untuk i = 0, 1, 2,..., n

RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK

INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear

a. Interpolasi Polinomial Lagrange

Suatu fungsi 𝑓 dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi polynomial Lagrange Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ 𝑛

𝑓(𝑥) = 𝑝_𝑛(𝑥) = ∑ 𝑎_𝑖𝑙_𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=0

Di mana 𝑎_𝑖 = 𝑦_𝑖, 𝑙_𝑖(𝑥) = ∏ _(𝑥^{(𝑥−𝑥𝑗)}

𝑖−𝑥𝑗) 𝑛𝑗=0 𝑗≠𝑖

untuk 𝑖 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛

Suatu polinomial P(t) derajat n-1 yang unik dapat dikonstruksi yang melalui n titik t yang berbeda.

Interpolasi Polinomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik 𝑃₁(𝑥₁, 𝑦₁), 𝑃₂(𝑥₂, 𝑦₂), 𝑃₃(𝑥₃, 𝑦₃), . . . , 𝑃_𝑛(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1;

𝑦 = 𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥²+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1

Interpolasi dari dua buah titik (𝑥0, 𝑦₀)dan (𝑥₁, 𝑦₁) akan menghasilkan polynomial berderajat 1 (interpolasi linear), yaitu:

𝑃₁(𝑥) = (𝑥 − 𝑥₁)

(𝑥₀− 𝑥₁)𝑦₀+ (𝑥 − 𝑥₀) (𝑥₁− 𝑥₀)𝑦₁ =(𝑥₁− 𝑥)𝑦₀+ (𝑥 − 𝑥₀)𝑦₁

(𝑥₁− 𝑥₀) Contoh :

Dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), diberikan tiga buah titik data dalam bentuk tabel:

x 1 4 6

Y 1.5709 1.5727 1.5751

Tentukan 𝑓(3,5) dengan polinom Lagrange derajat 2. Gunakan lima angka bena.

Penyelesaian:

Polinom derajat 2  n = 2 (perlu tiga buah titik)

𝑝₂(𝑥) = 𝑙₀(𝑥)𝑦₀+ 𝑙₁(𝑥)𝑦₁+ 𝑙₂(𝑥)𝑦₂ 𝑙₀(𝑥) =^{(𝑥−4)(𝑥−6)}_{(1−4)(1−6)}  𝑙0(3.5) =(3.5−4)(3.5−6)

(1−4)(1−6) = 0.083333 𝑙₁(𝑥) =^{(𝑥−1)(𝑥−6)}_{(4−1)(4−6)}  𝑙1(3.5) =(3.5−1)(3.5−6)

(4−1)(4−6) = 1.0417 𝑙₂(𝑥) =^{(𝑥−1)(𝑥−4)}_{(6−1)(6−4)}  𝑙2(3.5) =(3.5−1)(3.5−4)

(6−1)(6−4) = −0.12500 Jadi,

𝑝₂(3.5) = (0.083333)(1.5709)+(1.0417)(1.5727)+(−0.12500)(1.5751) = 1.5723

b. Interpolasi Polinomial Newton

Diketahui n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn); (yi = f(xi), i=1,2,…,n) akan ditentukan pn(x) = a0 + a1x + a2x² + … + anxⁿ yang melewati n titik tersebut.

pn(x) = a0 + a1(x- x0) + a2(x- x0)(x- x1) + … + an(x- x0)(x- x1)…(x- xn-1) Interpolasi polinom Newton dapat ditulis:

𝑝_𝑛(𝑥) = ∑ 𝑎_𝑖∏(𝑥 − 𝑥_𝑗)

𝑖−1 𝑗=0 𝑛 𝑖=0

Koefisien an dikonstruksi menggunakan beda bagi:

𝑎_𝑛= 𝑓[𝑥₀, 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛]

Dengan notasi yang baru, interpolasi polinom bentuk Newton dapat dituliskan dalam bentuk:

𝑝_𝑛(𝑥) = ∑ 𝑓[𝑥₀, 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛] ∏(𝑥 − 𝑥_𝑗)

𝑖−1 𝑗=0 𝑛

𝑖=0

Secara umum:

Contoh Interpolasi Polynomial Newton

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi 𝒍𝒏 𝑥) Ditanya: Perkirakan 𝒍𝒏 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

p3(x) = a0 + a1(x- x0) + a2(x- x0)(x- x1)+ a3(x- x0)(x- x1)(x- x2)

p3(x) = 0+ 0.465(x-1)-0.053(x-1)(x-4)+0.008(x-1)(x-4)(x-6) Sehingga didapatkan nilai p3(2) = 0.629

























 ₁

0 1

0 1

0

) (

) (

) (

k

j

j k

i

j

j k k

i i k

k

x x

x x a x

f a

























 ₁

0

1

0 1

0 1 0 1

0

) (

) ( ] ,..., , [ ) ( ] ,..., ,

[ _k

j

j k

i

j

j k k

i

i k

k

x x

x x x x x f x f x x x f

 

^0.182

6 5

791759 .

1 609438 .

, ₂ 1

3 



  x x f

 

^0.020

4 5

203 . 0 182 . , 0 , _{2 1}

3 



  x x x f

 

⁰⁰⁰⁸

1 5

) 052 0 ( 020 0

0 1 2

3 . . .

, ,

, 







  x x x x f

 

0.462

1 4

0 386294 .

, ₀ 1

1 



  x x f

 

^0.203

4 6

386294 .

1 791759 .

, ₁ 1

2 



  x x f

 

0.052

1 6

462 . 0 203 . , 0

, _{1 0}

2 



  x x x f

c. Vandermonde Matrix

Bentuk umum dari polinomial yang menginterpolasi n+1 titik adalah

𝑃_𝑛(𝑥) = 𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥²+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥^𝑛 Sistem persamaan linear:

Bentuk matriks persamaan linear 𝑽. 𝒂⃗⃗ = 𝒃⃗⃗ :

Contoh :

Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.

Jawab: Akan dilakukan dengan pembentukan Sistem Vandermonde sebagai berikut:

Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

Maka diperoleh persamaan linear dari matriks di atas adalah 𝒂_𝟎− 𝒂_𝟏+ 𝒂_𝟐− 𝒂_𝟑 = 𝟎 ⟺ 𝒂_𝟎 = 𝟎

− 𝒂_𝟏+ 𝒂𝟐− 𝒂_𝟑= 𝟎 ⟺ 𝒂𝟏 = −𝟏 𝒂_𝟐= 𝟎

𝒂_𝟑= 𝟏 Sehingga polinomialnya berbentuk :

𝑷(𝒙) = 𝒂_𝟎+ 𝒂_𝟏𝒙 + 𝒂_𝟐𝒙^𝟐+ 𝒂_𝟑𝒙^𝟑  𝑷(𝒙) = − 𝒙+𝒙^𝟑

d. Interpolasi Invers

Sebuah proses inverse interpolation sering digunakan untuk menghampiri suatu invers fungsi.

Seandainya nilai 𝑦_𝑖 = 𝑓(𝑥_𝑖) telah dihitung pada 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛. Menggunakan table berikut

bentuk polinomial interpolasi

𝑦_𝑖 = 𝑓(𝑥_𝑖) memiliki invers pada kondisi tertentu. Invers tersebut dihampiri oleh 𝑥 = 𝑝(𝑦).

Contoh:

Tentukan polinomial invers interpolasi dari data berikut:

Penyelesaian:

𝑃(𝑦) = 0.2504𝑦⁴ + 1.2156𝑦³ + 3.6940𝑦²+ 7.3892y + 4.2475

e. Interpolasi Neville

 Misal 𝑃₀(𝑥) adalah nilai di titik x dari persamaan polynomial orde nol (konstan) yang melalui titik (𝑥₀, 𝑦₀), sehingga 𝑃₀(𝑥)= 𝑦₀. Demikian juga 𝑃₁(𝑥), 𝑃₂(𝑥), … 𝑃_𝑛(𝑥) yang melalui

(𝑥₁, 𝑦₁), (𝑥₂, 𝑦₂), . . . (𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛). Selanjutnya misal 𝑃_0,1(𝑥) adalah nilai di x dari persamaan orde satu yang melalui titik (𝑥₀, 𝑦₀), 𝑑𝑎𝑛 (𝑥₁, 𝑦₁).

 Dengan cara yang sama 𝑃_{𝑎,𝑏,…,𝑠}(𝑥) adalah nilai di x yang melalui titik (𝑥_𝑎, 𝑦_𝑎), (𝑥_𝑏, 𝑦_𝑏), . . . (𝑥_𝑠, 𝑦_𝑠) seluruh s titik. Dimulai dengan polinomial konstan 𝑃_𝑖(𝑥)= 𝑓(𝑥_𝑖).

Dengan memilih 𝑥_𝑖 dan 𝑥_𝑖+𝑚, 𝑖 > 𝑖 + 𝑚, didefinisikan fungsi rekursif:

 𝑃𝑖,𝑖+1,…,𝑖+𝑚(𝑥) =_𝑥^{𝑥−𝑥𝑖+𝑚}

𝑖−𝑥𝑖+𝑚𝑃𝑖,𝑖+1,…,𝑖+(𝑚−1)(𝑥) + ^{𝑥𝑖−𝑥}

𝑥𝑖−𝑥𝑖+𝑚𝑃𝑖+1,𝑖+2. . .,𝑖+𝑚(𝑥) =(𝑥 − 𝑥_𝑖)𝑃𝑖+1,𝑖+2. . .,𝑖+𝑚(𝑥) − (𝑥 − 𝑥_𝑖+𝑚)𝑃𝑖,𝑖+1,…,𝑖+(𝑚−1)(𝑥)

𝑥_𝑖+𝑚− 𝑥_𝑖 diperoleh untuk n = 4

𝑥₀ 𝑃₀(𝑥) 𝑥₁ 𝑃₁(𝑥) 𝑃_0,1(𝑥) 𝑥₂ 𝑃₂(𝑥) 𝑃_1,2(𝑥) 𝑃_0,1,2(𝑥)

𝑥₃ 𝑃₃(𝑥) 𝑃_2,3(𝑥) 𝑃_1,2,3(𝑥) 𝑃_0,1,2,3(𝑥)

𝑥₄ 𝑃₄(𝑥) 𝑃_3,4(𝑥) 𝑃_2,3,4(𝑥) 𝑃_1,2,3,4(𝑥) 𝑃_0,1,2,3,4(𝑥) Selanjutnya dilakukan peyederhanaan notasi

𝑆_𝑖𝑗(𝑥) = 𝑃𝑖−𝑗,𝑖−𝑗+1, . . ., 𝑖−1,𝑖(𝑥)

Dimana 𝑆𝑖𝑗(𝑥), untuk i ≥ 𝑗 menunjukkan polinomial interpolasi derajat pada j+1 node 𝑥_𝑖−𝑗, 𝑥_{𝑖−𝑗+1}, . . . , 𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖.

𝑆_𝑖𝑗(𝑥) = (𝑥 − 𝑥_𝑖−𝑗

𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−𝑗) 𝑆_{𝑖,𝑗−1}(𝑥) + ( 𝑥_𝑖− 𝑥

𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−𝑗) 𝑆_{𝑖−1,𝑗−1}(𝑥) =(𝑥 − 𝑥_𝑖)𝑆_{𝑖−1,𝑗−1}(𝑥) − (𝑥 − 𝑥_𝑖−𝑗)𝑆_{𝑖,𝑗−1}(𝑥)

𝑥_𝑖−𝑗− 𝑥_𝑖 Diperoleh

Diberikan fungsi: 𝑓(𝑥) =¹_𝑥

𝒊 𝒙_𝒊 𝒇(𝒙_𝒊)

0 2 0,5

1 2,5 0,4

2 4 0,25

Kita akan mengaproksimasikan nilai 𝑓(3)

𝑓(3) ≈ 𝑆₀₀(3) = 𝑓(𝑥₀) = 0.5 𝑓(3) ≈ 𝑆₁₀(3) = 𝑓(𝑥₁) = 0.4 𝑓(3) ≈ 𝑆₂₀(3) = 𝑓(𝑥₂) = 0.25

Dengan menggunakan rumus Neville kita akan menentukan nilai 𝑆₁₁dan 𝑆₂₁ 𝑓(3) ≈ 𝑆₁₁(3) =(3 − 𝑥₁)𝑆₀₀(3) − (3 − 𝑥₀)𝑆₁₀(3)

𝑥₀− 𝑥₁ =(3−2,5)0,5−(3−2)0,4

2−2,5 = 0,3

𝑓(3) ≈ 𝑆₂₁(3) =(3 − 𝑥₂)𝑆₁₀(3) − (3 − 𝑥₁)𝑆₂₀(3) 𝑥₁− 𝑥₂

=(3−4)0,4 −(3−2,5)0,25 2,5−4 = 0,35

Selanjutnya hasil yang kita peroleh, kita masukan ke dalam tabel berikut:

𝒊 𝒙_𝒊 𝑺_𝒊𝟎 𝑺_𝒊𝟏

0 2 0,5

1 2,5 0,4 0,3

2 4 0,25 0,35

Selanjutnya kita dapat menghitung 𝑆22 dengan menggunakan 𝑆₁₁ 𝑑𝑎𝑛 𝑆₂₁ 𝑓(3) ≈ 𝑆₂₂(3) =(3 − 𝑥₂)𝑆₁₀(3) − (3 − 𝑥₀)𝑆₂₁(3)

𝑥₀− 𝑥₂ =(3−4)0,3−(3−2)0,35

2− 4 = 0.325

Dengan demikian nilai hampiran 𝑓(3)menggunakan rumus Neville derajat 2 adalah 0,325 Contoh 2

Diberikan nilai 𝑥𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥_𝑖), seperti yang ditampilkan pada tabel berikut:

Dengan menggunakan formula Neville, tentukan nilai 𝑓(1.5)!

Penyelesaian:

Misalkan 𝑥0= 1.0, 𝑥₁= 1.3, 𝑥₂= 1.6, 𝑥₃= 1.9, 𝑑𝑎𝑛 𝑥₄ = 2.2.

Serta 𝑆00(1.5) ≈ 𝑓(1.0), 𝑆₁₀(1.5) ≈ 𝑓(1.3), 𝑆₂₀(1.5) ≈ 𝑓(1.6), 𝑆₃₀(1.5) ≈ 𝑓(1.9), 𝑆₄₀(1.5) ≈ 𝑓(2.2).

Kita akan mencoba untuk menentukan nilai hampiran dari 𝑓(1.5) sebagai berikut:

𝑓(1.5) ≈ 𝑆₁₁(1.5) =(1.5 − 𝑥₁)𝑆₀₀(1.5) − (1.5 − 𝑥₀)𝑆₁₀(1.5) 𝑥₀− 𝑥₁

=(1.5−1.3)(0.7651977)−(1.5−1.0)(0.6200860)

1.0−1.3 = 0.5233449

Demikian pula:

𝑓(1.5) ≈ 𝑆₂₁(1.5)= (1.5−1.6)(0.600860)−(1.5−1.3)(0.4554022)

1.3−1.6 = 0.5102968

Dengan cara yang sama untuk mendapatkan polynomial yang lebih tinggi derajatnya:

𝑓(1.5) ≈ 𝑆₃₁(1.5) = 0.5132634 𝑓(1.5) ≈ 𝑆₄₁(1.5) = 0.5104270 𝑓(1.5) ≈ 𝑆₂₂(1.5) = 0.5124715 𝑓(1.5) ≈ 𝑆₃₂(1.5) = 0.5112857 𝑓(1.5) ≈ 𝑆₄₂(1.5) = 0.5137361 Untuk derajat yang lebih tinggi, ditampilkan pada tabel berikut:

𝒊 𝒙_𝒊 𝑺_𝒊𝟎 𝑺_𝒊𝟏 𝑺_𝒊𝟐 𝑺_𝒊𝟑 𝑺_𝒊𝟒

0 1.0 0.7651977

1 1.3 0.6200860 0.5233449

2 1.6 0.4554022 0.5102968 0.5124715

3 1.9 0.2818186 0.5132634 0.5112857 0.5118127

4 2.2 0.1103623 0.5104270 0.5137361 0.5118302 0.5118200

Jika nilai hampiran 𝑆44 tidak cukup akurat maka titik lain 𝑥5 dapat ditambahkan ke dalam tabel 𝑥₅, 𝑆₅₀, 𝑆₅₁, 𝑆₅₂, 𝑆₅₃, 𝑆₅₄, 𝑆₅₅.

Dengan demikian semakin tinggi derajat yang digunakan, maka nilai hampiran yan diperoleh akan semakin akurat.

2. Galat Interpolasi 3. Turunan Numerik 4. Ekstrapolasi Richardson

Galat Interpolasi

Teorema Galat Interpolasi

Teorema I

Jika p adalah polinomial berderajat tertinggi n yang menginterpolasi f pada n+1 titik yaitu x₀, x₁, … , x_nϵ[a, b]

dan jika f⁽ⁿ⁺¹⁾ kontinu,maka ∀xϵ[a, b], f(x) − p_n(x) = 1

(n + 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) ∏(x − x_i)

n

i=0

Galat Rata-rata Interpolasi

Karena nilai c tidak diketahui, maka hampiri dengan c = x_t = ^x0+x₂ ⁿ sehingga rumus menjadi f(x) − p_n(x) = 1

(n + 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(x_t) ∏(x − x_i)

n

i=0

Lemma

Lemma I

Definisikan x_i= a + ih untuk i=0, 1, …, n, maka untuk suatu xϵ[a, b],

∏ |x − x_i| ≤1

4hⁿ⁺¹n!

n

i=0

dengan h=(b-a)/n adalah jarak antar titik.

Teorema II

Misalkan f fungsi yang memenuhi f⁽ⁿ⁺¹⁾ kontinu pada [a,b] dan |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤ M.

Misalkan p adalah polinomial berderajat ≤n yang menginterpolasi f pada n+1 titik di [a, b]

termasuk titik akhirnya ,maka di [a, b],

|f(x) − p_n(x)| ≤ 1

4(n + 1)Mh⁽ⁿ⁺¹⁾ dengan h=(b-a)/n adalah jarak antartitik.

Keterangan : M = max

x₀≤c≤x_n|f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)|

Contoh Soal :

Diberikan empat buah titik berikut, hampiri nilai cos(1.5) dengan metode Lagrange dan Newton sampai derajat 3 serta identifikasi galatnya.

• Nilai sejati cos(1.5)=0.071339183

• Dari metode Lagrange diperoleh cos(1.5)≈ 0.069211999

• Dari metode Polinomial Newton diperoleh cos(1.5)≈ 0.069212000

• Batas atas kesalahan yaitu

|E₃(x)| ≤ 1

24. 1⁴. 1 = 0.0416667

• Galat absolut Lagrange = 0.002127184199 < |E₃(x)|

• Galat absolut Newton = 0.002127183199 < |E₃(x)|

• Sehingga polinomial derajat 3 sudah cukup teliti untuk menghampiri nilai cos(1.5)

Teorema III

Jika p adalah polinomial berderajat n yang menginterpolasi f pada titik x₀, x₁, … , x_nϵ[a, b]

maka untuk suatu x bukan titik interpolasi,

f(x) − p_n(x) = f[x₀, x₁, … , x_n, x] ∏(x − x_i)

n

Dengan f[x₀, x₁, … , x_n, x] disebut selisih terbagi yang digunakan dalam interpolasi polinom i=0

Newton, sehingga teorema III dapat digunakan untuk mencari galat polinom Newton

Teorema IV

Jika f⁽ⁿ⁾ kontinu pada [a,b] dan x₀, x₁, … , x_n adalah n+1 titik yang berada di interval [a,b], maka untuk c di (a,b),

f[x₀, x₁, … , x_n] = 1

n!f⁽ⁿ⁾(c)

Corollary I (Selisih Terbagi)

Jika f adalah polinomial berderajat n, maka semua selisih terbagi f[x₀, x₁, … , x_i] adalah nol untuk i ≥ n + 1

Contoh soal

Polinom derajat berapa yang paling dekat hampirannya dari fungsi yang diketahui titik- titiknya sbb (gunakan metode interpolasi polinom Newton)

Penyelesaian :

Diperoleh tabel selisih terbagi ,

Karena pada orde ke empat selisih terbagi menghasilkan semua nilai nol (corollary I), maka data tersebut dapat direpresentasikan oleh polinomial derajat tiga.

Galat Lain dalam Interpolasi Polinomial Fungsi Runge

f(x) = (1 + x²)⁻¹ pada interval [-5,5]

Misalkan p_n polinomial yang menginterpolasi fungsi ini pada n+1 titik pada interval [-5,5]

maka,

n→∞lim max

−5≤x≤5|f(x) − p_n(x) | = ∞

Akibatnya, semakin banyak titik interpolasi maka semakin besar galatnya.

Pilihan lain yang lebih baik yaitu dengan menggunakan titik Chebyshev dengan interval standar [-1,1],

x_i= cos [(2i + 1

2n + 2) π] (0 ≤ i ≤ n)

Untuk titik yang berada di suatu interval [a,b], menjadi x_i = 1

2(a + b) +1

2(b − a) cos [(2i + 1

2n + 2) π] (0 ≤ i ≤ n)

Interpolasi polinomial dengan titik Chebyshev menghampiri fungsi Runge lebih baik dibanding dengan interpolasi polinomial dengan titik data.

Turunan Numerik

1. Proses mencari hampiran nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang diberikan pada suatu titik.

2. Biasanya digunakan ketika :

 Fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit, hanya diketahui data empirisnya saja, yaitu

{(x_i, y_i); i = 0, 1, 2, … , n},

 Fungsi f(x) diketahui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit.

PENDEKATAN TURUNAN NUMERIK

 Hampiran selisih maju (beda maju)

 Hampiran selisih mundur (beda mundur)

 Hampiran selisih pusat (beda pusat)

Rumus untuk ketiga hampiran diatas diperoleh dari ekspansi deret Taylor di sekitar x = x₀: f(x) = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀) +f^′′(x₀)

2! (x − x₀)²+ ⋯

Hampiran Selisih Maju

Misalkan x = x₀+ h, maka didapatkan :

f(x₀+ h) = f(x₀) + f^′(x₀)h +f^′′(x₀)

2! h²+ ⋯

Rumus selisih maju untuk turunan pertama : f^′(x₀) =f(x₀+ h) − f(x₀)

h −f^′′(x₀)

2! h − ⋯ ≈ f(x₀+ h) − f(x₀)

Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi. h

Rumus selisih maju untuk turunan kedua :

f^′′(x₀) ≈f^′(x₀+ h) − f^′(x₀) h

≈

f(x₀+ 2h) − f(x₀+ h)

h −f(x₀+ h) − f(x₀) h h

≈ f(x₀+ 2h) − 2f(x₀+ h) + f(x₀) h²

Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.

Hampiran Selisih Mundur

Misalkan x = x₀− h, maka didapatkan :

f(x₀− h) = f(x₀) − f^′(x₀)h +f^′′(x₀)

2! h² − ⋯ Rumus selisih mundur untuk turunan pertama :

f^′(x₀) =f(x₀) − f(x₀ − h)

h +f^′′(x₀)

2! h − ⋯

≈ f(x₀) − f(x₀− h) Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi. h

y = f(x) h

y y

0

x

x

0

Rumus selisih mundur untuk turunan kedua : f^′′(x₀) ≈f^′(x₀) − f^′(x₀− h)

h

≈

f(x₀) − f(x₀− h)

h −f(x₀− h) − f(x₀− 2h) h h

≈f(x₀) − 2f(x₀− h) + f(x₀− 2h) h²

Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.

Hampiran Selisih Pusat

Bila kedua persamaan berikut saling dikurangkan :

f(x₀+ h) = f(x₀) + f^′(x₀)h +f^′′(x₀)

2! h²+ ⋯ f(x₀− h) = f(x₀) − f^′(x₀)h +f^′′(x₀)

2! h² − ⋯ Diperoleh rumus selisih pusat untuk turunan pertama:

f^′(x₀) =f(x₀ + h) − f(x₀− h)

2h −f^′′′(x₀)

3! h²− ⋯

≈f(x₀+ h) − f(x₀− h) Dengan O(h²) adalah galat dari hampiran fungsi. 2h

y = f(x)

h y

-1

y

0

x

-1

x

0

f x( ) = x² + 5∙x 2

Bila kedua persamaan berikut saling ditambahkan :

f(x₀+ h) = f(x₀) + f^′(x₀)h +f^′′(x₀)

2! h²+ ⋯ f(x₀− h) = f(x₀) − f^′(x₀)h +f^′′(x₀)

2! h² − ⋯ Diperoleh rumus selisih pusat untuk turunan kedua :

f^′′(x₀) = f(x₀+ h) − 2f(x₀) + f(x₀− h)

h² −f⁽⁴⁾(x₀)

12 h²− ⋯

≈f(x₀+ h) − 2f(x₀) + f(x₀− h) h²

Dengan O(h²) adalah galat dari hampiran fungsi.

Contoh Soal :

1. Diketahui fungsi f(x) = √x. Tentukan hampiran f^′(1) dan f^′′(1) untuk h = 0.1 dan h = 0.05 dengan menggunakan hampiran selisih maju, selisih mundur, selisih pusat, dan hitung galatnya.

Jawaban :

f(x) = √x → f^′(x) = 1

2√x→ f^′′(x) = − 1 4x³²

Ekstrapolasi Richardson

Metode untuk memperoleh rumus hampiran turunan dengan orde yang lebih tinggi dari hampiran dengan orde yang lebih rendah disebut dengan ekstrapolasi

y = f(x)

2h

x₀ y₀

y_-1 y₁

x_-1 x1

f x( ) = x² + 5∙x 2

Metode tersebut dikembangkan oleh Lewis Fry Richardson di awal abad 20, sehingga metode tersebut kemudian dikenal dengan ekstrapolasi Richardson

Diterapkan pada turunan numerik untuk memperoleh solusi yang lebih teliti.

Hampiran turunan beda pusat dengan orde 𝐎(𝐡^𝟐) Untuk selang h adalah

D(h) =1

2h(f₁− f₋₁) + O(h²)

= f₀¹+ Ch²+ ⋯.

Untuk selang 2h adalah

D(2h) = 1

2(2h)h(f₂− f₋₂) + O((2h)²)

= f₀¹+ C(2h)²+ ⋯.

= f₀¹+ 4Ch²+ ⋯.

D(h) − D(2h) = −3Ch²

C =D(h) − D(2h)

−3h²

Subsitusi

h h

𝑥 ₋₁ 𝑥 ₀ 𝑥 ₁

2h 2h

𝑥 ₋₁ 𝑥 ₀ 𝑥 ₁

𝑥 ₋₂ 𝑥 ₁

D(h) = f₀^′−[D(h) − D(2h)]h² 3h²

D(h) = f₀^′−[D(h) − D(2h)]

3

f₀^′ = D(h) +[D(h) − D(2h)]

3

f₀^′ = D(h) +[D(h) − D(2h)]

2ⁿ− 1

n adalah orde galat yang dipakai

Setiap perluasan ekstrapolasi Richardson akan menaikan orde galat dari O(hⁿ) menjadi O(hⁿ⁺²)

Contoh Soal:

Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut :

x f(x)

2.0 0.42298

2.1 0.40051

2.2 0.37507

2.3 0.34718

2.4 0.31729

2.5 0.28587

2.6 0.25337

2.7 0.25337

2.8 0.18649

2.9 0.15290

3.0 0.11963

Tentukan f′(2.5) dengan ekstrapolasi Richardson bila D(h) dan D(2h) dihitung dengan rumus hampiran selisih-pusat orde O(h²) sampai 5 angka bena

Penyelesaian

D(h) Selang titik yang dipakai : [2.4, 2.6] dan h=0.1 x₋₁= 2.4, x₀ = 2.5, x₁ = 2.6

D(h) = ^f1−f_2h⁻¹ =(0.25337−0.31729)

2(0.1) = −0.31960

D(2h) Selang titik yang dipakai : [2.3, 2.7] dan h=0.2 x₋₂= 2.3, x₀ = 2.5, x₂ = 2.7

D(2h) =^f1−f_2h⁻¹ =(0.22008−0.34718)

2(0.2) = −0.3775 D(4h) Selang titik yang dipakai : [2.1, 2.9] dan h=0.4

x₋₄= 2.1, x₀ = 2.5, x₄ = 2.9 D(4h) =^f1−f_2h⁻¹ =(0.40051−0.15290)

2(0.4) = −0.30951

D(h) = −0.31960 dan D(2h) = −0.31775 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h²) maka n=2, sehingga

f^′(2.5) = f₀^′ = D(h) + 1

2²− 1[D(h) − D(2h)]

= −0.31960 + 1/3 (−0.31960 + 0.31775)

= −0.32022 → mempunyai galat orde O(h⁴) = D(2,2)

D(2h) = −0.31775 dan D(4h) = −0.30951 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h²) maka n=2, sehingga

f^′(2.5) = f₀^′ = D(h) + 1

2²− 1[D(2h) − D(4h)]

= −0.31775 + 1/3 (−0.31775 + 0.30951)

= −0.32050 → mempunyai galat orde O(h⁴) = D(3,2)

D(2h) = −0.32022 dan D(4h) = −0.32050 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h⁴) maka n=4, sehingga

𝑓^′(2.5) = 𝑓₀^′ =𝐷(2ℎ)+ 1

2⁴− 1[𝐷(2ℎ)− 𝐷(4ℎ)]

= −0.32022 + 1/3 (−0.32022 + 0.32050)

= −0.32020 → mempunyai galat orde 𝑂(ℎ⁶)= 𝐷(3,3)

h 𝑂(ℎ²) 𝑂(ℎ⁴) 𝑂(ℎ⁶)

0.1 -0.31960

0.2 -0.31775 -0.32022

0.3 -0.30951 -0.32050 -0.32020

Kesimpulan

• Terdapat dua metode numerik yang dapat digunakan untuk mmemperkirakan suatu fungsi, yaitu Interpolasi dan Aproksimasi.

• Interpolasi adalah memfit data yang diketahui harus tepat sama dan hanya digunakan untuk suatu range data.

• Aproksimasi adalah memfit data yang diketahui tidak harus sama dan dapat digunakan untuk sembarang range data.

Interpolasi Polinomial Lagrange

 Karakteristik Polinomial Karakteristik:

 Mudah dicari

 Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk suatu kali interpolasi adalah besar

 Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan

Interpolasi Polinomial Newton

 Dengan memanfaatkan sifat rekursif, pembentukan polinom dengan derajat yang lebih tinggi menjadi efisien dan dapat digunakan untuk menentukan tercapainya titik

berhenti.

 Tabel selisih dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi pada nilai x yang berlainan.

Turunan Numerik

 Turunan numerik adalah proses mencari nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang diberikan pada suatu titik.

 Hampiran selisih pusat lebih baik dari 2 metode hampiran sebelumnya (hampiran selisih maju dan hampiran selisih mundur). Karena orde galat selisih pusat O(ℎ²) sedangkan galat hampiran-hampiran sebelumnya adalah 𝑂(ℎ)