ANALISIS HARMONIK KOEFISIEN a n, b n DERET FOURIER

(1)

ABSTRACT

A period function of real variable x can perform Fourier Series which initially was used in heat equation solution in the form of partial differential equation. Harmonic analysis can be used to find coefisien an and bn from Fourier Series on functions of data sets transfered to particular interval

which will be a period of the function. Euler Relation and Mean Value are the alternatives used to determine Fourier Series Coeficient.

Keywords: fourier series, period function, harmonic analysis, euler, mean value

ABSTRAK

Suatu fungsi periodik dari variabel real x dapat dilakukan perderetan menurut Deret Fourier, yang pada mulanya digunakan dalam penyelesaian persamaan panas dalam bentuk persamaan differensial parsial. Analisis harmonik dapat digunakan untuk mencari koefisien an dan bn dari Deret Fourier pada fungsi yang merupakan kumpulan data di mana data ditransfer ke interval tertentu yang akan merupakan periode dari fungsi. Relasi Euler dan Harga Menengah merupakan salah satu alternatif yang dapat digunakan dalam menentukan Koefisien Deret Fourier.

Kata kunci: deret fourier, fungsi periodik, analisis harmonik, euler, harga menengah

1

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara, Jln. Kebon Jeruk Raya No.27, Kebon Jeruk, Jakarta Barat 11530, [email protected]

(2)

PENDAHULUAN

Suatu fungsi periodik ƒ(x) sebagai fungsi dari variabel real x yang ditentukan dalam interval

0 2

≤

x

<

π

dapat dinyatakan dalam penjumlahan kosinus dan sinus yang dikenal sebagai Deret Fourier, yang diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768 – 1830) dengan tujuan untuk menyelesaikan persamaan panas dari suatu plat metal. Dalam perkembangan, ternyata Deret Fourier ini dapat digunakan dalam berbagai persoalan matematika dan fisika, antara lain proses signal, kelistrikan, mekanika kuantum, getaran, optik dan sebagainya.

Analisis pada koefisien an dan bn dari Deret ini dilakukan terutama bila ƒ(x) tidak dinyatakan dalam bentuk formula, melainkan sebuah kurva atau himpunan data-data dalam bentuk tabel. Himpunan nilai variabel x dari suatu fungsi ƒ(x) yang tidak diketahui dapat dibuat beberapa variasi bentuk fungsi, yang memberikan korelasi antara variabel x dengan ƒ(x), yaitu dengan kurva penyesuaian (curva fitting). Kesulitan yang dijumpai adalah memilih bentuk persamaan mana yang paling sesuai dengan data-data yang disajikan, koefisien dan derajat polinomial, bentuk eksponensial serta konstanta yang akan dimasukkan. Banyak cara untuk mendapatkan curva fitting ini termasuk pendekatan polinomial serta Analisis Harmonik (harmonic analysis) pada koefisien an dan bn dari Deret Fourier, yang merupakan pokok pembahasan pada tulisan ini (4, 5).

Analisis

Bila ƒ(x) merupakan fungsi periodik dengan periode 2π, yaitu ƒ(x + 2π) = ƒ(x) untuk semua bilangan real x, maka ƒ(x) dapat dinyatakan dalam suatu Deret Fourier sebagai berikut.

( )

(

)

( )

cos 0 n n n=1 2 n 0 2 n 0 a f(x) = + a cos nx + b sin nx 2 1 a = f(x) nx dx 1 b = f(x) sin nx dx π π

π

∞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

∑

∫

………... (1) di mana andan bn dinamakan koefisien Fourier dari ƒ(x), yang pada umumnya dapat dicari bila ƒ(x) dinyatakan dalam bentuk formula. Namun, sering fungsi dinyatakan dalam bentuk kurva atau variabel dalam tabel. Deret di atas dapat dinyatakan dalam bentuk ekspansi sebagai berikut.

[

]

= + + + + + 0 n n n=1 0 1 2 3 n 1 2 3 n a f(x) = + a cos(nx) + b sin(nx) 2 a

a cos(x) a cos(3x) a cos(3x) a cos(nx) 2

+ b sin(x) + b sin(2x)+ b sin(3x)+ b s

∞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∑

in(nx)+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ... (2)

Analisis terhadap koefisien an dan bn akan dilakukan dengan menggunakan Relasi Euler dan Harga Menengah (Mean Value) (2, 3).

(3)

2 4 4 3 3 5 5 3 4 5 = + 4 3 5 2 2! ! ! ! n x n x n x n x 1 + + i nx + 2! ! ! ! ⎪ ⎪ ⎬ ⎛ ⎞ ⎛ _⎞⎪ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ... (3) di mana _i₌ _{-1 , i}2 ₌ _-1_,_i4_{= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}₁

Bagian pertama merupakan perderetan dari cos nx dan bagian kedua perderetan dari sin nx sehingga

( )

=

inx inx

e

cos nx + i sin nx

e

−

cos nx i sin nx

⎫⎪

⎬

−

_⎪⎭

... (4) atau

( )

= ,

( )

= 2 2

inx inx inx inx

e + e e e

cos nx sin nx

i

− ₋ −

... (5) relasi (4) di atas dikenal sebagai Relasi Euler.

Substitusi cos nx

( )

dan sin nx

( )

pada persamaan (1)

0

( )

n n n=1 a f(x) = + a cos nx + b sin nx 2 ∞ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∑

menjadi 2 2 inx inx 0 n n n n n=1 inx inx 0 n n n n n=1 a a b a b f(x) = + + e + - e 2 2 2i 2 2i a a ib a ib = + e + e 2 ∞ − ∞ − ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢_⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡⎛ − ⎞ ⎛ + ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢_⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦

∑

... (6) Misalkan: n = n n dan n = n n a b i_{- +}a b i 2 2 2 2 α β sehingga diperoleh: n = + dan b = ( - ) n n n n n a

α

β

i

α β

... (7) Substitusi an dan bn 0

(

_n nix _n -nix

)

n=1

a

f(x) =

+

e

+

e

2 α

β

∞

∑

... (8) Karena 1 = cos 2n + i sin 2n

(

π

)

(

π

)

=

e

2niπ

maka 1 2ni ni 2m

_{1 = 1 = e}

2m 2m

_{= e}

m π π Bila rn = ni m e π

untuk n = 1, 2, ….. 2m, maka rm = -1 dan r2m = 1 sehingga dari persamaan (8)

(

nix -nix

)

0 n n n=1

a

f(x) =

+

e

+

e

2 α

β

∞

∑

akan diperoleh:

(4)

(

)

0 n n n=1

a

f(0) =

+

2 α

β

∞

∑

(

-1

)

0 n n n n n=1 a f = + r + r m 2

π

∞

_α

_β

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(

)

2 0 2 -2 n n n n n=1 a f = + r + r m 2 π ∞ _α _β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

………

(

)

2

1

0 2m -1 -2m+1 n n n n n=1

a

m

f

=

+

r

+

r

m

π

2 α

β

∞

−

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

sehingga

( )

0 - + 2 - .... - 2m 1 f f f f m m m π π − _π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

2 2m -1

)

(

-1 -2 -2m+1

)

n n n n n n n n n=1 =

∑

∞ ⎡_⎣

α

1 - r + r - ... - r +

β

1 - r + r - ... - r ⎤_⎦ Untuk n = 1, 2, 3, …….., m-1, m+1, …… 2m diperoleh:

( )

=

= 0

2m _2m n 2 2m-1 n n n n n n

1 - - r

1 - r

1 - r + r - ... - r

1 + r

dan

( )

1 1 = = = 0 -2m _-2m n -1 -2 -2m+1 n n n n n n 1 - - r 1 - r 1 - r + r - ... - r 1 + r− 1 + r−

Dengan definisi dari rn, maka untuk nilai n, r 1n≠ dan

2m n

r

= 1

di mana

=

2 2m -1 m m m

1 - r + r - ... - r

1 + 1 + 1 + .... + 1 = 2m

= -1 -2 -2m+1 m m m 1 - r + r - ... - r 1 + 1 + 1 + .... + 1 = 2m Karena (2 ) i rm s si m m

e

π +

= e

π untuk r dan s bilangan asli, maka dari persamaan di atas terdapat pengulangan dalam kelompok suku-suku yang memuat

a

_2m+1 , ...,

a

₄_m dan juga kelompok yang memuat β_2m+1 , ... β₄_m sehingga diperoleh:

( )

0 - + 2 - .... - 2m 1 f f f f m m m π π − _π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

2m (

α

m +

β

m +

α

3m +

β

3m +

α

5m +

β

5m... )

( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ _⎜ _⎟ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( m 3m 5m ) π 2π 2m - 1 2m a + a + a + ... f 0 - f + f - .... - f π m m m ……… (9)

Analisis untuk koefisien bn dapat dilakukan dengan cara yang sama. Misalkan _n = ni 2m e π

ρ

(n = 1, 2, …….. , 4m ), maka

ρ

_m = , i i

ρ

_2m = -1,

ρ

_3m = - ,

ρ

_4m = 1 dan 2 n = rn

ρ untuk setiap n sehingga dari persamaan (8) didapat

:

(

-1

)

0 n n n n n=1 a f = + + 2m 2 π ∞ _{α ρ} _{β ρ} ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(5)

………

(

)

4 1 0 4m -1 -4m+1 n n n n n=1 a m f = + + 2m π 2 α ρ β ρ ∞ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

. Dari persamaan di atas

3 5 4 1 2 2 2 2 m f - f + f - ... - f m m m m π π π − _π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

₁ 2 4 _{... -} 4m 2

)

₊ 1

(

₁ 2 4 _{... -} 4m 2

)

n n n n n n n n n n n=1 =

∑

∞ _⎣⎡α ρ − ρ +ρ − ρ − β ρ − − ρ − +ρ − − ρ − + ⎤_⎦ ……….. (10) Untuk n = 1, 2, 3, …….., m-1, m+1, …… 2m diperoleh:

=

0

2 4 4m -2 2 2m -1 n n n n n n

1 -

ρ

+

ρ

- ... -

ρ

1 - r + r - ... - r

=

= 0 -2 -4 -4m+2 -1 -2 -2m+1 n n n n n n 1 -

ρ

+

ρ

- ... -

ρ

1 - r + r - ... - r = di mana = 2 2 4 4m -2 2 2m -1 n n n n n n 1 -

ρ

+

ρ

- ... -

ρ

1 - r + r - ... - r = m dan = 2 -2 -4 -4m+2 -1 -2 -2m+1 m m m m m m 1 -

ρ

+

ρ

- ... -

ρ

1 - r + r - ... - r = m Untuk 2m suku-suku pertama (10) didapat

(

)

m -1

m m m m m

2m

α ρ

+ 2m

β ρ

= 2mi

α

-

β

karena

ρ

_m= i dan

_ρ

-1 = _{- i}

m untuk 2m suku berikutnya (10)

(

)

3m -1

3m 3m 3m 3m 3m 3m

2m

α ρ

+ 2m

β ρ

= - 2mi

α

-

β

= 2m b dan karena

(2 )

2 2

i rm s si

m m

e

π +

= e

π

di mana terjadi pengulangan suku-suku sehingga diperoleh persamaan

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( m 3m 5m ) π 3π 4m - 1 2m b - b + b - ... = f - f + ... - f π 2m 2m 2m ... (11)

Dari persamaan 9 dan 10 di atas diperoleh a30 = a50 = …… = b30 = b50 = … = 0 sehingga untuk m = 10 :

( )

1 0 π 2π 1 9 2 0 a = f 0 - f + f - .... - f π 1 0 1 0 1 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dan 10 π 3π 39 20 b = f - f + ... - f π 20 20 20 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dengan menggunakan kedua hasil di atas (9) dan (11), konstanta an dan bndapat dihitung, yaitu dengan memulai dari a10, b10 , a9, b9 sampai a1 dan b1 sedang untuk a0 diperoleh dari hubungan

( )

0

1 2 10

a

f 0 = + a + a + ... a

(6)

Contoh 1 Gambarkan kurva y = f(x) serta Analisis Harmonik dari data-data pada Tabel 1. Tabel 1 Data y sebagai fungsi dari x

x y x y 1 0 1.98 10 π -0.22 2 π/9 1.69 11 10π/9 -0.61 3 2π/9 1.7 12 11π/9 -0.58 4 3π/9 2.15 13 12π/9 -0.31 5 4π/9 2.79 14 13π/9 0.13 6 5π/9 3.11 15 14π/9 0.73 7 6π/9 2.77 16 15π/9 1.43 8 7π/9 1.82 17 16π/9 1.98 9 8π/9 0.67 18 17π/9 2.17 19 2π 1.98

Untuk menghitung a10, b10, a8, b8 dan seterusnya, dibuat tabel baru lagi dengan menggunakan interpolasi linear seperti ditunjukkan pada Tabel 2.

Dengan persamaan 9) untuk m = 10:

( )

1 0 π 2π 1 9 2 0 a = f 0 - f + f - .... - f π 1 0 1 0 1 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 10 10 20a = 2.866 a = 0.143⇒ 9 8 7 a = 0.11 , a = - 0.029 , a = 0.008

Demikian juga untuk konstante bn sehingga diperoleh hasil:

( ) = 1 .3 0 + 0 .9 2 c o s - 0 .4 2 c o s 2 + 0 .1 8 c o s 3 + 1 .1 0 s i n - 0 .6 8 s i n 2 - 0 .2 1 s i n 3

f x x x x x x x

Tabel 2 Konversi Tabel 1

x y x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) 1 0 1.98 0 1.98 0 1.98 0 1.98 0 1.98 0 1.98 0 1.98 2 π/9 1.69 0.34906 1.719 π/8 1.69125 π/7 1.692857 π/6 1.7085 π/5 1.698 π/4 1.8125 3 2π/9 1.7 0.34906 1.698 1π/4 1.8125 2π/7 1.957143 2π/6 2.15 2π/5 2.534 2π/4 2.95 4 3π/9 2.15 3π/10 2.015 3π/8 2.39 3π/7 2.698571 3π/6 2.95 3π/5 2.974 3π/4 2.0575 5 4π/9 2.79 4π/10 2.534 π/2 2.95 4π/7 3.061429 4π/6 2.77 4π/5 1.59 π -0.22 6 5π/9 3.11 π/2 2.95 5π/8 3.074583 5π/7 2.362857 5π/6 1.245 π -0.22 5π/4 0.5125 7 6π/9 2.77 6π/10 3.008 3π/4 2.0575 6π/7 0.998571 6π/6 -0.22 6π/5 -0.586 3π/2 0.43 8 7π/9 1.82 7π/10 2.485 7π/8 0.81375 π -0.22 7π/6 -0.595 7π/5 -0.046 7π/4 1.8425 9 8π/9 0.67 8π/10 1.59 π -0.22 8π/7 -0.60143 8π/6 -0.31 8π/5 1.76 10 π -0.22 9π/10 0.581 9π/8 -0.60625 9π/7 -0.46429 9π/6 0.43 9π/5 2.018 - 11 10π/9 -0.61 π -0.22 5π/4 -0.5125 10π/7 0.067143 10π/6 1.43 12 11π/9 -0.58 11π/10 -0.583 11π/8 -0.145 11π/7 0.83 11π/6 2.075 13 12π/9 -0.31 12π/10 -0.364 3π/2 0.43 12π/7 1.665714 14 13π/9 0.13 13π/10 -0.002 13π/8 1.1675 13π/7 2.115714 15 14π/9 0.73 14π/10 0.49 14π/8 1.5675 16 15π/9 1.43 15π/10 0.43 15π/8 2.14625 17 16π/9 1.98 16π/10 1.65 18 17π/9 2.17 17π/10 2.037 19 2π 1.98 18π/10 2.132

(7)

Deret Fourier dari suatu fungsi dinyatakan dalam bentuk:

( )

0 n n n=1

a

f x = +

a cos nx + b sin nx

2

∞

⎡

⎤

⎣

⎦

∑

, 0 x < 2≤ π ... (12) di mana 0 1 = ( ) 2π 0 a f x dx

π

∫

,

( )

1 = ( ) 2π n 0 a f x cos nx dx

π

∫

dan

( )

1 = ( ) 2π n 0 b f x sin nx dx

π

∫

... (13) Dengan menggunakan Harga Menengah, = 1 ( )

b

a

Mean f x dx

b a−

∫

... (14)

maka a0 , an dan bn pada persamaan (12) dapat dinyatakan dalam bentuk Harga Menengahmenjadi:

a0 = 2 1 ( ) 2 - 0

2π

0

f x dx

π

∫

atau a0= 2 kali Harga Menengah dari f(x)

( )

1 = 2 ( ) 2 - 0 2π n 0 a f x cos nx dx

π

∫

atau an = 2 kali Harga Menengah dari f(x) cos( nx)

dan = 2 1 ( )

( )

2 - 0 2π n 0 b f x sin nx dx

π

∫

atau bn = 2 kali Harga Menengah dari f(x) sin( nx)

Suku-suku a cos x + b sin x ₁ ₁ dari deret Fourier dinamakan first harmonic

Suku-suku a cos nx + b sin nx₂ ₂ dari deret Fourier dinamakan second harmonic dan seterusnya. Dengan menggunakan Harga Menengah di atas, maka konstanta dari deret Fourier dapat dicari. Contoh 2:dari contoh Tabel 1 sebelumnyadiperoleh

(8)

Tabel 3 Nilai Sin nx dan Cos nx

x y=f(x) x cos x cos 2x cos 3x sin x sin 2x sin 3x f(x) cosx f(x)

cos 2x f(x) cos 3x f(x) sin x f(x) sin 2x f(x) sin 3x 1 0 1.98 0 1 1 1 0 0 0 1.98 1.98 1.98 0 0 0 2 π/9 1.69 0.349 0.940 0.766 0.500 0.342 0.643 0.866 1.588 1.295 0.845 0.578 1.086 1.464 3 2π/9 1.7 0.698 0.766 0.174 -0.500 0.643 0.985 0.866 1.302 0.295 -0.850 1.093 1.674 1.472 4 3π/9 2.15 1.047 0.500 -0.500 -1.000 0.866 0.866 0.000 1.075 -1.075 -2.150 1.862 1.862 0.000 5 4π/9 2.79 1.396 0.174 -0.940 -0.500 0.985 0.342 -0.866 0.485 -2.622 -1.395 2.748 0.954 -2.416 6 5π/9 3.11 1.745 -0.174 -0.940 0.500 0.985 -0.342 -0.866 -0.540 -2.923 1.555 3.063 -1.064 -2.693 7 6π/9 2.77 2.094 -0.500 -0.500 1.000 0.866 -0.866 0.000 -1.385 -1.385 2.770 2.399 -2.399 0.000 8 7π/9 1.82 2.443 -0.766 0.174 0.500 0.643 -0.985 0.866 -1.394 0.316 0.910 1.170 -1.792 1.576 9 8π/9 0.67 2.792 -0.940 0.766 -0.500 0.342 -0.643 0.866 -0.630 0.513 -0.335 0.229 -0.431 0.580 10 π -0.22 3.142 -1.000 1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 0.220 -0.220 0.220 0.000 0.000 0.000 11 10π/9 -0.61 3.491 -0.940 0.766 -0.500 -0.342 0.643 -0.866 0.573 -0.467 0.305 0.209 -0.392 0.528 12 11π/9 -0.58 3.840 -0.766 0.174 0.500 -0.643 0.985 -0.866 0.444 -0.101 -0.290 0.373 -0.571 0.502 13 12π/9 -0.31 4.189 -0.500 -0.500 1.000 -0.866 0.866 0.000 0.155 0.155 -0.310 0.268 -0.268 0.000 14 13π/9 0.13 4.538 -0.174 -0.940 0.500 -0.985 0.342 0.866 -0.023 -0.122 0.065 -0.128 0.044 0.113 15 14π/9 0.73 4.887 0.174 -0.940 -0.500 -0.985 -0.342 0.866 0.127 -0.686 -0.365 -0.719 -0.250 0.632 16 15π/9 1.43 5.236 0.500 -0.500 -1.000 -0.866 -0.866 0.000 0.715 -0.715 -1.430 -1.238 -1.238 0.000 17 16π/9 1.98 5.585 0.766 0.173 -0.500 -0.643 -0.985 -0.866 1.517 0.343 -0.990 -1.273 -1.950 -1.714 18 17π/9 2.17 5.934 0.940 0.766 0.500 -0.342 -0.643 -0.866 2.039 1.662 1.084 -0.742 -1.395 -1.880 23.4 8.2486 -3.7563 1.6193 9.890 6.1288 -1.8358 a0 = 2 x Mean dari f(x) = 2 23.4 = 2,6 18 × :

a1 = 2 x Mean dari f(x)cos( x) = 2 8.249 = 0.92 18

×

a2 = 2 x Mean dari f(x) cos(2 x) = 2 - 3.756 = - 0.42 18

×

a3 = 2 x Mean dari f(x) cos(3 x) = 2 1.619 = 0.18 18

×

b1 = 2 x Mean dari f(x)sin( x) _{= 2}9.890_{= 1.10} 18

×

b2 = 2 x Mean dari f(x) sin(2x) _{= 2}- 6.129_{= - 0.68} 18

×

b3 = 2 x Mean dari f(x) sin(3x) _{= 2}-1.836_{= - 0.20} 18

× sehingga hasilnya adalah:

( )

(

)

( )

( ) = 1.30 + 0.92 cos - 0.42 cos + 0.18 cos + 1.10 sin - 0.68 sin - 0.20 sin

f x x 2 x 3 x x 2 x 3 x

(9)

Kedua metode memberikan hasil yang sama dalam bentuk Deret Fourier.

DAFTAR PUSTAKA

Askey, R., and Haimo, D.T. (1996). "Similarities between Fourier and power series." Amer. Math. Monthly, 103.

Brown, J.W., and Churchill, R.V. (1993). Fourier series and boundary problems, 5th ed., New York: McGraw-Hill.

Byerly, W.E. (1999). An elementary treatise on Fourier's series, and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics, USA.

Katznelson, Y. (1976). An introduction to harmonic analysis, 2nd_{corrected ed., New York: Dover} Publications, Inc.