seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama

(1)

DIRECT SUMS

seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor –ruang vektor yang lama

EXTERNAL DIRECT SUMS

Definisi: Misalkan 𝑉1 , … , 𝑉𝑛 adalah ruang vektor -ruang vektor atas lapangan 𝐹. External

direct Sum dari 𝑉₁, … , 𝑉_𝑛 difinisikan sebagai 𝑉 = 𝑉₁⊞ … ⊞ 𝑉_𝑛

Adalah ruang vektor 𝑉 yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut sebanyak n – tuples

𝑉 = 𝑣₁, … , 𝑣_𝑛 𝑣_𝑖 ∈ 𝑉_𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Dengan operasi – operasi

𝑢₁, … , 𝑢𝑛 + 𝑣1, … , 𝑣𝑛 = 𝑢1+ 𝑣1, … , 𝑢𝑛+ 𝑣𝑛

Dan

𝑟 𝑣₁, … , 𝑣_𝑛 = 𝑟𝑣₁, … , 𝑟𝑣_𝑛 Untuk semua 𝑟 ∈ 𝐹

Contoh 1.4

Ruang Vektor 𝐹𝑛_{adalah external direct sum dari F sebanyak n yaitu:}

𝐹𝑛_{= F ⊞ … ⊞ 𝐹}

Dimana ada n penjumlahan pada sebelah kanan.

Bentuk itu dapat di perumum untuk sebarang koleksi dari ruang vektor – ruang vektor dengan memperumum ide n – tuples 𝑣₁, … , 𝑣_𝑛 adalah sebuah fungsi 𝑓: 1, … , 𝑛 → 𝑉_𝑖, dari himpunan index 1, … , 𝑛 ke gabungan dari ruang ruang dengan sifat 𝑓 𝑖 ∈ 𝑉_𝑖. Definisi : Misalkan ℱ = 𝑉_𝑖 𝑖 ∈ 𝐾 sebagai sebarang family ( keluarga) dari ruang vektor – ruang vektor atas 𝐹. Direct product dari ℱ adalah ruang vektor

Vi i∈K

= f: K → Vi i∈K

f i ∈ Vi

Dipikirkan sebagai subruang vektor dari semua fungsi, dari 𝐾 ke 𝑉_𝑖.

Ini terbukti akan lebih berguna untuk memisahkan himpunan fungsi- fungsi dengan support berhingga.

(2)

Definisi: Misalkan ℱ = 𝑉_𝑖 𝑖 ∈ 𝐾 sebagai keluarga ruang vektor – ruang vektor atas F. Support dari fungsi 𝑓: 𝐾 → 𝑉_𝑖 adalah himpunan

Supp (𝑓) = 𝑖 ∈ 𝐾 𝑓(𝑖) ≠ 0 ,

Fungsi f mempunyai support berhingga jika 𝑓 𝑖 = 0, untuk semua 𝑖, kecuali sejumlah hingga 𝑖 ∈ 𝐾 .

External direct sum dari keluarga ℱ adalah ruang vektor.

            



ext

_v

f K

_v

_i f i

_v

_i f mempunyai portberhingga

K i i K i sup , ) ( :



Dipikirkan sebagai subruang vektor dari semua fungsi, dari 𝐾 ke 𝑉_𝑖.

Kasus khusus yang penting, kalau ketika terjadi 𝑉𝑖 = 𝑉 untuk semua 𝑖 ∈ 𝐾. Kita misalkan

𝑉𝐾_{menyatakan himpunan semua fungsi dari K ke V . 𝑉}𝐾

0 menyatakan semua himpunan

fungsi – fungsi dalam 𝑉𝐾_{yang mempunyai support berhingga, maka;}

V i ∈K = VK_dan 0 ) ( K K i V ext

_v

_



_ Catatan:

Direct product dan external direct sum sama untuk keluarga berhingga dari ruang vektor – ruang vektor.

INTERNAL DIRECT SUMS

Pembentukan versi internal direct sum adalah selalu lebih relevan

Definisi: Suatu ruang vektor V adalah (internal) direct sum dari keluarga ℱ = 𝑆_𝑖 𝑖 ∈ 𝐼 dari subruang – subruang V, ditulis

𝑉 = ⨁ℱ atau

_S

_i K i ext V



  Jika memenuhi:

1. (Join of the family) V adalah jumlah (join) dari family ℱ

𝑉 = Si iϵ I

2. ( Independence of the family) untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼 𝑆_𝑖∩ S_j

j≠i

= 0 Dalam kasus ini, setiap 𝑆_𝑖, disebut direct summand dari V.

Jika ℱ = S_1,… , S_n adalah keluarga berhingga, direct sum adalah ditulis; V = S_1,⨁ … , ⨁ S_n

(3)

Akhirnya, jika V = S ⨁ T, maka T dikatakan komplemen dari S dalam V. Catatan:

Bahwa kondisi bagian 2) dari definisi diatas lebih kuat ( stongger) daripada hanya menyatakan anggota dari ℱ adalah pasangan yang saling lepas (disjoint).

𝑆_𝑖∩ 𝑆_𝑗 = ∅ Untuk semua 𝑖 ≠ 𝑗 ∈ 𝐼.

Sedikit Perhatian

Jika S dan T adalah subruang – subruang dari V, maka kita selalu mengatakan bahwa S+T ada. Akan tetapi, untuk menyatakan direct sum dari S dan T ada atau di tulis S ⨁ T berakibat 𝑆 ∩ 𝑇 = 0 . Oleh karena itu, walau jumlah dari 2 ( dua ) subruang - subruang selalu ada, direct sum dari 2 (dua) subruang – subruang tersebut belum tentu ada. Pernyataan yang sama dapat di aplikasikan dari subruang - subruang dari V.

Pembaca akan diminta di akhir bab ini untuk menunjukan konsep internal dari ekternal direct sum, pada dasarnya eqiuvalen ( isomorphic). Untuk alas an ini istilah “ direct sum” sering di gunakan tanpa pemisalan.

Kalau Kita sudah membicarakan konsep dari basis. Theorema berikut dapat dengan mudah di buktikan.

Theorema 1.4

Sebarang subruang dari ruang vektor mempunyai komplemen yaitu, jika S adalah subruang dari V, maka ada subruang T, dimana V = S ⨁ T

Harus ditekankan bahwa suatu ruang bagian secara umum mempunyai banyak komplemen ( walaupun mereka isomorphic). Pembaca dengan mudah menemukan contoh hal ini di R2_.

Kita dapat ( characterize) keunikan bagian dari definisi direct sum dalam cara lain yang berguna.

Keterangan:

Jika S dan T adalah subruang yang berbeda dari V dan jika x, y ∈ 𝑆 ∩ 𝑇, maka jumlah x + y dapat di tulis sebagai penjumlahan vektor –vektor dari subruang yang sama ( katakana S ) atau dari subruang yang berbeda satu dari S dan satu dari T. Ketika kita mengatakan bahwa vektor V tidak dapat di tulis sebagai jumlah vektor –vektor dari subruang berbeda dari S dan T, ini berarti V tidak dapat ditulis sebagai jumlah x + y, dimana x dan y dapat berasal dari subruang yang berbeda, akan tetapi mereka juga dapat berasal dari subruang yang sama. Dengan demikian, jika x, y ∈ 𝑆 ∩ 𝑇. Maka V = x + y dapat diekspresikan sebagai penjumlahan vektor – vektor dari subruang yang berbeda.

(4)

Theorema 1.5

Misalkan ℱ = 𝑆_𝑖 𝑖 ∈ 𝐼 adalah keluarga dari subruang yang berbeda dari V, maka pernyataan berikut eqiuvalen;

1. ( Independent of the Family) untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼 𝑆_𝑖∩ S_j

j≠i

= 0

2. ( Uniqueness of expression for 0) Vektor nol 0 tidak dapat di tulis sebagai jumlah dari vektor – vektor tidak nol dari subruang - subruang yang berbeda dari ℱ.

3. ( Uniqueness of expression ) untuk setiap v tak nol, v ∈ V mempunyai ekspresi yang tunggal. Kecuali urutan bentuk – bentuk pernyataan sebagai penjumlahan

v = s_1,+ ⋯ + s_n

Dari vektor- vektor tidak nol dari subruang - subruang yang berbeda dalam ℱ. Karenanya jumlah;

𝑉 = S_i

iϵ I

Adalah direct jika dan hanya jika memenuhi salah satu 1, 2, 3. Pembuktian:

1 )  2)

Andaikan 2 tidak berlaku;

0 = 𝑠_𝑗

1 + … + sjn

Dimana 𝑠_𝑗

𝑖 tidaknol berasal dari subruang - subruang yang berbeda 𝑆𝑗𝑖. Maka, untuk n > 1

dapat di tuliskan;

−𝑠_𝑗

1 = 𝑠𝑗2 + … + sjn

Dimana menyebabkan 1 tidak berlaku.

Hal ini terjadi kontradiksi yang mengharuskan pernyataan ke 2 terpenuhi. 2) 3)

Jika bagian 2 di penuhi, misalkan v dapat dituliskan kedalam dua bentuk berikut;

v = s_1,+ ⋯ + s_n dan v = t_1,+ ⋯ + t_m

Dimana bentuk –bentuk tersebut tidak nol dan si berada pada subruang - subruang

berbeda dalam ℱ dan demikian pula dengan t_i, maka;

v − v = 0 = 𝑠₁ + … + s_n− 𝑡₁− … − t_m,

Dengan pengelompokan suku suku dari subruang- subruang yang sama, dapat di tulis, sebagai berikut;

0 = 𝑠_i

(5)

Karena kondisi 2 terpenuhi, mengakibatkan n = m = k dan 𝑠_i

𝑢 = 𝑡i𝑢 untuk semua u = 1, …, k.

Dengan demikian, penulisan kedua v diatas adalah ekspresi yang sama. Kesimpulan jika 2 terpenuhi maka 3 terpenuhi.

Misalkan 3 berlaku, akan di tunjukan 1 berlaku, bukti: Misalkan ; 0 ≠ 𝑣 ∈ 𝑆_𝑖∩ S_j j≠i Maka 𝑣 = 𝑠_𝑖 ∈ 𝑆_𝑖, sehingga; s_i = 𝑠_𝑗 1 + … + sjn=0+ … +si + …. + 0, Dimana 𝑠_𝑗 𝑘 ∈ 𝑆𝑗𝑘adalah tidaknol.

Hal ini menunjukan bahwa ekspresi s_i tidak unik, yang bertentangan dengan 3( terjadi kontradiksi).

Kesimpulan, jika 3 terpenuhi maka mengharuskan 1 terpenuhi. Contoh 1.5

Sebarang matrik 𝐴 ∈ 𝑀_𝑛 dapat di tuliskan dalam bentuk 𝐴 = 1

2 𝐴 + 𝐴 𝑡₊1

2 𝐴 − 𝐴

𝑡_{= 𝐵 + 𝐶 (1.1)}

Dimana 𝐴𝑡 adalah transpose dari A. Itu mudah untuk memeriksa bahwa B adalah simetri dan C skew- simetry, selanjutnya (1.1) adalah dekomposisi dari A. Dimana jumlah dari matriks simetri dan matriks skew- simetri.

Karena himpunan simetri dan skew- simetri dari semua matriks simetri dan skew simetri dalam 𝑀_𝑛 adalah subruang dari 𝑀_𝑛. Kita mempunyai

𝑀_𝑛 = 𝑆𝑦𝑚 + Skew- Sym

Lagi pula, jika S+T = S’+ T’, dimana S dan S’ adalah simetri dan T dan T’ adalah Skew – simteri, maka matriks

𝑈 = 𝑆 − 𝑆′ _{= 𝑇 − 𝑇′}

Keduanya simetri dan skew- simteri. Karenanya dengan ketentuan bahwa char (𝐹) ≠2, kita harus mempunyai 𝑈 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑗𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑆 = 𝑆′ 𝑑𝑎𝑛 𝑇 = 𝑇′. Dengan begitu

(6)

Matur Sembah Nuwun

Mugi - Mugi Saget Migunani

Sedoyonipun

(7)

SPANNING SETS DAN LINIER INDEPENDENCE Himpunan merentang dan Bebas Linier

Sebuah himpunan vector merentang dalam ruang vector jika setiap vector dapat di tuliskan sebagai kom,binasi linier dari beberapa vector himpunan, berikut adalah definisi formalnya.

(8)

Definisi: Subspace spanned ( atau subspace generated) sebagai himpunan tak kosong 𝑆 dari vector 𝑉 adalah semua kombinasi linier dari vector 𝑆:

𝑆 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑆 = 𝑟₁𝑣₁ + ⋯ + 𝑟_𝑛𝑣_𝑛 𝑟_𝑖 ∈ 𝐹, 𝑣_𝑖 ∈ 𝑆

Bilamana 𝑆 = 𝑣₁, … , 𝑣_𝑛 adalah himpunan berhingga, kami notasikan 𝑣₁, … , 𝑣_𝑛 atau span(𝑣₁, … , 𝑣_𝑛) sebuah himpunan 𝑆 dari vector dalam 𝑉 adalah dikatakan span 𝑉, atau generate 𝑉, jika 𝑉 = span 𝑉.

Jelaslah sebarang superset dari himpunan yang merentang adalah selalu sebuah himpunan yang merentang.

Catatan;