Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan peta atau bayangan suatu kurva

Komposisi

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan

peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu

Transformasi

Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang

‘memetakan’ tiap titik P pada

Bidang menjadi P’ pada bidang itu pula.

Transformasi Invers

Untuk menentukan bayangan

suatu kurva oleh transformasi

yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan

soal

Peta dari garis x – 2y + 5 = 0 oleh transformasi yang

dinyatakan dengan matriks

adalah….

3 2

1 1

   

x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’ disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0

3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0

3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0

7x’ – 3y’ + 5 = 0

Komposisi Transformasi

Bila T₁ adalah suatu transformasi

dari titik A(x,y) ke titik A’(x’,y’)

dilanjutkan dengan transformasi T₂

adalah transformasi dari titik A’(x’,y’) ke titik A”(x”,y”) maka dua transformasi

Komposisi Transformasi

Dengan matriks

Bila T₁ dinyatakan dengan matriks

dan T₂ dengan matriks

maka dua Transformasi berturut-turut

Soal 1

Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan

refleksi terhadap garis y = x

Pembahasan

M₁= Matrik dilatasi skala 3 adalah

M₂ = Matrik refleksi terhadap y = x adalah

3 0

0 3

   

 

0 1

1 0

   

Matriks yang bersesuaian dengan M₁ dilanjutkan M₂

ditulis M₂ o M₁ =

=

Jadi matriknya adalah

Soal 2

Bayangan segitiga ABC, dengan A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena

refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0,π)

Pembahasan

Refleksi sb Y: (x,y) sb Y (-x, y)

Rotasi π: (x,y) [O, π] (-x,-y)

A(2,1) sb Y A’(-2,1) (O, π) A”(2,-1)

B(6,1) sb Y B’(-6,1) (O, π) B”(6,-1)

Soal 3

Luas bayangan

persegi panjang PQRS

dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1), S(-1,-1) karena dilatasi [O,3]

Pembahasan

Dilatasi: (x,y) [O,k] (kx, ky)

Rotasi ½π: (x,y) [O,½π] (-y,x)

P(-1,2) [O,3] P’(-3,6) (O,½π) P”(-6,-3)

Q(3,2) [O,3] Q’(9,6) (O,½π) Q”(-6,9)

R(3,-1) [O,3] Q’(9,-3) (O,½π) Q”(3,9)

P”(-6,-3), Q”(-6,9), R”(3,9),

dan S”(3,-3) membentuk

persegi panjang P”Q”R”S”

Q”P” = 9 – (-3) = 12

Q”R” = 3 – (-6) = 9

Luas = 12.9 = 108 P”(-6,-3)

Q”(-6,9) R”(3,9)

S”(3,-3)

X Y

Soal 4

T₁ adalah transformasi yang

bersesuaian dengan matrik

dan T₂ adalah transformasi yang

bersesuaian dengan

matrik

   

 





2 1

1 1

   

 

1 2

Bayangan titik A(

m,n

) oleh

transformasi T₁ dilanjutkan T₂

adalah A’(-9,7).

diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m

Nilai m = 7 disubstitusi ke m + n = -9  7 + n = -9 n = -16

Jadi nilai m – 2n = 7 + 32 = 39

   



  

   

 

m n m

7

Soal 5

Jika titik (a,b) dicerminkan

terhadap sumbu Y, dilanjutkan

dengan transformasi sesuai

matriks menghasilkan

titik (1,-8) maka nilai a + b =….

   

 

2 1

Pembahasan

Soal 6

Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0

yang dirotasikan

dengan pusat (0,0) sejauh +900_,

Pembahasan

Rotasi +90o_{: (x,y) [O,+90}o_] (-y, x)

Refleksi y = -x: (-y,x) y = -x (-x,y)

Sehingga x” = -x → x = -x”

dan y” = y _→ y = y”

disubstitusi ke x – 2y + 4 = 0 diperoleh (-x”) – 2y” + 4 = 0

Soal 7

Persamaan peta kurva y = x2 _{- 3x + 2}

karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi

•

Pembahasan

Refleksi terhadap sumbu x

x’ = x

y’ = -y

Dilanjutkan dengan dilatasi: [O,⅓]

x” = _⅓x’ = _⅓x

dari x” = _⅓x dan y” = -⅓y

diperoleh x = 3x” dan y = -3y”

kemudian disubstitusi ke y = x2 – _{3x + 2}

-3y” = (3x”)2 – 3(3x”) + 2

-3y” = 9(x”)2 – 9x” + 2

Soal 8

Persamaan peta suatu kurva oleh refleksi

terhadap sumbu X, dilanjutkan translasi

adalah y = x2 – _{2. Persamaan}

kurva semula adalah….

     

Pembahasan

Refleksi terhadap sumbu x

x’ = x

y’ = -y

Dilanjutkan dengan translasi:

x” = x’ + 2 = x + 2

y” = y’ + 3 = -y + 3

     

x” = x + 2 dan y” = -y + 3

disubtitusikan ke: y” = (x”)2 – ₂

-y + 3 = (x + 2)2 – 2

-y = x2 _{+ 4x + 4} – ₂ – ₃

-y = x2 _{+ 4x} – ₁

Soal 9

Persamaan peta garis

3x – 4y = 12 karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi

yang bersesuaian dengan

matriks adalah…._

  

 

 

1 1

Pembahasan

3x – 4y = 12 3y – 4x = 12 Dilanjutkan transformasi:

x’ = -3x + 5y

3y’ = -3x + 3y

x’ -3y’ = 2y diperoleh:

Disubstitusi ke 3y – 4x = 122

5 '

dan x

2

' 3

' y x y

x

Disubstitusi ke: 3y – 4x = 12 diperoleh:

ruas kiri dan kanan dikali 2

3x’ – 9y’ – 4x’ + 20y’ = 24

-x’ + 11y = 24

Jadi petanya adalah 11y – x = 24

12 2

' 5 '

4 2

' 3 '

3  

  



  

   



Soal 10

Parabola dengan titik puncak (1,2) dan fokus (1,4) dicerminkan terhadap

garis x = 5, kemudian dilanjutkan

dengan transformasi putaran dengan pusat O(0,0) sejauh 90o _berlawanan

arah jarum jam. Persamaan peta

Pembahasan

(x,y) (2m – x,y)

(-y, 2m –x) Pusat (1,2)

(1,2) P’(9 ,2) P”(-2,9) Fokus (1,4)

(1,4) F’(9,4) F”(-4,9)

Kurva tersebut puncaknya di

P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9)

M _{x = m} R ₊₉₀o

M _{x = 5} R ₊₉₀o

Kurva yang puncaknya di P”(-2,9)

dan fokusnya di F”(-4,9)

adalah parabola yang terbuka ke kiri dan p = jarak puncak ke fokus = 2, sehingga

persamaanya

(y – b)2 = -4p(x – a)

(y – 9)2 _{= -4.2(x} – _(-2))