Kekonvergenan Deret Harmonik
secara Analitik dan Numerik
Muhammad Al Kahf 10114032
Selidiki apa yang terjadi dengan jika Apakah anda mengenalinya ?
Definisikan T(n) sedemikian sehingga
Akibatnya,
Karena T(n) adalah fungsi menaik (bukti diserahkan pada pembaca) dan T(n) terbatas di atas, maka jelas bahwa T(n) konvergen. Tapi, konvergen kemana ?
Akibatnya,
for i = 1 : 100
plot(har - log(2));
Selidiki juga dengan
for k = 1 : 10;
Misalkan n mempunyai nilai tetap, selidiki apa yang terjadi dengan . Tentu nilainya membesar. Bagaimana ukuran membesarnya ? Carilah suatu fungsi yang dapat digunakan
sebagai ukuran
Dari uraian pada masalah 1 telah kita dapatkan
Perhatikan bahwa fungsi monoton turun untuk setiap
dengan (bukti diserahkan ke pembaca), akibatnya
konvergen ke suatu nilai, sebut c.
Dengan cesaro stolz theorem,
for i = 1 : 20;
Misalkan merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari
Hitung dengan dengan cukup besar. Kesimpulan apa yang diperoleh
Jelas bahwa . Perhatikan bahwa
Karena bernilai bilangan bulat, maka kemungkinan nilai dari adalah dan
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/i;
end;
i = 1 : 500
f = @(x) ceil(har(2*x)) - ceil(har(x)) plot(i, f(i), ‘ro')
Tentukan kemungkinan nilai jika
Perhatikan bahwa
Ambil limit kedua ruas
har(1) = 1;
plot(kecil(i), ‘g’); hold on; plot(besar(i), ‘r’);
Masalah Keenam
Misalkan bilangan terbesar sehingga untuk Tuliskan ini sebagai Hitung carilah suatu kesimulan mengenai hasil ini. Tentukan
order dari jika membesar tanpa batas.
Asumsikan dan . Untuk yang cukup besar / menuju maka berlaku
Karena maka
Jadi membesar secara eksponensial
har(1) = 1;
perbandingan = nilai(2 : end)./nilai(1 : end-1); plot(perbandingan);
figure; plot(nilai);
Bagaimana dengan deret
Apakah konvergen ? Apakah anda mengenalinya ?
Teorema :
Jika adalah barisan monoton turun dengan dan jika jumlah parsial dari dari terbatas, maka deret konvergen.
Pilih , perhatikan bahwa
Pilih , perhatikan bahwa terbatas
Dengan dirichlet test, konvergen.
Perhatikan bahwa
Integralkan kedua ruas dengan batas
Pilih
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000
har(i) = har(i-1) + (-1)^(i+1)/i;
end;
plot(har - log(2));
Bagaimana dengan deret
Apakah deret konvergen ? Apakah anda mengenalinya ?
Perhatikan bahwa
Jelas bahwa deret ini divergen karena mengandung deret harmonik. Tetapi, bagaimana dengan orde membesarnya ?
Bagi menjadi 2 bagian :
Akibatnya,
Lakukan hal yang sama untuk . Diperoleh bahwa konvergen menuju
har(1) = 1;
axis([0, 10000, 1.2, 1.4])
Bagaimana dengan deret
Apakah deret konvergen ? Apakah Anda mengenalinya
Dengan rearrangemen ulang
Perhatikan bahwa bentuk
Konvergen ke sesuai dengan masalah ketujuh.
Sedangkan bentuk di dalam kurung dapat
diselesaikan menggunakan integral
Akibatnya,
Kedua barisan ini tetap konvergen ke . Bukti mirip dengan masalah ke delapan dan diserahkan kepada pembaca.
har(1) = 1;
plot(har - 3/2*log(2)); axis([0 10000 -0.05 0.05]
Kita mengetahui bahwa deret
Divergen. Selidiki order konvergensinya.
Dengan menggambarkan grafk, kita dapatkan bahwa
Karena menaik dan terbatas maka deret ini konvergen. Jadi, deret ini konvergen dengan orde
har(1) = 1;
axis([0 1000 -1.5 -1]);
Kita mengetahui bahwa deret
Divergen. Selidiki order divergensinya
Selidiki kekonvergenan
Selidiki kekonvergenan
Selidiki kekonvergenan
Hah :o >o< :o
Residu itu apa ?
Perhatikan bahwa
Gunakan deret laurent
Akibatnya
Di dalam matematika, dikenal istilah Apery’s
Constant. Istilah ini muncul oleh matematikawan Prancis, Roger Apery yang membuktikan bahwa
bilangan ini irrasional (1978). Sampai saat ini belum ada pembuktian apakah bilangan ini transenden atau tidak.
Yang jika diapproksimasi oleh komputer menghasilkan
Perhatikan bahwa
Gunakan deret laurent
Akibatnya
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/i^2;
end;
har(1) = 1;
for i = 2 : 50;
har(i) = har(i-1) + 1/i^4;
end;
• Andrescu, Titu dan Gelca, Razvan. 2007. Putnam and Beyond. Springer
• Bak, Joseph dan Newman, Donald J. 2010. Complex Analysis (Third
Edition). Springer.
• Bartle, Robert G. dan Sherbert, Donald R.. 2011. Introduction to Real Analysis (Fourth Edition). John Wiley & Sons, Inc.
• Churchill, Ruel V. Dan Brown, James Ward. 2014. Complex Variables and
Applications (Ninth Edition). McGraw Hill Education.
