MENGENALKAN OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT MENGGUNAKAN KEPING MUATAN
Materi operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat diberikan pada jenjang sekolah dasar. Dalam menanamkan konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat tersebut tentunya setiap guru mempunyai cara/strategi sendiri-sendiri sesuai dengan kondisi siswanya. Namun pembelajaran di SD seyogyanya mengacu tahapan pada kegiatan pembelajaran Bruner, yaitu: 1) enactive (konkret), 2) iconic (semikonkret), dan 3) symbolic/abstrak. Terinspirasi oleh video youtube tentang perkalian bilangan bulat[1] dan pembagian bilangan bulat[2] yang disampaikan oleh Prof. Dr. Iwan Pranoto, Guru Besar Matematika ITB, penulis mencoba mengemas kembali dalam sebuah tulisan yang memberikan salah satu alternatif cara dalam mengenalkan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat menggunakan alat peraga, yaitu keping muatan.
Keping muatan yang dimaksud di sini adalah keping berbentuk persegi dengan tanda “+” untuk mewakili keping positif, dan bertanda “–“ untuk mewakili keping negatif.
mewakili –1 mewakili +1 mewakili –2 mewakili +3 dan seterusnya.
Adapun nol diwakili oleh pasangan keping positif dan keping negatif.
Untuk memulai, sebelumnya kita perlu menyediakan sebuah persegi atau lingkaran sebagai media bantu dalam menanamkan konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat. Ide dasar dari kegiatan yang akan kita lakukan adalah memasukkan atau mengeluarkan keping ke atau dari persegi/lingkaran[1],[2].
A. Perkalian
Kesepakatan:
• Pengali , mewakili banyaknya kegiatan memasukkan atau mengeluarkan keping Pengali positif, artinya memasukkan/menambahkan keping ke dalam persegi
Pengali negatif, artinya mengeluarkan/mengambil keping dari persegi
• Bilangan yang dikali , mewakili keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) • Hasil kali , menunjukkan keping akhir yang terdapat dalam persegi
+
–
= 0
–
+
– –
+
+ +
+
–
= 0
+
–
+
–
= 0
+
–
+
–
1. Positif dengan positif (+2) × (+3) = ….
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping positif yang mewakili 6. Dengan demikian,
(+2) × (+3) = +6, atau ditulis 2 × 3 = 6.
2. Positif dengan negatif (+2) × (–3) = …
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping negatif yang mewakili –6. Dengan demikian,
(+2) × (–3) = –6, atau ditulis 2 × (–3) = –6.
Dengan memasukkan 3 keping positif sebanyak 2 kali maka,
keping apa yang terdapat dalam persegi? berapa banyak keping tersebut?
Perkalian ini dapat dimaknai memasukkan 3 keping negatif sebanyak 2 kali.
Keping apa yang terdapat dalam persegi? Berapa banyak keping tersebut?
Berdasarkan kesepakatan, perkalian ini dapat dimaknai memasukkan 3 keping positif
sebanyak 2 kali.
+
+
+
+
+
+
memasukkan yang pertama memasukkan yang kedua–
–
–
–
–
–
memasukkan yang pertama memasukkan yang kedua
3. Negatif dengan positif
(–2) × (+3) = … Perkalian ini dapat dimaknai
mengeluarkan 3 keping positif sebanyak 2 kali.
Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegi maka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangan keping positif dan negatif). Perhatikan, karena yang akan dikeluarkan sebanyak 3 keping maka nol yang kita isikan berupa 3 pasang keping positif dan negatif.
Kemudian kita keluarkan lagi 3 keping positif.
Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 3 keping positif sebanyak 2 kali. Dengan demikian kita harus
mengeluarkan satu kali lagi. Untuk itu kita perlu mengisi persegi lagi dengan 3 pasang keping positif dan negatif yang mewakili bilangan nol.
Lalu 3 keping positif kita keluarkan dari persegi.
+
+
+
Isi nol yang pertama
–
–
–
+
+
+
–
–
–
Keluarkan yang pertama
–
–
–
+
+
+
–
–
–
Isi nol yang ke-2
–
–
–
+
+
+
–
–
–
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping negatif yang mewakili –6. Dengan demikian,
(–2) × (+3) = –6, atau ditulis –2 × 3 = –6.
4. Negatif dengan negatif (–2) × (–2) = …
Nha, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya?
Perkalian ini dapat dimaknai, mengeluarkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali.
Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegi maka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangan keping positif dan negatif). Perhatikan, karena yang akan dikeluarkan sebanyak 2 keping maka nol yang kita isikan berupa 2 pasang keping positif dan negatif.
Lalu 2 keping negatif kita keluarkan dari persegi.
Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali. Karena kita baru
mengeluarkan sekali maka kita perlu mengisi persegi lagi dengan 2 pasang keping positif dan negatif yang mewakili bilangan nol.
–
–
–
–
–
–
+
+
Isi nol yang pertama
–
–
+
+
–
–
Keluarkan yang pertama
+
+
+
+
–
–
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 4 keping positif yang mewakili 4. Dengan demikian,
(–2) × (–2) = +4, atau ditulis –2 × (–2) = 4.
Dengan mencoba berbagai contoh yang lain, kemudian disimpulkan:
Dari keempat contoh di atas diperoleh,
2 × 3 = 6 (perkalian bilangan positif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan positif) 2 × (–3) = –6 (perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif) –2 × 3 = –6 (perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif) –2 × (–2) = 4 (perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif)
B. Pembagian
Kesepakatan:
• Yang dibagi adalah keping akhir yang diinginkan
• Pembagi ,adalah keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan)
Kemudian kita keluarkan lagi 2 keping negatif.
Coba lihat, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya?
+
+
+
+
–
–
Keluarkan yang ke-2
+
+
+
+
• Hasil bagi , menunjukkan banyaknya kegiatan memindah (memasukkan atau mengeluarkan) keping ke/dari persegi sehingga dalam persegi terdapat keping seperti yang diinginkan.
Hasil bagi positif menunjukkan kita memasukkan keping ke dalam persegi Hasil bagi negatif menunjukkan kita mengeluarkan keping dari persegi
1. Positif dengan positif
(+4) : (+2) = …
2. Positif dengan negatif
(+4) : (–2) = …
Berdasarkan kesepakatan pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping positif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping positif?
Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping positif dan yang
diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping positif juga maka yang harus kita lakukan adalah memasukkan keping positif.
Pertama kita masukkan 2 keping positif, ternyata belum mencukupi yang diinginkan, sehingga kita perlu memasukkan 2 keping positif lagi. Sekarang di dalam persegi sudah terdapat 4 keping positif, sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2 keping positif sebanyak 2 kali. Dengan demikian (+4) : (+2) = (+2) atau ditulis 4 : 2 = 2.
Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping negatif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping positif.
Perhatikan bahwa keping yang diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping positif, sedangkan yang harus dipindahkan (dimasukkan atau
dikeluarkan) adalah keping negatif. Jika yang akan kita lakukan adalah memasukkan keping negatif jelas hasilnya nanti tidak sesuai dengan yang diinginkan. Jika yang akan kita lakukan adalah mengeluarkan keping negatif, tentu saja tidak bisa karena persegi masih kosong.
Memasukkan yang pertama Memasukkan yang kedua
+
+
+
+
Memasukkan yang pertama+
+
–
–
Kemudian keluarkan 2 keping negatif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping positif yang tertinggal dalam persegi sudah sesuai yang dikehendaki?
Karena yang diinginkan adalah 4 keping positif, maka kita harus mengulangi lagi mengisi persegi dengan nol (2 pasang keping positif dan negatif).
Kemudian 2 keping negatif kita keluarkan untuk yang kedua kalinya.
Perhatikan keping di dalam persegi, sudah sesuai dengan yang diinginkan bukan?
Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegi dulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positif dan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknya
pasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknya keping yang akan kita pindahkan.
mengeluarkan yang pertama
+
+
–
–
Memasukkankan yang kedua+
+
+
+
–
–
+
+
+
+
–
–
mengeluarkan yang kedua
+
+
+
+
Jadi untuk mendapatkan 4 keping positif di dalam persegi kita perlu mengeluarkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali. Mengeluarkan atau mengambil sebanyak 2 kali ini diwakili oleh bilangan –2 yang tidak lain adalah hasil bagi dari 4 dibagi –2. Dengan demikian diperoleh,
(+4) : (–2) =(–2), atau ditulis 4 : (–2) = –2. 3. Negatif dengan positif
(–4 ): (+2) = … Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping positif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping negatif.
Pembagian ini sejenis dengan pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif. Perhatikan bahwa keping yang diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping negatif, sedangkan yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping positif. Jika yang akan kita lakukan adalah
memasukkan keping positif jelas hasilnya nanti tidak sesuai dengan yang diinginkan. Kita juga tidak bisa
mengeluarkan keping positif, karena persegi masih kosong.
Kemudian keluarkan 2 keping positif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping negatif yang tertinggal dalam persegi sudah sesuai yang dikehendaki?
Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegi dulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positif dan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknya
pasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknya keping yang akan kita pindahkan.
Memasukkan yang pertama
+
+
–
–
Keluarkan yang pertama
+
+
–
Jadi untuk mendapatkan 4 keping negatif di dalam persegi kita perlu mengeluarkan atau mengambil 2 keping positif sebanyak 2 kali. Mengeluarkan atau mengambil sebanyak 2 kali ini diwakili oleh bilangan –2 yang tidak lain adalah hasil bagi dari –4 dibagi +2. Dengan demikian diperoleh,
(–4) : (+2) =(–2), atau ditulis –4 : 2 = –2.
4. Negatif dengan negatif
(–4) : (–2) = …
Karena yang diinginkan adalah 4 keping negatif, maka kita harus mengulangi lagi mengisi persegi dengan nol (2 pasang keping positif dan negatif).
Kemudian 2 keping positif kita keluarkan untuk yang kedua kali.
Nah, sekarang keping yang ada di dalam persegi sudah sesuai dengan yang diinginkan, yaitu 4 keping negatif.
Berdasarkan kesepakatan, pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping negatif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping negatif.
Memasukkan yang kedua
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
–
–
Mengeluarkan yang kedua
–
–
–
–
Dari keempat contoh pembagian di atas diperoleh,
4 : 2 = 2 (pembagian bilangan positif dengan bialngan positif menghasilkan bilangan positif) 4 : (–2) = –2 (pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif) (–4) : 2 = –2 (pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif) (–4) : (–2) = 2 (pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif) Silakan pembaca mencoba untuk bilangan bulat yang lain, kemudian silakan cara ini dicobakan ketika pembelajaran di kelas.
Sumber:
[1] http://www.youtube.com/watch?v=gDtfzVr-Raw, diakses anggal 28 Januari 2013 [2] http://www.youtube.com/watch?v=_ei6xHqWYjs, diakses anggal 28 Januari 2013
Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping negatif dan yang diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping negatif juga maka yang harus kita lakukan adalah
memasukkan keping negatif.
Pertama kita masukkan 2 keping negatif, ternyata belum mencukupi yang diinginkan, sehingga kita perlu memasukkan 2 keping negatif lagi. Sekarang di dalam persegi sudah terdapat 4 keping negatif, sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali. Dengan demikian,
(–4) : (–2) = (+2) atau ditulis –4 : (–2) = 2. Memasukkan yang pertama Memasukkan yang kedua
