TAP.COM - BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG DALAM TEORI PROBABILITAS ...

42 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi

probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan

ya/tidak(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan

memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal disebut percobaan Binomial.

Dalam menghitung probabilitas nilai-nilai variabel acak yang berdistribusi

Binomial dari hasil-hasil percobaan Binomial. Bila bilangan n kecil dan p besar,

maka perhitungan probabilitas nilai variabel acak x tidak mengalami masalah,

karena nilai probabilitas p dapat dihitung secara langsung atau diperoleh dengan

memakai tabel untuk bilangan n, nilai p, dan nilai x tertentu. Akan tetapi,

bilamana n besar dan p kecil sekali, maka perhitungan probabilitas nilai x tidak

bisa atau sulit dilakukan baik secara langsung maupun dengan memakai tabel

distribusi Binomial, sebab tabel hanya menyediakan nilai probabilitas untuk

maksimum n = 30 dan nilai minimum p = 0,01.

Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan

memakai pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p kecil sekali distribusi

binomial dapat didekati dengan memakai distribusi poisson. Distibusi Poisson

merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai

nilai 0, 1, 2, 3...n. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu

variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam

suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi

probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson

memperhatikan bahwa distribusi Binomial sangat bermanfaat dan dapat

menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b (x│n p)

(2)

besar (>50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil < 0,1 maka nilai

binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus

pendekatan probabilitas Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan

untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.Berdasarkan latar

belakang masalah akan dibahas bagaimana perbandingan distribusi Binomial

mempunyai parameter n dan p dengan distribusi Poisson mempunyai parameter λ.

Sehingga kajian ini diberi judul Perbandingan Distribusi Binomial dan

Distribusi Poisson Dengan Parameter yang Berbeda-beda.

1.2Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang dibahas adalah perbandingan distribusi

Binomial parameter n dan p dengan distribusi Poisson parameter λ = n p.

1.3Pembatasan Masalah

Yang ingin diketahui adalah harga rata-rata yang merupakan ukuran dari

sekelompok data. Tujuannya adalah untuk mengetahui, sekitar mana data yang

diamati tersebut bertebar. Ukuran ini juga disebut sebagai statistik, dan apabila

ukuran ini dipergunakan untuk menyatakan populasi, maka ukuran tersebut dapat

dikatakan sebagai parameter. Jadi dapat dikatakan jika ukuran tersebut

dipergunakan untuk menerangkan sampel, maka ukuran tersebut dikatakan

sebagai statistik. Sedangkan jika ukuran tersebut menerangkan populasi, maka

ukuran tersebut dikatakan sebagai parameter. Harga rata-rata itu merupakan nilai

tengah yang dapat mewakili sekelompok data yang diamati.

1.4Tujuan

Kajian ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan distribusi Binomial dan

(3)

1.5Tinjauan Pustaka

Beberapa buku, jurnal dan makalah sebelumnya yang menjadi rujukan yang

digunakan untuk mewujudkan kajian ini, yang membantu penulis menguraikan

tentang metode analisis yang penulis gunakan.

James Bernoulli ( 1654 – 1705 ) : Seorang ahli Matematika selama 20

tahun mempelajari probabilitas mengatakan bahwa jika p adalah probabilitas

bahwa suatu peristiwa akan terjadi dalam sembarang percobaan tunggal dari suatu

percobaan Binomial yang di ulang sebanyak n kali, dengan p (sukses) dan q

(gagal)adalah tetap pada setiap percobaan dan x menyatakan banyaknya sukses

dalam percobaan Binomial, maka variabel acak x mempunyai ditribusi Binomial

yang dirumuskan sebagai berikut:

f ( x ) = P(X = x) = b(x, n, p) =���pxqn-x= n!

x! (n −�)! p

x qn-x

Dengan: p = probabilitas sukses

q = 1- p

n = jumlah total percobaan

x = jumlah sukses dari n kali percobaan

Distribusi Binomial merupakan distribusi diskrit, karena probabilitas

nilai-nilai x dihitung pada setiap titik. Distribusi ini berhubungan dengan suku-suku

berurut dari rumus Binomial, atau ekspansi Binomial sabagai berikut:

(q + p)n = qn + �n1�qn-1 p + �2 n�qn-2 p2 +...+ pn

Di mana 1, ��1�, ��2�, ...disebut koefisien - koefisien Binomial. Distribusi ini

disebut juga Distribusi Bernoulli, beberapa sifat distribusi Binomial sebagai

berikut:

Mean μ = n p

Varians σ2 = n pq

(4)

Ronald E. Walpole (2003) Menyatakan Distribusi Binomial adalah suatu

distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling

dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan

sekeping uang logam sebanyak 6 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi

gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat

memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal”

bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas

dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½.

Untuk mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali

percobaan, untuk melakukan perhitungan perlu menggunakan suatu distribusi

acak, distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada situasi

dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan dan masing-masing

mempunyai satu dari dua kemungkinan hasil disebut dengan keberhasilan dan

kegagalan. Meskipun untuk beberapa kasus mungkin ada penunjukkan yang

berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali,

x mewakili jumlah keberhasilan, jika probabilitas untuk mendapatkan

keberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i

keberhasilan suatu formula yang menunjukkan fungsi kepekaan dari variabel acak

Binomial, x dikatakan sebagai variabel acak :

P( x = i ) = � n i�piqn-i

Siemon-Dennis Poisson (1837) : Menyatakan bahwa distribusiBinomial

sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap

probabilitas Binomial. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk

variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk

dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang

Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam

situasi tertentu. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas

menurut satuan waktu. Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial

(5)

percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas

sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah

bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p

adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah

untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.

Poisson mengembangkan distribusi yang dikenal dengan Hukum peristiwa

langka dengan probabilitas sukses sangat kecil walaupun jumlah n sangat besar.

f (x)=�(�= �) =���−�

! x= 0, 1, 2, ...

Dengan: e = 2,71828...

Beberapa sifat dari distribusi Poisson sebagai berikut

Mean �= λ

Varians �2 = λ

Deviasi standar �=√�

1.6Kontribusi Penelitian

Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan kajian, diharapkan:

1. Memudahkan penggunakan Distribusi Binomial mempunyai parameter n

dan p dengan Distribusi Poisson yang mempunyai parameter λ = n p.

2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis Distribusi Binomial Poisson lebih

lagi.

3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan

(6)

1.7Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n dan p

2. Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson parameter λ = n p

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...