ini akan dijabarkan dalam teorema berikut.

Teorema 3.1 _Ruang _ℓ_ϕ_{(∆)merupakan ruang bernorma-F dengan norma} _k_x_k ₌ |x1|+k∆xkℓϕ.

Bukti. _{Diambil sebarang}_{x, y}_∈_ℓ_ϕ_(∆)

(i) Jelas bahwakxk=|x1|+k∆xkℓϕ ≥0.

kxk=|x1|+k∆xkℓϕ = 0 ⇐⇒ |x1|= 0 dan k∆xk= 0

⇐⇒ x1= 0 dan ∆x=xk−xk−1= 0

⇐⇒ x1=· · ·=xk−1=xk = 0, untuk setiap k

⇐⇒ x=θ

(ii)

k −xk = | −x|+k∆(−x)kℓvarphi

= | −x|+k −∆xkℓvarphi

= |x|+k∆xkℓvarphi

(4)

(iii) Akan ditunjukkankx+yk=≤ kxk+kyk.

kx+yk = |x1+y1|+k∆x+ ∆ykℓvarphi

≤ |x1|+|y1|+k∆xkℓvarphi+ ∆ykℓvarphi

≤ |x1|+k∆xkℓvarphi +|y1|+ ∆ykℓvarphi ≤ kxk+kyk

Dengan demikiankx+yk=≤ kxk+kyk.

(iv)

kαnx(n)−αxk = kαnx(n)−αnx+αnx−αxk

≤ kαnx(n)−αnxk+kαnx−αxk

≤ |αn|kx(n)−xk+|αn−α|kxk

Jikaαn→αdankx(n)−xk →0, makakαnx(n)−αxk →0

Dengan demikian terbukti bahwa ruang barisan Orlicz selisih merupakan ruang bernorma-F. ¤

Teorema 3.2 _Ruang _ℓ_ϕ_(∆) _{yang dilengkapi dengan norma}_k_x_k ₌_x1_|₊_k_∆_x_k_ℓ ϕ

merupakan ruang bernorma-F yang lengkap atau ruang Frechet dan disebut ruang barisan Orlicz selisih.

Bukti. _{Tinggal membuktikan bahwa}_ℓ_ϕ_{(∆) adalah lengkap.}

Diberikan{x(n)_}_{adalah barisan di}_ℓ

ϕ(∆) sedemikian hingga

kx(n)−x(m)k →0, untuk n, m→ ∞

Oleh karena itu

kx(n)−x(m)k=|x(₁n)−x₁(m)|+k∆x(n)−∆x(m)kℓϕ→0, untuk n, m→ ∞

Dengan demikian diperoleh :

a. |x(₁n)−x(₁m)| →0, untukn, m→ ∞

b. k∆x(n)₋_∆_x(m)_k

ℓϕ →0 untukn, m→ ∞

atauk(x(_kn)−x(_kn₋)₁)−(x_k(m)−x(_kn₋)₁)k →0, untukn, m→ ∞

ataukx(_kn)−x(_kn₋)₁kℓϕ →0 dankx

(m)

k −x

(n)

(5)

Karenaϕkontinu dan naik pada [0,∞), maka untuk setiapkdiperoleh

|x(_kn)−x_k(m)| →0, untuk n, m→ ∞

Akibatnya untuk setiap k barisan {x(_kn)}k≥1 adalah barisan Cauchy di R yang

lengkap, artinya untuk setiapkterdapatxk ∈Rsedemikian hingga

x(_kn)→xk untukn→ ∞

Selanjutnya dibentukx={xk}. Akan dibuktikan

i. kx(n)₋_x_{k →}_{0, untuk}_n_{→ ∞}

Sehingga untukn→ ∞diperoleh

a. |x(₁n)−x| →0

b. kx(_kn)−xkk →0, untukn→ ∞

Dengan demikiankx(n)₋_x_{k →}_{0, untuk}_n_{→ ∞}_.

ii. Akan ditunjukkanx∈ℓϕ(∆) berarti menunjukkan bahwa ∆x∈ℓϕ. Terdapat

bilangan bulat positipN sehingga sedemikian hingga

∞ X

k=1

ϕ(∆xN −∆x)<1<∞

sehingga ∆xN −∆x∈ℓϕ denganℓϕadalah linier, maka ∆x∈ℓϕ.

Dengan demikian i dan ii dipenuhi. Jadiℓϕ(∆) lengkap. ¤

Berikutnya akan ditunjukkan bahwaℓϕ(∆) mempunyai sifatAK yaitukxN −

(6)

Oleh karena itu kxN ₋_x_{k ≤} _ε_untuk _N _≥_P_{. Dengan kata lain} _k_xN ₋_x_{k →}

0 untuk N → ∞. Dari penjabaran di atas bahwa ruang barisan Orlicz selisih merupakan ruang Frechet, sehingga mempunyaiGHP dan mempunyai sifat AK

yaitukxN ₋_x_k

ℓϕ →0 untukN → ∞, denganx

N ₌_{_{x1, x2,}_{· · ·}_{, x}

N,0,· · · }dari

setiap barisanx= (xk)∈ℓϕ(∆).

Maka ruang barisan Orlicz selisih memenuhi sifat kxN_{k ≤ k}_x_k_{, untuk setiap}

x∈ℓϕ(∆).

4. Fungsional Aditif dan Kontinu

pada Ruang Barisan Orlicz Selisih

Sekarang akan dijabarkan tentang Fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan orlicz selisih. Sebelumnya akan dibahas teorema-teorema yang akan di-gunakan untuk mengkonstruksi fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan Orlicz selisih sebagai berikut.

Teorema 4.1 _Diberikan _X _{ruang barisan yang mempunyai sifat} _AK_{. Jika} _f

adalah fungsional aditif dan kontinu padaX, makaf(x) = ∞ P

k=1

g(k, xk)ada, untuk

setiapx={xk} ∈X. Dengang(k,0) = 0dang(k, .)kontinu, untuk setiap k∈N

Bukti. _Diberikan _ek _{yaitu barisan dengan elemen ke-}_k _{sama dengan 1 dan}

0 untuk yang lain. Karena X mempunyai sifat AK, maka untuk setiap dan X

memuat semua barisan berhingga,kxN_{k ≤ k}_x_{k →}_{0 , untuk}_N _{→ ∞}_{. Oleh karena}

f aditif dan kontinu maka

kf(xN−x)k →0, untuk N → ∞

atau

(7)

atau

Teorema 4.2 _Diberikan _X _{ruang barisan yang mempunyai}_GHP _{yang memuat}

semua barisan berhingga dankxN_{k ≤ k}_x_k_{, dan diberikan}_f _{adalah fungsional pada}

X, jikag(k,0) = 0dang(k, .)kontinu untuk setiapk∈N sehingga

makaf adalah fungsional aditif dan kontinu.

Bukti. _{Akan dibuktikan}_f _{adalah kontinu. Sekarang andaikan}_f _{tidak kontinu}

di x∈X, maka terdapat barisan {y(i)} ∈ X sedemikian hingga ky(i)₋_x_{k →} ₀

Akan disusun dua barisan dari bulat positip sebagai berikut : Ambiln(0) = 0 ;m(1) = 1 dan dipilihn(1) sedemikian hingga m(1) sedemikian hingga

(8)

selanjutnya terdapatn(2)> n(1) sedemikian hingga

Dari kedua pertidaksamaan diatas didapat ¯

Secara umum dapat diperoleh barisan naik dari dua bulat positip{n(i)} dan

{m(i)} sedemikian hingga

Sekarang didefinisikan barisan blok{zi_}_di _X _dengan

zi={0,· · · ,0, y_n(m₍_i(₋i))₁₎₊₁−xn(i−1)+1,· · ·, y (m(i))

n(i) −xn(i),0,· · · }

untuki= 1,2,3,· · ·

Mengingat asumsi bahwakxNk ≤ kxkdiperoleh

kzik ≤2ky(m(i))−xk →0, untuki→ ∞

karena X mempunyai GHP, maka terdapat sub barisan {i(k)} sedemikian hingga

Yang kontradiksi dengan pengandaian diatas. Dengan demikianf adalah kon-tinu dixuntuk setiapx∈X

Akibat dari Teorema 4.1 dan Teorema 4.2 serta memperhatikan sifat-sifat dari ruang barisan Orlicz selisih yang telah dijabarkan di atas, maka dapat dikontruksi fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan Orlicz selisih yang diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 4.3 _Fungsional _f _: _ℓ_ϕ_(∆) _→_R _{aditif dan kontinu jika dan hanya jika}

(9)

Bukti. _{Karena ruang barisan Orlicz selisih merupakan ruang Frechet, maka}

mempunyai GHP serta mempunyai sifat AK dan juga memenuhi sifat kxN_{k ≤}

kxk, untuk setiapx∈ℓϕ(∆) serta akibat dari Teorema 4.1 dan Teorema 4.2.

Pustaka

[1] Chew, T. S., 1985, Orthogonally Additive Functionals, PhD. Disertation, na-tional University of Singapore.

[2] Colak, R and Mikail ET, 1997, On some generalized difference sequence spaces and related matrix transformations, Hokkaido mathematical Journal, Vol 26 (p.483 - 492) Japan.

[3] Lee, P.Y, 1993, Sequence Space and the Gliding Hump Property , SEA Bull, Math. 17, 65-72