Disarikan dari Malatuni 2007
Topik Bahasan
Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda.
Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka:
Tiang sangkar sebagai garis x = c; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi y = f(x);
Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c;
Ketinggian burung pada saat tiba dalam sangkar misalkan L;
X L
y = f(x)
x=c
L ) x ( f lim
c x → =
L ) x ( f lim
c x → =
L ) x ( f lim dan L ) x ( f lim L ) x ( f lim
c x c
x c
x → = ⇔ →− = → + =
Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L.
Seberapa dekat?
Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri.
0 X
Y
c
L
f(x)
0
X Y
20 40
-20
-40
4
2 x mendekati 3 dari kiri ↓ x mendekati 3 dari kanan x 2 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4 f(x) −13 −1794,01 −17994 ... ? ... 18006 1806,01 25
f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil ↑
f(x) mendekati bilangan positif yang sangat besar
x=3 Asimtot Tegak
Contoh 2:
Tentukan nilai dari
3 x
9 x lim
2
3 x −
+ →
Penyelesaian:
Fungsi tidak terdefinisi pada x = 3, karena diperoleh bentuk (tak tentu). Lakukan pendekatan seperti pada contoh 1.
0 0
3 x
9 x ) x ( f
2
[image:4.612.124.488.96.366.2] [image:4.612.124.487.380.690.2]−+ = Grafik fungsi
3 x
9 x ) x ( f
2
−+ =
Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga.
Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga.
Karena
maka nilai dari:
0
X Y
20 40
-20
-40
4 2
x=3 Asimtot Tegak
Grafik fungsi
3 x
9 x ) x ( f
2
−+ =
−∞ = −+ − → x 3
9 x lim
2
3 x
+∞ = −+ + → x 3
9 x lim
2
3 x
3 x
9 x lim 3 x
9 x lim
2
3 x 2
3
x −
+ ≠
−+ +
− →
→
ada tidak 3 x
9 x lim
2
3 x −
0
X Y
+∞
-∞
x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x mendekati bilangan positif yang sangat besar x - ∞ ... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ... + ∞ f(x) 0 ... -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 ... 0
f(x) semakin mendekati nol (0) f(x) semakin mendekati nol (0) Penyelesaian:
Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafik.
0 x 1 lim
x →∞ =
Kita peroleh nilai:
Contoh 3:
Bagaimana dengan ? x 1 lim
x →∞
Start
Rasional?
Bagi dengan pangkat tertinggi
Rasionalkan/ kalikan akar sekawan
kemudian bagi pangkat tertinggi
Hasil
Stop
Tidak
Ya
Flowchart untuk menghitung nilai:
lim
f
(
x
)
x →∞
Start
Substitusi x = c
Bentuk tak tentu?
Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan
bentuk akar
Lanjutkan Hitung
Hasil
Stop
Tidak
Ya
Flowchart untuk menghitung nilai:
)
x
(
f
lim
Kalikan akar sekawan 2 2 2 2 2 2 2 2 x 3 x x x x 2 x 1 x x 4 x x 3 x 2 2
x 2 x x 3 lim 1 x 4 x 3 lim + − − + = + − − + ∞ → ∞ →
Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat tertinggi ( x 2 )
c) adalah fungsi rasional.
Mengapa? 2 2 x 3 x 1 x 1 x 4
x 2 3 lim + − − + = →∞ 2 3 0 0 2 0 0 3 = + − − + = 3 x x 2 1 x 4 x 3
lim 2
2
x − +
− + ∞ → 2 3 3 x x 2 1 x 4 x 3
lim 2
2
x − + =
− + ∴ →∞
Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi.
d) bukan fungsi rasional.
Mengapa? ) x 4 x x (
lim 2
x →∞ − +
L
= + − ∞
→ ( x x 4 x )
lim 2
x x 4 x x x 4 x x ) x 4 x x ( lim 2 2 2
x + +
+ + × + − = ∞ → x 4 x x ) x 4 x ( x lim 2 2 2
x + +
+ − = →∞ x 4 x x x 4 lim 2
x + +
− = ∞ → 2 0 1 1
4 =−
+ +− = 2 ) x 4 x x (
lim 2
x − + =−
∴ ∞ → x 4 x x x 4 x x x x
x x 4
x 1 1
4 lim lim
2 2
2 + +
n
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
o p
q
r
u
s
dimana: ; utk n genap
t
Kita lihat contoh penerapannya!
4 lim x lim 7
1 x 1 x → − →
=
4 lim x 7 lim
1 x 1 x → − →
=
Contoh 5:
Tentukan nilai dari: a)
b)
Penyelesaian:
a) lim ( 7 x 4 )
1 x → −
4 ) 1 (
7 −
= 3 =
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
+ − + → 2 x 1
2 x 3 x lim
2 2
2
x
(
)
) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim
c x c x c
x → ± = → ± →
) x ( f lim k ) x ( kf lim
c x c
x → = →
) 4 x 7 ( lim
1 x 2 lim
) 2 x 3 x ( lim
2 2 x
2 2 x
+ − + =
→ →
) 1 x 2 ( lim
2 lim x 3 lim x lim
2 2 x
2 x 2 x 2 2 x
+ − + =
→
→ → →
b) ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
+ − + → 2 x 1
2 x 3 x lim
2 2
2 x
1 lim x 2 lim
2 lim x 3 lim x lim
2 x 2 2 x
2 x 2 x 2 2 x
→ →
→ → →
+ − + =
1 ) 2 ( 2
2 ) 2 ( 3 2
2 2
+ − + =
1 8
2 6 4
+− + =
3 8 =
(
f ( x ) g ( x ))
lim f ( x ) lim g ( x ) limc x c x c
x → ± = → ± →
Teoremap
Teoremau
Teoremas ; lim g ( x ) 0
) x ( g lim
) x ( f lim ) x ( g
) x ( f lim
c x c x
c x c
x ⎟⎠= ≠
⎞ ⎜ ⎝ ⎛
→ → → →
n c x n
c
x lim → f ( x ) = lim → f ( x )
1.
2 ∞ 0 2 −
1 −
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
2.
3
4
Rasionalkan bentuk akar
4 x
4 x 4 x
16 x lim 4 x
16 x lim
2
4 x 2
4
x −
− × − − = − −
→ →
3.
3 4 −
0 3 −
4
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Kalikan akar sekawan
x 1 x 1
x 1 x 1 x
x 1 x 1 lim
0
x + + −
− + + × − − + = →
) x 1 x 1 ( x
x 2 lim
0
x + + −
= → 4.
2 −
1 1 −
3 −
0
Kalikan akar sekawan x h x x h x h x h x lim 0
h + +
+ + × − + = →
5. ....
h x h x lim 0
h =
− + → .... h x h x lim 0
h =
− + → ) x h x ( h x ) h x ( lim 0
h + +
− + = → ) x h x ( h h lim 0
h + +
= → x h x 1 lim 0
h + +
= → x 2 1 x x 1 x 0 x
1 =
+ = + + = x 2 1 h x h x lim 0
h =
− + ∴ → Bagi pangkat tertinggi x x x x 3 x x
x x 3 x 2 2 2 lim + + = →∞ Kalikan akar sekawan x x 3 x x x 3 x ) x x 3 x ( lim 2 2 2
x + +
+ + × − + = →∞ 1. lim ( x 2 3 x x ) ....
x →∞ + − = lim ( x 2 3 x x ) ....
x →∞ + − =
x x 3 x x x 3 x lim 2 2 2
x + +
− + = ∞ → x x 3 x x 3 lim 2
x + +
= →∞ 1 1 3 lim x 3
x + +
= →∞ 2 3 1 0 1
3 =
+ + = 2 3 ) x x 3 x (
lim 2
x + − =
∴ ∞ → 4 7 3 7 3 4 2 3 3 2
Kalikan akar sekawan 4 x x 2 x x x 2 x x 4 x ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 2 2 2 2
x − + +
+ + − × + − − = ∞ → Bagi pangkat tertinggi 2. 2 − 1 − .... ) x 2 x x 4 x (
lim 2 2
x →∞ − − + = lim ( x 2 4 x x 2 2 x ) ....
x →∞ − − + =
x 2 x x 4 x ) x 2 x ( ) x 4 x ( lim 2 2 2 2
x − + +
+ − − = ∞ → x 2 x x 4 x x 6 lim 2 2
x − + +
− = →∞ 2 2 2 2 2 2 x x 2 x x x x 4 x x
x x 6
x lim − + +
= − ∞ → x 2 x 4
x 1 1
6 lim + + − − = →∞ 3 2 6 0 1 0 1 6 − = − = + + − − = 3 ) x 2 x x 4 x (
lim 2 2
x − − + =−
∴ →∞ 6 − 4 − 3 −
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Bagi pangkat tertinggi
Kalikan akar sekawan
3. lim x ( x 2 1 x ) ....
x →∞ + − = lim x ( x 2 1 x ) ....
x →∞ + − =
x 1 x x 1 x ) x 1 x ( x lim 2 2 2
x + +
+ + × − + = →∞ x 1 x ) x 1 x ( x lim 2 2 2
x + +
− + = ∞ → x 1 x x lim 2
x + +
= ∞ → x x x 1 x x x x x 2 2 2 lim + + = →∞ 1 1 1 lim 2 x 1
x + +
= →∞ 2 1 1 0 1 1 = + + = 2 1 ) x 1 x ( x
lim 2
x + − =
∴ →∞ 0 2 4 1 2 1 3 1
Bagi pangkat tertinggi 4. 2 ∞ 3 .... 1 x x 2 1 x x 3 lim
x ⎟⎠=
⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∞ → .... 1 x x 2 1 x x 3 lim
x ⎟⎠=
⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∞ → ) 1 x )( 1 x ( ) 1 x ( x 2 ) 1 x ( x 3 lim
x − +
− − + = →∞ 1 x x 2 x 2 x 3 x 3
lim 2
2 2
x −
+ − + = →∞ 1 x x 5 x
lim 2
2
x −
+ = →∞ 2 2 2 2 2 2 x 1 x x x x 5 x x
x lim −
+ = ∞ → 1 0 1 0 1 1 1 lim 2 x 1 x 5
x − =
+ = −+ = ∞ → 1 1 x x 2 1 x x 3 lim
x ⎟⎠=
⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∴ ∞ → 1 9
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban Bagi pangkat tertinggi .... 2 x x x 6 x 2 x 3
lim 3 2
3 4
x + − + =
+ − ∞ → 4 4 4 2 4 3 4 4 3 4 4 x 2 x x x x x x x 6 x x 2 x x 3
x lim + − +
+ − = →∞ 4 3 2 4 x 2 x 1 x 1 x 1 x 6 x 2 x 3 lim + − + + − = ∞ → 0 0 0 0 0 0 3 + − +− + = ∞ = = 0 3 ada) (tidak 2 x x x 6 x 2 x 3
lim 3 2
3 4
x + − +
+ − ∴ →∞ 5. 0 2 − 1 − 3 − ∞ .... 2 x x x 6 x 2 x 3
lim 3 2
3 4
x + − + =
+ − ∞ →
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:
a. x ....
3 x 2 1 x 3 2 lim 2
x ⎟⎠=
⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = → → x 3 x 2 lim 1 x 3 2 lim 2 x 2 x x lim 3 x 2 lim 1 x 3 lim 2 lim 2 x 2 x 2 x 2 x → → → → − + + = 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3
2 − +
+ = 14 45 2 7 7 2 − = − = 14 45 x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2
x ⎟⎠=−
⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ∴ → 1a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → =−
3 ) x ( f lim c x → =
a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5
x → + −
10 ) x ( g ) x ( f
lim 2 2
c
x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 limc
x → + − =
[
f ( x ) 3]
6 )x ( g lim 3
c
x → + =−
.... ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5
x → + − =
) 5 x 2 ( lim ) 4 x ( lim 5 x 5
x + ⋅ −
= → → ) 5 lim x 2 lim ( ) 4 lim x lim ( 5 x 5 x 5 x 5
x → + → ⋅ → − →
= ) 5 5 2 ( ) 4 5 ( + ⋅ ⋅ − = 5 9 ⋅ = 45 = 45 ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5
x + − =
∴ →
1b. 1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
a. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → =−
3 ) x ( f lim c x → =
a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5
x → + −
10 ) x ( g ) x ( f
lim 2 2
c
x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 limc
x → + − =
[
f ( x ) 3]
6 )x ( g lim 3
c
Bukti: 2a. (terbukti) .... ) x ( g ) x ( f
lim 2 2
c
x → + =
) x ( g lim ) x ( f
lim 2
c x 2 c
x → + →
= 2 c x 2 c
x lim f ( x )] [ lim g ( x )]
[ → → + = 2 2 ] 1 [
3 + −
= 1 9 + = 10 = 10 ) x ( g ) x ( f
lim 2 2
c
x + =
∴ →
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:
a. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → =−
3 ) x ( f lim c x → =
a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5
x → + −
10 ) x ( g ) x ( f
lim 2 2
c
x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 limc
x → + − =
[
f ( x ) 3]
6 )x ( g lim 3
c
x → + =−
Bukti:
2b.
(terbukti)
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
.... limc
x → + − =
) x ( g lim ) c x ( lim ) x ( f lim c x c x c
x → + → − ⋅ →
= ) 1 ( ) c c (
3 + − ⋅ −
=
) 1 ( 0
3 + ⋅ −
= 3 =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 limc
x + − =
∴ → 1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
a. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → =−
3 ) x ( f lim c x → =
a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5
x → + −
10 ) x ( g ) x ( f
lim 2 2
c
x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 limc
x → + − =
[
f ( x ) 3]
6 )x ( g lim 3
c
Bukti:
2c.
(terbukti)
[
f ( x ) 3]
.... )x ( g lim 3
c
x → + =
[
f ( x ) 3]
lim) x ( g lim
c x 3 c
x ⋅ +
= → →
⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣
⎡ +
⋅
= lim → g ( x ) lim → f ( x ) lim → 3
c x c x 3
c x
[3 3 ]
1
3 − ⋅ +
=
[6 ]
1 ⋅ − =
6 − =
[
f ( x ) 3]
6 )x ( g lim 3
c
x + =−
∴ → 1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
a. ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ − +
+
→ x
3 x 2 1 x 3
2 lim
2 x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim
c x → =−
3 ) x ( f lim
c x → =
a.
b.
c.
) 5 x 2 )( 4 x ( lim
5
x → + −
10 ) x ( g ) x ( f
lim 2 2
c
x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 limc
x → + − =
[
f ( x ) 3]
6 )x ( g lim 3
c
x → + =−
3. Berat (dalam gram) dari suatu benda uji pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t
diukur dalam minggu. Berapa laju pertambahan berat benda uji jika t = 10 minggu?
2. Sebuah perusahaan semen dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan
Andi Hakim Nasution dkk,
Matematika 2
, Departemen
Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994.
Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White,
CliffsQuickReview
TMCalculus
, Pakar Raya, Bandung, 2004.
B.K. Noormandiri,
Buku Pelajaran Matematika SMA
, Jilid 2A,
Erlangga, Jakarta, 2004.
Edwin J. Purcell dan Dale Varberg,
Kalkulus dan Geometri Analitis
,
Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990.
http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function.
http://www.garizhdizain.com.
Ke slide terakhir Ke slide sebelum
Ke slide selanjutnya
Ke slide yang aktif terakhir Awal presentasi
Akhiri presentasi Tampilkan pilihan materi
Tampilkan referensi
Tampilkan bantuan Tampilkan evaluasi
Lihat jawaban (optional)
Jalankan animasi (optional)
Fungsi dari setiap menu dan ikon yang digunakan dalam slide
