i
DIKTAT TEORI BILANGAN
Hastri Rosiyanti
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA
SEPTEMBER 2018
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah segala kesempurnaan hanya milik ALLAH SWT, berkat RAHMAT dari ALLAH SWT, penulis dapat menyelesaikan diktat Teori Bilangan ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan diktat ini dapat selesai.
Materi pada diktat ini disusun untuk membantu mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Jakarta mendalami persoalan-persoalan yang berkaitan dengan teori bilangan.
Semoga dengan adanya diktat ini dapat membantu belajar mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini khususnya, serta mata kuliah lain yang terkait. Penulis menyadari bahwa isi diktat ini masih jauh dari kesempurnaan oleh sebab itu kritik dan saran sangat diperlukan.
Jakarta, September 2018
Penulis
iii DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB 1 INDUKTIF MATEMATIK DAN KOEFISIEN BINOMIAL ... 1
BAB 2 KETERBAGIAN ... 5
BAB 3 KONGRUEN MODULO ... 13
BAB 4 KEKONGRUENAN DAN APLIKASI KEKONGRUENAN ... 21
BAB 5 PERKONGRUENAN LINIER & SISTEM PERKONGRUENAN LINIER ... 26
1 BAB 1
INDUKTIF MATEMATIK DAN KOEFISIEN BINOMIAL
Salah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika. Banyak digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema-teorema yang berlaku untuk semua bilangan bulat atau lebih khusus untuk setiap bilangan asli. Induktif matematika merupakan teknik pembuktian yang sangat penting. Dipergunakan secara luas untuk membuktikan pernyataan yang berkaitan dengan obyek diskrit.(kompleksitas algoritma, teorema mengenai graf, identitas dan ketidaksamaan yang melibatkan bilangan bulat, dsb). Tidak dapat digunakan untuk menemukan rumus atau teorema, tetapi hanya untuk melakukan pembuktian.
Teknik untuk membuktikan proposisi dalam bentuk n P(n), dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan asli. Suatu bukti dengan menggunakan induksi matematika bahwa “P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif “
1. Langkah basis: Tunjukkan bahwa P(1) benar.
2. Langkah induktif: Diasumsikan bahwa P(k) benar, maka dapat ditunjukkan bahwa P(k + 1) benar untuk setiap k. P(k) untuk suatu k tertentu disebut hipotesa induksi.
3. Konklusi: n maka P(n) bernilai benar.
A. Langkah-Langkah Pembuktian Dengan Induksi Matematik
1. Misalkan p(n) adalah suatu proporsi/ pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli.
2. Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(1) benar.
3. Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.
Apabila langkah (1) dan langkah (2) telah dilakukan dengan benar, maka dapat disimpulkan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Langkah (1) sering disebut basis (dasar) untuk induksi, sedangkan langkah (2) disebut langkah induktif.
Contoh Induksi Matematika
1. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa , untuk setiap bilangan asli
Bukti:
2
Misalkan menyatakan
a. Langkah basis:
adalah b. Langkah induktif:
Diasumsikan bahwa benar untuk suatu bilangan asli , yaitu:
benar
Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa benar, yaitu:
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :
( ) (
) c. Konklusi:
Jadi berarti benar.
Sehingga benar untuk setiap bilangan asli .
2. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n.
Bukti:
Misalkan : proposisi “ ” a. Langkah basis:
benar, karena . b. Langkah induktif:
Asumsikan bahwa benar untuk semua bil bulat positif, yaitu . Kita perlu menunjukkan bahwa benar, yaitu
Kita mulai dari
Jadi, jika maka benar.
c. Konklusi:
3
Jadi, benar untuk setiap bilangan bulat positif.
Perhatikan:
Basis induksi tidak mesti diambil , tetapi diambil sesuai dengan permasalahan yang dihadapi atau pernyataan yang ingin dibuktikan.
Misalkan akan dibuktikan bahwa berlaku untuk setiap bilangan asli . Maka langkah-langkah pembuktiannnya dengan induksi matematik sebagai berikut.
Langkah (1) : ditunjukkan bahwa benar
Langkah (2) : diasumsikan bahwa benar untuk suatu bilangan asli , dan ditunjukkan bahwa benar.
3. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan untuk setiap bilangan asli berlaku .
Bukti:
Misalkan . Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa
a. Langkah basis:
benar, karena atau b. Langkah induktif:
Diasumsikan bahwa dan benar untuk suatu bilangan asli , yaitu:
benar. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa benar, yaitu:
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :
c. Konklusi:
4
Jadi berarti benar. Sehingga benar untuk setiap bilangan asli .
B. Koefisien Binomial
Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan .
Teorema 1.1:
Kombinasi objek yang diambil dari objek dimisalkan dengan dirumuskan sebagai,
Contoh: Misalkan terdapat 5 objek, yaitu a, b, c, d, dan e, apabila dari 5 objek tersebut diambil 3 objek, maka banyaknya cara pengambilan 3 objek tersebut adalah
Cara
Teorema:
Jika a dan b adalah bilangan riil dan n adalah bilangan bulat positif, maka.
∑
Contoh: Tentukan koefisien dari dalam penjabaran , yaitu
C. Tes Formatif
1. Dengan induksi matematik, buktikan bahwa setiap bilangan asli berlaku .
2. Buktikan habis dibagi untuk setiap bilangan asli.
3. Buktikan Untuk setiap bilangan bulat positif dengan . 4. Jabarkan .
5. Tentukan koefisien dari dalam penjabara
5 BAB 2 KETERBAGIAN
A. Definisi Keterbagian
Misalkan dan bilangan bulat dengan . Bilangan dikatakan habis dibagi (atau habis membagi ) jika terdapat bilangan bulat sehingga .
Jika habis dibagi maka kita tulis . Jika tidak habis dibagi maka kita tulis . Jika habis dibagi maka disebut kelipatan dari ; dan disebut pembagi(atau faktor) dari .
Catatan:
artinya
• dengan bilangan bulat
• bilangan bulat
• faktor dari
• dapat membagi kelipatan dari Contoh:
1. karena tidak ada bilangan bulat sehingga 2. karena
Teorema 2.1
Misalkan dan bilangan bulat. Jika da maka Bukti:
Karena maka terdapat bilangan bulat sehingga Karena d|b maka terdapat bilangan bulat sehingga Perhatikan:
dengan bil. bulat Jadi
Akibat Teorema 2.1
Misalkan dan bilangan bulat. Jika dan maka
•
•
6
•
•
Teorema 2.2
Misalkan dan bilangan bulat. Jika dan maka Bukti:
Karena maka terdapat bil bulat sehingga Karena maka terdapat bil. Bulat sehingga
Perhatikan Jadi
Teorema 2.3
Jika dan maka Bukti:
Karena maka terdapat bilangan bulat sehingga
Karena maka terdapat bilangan bulat sehingga c Jadi
Teorema 2.4
Jika bilangan bulat dan tak nol. jika dan hanya jika Bukti :
() Adb :
Karena maka terdapat bilangan bulat sehingga
tak nol
Jadi
7 () Adb :
Karena terdapat bil. Bulat sehingga
dengan tak nol
Jadi
Kasus:
Misalkan dan bilangan bulat positif. Perhatikan bilangan positif yang habis dibagi tapi tidak lebih besar dari . Berapa banyak bilangan yang demikian? ⌊ ⌋
Simulasi jawaban: misalkan Sehingga . Untuk kasus ini maka banyakanya bilangan positif yang habis dibagi 3 tapi tidak lebih besar dari adalah 3.
Bukti umum:
, dan
Perhatikan dan perhatikan . Jadi . Artinya adalah bilangan bulat positif terbesar yang habis dibagi dan kurang dari sama dengan . Jadi himpunan bilangan yang habis dibagi adalah . Maka dapat dilihat bahwa , dengan bilangan kurang dari 1. Artinya banyaknya bilanganya adalah ⌊ ⌋
B. Sifat Keterbagian
Misalkan adalah bilangan bulat 1.
2. Jika maka 3. Jika dan maka
4. Jika dan maka
5. Jika dan maka untuk sebarang bilangan bulat dan 6. Jika dan maka
7. Jika dan maka 8. Jika dan maka
8 9. Untuk jika dan hanya jika
C. Tes Keterbagian Habis dibagi
oleh:
Jika:
2 Digit terakhir genap
3 Jumlah semua digit habis dibagi 3 4 Dua digit terakhir habis dibagi 4 5 Digit terakhir 5 atau 0
6 Habis dibagi 3 dan 2.
7 Digit terakhir dikali dua dan dikurangi dengan bilangan awal yang dihilangkan digit terakhir maka hasilnya kelipatan 7 atau 0.
8 Digit ratusan genap dan dua digit terakhir kelipatan 8.
Digit ratusan ganjil dan dua digit terakhir kelipatan 4 dan bukan kelipatan 8.
9 Jumlah semua digit habis dibagi 9 10 Digit terakhir 0
11 Jumlah digit posisi genap dikurangi jumlah digit posisi ganjil hasilnya 0 atau 11k
Contoh Soal 1
Tentukan semua bilangan sehingga
adalah bilangan asli!
Jawab:
? Buktikan setelah 35 tidak ada bilangan asli lain!
artinya .
Diketahui bahwa . Berdasarkan Teorema 2.1 maka atau (
Sehingga suatu bilangan bulat.
9
Karena faktor dari 65 adalah 1,5, 13, dan 65 maka dan
Contoh Soal 2
Tentukan semua bilangan bulat yang menyebabkan
bil. Bulat!
Jawab:
Karena Berdasarkan Teorema 2.1 maka atau
Faktor dari 10 adalah 1,2,5,10,-1,-2,-5,-10.
(sama) (sama) Cara lain
Artinya Faktor dari 10 adalah 1,2,5,-1,-2,-5
Contoh Soal 3
Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ini tidak benar a. Jika maka atau
Salah. Jika maka atau
10 b. Jika maka atau
Salah. Jika maka atau c. Jika dan maka
Salah. Jika dan maka
Contoh Soal 4
Misalkan bilangan bulat positif, tentukan pembagi sekutu terbesar dari dan . Jawab:
Kasus 1 ganjil)
Karena ganjil maka , dengan bil bulat positif, sehingga GCD dari
GCD
Kasus 2 ( genap)
Karena genap maka , dengan bil bulat positif, sehingga
Contoh Soal 5
Tentukan semua bilangan bulat sehingga kelipatan ! Jawab:
adalah bil bulat.
Faktor adalah
11
D. Algoritma Pembagian
Jika dan bilangan bulat dengan maka terdapat pasangan tunggal bilangan bulat sehingga dan . Pada kasus di atas kita sebut sisa saat dibagi .
Contoh:
1. Misalkan 2. Misalkan
3. Misalkan
E. Soal
1. Tentukan bilangan bulat positif terbesar sehingga + 100 habis dibagi oleh
2. Diketahui bahwa manakah dibawah ini yang habis dibagi 5 ?
3. Tentukan semua bil asli sehingga kelipatan !
4. Benar atau salahkan pernyataan-pernyataan berikut ini! Jika benar, buktikanlah pernyataanya dan jika salah, berilah suatu contoh kontranya!
a.
b.
c.
d.
e.
12 f.
g.
h.
i.
j.
13 BAB 3
KONGRUEN MODULO
A. Kongruen Modulp
Misalkan bilangan bulat dan bilangan bulat positif. Kita katakan dan kongruen modulo jika . Jika dan kongruen modulo maka ditulis Sebaliknya, jika tidak kita tulis
Proposisi
Misalkan bilangan bulat positif.
1. jika dan hanya jika dan memiliki sisa yang sama jika dibagi oleh . 2. jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat sehingga 3. habis dibagi jika dan hanya jika
B. Sifat Kongruen Modulo 1.
2. Jika dan maka 3. Jika maka
4. Jika dan maka dan
5. maka untuk setiap bilangan bulat berlaku .
6. Jika dan bilangan bulat positif maka
C. Kongruen Residu
Misalkan bilangan bulat positif. Setiap bilangan bulat kongruan modulo dengan tepat satu bilangan bulat nonnegatif yang kurang dari .
Soal 1.
1. Tentukan sisa pembagian oleh 37.
2. Tentukan sisa pembagian dari 12233 + 455679 + 876533 oleh 4.
3. Tunjukkan bahwa habis dibagi 7.
4. Tentukan digit terakhir dari .
5. Buktikan bahwa 6. Berapakah dua digit terakhir dari 3100.
14 D. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Definisi:
Misalkan dan adalah bilangan bulat keduanya tak nol. Bilangan asli dikatakan faktor persekutuan terbesar dari dan jika
1. dan
2. Untuk setiap bilangan asli dengan dan maka berlaku . Jika adalah FPB dari dan maka kita tulis . Contoh:
Definisi Saling Prima
Bilangan bulat dan dikatakan saling prima (relatif prima) jika Contoh:
Sifat FPB
Misalkan dan adalah bilangan bulat 1.
2. , dengan bilangan bulat.
3. dengan
4. dengan 5. jika maka ( )
Algoritma Euclid Definisi 1:
Misalkan dan bilangan bulat dimana . Jika algoritma pembagian dilakukan berturut-turut dan didapat
15
Maka
Definisi 2:
Misalkan dan bilangan bulat dengan . Gunakan algoritma pembagian dengan . Maka
1. , jadi dan relatif prima.
2. .
3.
Contoh Soal:
1. Tentukan Jawab:
Definisi 1
Cara lain (Definisi 2)
2. Tentukan . Solusinya adalah:
Jawab:
Perhatikan bahwa
16
Jadi gcd Teorema 3.1 (Identitas Bezout)
Jika dan bil bulat tak nol maka ada bilangan-bilangan bulat dan sedemikian hingga
Contoh:
Teorema 3.2
Jika dan bilangan bulat tak nol, dan saling prima jika dan hanya ada bilangan- bilangan bulat dan sedemikian hingga
Contoh :
Akibat 3.1
Jika dan dengan maka . Contoh :
dan dengan maka
Lemma Euclid
Jika dan maka Contoh :
1.
2.
Contoh Soal
1. Tentukan Terdapat bilangan bulat dan sehingga
17 Jawab:
2. Tentukan salah satu pasangan bilangan bulat sehingga Jawab:
artinya
ada dan ada Sehingga
3. Tentukan salah satu pasangan bilangan bulat sehingga Jawab:
artinya
Maka
E. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Misalkan dan adalah bilangan bulat tak nol. Bilangan asli dikatakan kelipatan persekutuan terkecil dari dan jika
1. dan
18
2. untuk setiap bilangan asli dengan dan maka berlaku Jika adalah KPK dari dan maka kita tulis Contoh:
1. , sehingga dan 2. sehingga dan
3. Tentukan 5 bilangan berurutan selain 3,4,5,6,7 dimana bil pertama habis dibagi 3, bil kedua habis dibagi 4, bil ketiga habis dibagi 5, bil keempat habis dibagi 6 dan bil kelima habis dibagi 7.
Jadi bilangan berurutan selain 3,4,5,6,7 adalah 423,424,425,426,427
Sifat KPK
Misalkan dan adalah bilangan bulat keduanya tak nol.
1.
2.
3.
Teorema 3.3
Misalkan dan adalah bilangan bulat keduanya tak nol maka
Teorema 3.4
Jika adalah suatu kelipatan persekutuan dari dua bil bulat tak nol dan maka dari dan membagi , yaitu
Contoh:
1. dan merupakan kelipatan dari dan , maka 2. dan merupakan kelipatan dari dan , maka
Teorema 3.5
Jika maka Contoh:
19 Teorema 3.6
Jika dan bilangan-bilangan bulat positif maka Contoh:
Catatan:
• Simbol untuk
• Simbol untuk
F. Bilangan Prima
Bilangan bulat positif dikatakan bilangan prima jika memiliki tepat dua faktor positif yaitu dan sendiri. Bilangan bulat positif yang bukan prima selain kita sebut bilangan komposit.
Teorema 3.7 (Bilangan Prima)
Banyaknya bilangan prima adalah tak hingga.
Teorema 3.8 (Tes Bilangan Prima)
Jika bilangan komposit, maka memiliki faktor prima yang tidak lebih besar dari √ .
Proposisi
1. Misalkan bilangan prima dan bilangan asli maka atau . 2. Jika prima dan maka atau .
Teorema 3.8 (Faktorisasi Prima)
Setiap bilangan asli dapat dinyatakan secara tunggal sebagai dengan suatu bilangan asli, bilangan prima dan bilangan asli untuk setiap
Teorema 3.9 (FPB dan KPK dari Faktorisasi Prima) Misalkan dan bilangan bulat positif. Tuliskan
dan
20 dengan bilangan berbeda dan maka 1.
2. ,
21 BAB 4
KEKONGRUENAN DAN APLIKASI KEKONGRUENAN
Definisi 4.1
Jika suatu bilangan bulat positif, maka kongruen dengan modulo (ditulis ) jhj m|(a-b)
Contoh:
1. sebab terbagi oleh atau
2. sebab tidak terbagi oleh atau
Teorema 4.1
suatu bilangan bulat Contoh:
1. artinya 2. artinya
Teorema 4.2
Setiap bilangan bulat kongruen modulo dengan tepat satu diantara
Definisi 4.2
Jika dengan maka disebut redisu terkecil dari modulus Untuk kekongruenan modulo ini, disebut himpunan residu terkecil modulo .
Contoh:
1. Residu terkecil dari modulo adalah karena sisa adalah 1 2. Residu terkecil dari modulo adalah , sebab sisa
adalah
3. Himpunan residu terkecil modulo 5 adalah {0,1,2,3,4}
4. Himpunan residu terkecil modulo 9 adalah {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
Teorema 4.3
jhj dan memiliki sisa yang sama jika dibagi . Contoh:
22
artinya dibagi sisanya . Dan dibagi sisanya pula.
Definisi 4.3
Himpunan bilangan bulat disebut sistem residu lengkap modulo jhj setiap elemennya kongruen modulo dengan satu dan hanya satu dari
Contoh:
1. Himpunan bukan merupkan sistem redisu lengkap modulo sebab
2. Himpunan adalah suatu sistem residu lengkap modulo 5. dapat diperiksa bahwa
•
•
•
•
•
Himpunan juga merupakan suatu sistem residu lengkap modulo sekaligus sebagai himpunan residu terkecil modulo
RELASI EKUIVALENSI
Jika dan adalah bilangan-bilangan bulat dengan positif, maka 1. sifat refleksi
2. Jika maka sifat simetris
3. Jika dan maka sifat transitif.
Catatan :
1. Himpunan bil bulat memenuhi 3 sifat tersebut maka relasi kongruen pada himpunan tersebut merupaka relasi ekivalen
2. Akibatnya himpunan bil bulat terpartisi (terbagi menjadi himpunan-himpunan bagian yang saling asing dan gabungannya sama dengan himpunan bil bulat) dalam himpunan- himpunan bagian yang setiap himpunan bagian disebut kelas.
23 Contoh:
Misal kita memperhatikan himpunan bil bulat dengan relasi kekongruenan modulo 5 maka dengan relasi ini himpunan bil bulat terpartisi menjadi 5 kelas, yaitu:
•
•
•
•
•
Teorema 4.4
Jika dan maka Contoh:
Teorema 4.5
Jika dan maka , untuk setiap bil bulat dan
Contoh:
dan maka
Teorema 4.6
Jika dengan maka Contoh:
1.
dengan maka
2. Tentukanlah bilangan–bilangan bulat yang memenuhi perkogruenan Jawab:
Karena maka kita dapat mengganti 1 pada perkongruenan tersebut dengan 15, sehingga diperoleh Selanjutnya, karena maka kita dapat membagi 3 pada ruas-ruas perkongruenan itu, sehingga diperoleh Perkongruenan terkahir ini berarti untuk setiap bil bulat Atau
24
dapat dikatakan bahwa himpunan penyelesaian dari perkongruenan tersebut adalah
Teorema 4.7
Jika dengan maka Contoh:
1.
jelas bahwa dengan tetapi maka ( )
2. Tentukan yang memenuhi Jawab:
karena maka ( ) atau . Jadi nilai-nilai adalah
APLIKASI KEKONGRUENAN Teorema 4.8
untuk Contoh:
Teorema 4.9
Setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya Contoh:
1. Pernyataan ini benar, karena
•
•
•
Jadi . Sedangkan
2. Benarkah
25 Jawab:
•
• Maka
Sedangkan
Perlu dicatat: Pemeriksaan kebenaran penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan kekongruenan modulo 9 ini belum menjamin bahwa operasi yang kita lakukan itu benar atau salah. Tetapi cara ini kita lakukan, setelah kita mengerjakan operasi hitung tersebut mungkin dalam mengoperasikan kita keliru menjumlahan puluhan, ratusan dan lainnya. Artinya hal ini hanya syarat perlu. Tidak sebaliknya
Contoh:
Kita mengetahui bahwa
Menurut cara pemeriksaan di atas benar, ttp diketahui bahwa salah
Teorema 4.10
Suatu bilangan terbagi oleh 9 jhj jumlah angka-angkanya terbagi oleh 9.
Contoh:
•
•
Teorema 4.11
Suatu bilangan terbagi oleh 3 jhj jumlah angka-angkanya terbagi oleh 3.
Contoh:
• Karena
• Karena
26 BAB 5
PERKONGRUENAN LINIER & SISTEM PERKONGRUENAN LINIER
Bentuk Umum
Contoh:
•
• Teorema 5.1
Jika maka perkongruenan linier tidak memiliki solusi.
Contoh:
karena dan maka perkongruenan linier tidak mempunyai solusi.
Teorema 5.2
Jika maka perkongruenan linier memiliki tepat satu solusi Contoh:
Solusi dari
•
•
Karena maka memungkinkan kita melakukan kanselasi 4 pada kongruen sehingga diperoleh
•
Solusi dari perkongruenan adalah 4 Contoh:
Selesaikanlah Jawab:
•
•
•
27
•
•
Teorema 5.3
Jika dan maka perkongruenan linier memiliki tepat solusi.
Contoh:
Solusi dari Karena maka perkongruenan ini memiliki solusi.
•
Karena maka dapat dihapus 3 pada perkongruenan
•
Karena maka
•
Karena
•
Maka bilangan-bilangan bulat positif yang memenuhi dan merupakan residu terkecil modulo 8, 19, dan 30. Jadi solusi-solusi dari adalah 8, 19, 30
Contoh
Misalkan kita harus menyelesaikan Jawab:
•
•
•
Berarti untuk suatu bil bulat Nilai ini disubstitusikan pada menjadi Sehingga himpunan penyelesaian dari adalah
Jika maka sehingga adalah salah satu penyelesaian dari persamaan
28 Teorema 5.4
Persamaan linier Diophantus dengan tidak mempunyai penyelesaian bila
Contoh:
Persamaan linier Diophantus tidak mempunyai solusi, karena
Teorema 5.5
Persamaan linier Diophantus dengan mempunyai penyelesaian bila
Contoh:
Persamaan mempunyai solusi karena Perhatikan berikut
•
•
•
• bilangan cacah. Sehingga bilangan cacah
Karena bil bulat positif dan bil cacah maka yaitu untuk sehingga Jadi bilangan-bilangan positif dan yang memenuhi
Teorema 5.6
Persamaan linier Diophanus yang diperoleh dari dengan dengan dan mempunyai suatu penyelesaian dan maka himpunan semua penyelesaian dari adalah
Contoh:
Selesaikan persamaan linier Diophantus Jawab:
berarti
•
•
•
29
Berarti untuk suatu bil bulat Nilai ini disubstitusikan pada menjadi Sehingga himpunan penyelesaian dari adalah
TEOREMA SISA CINA
Sistem perkongruenan linier untuk setiap memiliki solusi bersama modulo m dan solusi bersamaan itu tunggal dengan
Teorema 5.7
Misalkan sistem persamaan untuk dengan dan , untuk dan
adalah solusi . Maka Sehingga solusi bersama dari sistem persamaan adalah solusi dari
Contoh:
Tentukan solusi sistem perkongruenan Jawab:
•
• sehingga
•
• sehingga
30
• Jadi
