DIKTAT KULIAH FISIKA ZAT PADAT I

DIKTAT KULIAH

FISIKA ZAT PADAT I

Oleh

Nyoman Wendri, S.Si., M. Si.

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha Esa, karena berkat rahmat-Nya sehingga Diktat Fisika Zat Padat I ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Terwujudnya Diktat Fisika Zat Padat ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, sehingga pada kesempatan yang baik ini menghaturkanbanyak terima kasih kepada yang terhormat:

1. Bapak Drs. Ida Bagus Made Suaskara, M.Si, selaku Dekan FMIPA Universitas Udayana

2. Bapak Ir. S. Poniman, M.Si selaku ketua Jurusan Fisika FMIPA Universitas Udayana

3. Bapak Drs. Made Sumadiyasa, M.Si, atas bantuan yang telah memberikan masukan dan koreksi sehingga diktat ini bisa terselesaikan.

4. Bapak serta Ibu dosen jurusan fisika dilinkungan Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Udayana yang telah memberikan dukungan sehingga Diktat Fisika Zat Padat I ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.

Pada kesempatan ini penulis senantiasamengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun

Bukit Jimbaran, Juni 2016

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman JUDUL

HALAMAN JUDUL ... i

LEMBAR PENGESAHAN ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR ISI ... iv

BAB I. STRUKTUR KRISTAL...1

1.1 Kisi Kristal : Basis dan Kisi ; Sistem Kristal...1 1.2 Sistem Indeks Bidang Kristal

1.3 Struktur Kristal Sederhana

1.4 Ikatan Kristal ; Kristal dari Gas Inert BAB II . DIFRAKSI KRISTAL

2.1 Hukum Bragg

2.2 Kisi Balik /Resiprok (Reciprocacal lattice) 2.3 Vektor Kisi Balik

2.4 Difraksi dan Hukum Bragg BAB III. DINAMIKA KISI (Fonon)

3.1 Gelombang Elastis

3.2 Vibrasi Pada Kisi Monoatomik 3.3 Kecepatan Fase dan Kecepatan Group 3.4 Kisi Linier Diatomik

BAB IV. SIFAT-SIFAT TERMAL 4.1. Energi Model Klasik 4.2. Energi Model Einstein 4.3. Energi Model Debeye 4.5. Ekspansi Termal

BAB V. ELEKTRON BEBAS GAS FERMI

5.1. Pengaruh Suhu Terhadap Distribusi Fermi-Dirac 5.2. Gas Elektron Bebas Dalam Tiga Dimensi

5.3. Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm 5.5. Efek Hall

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

STRUKTUR KRISTAL

Suatu benda padat tampak sebagai benda yang kontinyu, tetapi bila diteliti lebih mendalam, secara mikroskopik benda padat tersebut tersusun atas unit-unit yang diskrit, atom-atomnya tersusun dengan teratur mengikuti suatu pola. Suatu kristal ideal adalah dibangun oleh pengulangan tak berhingga unit-unit struktur ideal dalam ruang.

1.1. Kisi Kristal

Kisi kristal terdiri dari kisi Bravais dan non Bravais, kisi Bravais seluruh titik kisi adalah ekuivalen, oleh karenanya seluruh atom dalam kristal sama jenisnya. Sedangkan dalam kisi non Bravais terdapat titik-titik kisi yang tidak ekuivalen. Seperti diperlihatkan pada Gambar 1.1 kisi tempat A, B, C adalah ekuivalen satu sama lain, sedangkan tempat A’, B’, C’ juga ekuivalen satu sama lain. Tetapi dua tempat, A dan A’ adalah titik ekuivalen. Atom pada A dapat sama atau tidak dengan atom pada A’. Misalnya dua atom H atau atom H dan Cl.

Gambar 1.1. Kisi non Bravais

Kisi non-Bravais terkadang diungkapkan sebagai kisi dengan basis. Pada Gambar 1.2, basisnya adalah A dan A’. Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih kisi Bravais dengan orientasi tertentu. Oleh karenanya, titik-titik A, B, C dan seterusnya membentuk kisi Bravais, sedangkan titik-titik A’, B’, C’ membentuk kisi Bravais yang lain. Struktur kristal real terbentuk bila atom-atom basis ditempatkan secara identik pada setiap titik kisi. Relasi logikanya adalah :

Kisi + Basis = Struktur Kristal

Setiap titik dalam kisi tiga dimensional dapat ditulis sebagai ujung dari vektor kisi.

Rn = n1a, + n2b + n3c (1.1)

Dimana : a, b, dan c adalah vektor; n1, n2 dan n3 bilangan yang nilainya tergantung pada

titik kisinya. Seperti diberikan pada Gambar 1.2. dalam gambaran dua dimensi, titik asal berada pada titik kisi tertentu, A. Titik B, (n1, n2) = (1,0); C, (n1, n2) = (1,1), D, (n1,n2) =

(0,-1).

Gambar 1.2. Vektor a dan b adalah vektor basis kisi. Vektor a dan b’

membentuk satu set vektor basis yang lain. Daerah yang diarsir adalah satu unit sel untuk kedua basis tersebut

1.2. Sistem Indeks Bidang Kristal

Perhatikan Gambar 1.3 perpotongan pada vektor basis a, b, c bidang ABC adalah pada 3a, 2b, 2c. Resiproks bilangan tersebut adalah 1/3, 1/2, 1/2. Ini dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat dengan mengalikan ketiga bilangan tersebut dengan 6 sehingga diperoleh 2, 3, 3. Maka indeks bidang tersebut adalah (h k l) = (2 3 3). Indeks Miller secara matematis dapat diselesaikan :

Tentukan perpotongan sepanjang sumbu vektor a, b, c dan andaikan perpotongan tersebut sebagai x, y, z masing-masing sebagai fraksi perkalian dari a, b dan c. dengan demikian kita dapatkan tiga fraksi :

c z b y a x , , (1.2)

Cari kebalikan dari fraksi tersebut dan direduksi dengan suatu bilangan sehingga

diperoleh bilangan bulat terkecil, yang dinyatakan sebagai indeks Miller (h, k, l) dengan

Jika bidang memotong sumbu pada sisi negatif dengan titik asal, indeks

Misalnya pada kasus di atas, x = 3a, y = 2b, z = 2c. kebalikan fraksionalnya adalah

z c n l y b n k x a n h ,  ,  (1.3)

Gambar1.3. Bidang ABC : Indeks bidang (2 3 3) ; Bidang ADE :

Indeks bidang (434) ; Bidang AD~ : Indeks bidang (4 3 0) Jarak antara bidang dengan indeks Miller yang sama, (h k l) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan yang tergantung pada struktur kristalnya. Secara umum, jarak antara bidang dh k l : 2 2 2 1 1 1 1 z y x d_hkl    2 1 2 2 2 2 2 2 1          c l b k a h (1.4)

1.3. Struktur Kristal Sederhana

Struktur sodium klorida, NaCl adalah sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.4. Struktur kristal NaCl dikonstruksi oleh ion Na+ dan Cl- yang terletak berselang seling pada titik kisi dari kisi kubus. Dalam kristal setiap ion dikelilingi oleh enam ion lain terdekat dengan muatan berlawanan. Ruang kisinya adalah FCC dan basisnya terdiri dari ion Cl- pada 000 dan ion Na+ pada ½, ½, ½. Pada setiap unit kubus terdapat empat unit NaCl dengan atom-atom pada posisi :

Cl : 0 0 0; ½ ½ 0; ½ 0 ½; 0 ½ ½ Na : ½ ½ ½; 0 0 ½; 0 ½ 0; ½ 0 0

1.4. Ikatan Kristal

Energi kohesif pada kristal adalah energi yang harus ditambahkan pada kristal untuk memisahkan komponen-komponennya menjadi atom bebas pada jarak pisah tak terhingga. Energi kisi digunakan dalam pembicaraan kristal-kristal ionik dan didefinisikan sebagai energi yang diberikan pada kristal untuk memisahkan komponen-komponennya menjadi ion-ion bebas.

1.4.1. Kristal dari Gas-Gas Inert

Misalkan dua atom gas inert yang identik dipisahkan oleh jarak R dengan R << C jari jari atom. Apakah ada interaksi diantara atom-atom netral tersebut ?

Gambar 1.6. Koordinat Dua osilator

Ambil P1 dan P2 merupakan momentum masing-masing osilator dan C merupakan

konstanta gaya. Sistem Hamiltonian adalah :

(1.5) Setiap osilator tak terkopel memiliki frekuensi o dan konstanta gaya C = mo2,

H1 energi interaksi coulomb dua osilator yaitu:

(1.6)

Bila |x1| dan |x2| << R, dan menyelesaikan Persamaan (1. 6) maka dapat diperoleh

(1.7) Hamiltoman total dengan menggunakan bentuk pendekatan Persamaan (1.7) bagi H1.

Modus simetri dan anti-simetri dari gerakan dua osilator adalah :

Momentum bagi dua modus, Ps dan Pa :

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x C P m x C P m H_o    2 2 1 2 2 1 2 2 1 x R e x R e x x R e R e H         3 2 1 2 1

2

R

x

x

e

H







1 2



2 1 x x x_s 



1 2



2 1 x x x_a 



xs xa



x   2 1 1



xs xa



x   2 1 2



Ps Pa



P   2 1 1 P 



Ps Pa



2 1 2 (1.8) (1.9) (1.10)

Dengan demikian, Hamiltonian total H adalah H0 + H1, (1. 2 / 1 3 2 2 / 1 2 1 _             CR e M C    dengan





      _{  }   .... 8 1 2 1 1 X 1/2 X X2 o o H   2 1 2 0   dengan T= 0K

Energi terendah (titik nol) adalah ½(a + s); Energi osilator tak tergandeng adalah

2.(½0) dan setelah tergandeng energinya berkurang sebesar U,

                   2 3 2 0 2 8 1 CR e U U U _akhir _o

Energinya pada saat jarak tertentu adalah bersifat tolak-menolak yang sebagian besar diakibatkan oleh prinsip larangan Pauli : dua elektron tidak dapat memiliki seluruh bilangan kuantum yang sama. Energi potensial total pada dua atom dengan jarak R adalah : ₁₂ R B U                         6 12 4 R r R r  A46,B412 _          R U exp                               2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 a a s s x R e C P m x R e C P m H 2 1 3 2 1 2               m R e C  2 1 3 2 ₁ 2               m R e C                          2 ... 8 1 2 2 1 1 2 3 2 3 2 0 CR e CR e  6 2 3 0 2 8 R A CR e h U             C e h A 2 4 0   (1.11) (1.12) (1.13)

 

                      6 12 4 R R R U    (1.14) 5

 

 

                       6 12 4 2 1 R R N R U   dengan 



j ij ij P R P

Telah dilakukan evaluasi untuk struktur FCC :

Untuk hCP



12 12.13229;



6 14,45481 ij ij ij ij  

Besar R0 kesetimbangan dapat dicari

 

0  dR R dU_t 0 0 6 0 1,09 1 26 , 24 45 , 14 R R R R _                 0  091,   R

untuk keadaan equilibrium m dengan R0 adalah jarak terdekat

Sehingga diperoleh:

1.4.2. Ikatan Kristal Ionik

Apabila ion Na+ dan ion Cl- saling berdekatan satu sama lain, energi tarik-menarik Coulomb pada jarak pisah antar inti R relatif terhadap energi nol pada jarak tak terhingga adalah :

Bentuk lain interaksi tolak menolak (suku pertama persamaan (1.14) adalah dalam bentuk empiris :

(1.20) Dengan menggunakan Persamaan (1.19) dan (1.20), energi interaksi antara ion ke i dan ion lain adalah

                            





j ij j ij tot R p R p N U 6 12 4 2 1   45392 . 14 ; 13188 . 12 6 12    





j ij j ij p p          2 (12)(12.13) 12₁₃ (6)(14.45) ₇6 R R N dR dU_{tot }   09 , 1 0   R R q U o coil



4 2        _   R B Urep exp.





              R B R q U U U o rep coul ij . exp 4 2 (1.19)

11

(1.21) Kontribusi interaksi Van der Waals pada energi kohesif dalam kristal ionik

(`1.22) Energi total pada kristal yang terkomposisi atas Ñ molekul atau 2 N ion adalah diungkapkan sebagai,

Definisi ekivalen dari Persamaan (1.24) adalah :

Ambil ion negatif sebagai ion acuan dan jarak R sebagai jarak antar ion terdekat. Hasilnya :

Dengan membandingkan kedua deret di atas dengan x = 1 maka konstanta Madelung rantai satu dimensi di atas adalah

Untuk sistem kristal kita perhatikan kristal NaCl; terdapat : 6 Cl- terdekat dengan jarak R

12 Na+ terdekat berikutnya dengan jarak  2 R 8 Cl- berikutnya dengan jarak  3 R

dan seterusnya. Maka

Atau   1, 748

Untuk kristal CsCl;   1,762675; kristal ZnS (kubus),  = 1,6381. Turunan pertama terhadap R dan pada kondisi sama dengan nol.



 j ij i U U R q R B U o ij   4 exp 2                    R q e zB N U N U o R i tot    4 2 (1.23)

  





  j pij Madelung konstanta  (1.24)







j

r

_j

R



    _{   }      _{   }  ... 4 1 3 1 2 1 1 2 ... 4 1 3 1 2 1 1 2   R R R R R (1.25)





... 4 3 2 1 ln 4 3 2      x x x x x

2

ln

2





    _{  }  ... 3 8 2 12 6 R R R R  0 4 exp 0 2 0        _   R q N R NzB dR dU o tot    

Maka energi ikat pada jarak R tertentu :

Pada jarak pisah kesetimbangannya, R=R0

(1.28)

Soal-Soal

1. Pikirkanlah struktur fcc, bcc, hcp dan intan

Gambarkan satu satuan sel struktur tersebut, nyatakan posisi atom sebagai fungsi tinggi dari satu satuan sel

a. Beri koordinat atom dalam basis masing-masing struktur tersebut.

b. Jika struktur dibangun oleh bola-bola yang saling berkontak, hitunglah fraksi yang ditempati oleh bola-bola tersebut.

2. Sudut antara ikatan tetdra hedral pada intan adalah sama dengan sudut antara diagonal ruang kubus. Gunakanlah analisis vektor elementer untuk menentukan besar sudut tersebut.

3. Tunjukkanlah bahwa perbandingan c/a untuk suatu struktur paket tertutup heksagonal (hcp) adalah 1.633.

4. Gambarkan satu satuan sel kubus dengan bidang kisi (122), (201), (233) dan (222)           0 2 2 . exp 4 R zR q B o o (1.26)                     Ro R Ro R R q N U o i 1 exp 4 2 2        Ro R q N U o eq    1 4 ₀ 2 (1.27)

BAB II

DIFRAKSI OLEH KRISTAL 2.1 Hukum Bragg

Berkas datang direfleksikan secara persial pada setiap bidang seperti terlihat pada gambar 2.1. Andaikan jarak antar bidang

Gambar 2.1. Model Difaksi untuk menurunkan persamaan Bragg Beda lintasan untuk kedua berkas termaksud adalah:

           ' ' 2AB AC AC BC AB karena    BC AB Sedangkan  sin d AB   dan    cos tan 2 cos ' d AC AC     Sehingga







    2 2 cos 1 sin 2 cos sin 2 sin 2 _{  }   d d d 2dsin

Interferensi yang saling menguatkan terjadi apabila 

n



 ;

Dimana: n adalah bilangan bulat positip λ adalah panjang gelombang sinar-X

Sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl)

,... 4 , 3 , 2 , 1 sin 2   n d n hkl 

2.2. Kisi Balik (Reciprocal Lattice) 2.2.1. Vektor Kisi Balik (resiprok)

Kita membangun sumbu vektor b1, b2 dan b3 untuk kisi balik dengan hubungan

3 2 1 3 2 1 2 xa a a xa a b    ; 3 2 1 1 3 2 2 xa a a xa a b    ; 3 2 1 2 1 3 2 xa a a xa a b    (2.2) Setiap vektor yang didefinisikan oleh Persamaan (2.2) adalah ortogonal dengan dua sumbu vektor kisi kristal. Sifat-sifat dari b1, b2 dan b3 adalah bahwa

ij j

i a

b  2 (2.3)

Dimana berlaku aturan ij = 1 jika i = j , α = 0 0 dan ij = 0 jika ij. α =- 90 0

Titik dalam kisi balik dipetakan dengan seperangkat vektor dalam bentuk vektor kisi balik G : 3 3 2 2 1 1b v b v b v G   (2.4) 2.2.2. Kisi Resiprok dari kisi simple cubic (sc)

Vektor basis dari kekisi kubus sederhana adalah

  xa a₁ ;   ya a₂ ;   za a₃ (2.5) Dengan x, y dan z adalah vektor satuan. Volume sel adalah a1a2xa3 a3. Vektor basis

primitif dari kisi baliknya dapat diperoleh dari Persamaan ( 2.2),

x a b₁  2 ; y a b₂  2 ; z a b₃  2 (2.6) Dalam hal ini konstanta kisi adalah 2/a.

Batas-batas daerah Brillouin pertama adalah bidang normal dari 6 vektor kisi balik

3 2

1; b ; b

b  

 , yaitu pada titik tengahnya,

 

    b1  a x 2 1 ;

 

    b2  a y 2 1 ;

 

    b3  a z 2 1 (2.7) Keenam bidang batas sebuah kubus dengan tepi 2/a dan volume



2/a



3. Kubus ini adalah daerah Brillouin pertama kisi kristal kubus sederhana.

Vektor basis primitif dari kekisi bcc, seperti terlihat pada Gambar 2.2 adalah ) ˆ ˆ ˆ ( 2 1 ; ) ˆ ˆ ˆ ( 2 1 , ) ˆ ˆ ˆ ( 2 1 3 2 1 a x y z a a x y z a a x y z a           (2.8)

Dengan a adalah rusuk dari kubus dan x, y dan z adalah vektor satuan. Volume satu satuan sel primitif adalah,

3 3 2 1 2 1 .a xa a a V  (2.9) Dengan menggunakan persamaan 2.2, vektor basis kisi balik bcc adalah

) ˆ ˆ ( 2 ; ) ˆ ˆ ( 2 ; ) ˆ ˆ ( 2 3 2 1 x y a b z x a b z y a b          (2.10) Vektor kisi balik dengan bilangan bulat h, k dan l dapat ditentukan dengan menggunakan

Persamaan (2.4) dan (2.10), yaitu

(2.11)

Setiap sel mengandung satu titik kisi pada titik pusat selnya. Daerah ini (untuk kisi bcc) dibatasi oleh bidang normal terhadap 12 vektor, pada titik tengah dari

(2.12)

Daerah tersebut terdiri atas 12 permukaan dalam bentuk rhombik-dodekahedron, Gambar 2.4. Vektor-vektor dari titik asal ke titik pusat setiap permukaan adalah

Gambar 2.2. Vektor basis oprimitif pada kisi bcc



k x h y h k z



a G2 ( )ˆ( )ˆ(  )ˆ











y y



a z x a z y a ˆ ˆ 2 ; ˆ ˆ 2 ; ˆ 2                            11











x y



a z x a z y a ˆ ˆ ; ˆ ˆ ;   ˆ ˆ                       (2.13) .Pemilihan tanda dilakukan secara bebas sehingga memberikan 12 vektor.

2.3. Kondisi Difraksi dan Hukum Bragg

Didefinisikan vektor hamburan k sedemikian rupa k + k = k’. Ini merupakan ukuran dari perubahan vektor gelombang terhambur. Bila yang terjadi adalah hamburan yang bersifat elastis, tidak ada perubahan besar vektor gelombang :

k  k' 2 _ (2.17) Seperti diperlihatkan pada Gambar 2.7, perubahan vektor k dalam k adalah tegak lurus terhadap bidang (hkl) . Arahnya adalah searah dengan arah G(hkl) atau vektor satuan n. Maka diperoleh hubungan

(2.18) Dapat ditunjukkan bahwa jarak antar bidang d(hkl) berkaitan dengan besar G(hkl) dalam bentuk hkl hkl G d  2 (2.19)

Oleh karenanya Persamaan (2.18) dapat diuangkapkan sebagai

(2.20) Jika hukum Bragg terpenuhi maka,

(2.21) Dari persamaan ini, hubungan antara vektor gelomabang awal dan akhir refleksi Bragg gelombang - partikel dapat ditulis sebagai

(2.22)

Sehingga kondisi difraksi dapat ditulis sebagai





2 2

k G

k  atau

2k .G  G2 0 (2.23) Ini adalah ungkapan khusus yang dipergunakan sebagai kondisi bagi difraksi

 

hkl hkl G G Sin n Sin n k Sin k k k                      4 4 2 1 ) ( ) ( 2 hkl G Sin hkl d k _ _    hkl G k   k G k'  hkl 

17

Produk skalark dan G, dari persaman 2.3 dan 2.4, kita dapatkan,

(2.24) Persamaan ini adalah persamaan Laue, yang mana digunakan dalam pembicaraan simetri dan struktur kristal. Persamaan (2.24) di atas memiliki interpretasi sebagai berikut,



cos₁ cos₁



h;

a   a



cos₂cos₂



k; a



cos₃ cos₃



l; 2.4. Faktor Struktur

Hasil difraksi gelombang oleh keseluruhan atom dalam unit sel (satu satuan sel) dinyatakan dalam faktor struktur. Bila kondisi difraksi terpenuhi amplitudo terhambur bagi kristal terdiri dari N sel adalah diungkapkan sebagai

G C N S

F   (2.25)

Dimana kuantitas SGdisebut dengan faktor struktur yang didefinisikan sebagai

(2.26) Dengan rj adalah vektor terhadap pusat atom ke j

(2.27) Dan fj = faktor atomik. Kemudian, bagi refleksi yang tandai dengan h, k, l,

(2.28)

Sehingga persamaan (2.26) menjadi

 



_





 





j j j j j G hkl f i hx ky lz S exp 2 (2.29)

Faktor struktur S tidak perlu real karena intensitas hamburan adalah melibatkan S*S yang hasilnya adalah real, dimana S* adalah “kompleks konjugate” dari S.

Basis bcc adalah sel kubus dengan atom-atom identik pada x₁ y₁ z₁ 0 dan 2 1 2 2 2  y z  x . Dengan Persamaan (2.29),

dan S = 0, bila h+k+l = bilangan ganjil S = 2f, bila h+k+l = bilangan genap

Misalnya Sodium memiliki struktur bcc. Puncak difraksi (100), (300), (111) atau (221) tidak ada, tetapi puncak (200), (110) dan (222) tampak.

l k a k k a h k a1. 2 ; 2 . 2 ; 3. 2



 j r G i j G j e f S .. 3 2 1 y a z a a x r_j  _j  _j  _i











j j j



j j j

lz

ky

hx

a

z

a

y

a

x

b

l

b

k

b

h

r

G



















2

.

_{1 2 3 1 2 3}

 

hkl f





i



h k l







S  1exp   

Basis struktur fcc untuk sel kubus dengan atom identik pada 000 ; 0½ ½ ; ½01/2, ½ ½ 0. Dengan Persamaan (2.29)

S  0 , bila hkl adalah bilangan genap S  0, bila hkl adalah bilangan ganjil S = 0, bila hkl adalah dua genap satu ganjil S = 0 , bila hkl adalah satu genap dua ganjil

Beberapa contoh menghitung faktor struktur geometrik Fhkl, Sel satuan kubik sederhana

(SC; Simple cubic), Atom terletak di (000)

 



_





 





j j j j j G hkl f i hx ky lz S exp 2  fae2 i000  S_G 2  f_a2 Base-Centered Cell

Atom-atom ini terletak di

 

000 dan ₂1 2 1 2 1

 



_





 





j j j j j G hkl f i hx ky lz S exp 2      



ih k



a k h i a a l k h i a l k h i a e f e f f e f e f         _{ }             1 0 2 1 2 1 2 0 0 0 2

 

a G hkl f

S 2 , untuk h dan k yang tidak tercampur ; artinya keduanya genap atau

keduanya ganjil

 

hkl 0

SG , untuk h dan k tercampur artinya h dan k tidak dua-duanya genap atau dua- duanya ganjil

Persamaan (2.25) adalah sebagai penjumlahan bentuk eksponensial,

 





j i j j e f hkl F  (2.30) B i A Sin i Cos ei       

Dengan fj = faktor fase. Dari bentuk identitas

Sehingga, B f A f Sin i f Cos f e f i    







Dalam difraksi intensitas adalah terkait dengan besar absolut |F|. ungkapan trigonometri untuk menghitung |F| :

(2.31) Selanjutnya dapat ditulis sebagai,

(2.32)

Bagian trigonometrei sering ditulis sebagai faktor struktur geometri ditulis secara terpisah

A dan B adalah fungsi koordinat posisi atom dalam sel,

Bila struktur kristal memiliki pusat simeteri dan titik asal berada pada koordinat pusat tersebut maka faktor struktur dapat lebih sederhana. Dalam hal ini atom pada titik xyz adalah cocok dengan atom yang sama pada titik –(xyz) fase kedua atom :

Jadi bila pusat simetri pada titik asal, terdapat pasangan atom yang identik dengan besar fase yang sama tetapi berlawanan tanda. Karena cos (-) = cos  untuk seluruh  dan sin (-) = -sin  maka, 



  j j j j jCos hx kt lz f hkl F( ) 2( ) Soal-soal Bab 2

1. Vektor translasi primitive kisi ruang heksagonal diberikan oleh,

)yˆ; a zˆ 2 ( xˆ ) 2 3 ( a ; yˆ ) 2 ( xˆ ) 2 3 ( a1 2 3 c a a a a      

Buktikan bahwa volume sel primitif adalah a2c

2 3         ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) y ( ) ( 2 ) ( xyz lz ky hx lz hy hx z x lz hy hx xyz                   





      ) ( 2 ) ( 2 lz ky hx Sin B lz ky hx Cos A  









2 1 2 2 2 sin 2 cos                          





j j j j j j j j j j hx ky lz f hx ky lz f F   2 1 2 2                      





j j j j j jA f B f F 2 1 2 2                         j j j j j jCos f Sin f   15

2. Buktikan bahwa translasi primitif kisi baliknya adalah )yˆ; b (2 )zˆ a 2 ( xˆ ) 3 2 ( b ; yˆ ) 2 ( xˆ ) 3 2 ( b1 2 3 c a a a           

Perhatikan suatu bidang hkl dalam suatu kisi kristal.

(a). Buktikan bahwa vektor kisi balik G=ha1+ka2+la3 adlah tegak lurus terhadap

bidang hkl tersebut.

(b). Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan adalah d(hkl)=2/|G|.

(c). Tunjukkan bagi sebuah kisi kubus _{2 2 2} 2 2 l k h d    a

BAB III VIBRASI KRISTAL 3.1. Gelombang Elastis

Vibrasi dapat dipandang sebagai gelombang elastis. Andaikan gelombang elastis merambat dalam suatu medium yang berbentuk batangan seperti Gambar 3.1.

x x+dx

Gambar 3.1. Gelombang elastis dalam suatu medium

Bila gelombang yang merambat adalah gelombang longitudinal dan perpindahan secara elastis pada titik x adalah u(x) dan sesuai dengan hukum Newton II pada segmen dx berlaku hubungan :

(3.1) dimana  = rapat masa ; A = luas penampang ; S = stress yang didefinisikan sebagai gaya persatuan luas, sesuai dengan hukum Hooke,

Ye

S  ; (regangan=strain) (3.2) Dengan Y = modulus Young (atau modulus elastis “bulk” K) e = strain yang didefinisikan

sebagai :

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) dan dengan menggantikan S pada persamaan (3.1), maka diperoleh

(3.5) Penyelesaian Persamaan (3.4) adalah berbentuk :

kx t

i

Ce

U   (3.6) C = amplitudo ; k = bilangan gelombang ;  = frekuensi sudut gelombang dengan hubungan : vk   (3.7)







S x dx S x



A t x u dx (₂ ) ( ) 2       dx du e    Y v t u v x u t u Y x u             0 1 ; ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 (3.3) (3.4) )) 17

Laju suatu gelombang longitudinal dalam medium dengan rapat masa  adalah diberikan oleh Persamaan (3.5), yaitu

Dengan B adalah modulus “bulk” elastis atau koefisien kekakuan medium. Dengan mengetahui rapat masa dan modulus bulk (dapat diukur) laju 0 dapat dihitung.

3.2. Vibrasi Pada Kisi Monoatomik

Energi vibrasi dari kisi disebut sebagai fonon, yang mana merupakan vibrasi kolektif suatu bahan. Gambar 3.2. memperlihatkan model kisi dengan basis monoatomik dalam satu bidang s dengan konstanta kisi sama dengan a. Pada saat bervibrasi setiap atom berpindah dari tempatnya. Karena atom-atom berinteraksi satu sama lain dengan atom terdekatnya, atom-atom yang bervibrasi bergerak secara bersamaan. Bila terdapat gaya yang bekerja pada bidang s sehingga mengakibatkan perpindahan atom-atom pada bidang s ke s+p, dimana gaya tersebut sebanding dengan perbedaan perpindahan kedua bidang, (Us+p – Us). Bila kita hanya memperhatikan interaksi antara bidang terdekat saja,

yaitu p = ± 1 saja., supaya total pada s yang datang dari bidang s ± 1 :

(3.8) (a)   ₀ v  B











1 1



1 1 2 _{ }           s s s s s s s s U U U U U U U F   

(b)

Gambar 3.2. Model kisi monotomik (a). Bidang atom berpindah pada gelombang longitudinal (b). Bidang atom berpindah pada gelombang transversal, menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangannya. Pada zat padat yang homogen transmisi suatu gelombang bidang dalam arah tertentu, arah x dapat diungkapkan dalam bentuk persamaan perpindahan,

U  expA



i



kxt





(3.9) A = amplitudo, k = bilangan gelombang,  = frekwensi sudut, t = waktu. Lebih khusus seamalog dengan Persamaan (3.9), perpindahan bidang ke s,

Us  expA



i



ksat





(3.10)

sa = posisi kesetimbangan bidang ke s ; a = jarak antar bidang. Turunan dua kali pers.(3.10) terhadap waktu t, diperoleh

… (3.11)

Sesuai dengan hukum Newton kedua, gaya pemulih pada bidang s adala

(3.12)

Dari Persamaan. (3.8) dan (3.12) :

(3.13)









s s U t ksa i A dt U d 2 2 2 2 exp          s s s m U dt U d m F ₂ 2 2    





 







ika ika



m U U U U m U U U U m s s s s s s s s                       . exp . exp 2 2 2 1 1 2 1 1 2      19

Kita ketahui bahwa 2 cos x = eix + e-ix , maka









           2 4 1 2 2 2 2 2 ka Sin m ka Cos m ka Cos m     (3.14)

Dari Persamaan (3.14) kita dapatkan bahwa hubungan dispersi gelombang dalam kisi monotomik adalah :

3.4. Kristal Linier Diatomik

Pada bagian ini kita bahas model matematis kristal linier diatomik. Dalam model ini kita memiliki dua jenis atom yang bermasa M yang terletak dalam suatu bidang dan atom yang bermasa m pada bidang yang lain. Kedua atom tersebut dapat dipandang sebagai satu rantai linier dimana jarak antara dua atom terdekat pada saat keadaan kesetimbangannya adalah a.

Gambar 3.4. Untaian linier atom bermasa m dan M dengan jarak

antara dua atom terdekat adalah a, jarak pengulangan adalah 2a Diasumsikan bahwa interaksi hanya terjadi diantara atom terdekat saja dan konstanta gaya adalah identik. Perpindahan yang terjadi adalah dalam daerah jangkauan hukum Hooke. Persamaan gaya bagi perpindahan U2l dan U2l + 1 adalah :

(3.23)

Persamaan ini diharapkan mempunyai solusi yang berbentuk :

  ka r t i r Ae U₂  2  (3.24)







2 2 2 2 1



1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2                 r r r r r r r r r r U U U U m dt U d m U U U U m dt U d M    

 

ka r t

i r Be

U_{2 1}  2 1 Subtitusi Persamaan (3-24) ke dalam Persamaan (3-23), diperoleh persamaan

linier simultan.



e e



B A B M2  ika  ika 2



e e



A B A m2  ika  ika 2 Atau

 



ka



B A B M2  2cos 2 m2AB



2cos

 

ka



2A (3.25) Ini memberikan persamaan Untuk A dan B











2 cos





2



0 0 cos 2 2 2 2        B M A ka B ka A m      

Persamaan ini memiliki solusi yang tidak trivial hanya jika determinan koefisien A dan B sama dengan nol.





 

 



2



2 2 cos 2 cos 2 2       m ka ka M     = 0 Yang memberikan solusi untuk ω2

 

2 2  2



2









4 2



1cos2



0 ka M m Mm    

 

2 2Mm2



2



mM





42sin2ka0 2 1 2 2 2 1 1 1 1 4 ( )                          mM ka Sin M m M m    (3.26)

Dari pers.(3.26) diperoleh dua solusi, yaitu

a. Dengan 12 0 untuk k = 0 12 = 2/M , untuk ka = /2 b. Dengan 2 2



1/m 1/M



2     untuk k = 0 2 1 2 2 2 1 ) ( 4 1 1 1 1                          mM ka Sin M m M m   2 1 2 2 2 2 ) ( 4 1 1 1 1                          mM ka Sin M m M m    (3.27) 21

₂2 2/m untuk ka = /a (3.28) Cabang bagian bawah pada Gambar 3.5 diperoleh dari pemilihan negatif pada Persamaan (3-26). Cabang ini disebut dengan cabang akustik. Sedangkan cabang bagian atas diperoleh dari pemilihan tanda positif pada persamaan (3.26). Cabang ini disebut dengan

cabang optik.

Gambar 3. 5. Cabang optik (bagian atas) dan akustik (bagian bawah)

dari relasi dispersi untuk kisi linier diatomik, dengan jarak pengulangan adalah 2a.

Dari Gambar 3.5 (cabang akustik) tampak bahwa :

1. Perpindahan sekarang dapat diungkapkan dalam bentuk vektor gelombang dengan harga /2a, dibandingkan dengan batas daerah Brillouin pada ± /a pada rantai linier monoatomik. Dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa daerah Brillouin adalah ditentukan oleh jarak pengulangan 2a, bukan oleh jarak antar tetangga terdekat.

2.. Frekwensi sudut maksimum ragam vibrasi akustik adalah :

Tampak frekuensi sudut maksimum tidak tergantung pada masa atom yang lain, m dalam rantai. Frekuensi sudut berkisar antara 0 sampai 1.

3. Perbandingan amplitudo kedua atom sebagai fungsi frekwensi, dari (3.29) M  1 2

 

 

2 2 2 2 2 2       M ka Cos ka Cos m A B m ringan lebih yang masa dari Amplitudo M berat yang masa dari Amplitudo     

Tampak perbandingan amplitudo tersebut mendekati satu (seluruh atom bergerak dengan cara yang sama, pada gelombang yang panjang amplitudonya sefasa, vektor gelombang | k | << /2a

.4. Pada | k | = /2a

(3.30)

Dari cabang optiknya, daerah vibrasi adalah dari

1. * Pada k  0 ; Kecepatan fasa /k  ~ Kecepatan group d/dk  0 * Pada k  /2a 2 1 2 2 8 fasa Kecepatan _       M a k    Kecepatan group d/dk  0

2. Pada k = 0, perbandingan amplitudo B/A adalah negatif :

(3.31)

Artinya, getaran atom bermasa m berlawanan fasa dengan getaran atom bermasa M ; MB + mA=0 menyatakan bahwa titik pusat masa atom tidak berubah.

Soal – soal Bab 3

1. Tunjukkan bahwa relasi dispersi bagi vibrasi kisi dari rantai linier dari atom -atom bermasa M bila konstanta rantai penghubung (pegas) antara -atom tetangga terdekat pertama adalah C1 dan atom tetangga terdekat kedua adalah

C2 sbagai berikut, 2 1(1 cos ) 2 2(1 cos2 ) 2 ka C ka C M     0 group Kecepatan 8 fasa Kecepatan 2 1 2 2         dk d M a k              M m m 1 1 2 dengan sampai 2    





 

M m A B B A m M m ka Cos B A m w                _         2 1 1 2 2 2 2 2 23

Hitunglah kecepatan groupnya pada k=/a m ka Sin ka Sin m m m      2 2 2 2                  (3.15)

Tanda + dan - menunjukkan perambatan gelombang ke kanan atau ke kiri.

Perbatasan zona Brillouin pertama berada pada k = ±/a. Kita dapat menunjukkan dari pers.(3-14) bahwa kemiringan (slope) kurva dari  sebagai fungsi k adalah nol pada batas zona Brillouin

(3-16)

karena pada k = ±/a, sin (ka) = sin (±) = 0. Plot  terhadap k diberikan pada Gambar 3.3 Daerah k yang kecil merupakan daerah spektrum dari gelombang yang panjang. Bagi ka <<1, sin (ka/2)  (ka/2) dan relasi frekwensi sudut terhadap bilangan gelombang adalah

ka<<1 (3-17)

Gambar 3.3. Grafik  terhadap k untuk perambatan gelombang

dalam kisi monoatomik, interaksi hanya terjadi antara atom terdekat saja. Daerah | k | < /a adalah zona Brillouin pert

 

0 2 2   Sin ka m a dk d  m a v k v ka m       0 0 2 2

BAB IV

SIFAT-SIFAT THERMAL 4.1. Energi Kisi Model Klasik

Andaikan atom bermasa m melakukan gerak harmonik dengan frekuensi . Bila konstanta gaya pemulih adalah , perpindahan atom dari titik kesetimbangannya adalah , dan kecepatannya adalah v, maka energi totalnya adalah :

E = energi kinetik + energi potensial



2 2 2



2 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 x v x mv       (4.1) Energi rata-rata sesuai dengan didistribusi Boltzmann, harga ekspektasi klasik :

(4.2)

T = suhu ; k0 = konstanta Boltzmann

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.1) ke dalam persamaan (4.2) dan mengingat bahwa :

Maka Persamaan (4.2) dapat dievaluasi, hasilnya adalah :

T k

E  _o

Untuk N atom yang mana masing-masing memiliki tiga derajat kebebasan, sehingga energi total kisi adalah :

T Nk

U 3 ₀ (4.3) Dari sini, panas jenisnya adalah :

Pada volume konstan, panas per mole adalah :

Kelvin Mole joule k N CV 3 o o 24,94 / 

Ini dikenal sebagai hukum Dulong dan Petit. Tampak bahwa panas jenis adalah konstan, tidak tergantung pada suhu.

Secara eksperimen panas jenis sesungguhnya adalah tergantung pada suhu, seperti diperlihatkan pada Gambar 4.1. Oleh karenanya perlu pejelasan lebih lanjut untuk menjelaskan ketergantungan panas jenis pada suhu

 





               m m m m o x o T k E T k E x dx d e dx d e E E     0 0 . 0 0

 

_

          ~ 2 1 2 1 2 1 2 o n n x n dx x e n I   0 3Nk T U C v v           25

Gambar 4.1. Ketergantungan suhu dari panas jenis Argon, Xenon dan Kripton. Garis mendatar adalah hasil perhitungan secara klasik

4.2. Model Einstein

Berdasarkan kesuksesan dari M. Planck dalam menggambarkan radiasi benda hitam dengan aturan terkuantisasinya, Einstein kemudian mengambil aturan tersebut untuk menjelaskan bagaimana ketergantungan panas jenis terhadap suhu. Dalam hal ini gelombang elastis yang digambarkan sebagai fonon adalah analog dengan foton. Secara kuantum energi suatu keadaan (osilator) adalah diungkapkan sebagai :





n

E

_n



; n = 0, 1, 2 (4.4) Dan probalitas keadaan ke n adalah :

       T k E g n n 0 exp (4.5) Energi rata-rata sesuai dengan osilator dalam kesetimbangan termalnya, adalah :

(4.6)

Dengan mengingat bentuk penjumlahan untuk x < 1 berlaku hubungan





2 1 x x x dx d x nx n n n n   





maka Persamaan (4-6) dapat dievaluasi, dan hasilnya adalah





                   0 0 0 0 n T k E n T k E n n n e e E E



 _ n n x x ; 1 1

1 1 0                kT e E     (4.7) Untuk penyederhanaan, Einstein menganggap bahwa N atom memiliki 3 N ragam

vibrasi dan seluruhnya memiliki frekuensi sudut yang sama, yaitu _E. Dengan demikian setiap ragam vibrasi memiliki energi yang sama, yaitu <E>. Energi vibrasi kisi secara total adalah                 1 exp 3 0T k N U E E





  (4.8)

Dengan menggunakan Persamaan .(4.8) ini, panas jenis pada volume konstan adalah



T



F Nk T U Cv E E V , 3 ₀            (4.9)

dengan fungsi Einstein F_E



_E,T



adalah

2 0 0 2 0 1 . exp . exp ) , (                           T k T k T k T F E E E E E        (4.10)

Fungsi Einstein adalah mendekati satu pada suhu tinggi, sehingga panas jenisnya adalah sama dengan panas jenis klasik.

Dengan mendefinisikan suhu karakteristik Einstein, TE E / k0, pada T << TE

maka Persamaan.(4.10) menjadi





                            T T T T T k T k T F E E E E E E exp exp , 2 0 2 0      (4.11)

Perbandingan kurva panas jenis model klasik dan model yang dibuat oleh Einstein sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 4. 2

Gambar 4.2. Panas jenis model klasik Dulong - Petit dibandingkan dengan model Eintein.

Sesuai dengan prinsip mekanika kuantum “modern” yang mana dibangun 20 tahun setelah masanya Einstein, energi kuantum persamaan (4.4) dimodifikasi menjadi :



n





E_n  1/2

Ada tambahan energi ½, adalah energi titik nol karena ada pada seluruh suhu termasuk T = 0.

4.3. Model Debye

Kelemahan dari model Einstein adalah terletak pada anggapan bahwa semua modus vibrasi mempunyai frekwensi sama E. Sebelum membahas model Debye terlebih

dahulu dibahas rapat keadaan dan jumlah ragam vibrasi dalam daerah frekwensi ,  + d. Persamaan gelombang untuk suatu polarisasi (longitusinal atau transversal) didalam ruang isotropik 3 dimensi.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t z y x                 (4.12)

 = perpindahan posisi, v = cepat rambat. Pada batas kristal perpindahan   0, dan solusi Persamaan (4.12) adalah dalam bentuk gelombang berdiri,

 

 

 

i t z y

xx k y k z e k

U ~sin sin sin  (4.13) Komponen-komponen k dalam Lx, Ly, Lz adalah :

(4.14)

m = bilangan bulat.

Terdapat satu harga k per volume (2/L)3 dalam ruang k, atau z z z y y y x x x m L k m L k m L k  2 ; 2 ; 2 Model klasik Joule/mole-0 0,2 0,4 0,6 0,8 Model

33 3 3 8 2  V L _       (4.15) harga k yang diijinkan per satu satuan volume di dalam ruang k. Jumlah total ragam dengan vektor gelombang kurang dari k adalah (L/2)3 kali volume bola yang berjari-jari k, yaitu : _             3 4 2 3 3 k L N   (4.16)

Rapat keadaan adalah didefinisikan sebagai,

 

    d dk Vk d dN g ₂ 2 2         (4.17) Dalam pendekatan Debye digunakan relasi dispersi  = vk di mana v = kecepatan yang konstan. Dengan demikian, rapat keadaan pers.(4-17) menjadi :

(4-18) Selanjutnya kita bahas panas jenis sesuai dengan model Debye. Model ini didasarkan pada asumsi Berarti sistem mempunyai ragam utama dengan 3 N derajat kebebasan. Oleh karenanya,



 m

o g d

N  () 

3 (4.19) Sebagai pendekatan, Debye mendefinisikan bahwa

 

D V g        0  2 3 3 0 2 2 (4.20) Untuk seluruh ragam vibrasi, kemudian Persamaan 4.19 dapat ditulis sebagai :



 D o d V N      ³ ² 2 ² 3 3 0 2 ² ³ ³ 0   D  Atau 0 3 1 ² 6           V N D (4.21) D

 disebut dengan frekuensi ambang.

Suhu karateristik Debye diungkapkan dalam bentuk

(4.22

 

_         ₂2_{3 2}2 1₃ 2₃ 2 2 _{L T} V V V g       















0

k

D D







3 1 0 ² 6              V N k D   

Selanjutnya, energi vibrasi kisi per satu satuan volume adalah



    _        1 exp ) ( ) ( 0T k d g U       (4.23)

Dengan menggunakan ungkapan Persamaan .(4.20), maka Persamaan (4.23) menjadi :



                      1 exp 2 3 0 3 3 0 2 T k d U      _  (4.24)

Kemudian didefinisikan variabel tak berdimensi,

.Sehingga persamaan (4.24) dapat diungkapkan dalam variabel x,



_  D x x e dx x T k U 0 3 3 3 0 2 4 4 0 1 2 3   



_  D x x D e dx x V T Nk U 0 4 0 1 ³ ³ 9  (4.25)

Panas jenis dicari dengan mendiferensialkan pers.(4.25) terhadap T, yaitu

         T U Cv



    _              D T k T k T k       0 2 0 0 4 0 0 1 exp exp ² ³ ² 2 ² 3   

Dan dalam variable x,

(4.26)

Kurva panas jenis suatu zat padat (per-mole) sebagai fungsi suhu sesuai dengan model Debye diberikan pada Gambar 4.3.

Sifat-sifat termal U dan Cv melibatkan integral yang cukup rumit untuk diselesaikan secara langsung. Akan tetapi dengan mudah dapat diselesaikan secara analitik dengan pendekatan pada suhu yang sangat tinggi dan sangat rendah. Untuk suhu yang sangat tinggi dimana T >> D.

² 1 3 x e x X   T T k x T k x D D D       0 0 ;  







_        xD X X D V e e x T V k N C 0 2 4 3 0 1 9 

Gambar 4. 3. Panas jenis sebagai fungsi suhu. Lingkaran adalah data eksperimen dari Yttrium yang dilaporkan oleh l.D. Jennings, dkk. (1960)

Sehingga persamaan 4.25 dapat diungkapkan kembali dalam bentuk suhu T,

3 9 3 3 4 0 D D x V T Nk U   V T Nk T V T Nk _D D 0 3 3 3 4 0 3 3 9     (4.27) dan panas jenis pers. 4.26 mejadi

(4.28)

Hasilnya ternyata sesuai dengan pendekatan klasik. Untuk T << D, dengan mengambil

batas atas sampai tak terhingga dapat diperoleh

15 1 6 1 4 ~ 1 4 ~ 0 ~ 1 3 ~ 0 3     



 



   s s nx x s e x e dx x

Dengan demikian, persamaan energi total pers. 4.25 dapat dinyatakan dalam suhu T, yaitu

3 4 0 5 3 D V T Nk U   

Kemudian panas jenis CV dapat dihitung, yaitu

V Nk Cv 0 3  Joule/mole-K 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 20 15 31

3 3 0 4 234 5 12                   T Nk T V Nk C _D D (4.29) Hasilnya memperlihatkan bahwa panas jenis berbanding lurus dengan T3_{. Persamaan}

(4.29) ini disebut dengan hukum Debye T3

Untuk suatu gradien suhu yang kecil arus thermal yang diamati sebanding dengan T: dx dT K jv J = - KT (4.30) Energi thermal per elektron adalah (T{x-l}. l = vx adalah panjang lintasan bebas

rata-rata bila v = kecepatan rata-rata dan  = waktu rata-rata

Dengan perubahan suhu pada lintasan bebas rata-rata adalah sangat kecil, persamaan di atas dapat diekspansikan sehingga diperoleh

       dx dT dT d nv J X   2 (4.31) Kecepatan elektronik rata-rata dalam berbagai arah vx vy vz 1/3v

2 2 2    karena : Cv dT d V N dT d n         

adalah panas jenis, maka pers.(4.31) dapat ditulis sebagai

(4.32)

Dengan membandingkan persamaan.(4.30) dan persamaan (4.32) maka koefisien konduktivitas panas dapat diungkapkan sebagai

(4.33)

Dari pembicaraan konduktivitas listrik DC pada logam rapat arus

        m ne E J    2 __ (4.34)

E= medan listrik, m = masa elektron, e = muatan elektron mak Dari pendekatan klasik, Cv = 3/2 nko dan ½ mv2 = 3/2 koT, pers.(4-34) menjadi

 

T

C

v

J



2



_v





3

1

v v lvC C v 3 1 3 1 2     2 2 3 1 e n v m C_v   



















T x l T x l



nv J      2 1

37

Ini dikenal sebagai hukum Wiedemann-Franz, dan sering disebut seabgai bilangan Lorentz. Harga ini adalah sekitar setengah dari harga hasil eksperimen.

4.4. Ekspansi Thermal

Dalam membicarakan ekspansi thermal biasanya parameter yang menjadi perhatian adalah koefisien ekspansinya, karena koefisien ini merupakan karakteristik dari suatu bahan. Koefisien ekspansi thermal tersebut didefinisikan sebagai,

p T V V          1  (4.35)

Ini dapat ditulis dalam bentuk

V V T T p B T p p V V                           1 1  (4.36) dengan T V p V B           (4.37)

dimana B adalah “modulus bulk”, yaitu modulus elastis yang mana menentukana perubahan volume yang diakibatkan oleh adanya perubahan tekanan. Untuk mengevaluasi ekspansi thermal kita perlu membicarakan ketergantungan volume dan suhu terhadap tekanan. Untuk itu kita perhatikan energi bebas Helmholtz,

F U.TS (4.38) Hubungan antara tekanan, p dengan energi bebas Helmholtz adalah

T V F p           (4.39)

Kemudian dengan pendekatan harmonik, F E_pot E_modus

Dengan Epot. Adalah energi potensial yang mana tidak tergantung pada suhu berkenaan

dengan adanya interaksi inter-atomik. Emodus adalah energi sebahai konsekuensi dari

adanya vibrasi kisi. Dari pelajaran fisika statistik, energi setiap modus pada osilasi harmonik dapat diungkapkan sebagai

2 8 2 0 10 . 11 , 1 2 3 K Ohm Watt e k T            

                   T k T k T k f 0 0 0 ln 1 exp 2 1 ln   (4.40)

Dari persamaan.(4.38) dan (4.40) dapat diperoleh hubungan,

                                   





1 0 mod . mod . 1 exp 2 1 T k V dV dE V f dV dE p us pot us pot     (4.41)

Keterkaitan antara frekuensi vibrasi dengan volume diungkapkan dalam bentuk persamaan berpangkat  ~ V-, dengan  adalah parameter tak-berdimensi yang mana disebut dengan parameter Gruneisen. Selanjutnya ini dapat dibuat dalam bentuk persamaan diferensial,

Dengan demikian dapat diperoleh ungkapan untu tekanan, p dalam bentuk



_                           us pot T k V dV dE mod 1 0 . 1 exp 2 1 p     (4.43)

Energi potensial tidak tergantung pada suhu sehingga koefisien ekspansi thermal  dapat diungkapkan sebagai, BV C T E BV V V us              mod _(4.44)

CV adalah kapasitas panas kisi pada volume konstan yang mana berkaitan dengan efek

ketidak-harmonikan. Dalam hal ini volume adalah tergantung pada frekuensi vibrasi. Pers. 44 dikenal sebagai hukum Gruneisen. Parameter  adalah menggambarkan efek dari suku ketidak-harmonikan, ketergantungan volume terhadap frekuensi.

Soal – soal Bab 4

1. Tentukan ungkapan bagi kapasitas panas kerena vibrasi rantai linier dari atom-atom identik dengan pendekatan Debye. Tunjukkan pada suhu rendah kapasitas panas berbanding lurus dengan T.

2. Hitunglah energi titik nol per atom dari vibrasi kisi zat padat Argon (D=92)

    ) V (ln d ) (ln d V d dV d     dan _(4.42)

BAB V

ELEKTRON DALAM LOGAM

5.1. Tingkat-Tingkat Energi dalam Satu Dimensi

Gas elektron bebas dalam satu dimensi, memenuhi teori kuantum dan prinsip Pauli. e Seperti terlihat pada Gambar 5.1, lektron dengan massa m dapat bergerak di sepanjang lintasan L saja karena dibatasi oleh penghalang tak terhingga pada x=0 dan x=L. Fungsi gelombang n(x) dari elektron adalah merupakan penyelesaian dari persamaan

Schrodinger

 

x

 

x Hn n

Gambar 5.1. Tiga tingkat energi pertama dan fungsi gelombang dari elektron bebas bermasa m sepanjang garis L. Tingkat energi ditandai berdasarkan bilangan kuantum n. Energi n pada tingkat bilangan kuantum n adalah

sama dengan (2/2m)(n/2L)2.

Dengan mengabaikan bagian energi potensialnya, maka H = p2/2m, dimana p adalah momentum. Dalam teori kuantum, p dapat diwakili oleh  i d dx / , sehingga :

H m d dx n n n n         2 2 2 2 (5.1) di mana n adalah energi dari elektron pada orbit ke n. Kita gunakan istilah orbital untuk

menyatakan penyelesaian dari persamaan gelombang pada sistem dengan satu elektron. Syarat batas n(0)=0 dan n(L)=0 adalah sebagai akibat dari penghalang potensial

yang takterhingga pada x=0 dan x=L. Ini dipenuhi jika fungsi gelombangnya adalah fungsi gelombang sinus dimana bilangan bulat n kali setengah panjang gelombang sama dengan jarak antara 0 sampai dengan L, yaitu

36

39

 

_      A x x n n _   sin 2 ; ₂1n_n L _(5.2)

dimana A adalah konstanta. Kita dapat lihat bahwa persamaan (5.2) adalah penyelesaian dari persamaan (5.1), karena

d dx A n L Cos n L x d dx A n L Sin n L x n n        _ _ _ _;  _ _ _ _ 2 2 2

dimana energi n diberikan oleh : 2 2 2        L n m n   (5.3) Berdasarkan prinsip larangan Pauli tidak dimungkinkan dua elektron dapat mempunyai seluruh bilangan kuantum yang identik. Ini berarti bahwa setiap orbital hanya bisa ditempati paling banyak oleh satu elektron. Hal ini berlaku juga untuk elektron dalam atom, molekul, atau zat padat.

Energi Fermi F adalah didefinisikan sebagai energi dari tingkat tertinggi yang

telah terisi dalam keadaan dasar pada sistem N elektron. Dari persamaan (5.3) dengan n=nF, maka untuk satu dimensi,

2 2 2 2 2 2 * 2               L N m L n m F F     (5.4) 5.2. Pengaruh Temperatur Terhadap Distribusi Fermi-Dirac

Distribusi Fermi-Dirac memberikan probabilitas suatu orbit dengan energi  akan ditempati oleh suatu gas elektron ideal pada kesetimbangan termal. Fungsi distribusi Fermi Dirac dinyatan sebagai





f k T_B ( ) exp ( ) /     1 1  (5.5) Besaran  adalah suatu fungsi terhadap temperatur. Pada nol absolut =F, karena

dalam limit T 0 fungsi f() berubah secara tidak kontinyu dari nilai 1 (terisi) ke nilai 0 (kosong) pada =F = . Pada semua temperatur f() sama dengan ½ ketika  = ,

dimana penyebut pada persamaan (5.5) akan bernilai sama dengan 2.

Besaran  adalah potensial kimia dan pada temperatur absolut sama dengan nol potensial kimia tersebut adalah sama dengan energi Fermi, yang didefinisikan sebagai energi dari orbital teratas yang telah terisi. Daerah dimana - >> kB T; suku