Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75

(1)

Matematika I:

Turunan

Dadang Amir Hamzah

2015

(2)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

3 Aturan Mencari Turunan

Turunan Sebagai Operator Linear

4 Turunan Fungsi Trigonometri

5 Aturan Rantai ( Chain Rule )

6 Turunan Orede Tinggi

7 Turunan Implisit

8 Laju yang berkaitan (Related Rates)

9 Differensial dan Aproksimasi

10 Referensi

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75

(3)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(4)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(5)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(6)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(7)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(8)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(9)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(10)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(11)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(12)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(13)

Garis singgung?

(14)

Pendekatan dinamis

(15)

Gradien y = x

²

(16)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(17)

Definisi turunan

Slope (kemiringan ) kurva y = f (x) di x = c adalah bilangan real m = lim

x→c

f (x) − f (c) x − c = lim

h→0

f (c + h) − f (c)

h (jika limit ini ada).

Garis singgung kurva di (c, f (c)) adalah garis yang melalui titik (c, f (c))dengan slope (gradien) m.

(18)

Problem

Problem 1:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = ¹_x di titik (1, 1)

(19)

Problem

Problem 1:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = ¹_x di titik (1, 1) Solusi :

h→0lim

f (1+h)−f (1)

h = lim

h→0

1 1+h−¹₁

h = lim

h→0

1 1+h−^1+h_1+h

h

= lim

h→0

1−(1+h) 1+h

h = lim

h→0

−h h(1+h)

= lim

h→0

−1 1+h = −1

Jadi persamaan garisnya adalah y = (−1)(x − 1) + 1 = 2 − x

(20)

Problem

Problem 1:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = ¹_x di titik (1, 1) Solusi :

h→0lim

f (1+h)−f (1)

h = lim

h→0

1 1+h−¹

1

h = lim

h→0

1 1+h−^1+h

1+h

h

= lim

h→0

1−(1+h) 1+h

h = lim

h→0

−h h(1+h)

= lim

h→0

−1 1+h = −1

Jadi persamaan garisnya adalah y = (−1)(x − 1) + 1 = 2 − x Problem 2:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x²+ 1di (1,2).

(21)

Laju Sesaat

Definisi

Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), makalaju sesaat nya pada saat t = c adalah

(22)

Laju Sesaat

Definisi

Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), makalaju sesaat nya pada saat t = c adalah

Gradien garis singgung dan laju sesaat melatarbelakangi suatu gagasan dasar : yaitu laju perubahan fungsi terhadap perubahan dalam domainnya.

(23)

Laju sesaat

(24)

Turunan fungsi

Definisi

Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f⁰ dengan f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

(25)

Turunan fungsi

Definisi

Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f⁰ dengan f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

Jika limit ada maka f dikatakanterturunkan/ dapat diturunkan (differentiable) di x.

(26)

Turunan Sepihak

Seperti halnya limit sepihak, karena turunan adalah limit yang khusus, maka kita juga dapat membangun konsep turunan sepihak :

Definisi

1 Turunan kiri dari f (x) di c adalah

D⁻_xf (c) = lim

h→0⁻

f (c + h) − f (c) h jika limit ini ada.

2 Turunan kanan dari f (x) di c adalah

D⁺_xf (c) = lim

h→0⁺

f (c + h) − f (c) h jika limit ini ada.

(27)

Turunan

Turunan f⁰(c)ada jika dan hanya jika turunan kiri dan turunan kanan f (x)di c sama dan berhingga.

f⁰(c) ada ⇐⇒ D⁻_xf (c) = D⁺_xf (c) (< ∞)

(28)

Nonexistence of Derivatives

1 D⁻_xf (c) 6= D⁺_xf (c). Keduanya ada.

2 +∞ = D⁻_xf (c) 6= D⁺_xf (c) = −∞

(29)

Differentiability implies continuity

f⁰(c) = lim

x→c

f (x) − f (c) x − c

h=x−c

= lim

h→0

f (c + h) − f (c) h

Differentiability implies Continuity : Jika suatu kurva y = f (x)

mempunyai garis singgung di (c, f (c), maka kurva tersebut tidak akan meloncat atau berosilasi di c.

Teorema

Jika f⁰(c)ada, maka f (x) kontinu di x = c.

(30)

Garis singgung 6= Turunan

Fungsi f (x) = √³

xmempunyai garis singgung (vertikal) di x = 0 sekalipun f⁰(0)tidak ada.

(31)

Turunan

Fungsi nilai mutlak, f (x) = |x|, tidak mempunyai turunan di x = 0.

lim

h→0⁺

|h|−|0|

h = lim

h→0⁺ h−0

h = 1 lim

h→0⁻

|h|−|0|

h = lim

h→0⁻

−h−0 h = −1

Fungsi floor,f (x) = bxc, tidak mempunyai turunan di tiap bilangan bulat

lim

h→0⁺

bn+hc−bnc

h = lim

h→0⁺ n−n

h = 0 lim

h→0⁻

bn+hc−bnc

h = lim

h→0⁻ n−1−n

h = ∞

(32)

Problem

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut :

1 f (x) = x²+ 1

2 f (x) = ¹_x

3 f (x) =√ x

(33)

Notasi Leibniz

Perubahan f (x) oleh karena x berubah menjadi x + ∆x adalah

∆y = f (x + ∆x) − f (x) Maka rasio perubahan adalah

∆y

∆x = f (x + ∆x) − f (x)

∆x

yang memberikan kemiringan garis secant yang melalui titik (x, f (x))dan (x + ∆x, f (x + ∆x)).

Kemiringan /slope/gradien garis singgung f (x) di x adalah dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x = f⁰(x)

(34)

Problem

Tentukan manakah grafik fungsi f (x) dan manakah grafik turunannya f⁰(x)

(35)

Answer

(36)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(37)

Aturan Turunan

Menentukan turunan fungsi langsung melalui proses limit dalam definisi

f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

biasanya tidak mudah dan memerlukan waktu.

Maka akan ditentukan cara untuk memudahkannya sehingga proses penentuan menjadi sangat mudah dan cepat.

(38)

Aturan Turunan

1. Turunan fungsi konstan : Jika f (x) = k fungsi konstan, maka f⁰(x) = 0

f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

k − k h = lim

h→0

0 h = 0 2. Turunan fungsi identitas: Jika f (x) = x , fungsi identitas, maka

f⁰(x) = 1 f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

x + h − x

h = lim

h→0

h h = 1

(39)

Aturan Turunan

3. Turunan fungsi pangkat: Jika f (x) = xⁿ, maka f⁰(x) = nxⁿ⁻¹

(40)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(41)

Turunan Sebagai Operator Linear

Karena turunan bekerja pada fungsi, maka untuk memudahkan diperkenalkan operator D_x :

Dxf (x) = f⁰(x) Contoh: D_xk = 0, Dxx=1,

D_xxⁿ= nxⁿ⁻¹ Aturan Pangkat D_xmerupakan operator linear:

Dx(kf (x)) = kDxf (x)

D_x(f (x) + g(x)) = D_xf (x) + D_xg(x)

(42)

Operator Linear

1. D_xkf (x)

(43)

Operator Linear

2. Dx(f (x) + g(x))

(44)

Aturan Perkalian dan Pembagian

Aturan Perkalian: Jika u dan v dapat diturunkan, maka (u · v)⁰= u⁰(x) · v(x) + v⁰(x) · u(x) atau

Dx(u · v)(x) = (Dxu(x)) · v(x) + u(x) · Dxv(x)

Aturan Pembagian: Jika u dan v dapat diturunkan dan v(x) 6= 0, maka

u v

0

(x) = u⁰(x) · v(x) − u(x) · v⁰(x) v²(x)

atau

Dx

u v

(x) = (Dxu(x)) · v(x) − u(x) · Dxv(x) v²(x)

Aturan Pangkat

D_xxⁿ= nxⁿ⁻¹

(45)

Problems

1 Tentukan D_xf (x)jika a. f (x) = (x²+ 1)(x − 1) b. f (x) = ³_x−_x^x−12+1

c. f (x) = _x^x4²−4x+8^+x+5

2 Tentukan semua titik pada kurva y = x³− x² dimana garis singgungnya mendatar.

3 Tentukan semua titik pada y = ¹⁰⁰_x5 dimana garis singgungya tegak lurus garis y = x.

4 Radius sebuah semangka tumbuh dengan laju 2cm/minggu.

Tebal kulitnya selalu 1/9 radius. Tentukan laju pertumbuhan voume kulit pada minggu ke-5. Asumsikan r(0) = 0.

(46)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(47)

D

_x

sin(x)

Misalkan f (x) = sin(x) f⁰(x) = lim

h→0

f (x+h)−f (x)

h = lim

h→0

sin(x+h)−sin(x) h

= lim

h→0

sin(x) cos(h)+cos(x) sin(h)−sin(x) h

= lim

h→0

sin(x) cos(h)−sin(x)

h +cos(x) sin(h) h

= lim

h→0

sin(x)

cos(h)−1 h

+ cos(x)^sin(h)_h

= lim

h→0sin(x) lim

h→0

cos(h)−1 h

+ lim

h→0cos(x) lim

h→0 sin(h)

h

= sin(x) lim

h→0

cos(h)−1 h

+ cos(x) lim

h→0 sin(h)

h

= sin(x) · 0 + cos(x) · 1

= cos(x).

(48)

Turunan Fungsi Trigonometri

Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan Dxcos(x) = − sin(x) D_xtan(x) = sec²(x) D_xcot(x) = − csc²(x) Dxsec(x) = sec(x) tan(x) D_xcsc(x) = − csc(x) cot(x)

(49)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(50)

Chain Rule

Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi

Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f (x) = (2x²+ 5x + 6)¹⁰⁰ y = sin²(x³)

g(x) =

1+x 1−x²

5

y = cos²(sin(x²+ x − 2)) Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f (x) ◦ g(x) = f (g(x)).

Misal pada f (x) = (2x²+ 5x + 6)¹⁰⁰kita bisa tulis dalam bentuk y = f (u) = u¹⁰⁰dengan u = 2x²+ 5x + 6.

(51)

Chain Rule

g(x) =

1+x 1−x²

5

y = cos²(sin(x²+ x − 2))

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f (x) ◦ g(x) = f (g(x)).

(52)

Chain Rule

g(x) =

1+x 1−x²

5

(53)

Chain Rule

g(x) =

1+x 1−x²

5

(54)

Chain Rule

Turunan dari fungsi komposisi y = f (u) adalah dy

dx = dy du

du dx

Contoh: Tentukan ^dy_dx dari y = f (x) = (2x²+ 5x + 6)¹⁰⁰. ,

(55)

Chain Rule

dx = dy du

du dx

Contoh: Tentukan ^dy_dx dari y = f (x) = (2x²+ 5x + 6)¹⁰⁰. ,

(56)

Chain Rule

dx = dy du

du dx

Contoh: Tentukan ^dy_dx dari y = f (x) = (2x²+ 5x + 6)¹⁰⁰. Misal u = 2x²+ 5x + 6,

(57)

Chain Rule

dx = dy du

du dx

Contoh: Tentukan ^dy_dx dari y = f (x) = (2x²+ 5x + 6)¹⁰⁰. Misal u = 2x²+ 5x + 6, Jadi y = f (x) = f (u) = u¹⁰⁰

(58)

Chain Rule

dx = dy du

du dx

dy dx = dy

du du

dx = 100u⁹⁹ (4x + 5),

(59)

Chain Rule

dx = dy du

du dx

dy dx = dy

du du

dx = 100u⁹⁹ (4x + 5),

atau dy

dx = 100(2x²+ 5x + 6)⁹⁹(4x + 5)

(60)

Chain Rule

Aturan Rantai (Chain Rule)

Jika g fungsi terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di g(x), maka fungsi komposisi F = f ◦ g dengan F (x) = f (g(x))

terdiferensialkan di x dengan

F⁰(x) = f⁰(g(x)).g⁰(x)

dalam notasi Leibniz, jika y = f (u) dengan u = g(x) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka

dy dx = dy

du du dx

(61)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(62)

Turunan Orde Tinggi

Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f⁰(x)yang dinamakan turunan pertama dari f .

Kemudian jika kita turunkan fungsi f⁰(x)maka kita dapatkan fungsi lain f⁰⁰(x)yang dinamakan turunan ke-2 dari f

Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4, ... , ke-n dari f .

(63)

Turunan Orde Tinggi

(64)

Turunan Orde Tinggi

(65)

Turunan Orde Tinggi

Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4, ... , ke-n dari f . Contoh: Jika f (x) = 2x³− 4x²+ 7x − 8maka

f⁰(x) = 6x²− 8x + 7 f⁰⁰(x) = 12x − 8 f⁰⁰⁰(x) = 12 f⁽⁴⁾(x) = 0

(66)

Turunan Orde Tinggi

Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f (x) ada tiga yaitu:

f⁰(x) Dxy ^dy_dx

yang dinamakan dengan notasi ”aksen”, notasi D, dan notasi Leibniz

(67)

Turunan Orde Tinggi

f⁰(x) Dxy ^dy_dx

yang dinamakan dengan notasi ”aksen”, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz.

(68)

Turunan Orde Tinggi

f⁰(x) D_xy ^dy_dx

yang dinamakan dengan notasi ”aksen”, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz.

Notasi Leibniz untuk turunan ke-2, ke-3 dan seterusnya menggunakan fakta bahwa

y⁰⁰= (y⁰)⁰ = dy⁰

dx = d ^dy_dx dx = d²y

dx²

(69)

Turunan Orde Tinggi

Notasi Turunan y = f (x)

(70)

Aplikasi dalam bidang Fisika

(71)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(72)

Turunan Implisit

Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan

fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel yterpisah. Contoh

y =p

x³+ 1 atau y = sin(x) atau secara umum y = f (x).

Akan tetapi ada fungsi-fungsi yang didefinisikan secara implisit, misalnya

x²+ y² = 25 atau x³+ y³= 6xy

(73)

Turunan Implisit

Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan

fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel yterpisah. Contoh

y =p

x³+ 1 atau y = sin(x) atau secara umum y = f (x).

Akan tetapi ada fungsi-fungsi yang didefinisikan secara implisit, misalnya

x²+ y² = 25 atau x³+ y³= 6xy

(74)

Turunan Implisit

Pada persamaan x²+ y²= 25kita masih bisa nyatakan dalamabentuk eksplisit yaitu

y =p

25 − x² atau y = −p

25 − x²

kemudian dicari turunan y⁰.

(75)

Turunan Implisit

Pada persamaan x²+ y²= 25kita masih bisa nyatakan dalamabentuk eksplisit yaitu

y =p

25 − x² atau y = −p

25 − x²

kemudian dicari turunan y⁰.

(76)

Turunan Implisit

Namun pada persamaan x³+ y³= 6xykita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas.

Persamaan ini dinamakanFolium of Descartes yang grafiknya sebagai berikut

(77)

Turunan Implisit

Namun pada persamaan x³+ y³= 6xykita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas.

Persamaan ini dinamakanFolium of Descartes yang grafiknya sebagai berikut

(78)

Turunan Implisit

Untuk mencari ^dy_dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit.

Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f (x)). Sehingga ^dy_dx dari x²+ y² = 25adalah

x²+ y² = 25 2x + 2y ^dy_dx = 0

dy

dx = ^−x_y

(79)

Turunan Implisit

Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f (x)).

Sehingga ^dy_dx dari x²+ y² = 25adalah x²+ y² = 25 2x + 2y ^dy_dx = 0

dy

dx = ^−x_y

(80)

Turunan Implisit

Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f (x)).

Sehingga ^dy_dx dari x²+ y² = 25adalah x²+ y² = 25 2x + 2y ^dy_dx = 0

dy

dx = ^−x_y

(81)

Turunan Implisit

Hasil yang sama ditunjukkan apabila kita gunakan fungsi eksplisit

y = √

25 − x²

dy

dx = ¹₂^√^−2x

25−x²

dy

dx = −^x_y

Dengan cara yang sama ^dy_dx dari x³+ y³ = 6xyadalah x³+ y³ = 6xy

(82)

Turunan Implisit

y = √

25 − x²

dy

dx = ¹₂^√^−2x

25−x²

dy

dx = −^x_y

(83)

Turunan Implisit

y = √

25 − x²

dy

dx = ¹₂^√^−2x

25−x²

dy

dx = −^x_y

3x²+ 3y^{2 dy}_dx = 6y + 6x^dy_dx

(84)

Turunan Implisit

y = √

25 − x²

dy

dx = ¹₂^√^−2x

25−x²

dy

dx = −^x_y

3x²+ 3y^{2 dy}_dx = 6y + 6x^dy_dx 3y^{2 dy}_dx − 6x_dx^dy = 6y − 3x²

(85)

Turunan Implisit

y = √

25 − x²

dy

dx = ¹₂^√^−2x

25−x²

dy

dx = −^x_y

dy(3y²− 6x) = 6y − 3x²

(86)

Turunan Implisit

y = √

25 − x²

dy

dx = ¹₂^√^−2x

25−x²

dy

dx = −^x_y

dy

dx(3y²− 6x) = 6y − 3x²

dy

dx = ^6y−3x_3y2−6x²

(87)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(88)

Related Rates

Pada bagian ini akan dibahas mengenai permasalahan sehari-hari, yang dapat diselesaikan dengan turunan.

Sebagai contoh, apabila kita meniupkan udara kedalam balon, maka volume dan jari-jari balon akan berubah ( bertambah ) dan perubahan keduanya saling berkaitan, yakni volume berubah seiring dengan perubahan jari-jari, atau sebaliknya.

Permasalahan dalam Laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan suatu kuantitas yang diakibatkan oleh laju perubahan kuantitas yang lain.

Langkah pemecahan masalahnya adalah, pertama kita nyatakan hubungan suatu kuantitas dengan kuantitas yang lain, kemudian gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan.

(89)

Related Rates

(90)

Related Rates

(91)

Related Rates

(92)

Related Rates

Contoh 1:

Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm³/s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm.

(93)

Related Rates

Contoh 1:

Diketahui :

(94)

Related Rates

Contoh 1:

Diketahui :

Laju perubahan volume : ^dV_dt = 100 cm³/s Diameter bola (d ): 50cm

(95)

Related Rates

Contoh 1:

Diketahui :

Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola ^dr_dt?

(96)

Related Rates

Contoh 1:

Diketahui :

Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola ^dr_dt? Jawab : Volume bola adalah

V = 4 3πr³

(97)

Related Rates

Contoh 1:

Diketahui :

Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola ^dr_dt? Jawab : Volume bola adalah

V = 4 3πr³ jadi,

dV dt = 4

3 π 3r² dr dt

(98)

Related Rates

Substitusi ^dV_dt = 100dan r = 25, didapat

(99)

Related Rates

Substitusi ^dV_dt = 100dan r = 25, didapat 100 = ⁴₃ π 3 (25)^{2 dr}_dt

(100)

Related Rates

dr

dt = _25π¹

(101)

Related Rates

dr

dt = _25π¹

Jadi laju perubahan jari-jari bola adalah _25π¹ cm/s.

(102)

Related Rates

Contoh 2:

Sebuah tangga sepanjang 10 Ft bersandar pada suatu tembok vertikal. Apabila bagian bawah tangga bergeser menjauhi tembok dengan laju 1 Ft/s, tentukan seberapa cepat bagian atas tangga bergeser ke bawah ketika bagian bawah tangga berada 6 Ft dari dinding.

(103)

Related Rates

Contoh 3:

Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik (lihat gambar) mempunyai jari-jari 2 m dan tinggi 4 m. JIka air dipompa masuk kedalam tangki dengan laju 2 m³/menit, tentukan laju perubahan tinggi air ketika ketinggian air dalam tangki 3 m.

(104)

Outline

1 Garis Singgung

2 Definisi Turunan

7 Turunan Implisit

10 Referensi

(105)

Pertanyaan Senada

Seorang ahli ekonomi ingin mengetahui bagaimana peningkatan kecil dalam belanja negara mempengaruhi GNP negara.

Seorang ahli sosiologi ingin mengetahui bagaimana peningkatan kecil dalam investasi proyek perumahan berpengaruh pada angka kejahatan.

Seorang pelaku bisnis ingin mengetahui bagaimana peningkatan kecil dalam harga satuan berpengaruh pada keuntungannya.

Seorang peneliti bakteri ingin mengetahui bagaimana penigkatan banyak bakterisida berpengaruh pada suatu populasi bekteri . Untuk menentukan dan mengestimasi perubahan-perubahan diatas kita akan menggunakan konsep diferensial suatu fungsi.

(106)

Increment = Perubahan

Misalkan x adalah variabel sebuah kuantitas yang berubah dari a menjadi b. Perubahan dalam x disebut increment dalam x, ditulis

∆x = b − a.

Misalkan variabel x dan y dihubungkan oleh persamaan y = f (x). Jika x berubah dari a menjadi b = a + ∆x, maka nilai y berubah sebesar

∆y = f (b) − f (a) = f (a + ∆x) + f (a)

∆ydisebut perubahan (increment) dalam y.

(107)

Increment = Perubahan

Misalkan x adalah variabel sebuah kuantitas yang berubah dari a menjadi b. Perubahan dalam x disebut increment dalam x, ditulis

∆x = b − a.

Misalkan variabel x dan y dihubungkan oleh persamaan y = f (x).

Jika x berubah dari a menjadi b = a + ∆x, maka nilai y berubah sebesar

∆y = f (b) − f (a) = f (a + ∆x) + f (a)

∆ydisebut perubahan (increment) dalam y.

(108)

Hampiran

Menentukan perubahan dalam y tidak selalu ‘ekonomis’.

I Seringkali cukup dilakukan estimasi perubahan.

I Apakah tools untuk estimasi ini?

I Jika y = f (x) dan f diferensiabel di a, maka kita dapat

menggunakan garis singgungnya di (a, f (a)) untuk melakukan estimasi.

Mengapa ?

(109)

Hampiran oleh Turunan

Jika ^dy_dx = 3di titik x = 1, artinya laju perubahan y di x = 1 adalah 3, maka : jika ∆x = 0.1, dan y(a) = 10, maka ∆y ≈ 3 × 0.1 = 0.3 sehingga

y(a + ∆x) = y(1 + 0.1) ≈ y(1) + ∆y = 10 + 0.3 = 10.3

Jadi, Perilaku y(x) di sekitar x = 1 hampir linear

(110)

Hampiran oleh Turunan

Jika ^dy_dx = 3di titik x = 1, artinya laju perubahan y di x = 1 adalah 3, maka : jika ∆x = 0.1, dan y(a) = 10, maka ∆y ≈ 3 × 0.1 = 0.3 sehingga

y(a + ∆x) = y(1 + 0.1) ≈ y(1) + ∆y = 10 + 0.3 = 10.3 Jadi, Perilaku y(x) di sekitar x = 1 hampir linear

(111)

Grafik y = x²+ 1dan garis singgungnya di x = 1, y = 2x − 1, pada interval

0.1 ≤ x ≤ 1.9, 0, .6 ≤ x ≤ 1.4, 0.9 ≤ x ≤ 1.1 0.99 ≤ x ≤ 1.01.

Ilustrasi di atas memberi alasan visual mengapa garis singgung dapat dimanfaatkan untuk estimasi.

(112)

Grafik y = x²+ 1dan garis singgungnya di x = 1, y = 2x − 1, pada interval

0.1 ≤ x ≤ 1.9, 0, .6 ≤ x ≤ 1.4, 0.9 ≤ x ≤ 1.1 0.99 ≤ x ≤ 1.01.

Ilustrasi di atas memberi alasan visual mengapa garis singgung dapat dimanfaatkan untuk estimasi.

(113)

Estimasi / Hampiran Linear

Jika f (x) mempunyai turunan di a, maka persamaan garis singgung di a adalah L(x) = f (a) + f⁰(a)(x − a).

Kita menggunakan garis singgung sebagai hampiran, maka di sekitar a,

f (x) ≈ L(x)

Perubahan sesungguhnya : ∆y = f (x) − f (a) = f (a + ∆x) − f (a).

Estimasi perubahan:

dy = ∆L = L(x) − f (a) = L(a + ∆x) − f (a) = f⁰(a)∆x = f⁰(a)dx.

Bila ∆x cukup kecil, maka garis singgung dapat digunakan sebagai hampiran (lokal) dari fungsi.

(114)

Diferensial

Definisi

Misalkan f (x) mempunyai turunan dan ∆x adalah perubahan dalam x.

1 ∆x = dx:diferensial variabel independen. x

2 ∆y: perubahan sebenarnya ketika x berubah menjadi x + ∆x

∆y = f (x) + ∆x − f (x)

3 dy:diferensial variabel dependen y, dy = f⁰(x)dx

Jika ∆x cukup kecil maka dx adalah hampiran dari ∆x.

(115)

Aturan Diferensial

(116)

Hampiran

Definisi

Jika f (x) dapat diturunkan di x = 1, maka hampiran f (x) ≈ f (a) + f⁰(a)(x − 1)

dinamakanhampiran linear atau hampiran garis singgung dai f di a.

Fungsi linear, yang grafiknya adalah garis singgung f di (a, f (a)) L(x) = f (a) + f⁰(a)(x − a)

disebutlinearisasi dari f di a.

(117)