i
PENGARUH PENGELUARAN PEMERINTAH PADA
INVESTASI INFRASTRUKTUR DAN PENDIDIKAN
TERHADAP PERTUMBUHAN EKONOMI
JANGKA PANJANG
KHAFIZD MAULANA HERFANS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ii
Infrastruktur dan Pendidikan terhadap Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang
. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan ENDAR H. NUGRAHANI.Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Pengeluaran pemerintah merupakan salah satu faktor yang memengaruhi tingkat pertumbuhan ekonomi. Pada karya ilmiah ini dibahas dua tipe pengeluaran pemerintah yang dapat memengaruhi pertumbuhan ekonomi jangka panjang, di mana pengeluaran pemerintah bersumber dari penerimaan pajak. Pengeluaran pemerintah tipe yang pertama adalah pengeluaran pada investasi infrastruktur seperti jalan, bandara, pelabuhan, penetitian dan pengembangan. Pada tipe yang kedua, pengeluaran pemerintah berupa investasi terhadap teknologi seperti pengeluaran pada pendidikan. Pada tipe pertama tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh elastisitas modal publik, sedangkan pada tipe yang kedua dipengaruhi oleh elastisitas modal swasta. Dari simulasi yang telah dilakukan dapat terlihat bahwa tipe pengeluaran pemerintah yang kedua menghasilkan output tingkat pertumbuhan ekonomi yang lebih tinggi dibanding dengan tipe pengeluaran pemerintah yang pertama.
iii
ABSTRACT
KHAFIZD MAULANA HERFANS. The Effect Of Government Expenditures on Infrastructure
and Education towards Long-term Economic Growth. Supervised by RETNO BUDIARTI and
ENDAR H. NUGRAHANI.
Economic growth is the development of economic activities leading to the increase of goods and services within community. Government expenditure is one of the factors that affect the rate of economic growth, it is financed through tax revenues. This paper discusses two types of government expenditures which affect long-term economic growth. The first type is government expenditures on infrastructure investments, such as roads, airports, ports, research, and development. In the second type, the government expenditures are invested on technology, such as investment on education. The tax rate that maximizes economic growth is affected by the elasticity of public capital in the first type of government expenditures, while the second type is affected by the elasticity of private capital. Simulation results show that the second type of government expenditure produces higher economic growth rate than the first type.
iv
TERHADAP PERTUMBUHAN EKONOMI
JANGKA PANJANG
KHAFIZD MAULANA HERFANS
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
v
Judul Skripsi : Pengaruh Pengeluaran Pemerintah pada Investasi Infrastruktur
dan Pendidikan terhadap Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang
Nama
: Khafizd Maulana Herfans
NIM
: G54080025
Menyetujui
Tanggal Lulus:
Pembimbing I,
Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP: 19610729 198903 2 001
Pembimbing II,
Dr.Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
NIP: 19631228198903 2 001
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP: 19650505 198903 2 004
vi Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Banyak pihak yang telah membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. keluarga tercinta: ayah, ibu, teteh dan semua keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, kasih sayang, serta motivasinya,
2. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya,
4. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya,
5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak Deni,
Bapak Hery, Ibu Yanti atas semangat dan doanya,
7. Mutiara Windika Gameissa, Herlan, Arbi , Haryanto, Hendri, Fuka, Beni, Irwan, Ridwan, Izzudin, Hardono, Aga, Nabil, dan Mila atas segala doa, dukungan semangat, kebersamaan, tawa, dan canda selama ini yang kalian berikan,
8. teman-teman satu bimbingan: Yusufi, Edi, Yunda dan Fitriah yang selalu saling mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini,
9. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45, 44, dan 43 dan teman-teman mahasiswa lainnya atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya,
10. teman-teman di BEM FMIPA kabinet totalitas perjuangan dan Gumatika brilian yang memberikan pelajaran dan pengalaman berharga dalam keorganisasian,
11. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2013
vii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 Februari 1990 dari ayah Herry Fanshury Subandi dan ibu Sudianingsih. Penulis merupakan putra bungsu dari dua bersaudara.
Pada tahun 1996 penulis lulus dari TK Asri, tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri Cibubur 05 Pagi, tahun 2005 penulis lulus dari SMP Negeri 147 Jakarta Timur, tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 99 Jakarta Timur. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada semester ganjil 2010-2011. Tahun 2009 - 2012 penulis mendapatkan beasiswa PPA (Peningkatan Prestasi Akademik) dari Institut Pertanian Bogor.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam sebagai Staf Divisi SOSLING (Sosial dan Lingkungan) Tahun 2009-2010 dan himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA sebagai Staf Divisi SOSINKOM (Sosial, Informasi, dan Komunikasi) pada tahun 2010-2011.
viii DAFTAR GAMBAR ... ix DAFTAR LAMPIRAN ... ix I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1
II. LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Istilah Ekonomi ... 2
2.2 Definisi Istilah Matematis ... 3
III. PEMBAHASAN 3.1 Siklus Kehidupan Individu ... 5
3.2 Pertumbuhan Ekonomi ... 5
3.3 Investasi pada Infrastruktur ... 6
3.4 Investasi pada Pendidikan ... 8
IV. SIMULASI 4.1 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang yang Dipengaruhi oleh Investasi pada Infrasstrktur ... 11
4.2 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang yang Dipengaruhi oleh Investasi pada Pendidikan ... 13
V. KESIMPULAN ... 18
DAFTAR PUSTAKA ... 19
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat pajak ( )
dengan preferensi elastisitas modal publik yang berbeda ... 11
2. Kurva pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh diskonto waktu ... 12
3. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap perkembangan teknologi ... 12
4. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi infrastruktur ( dengan preferensi elastisitas modal publik yang berbeda ... 13
5. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat pajak ( ) dengan preferensi elastisitas modal swasta yang berbeda ... 14
6. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh diskonto waktu ) ... 15
7. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh teknologi ... 15
8. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat perkembangan teknologi pembelajaran ... 15
9. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap elastisitas modal manusia ( ... 16
10. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi pendidikan ) dengan preferensi elastisitas modal swasta yang berbeda ... 16
11. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi infrastruktur ( ) dan investasi pendidikan ) ... 17
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1. Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 1 ... 212. Mendapatkan upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1 ... 21
3. Mendapatkan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1 ... 22
4. Mendapatkan modal swasta pada kasus 1 ... 22
5. Mendapatkan modal publik ... 23
6. Mendapatkan rasio modal publik dengan modal swasta ... 23
7. Mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 1 ... 23
8. Mendapatkan tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 1 ... 24
9. Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 2 ... 25
10. Mendapatkan upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 2 ... 26
11. Mendapatkan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 2 ... 26
12. Mendapatkan modal swasta pada kasus 2 ... 27
13. Mendapatkan investasi pada pendidikan ... 27
14. Mendapatkan modal manusia ... 27
15. Mendapatkan rasio modal manusia dengan modal swasta ... 28
16. Mendapatkan persamaan (3.24) ... 28
17. Mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 2 ... 29
18. Mendapatkan tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 2 ... 29
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pertumbuhan ekonomi merupakan masalah perekonomian jangka panjang, di mana pertumbuhan ekonomi diartikan sebagai suatu proses peningkatan produksi barang dan jasa dalam kegiatan perekonomian masyarakat. Tingkat pertumbuhan ekonomi dicerminkan oleh persentase kenaikan output per kapita dari tahun sebelumnya, sehingga pertumbuhan ekonomi jangka panjang dapat dijadikan sebagai refleksi kesejahteraan ekonomi dari suatu negara.
Sejak publikasi yang dilakukan oleh Adam Smith dalam bukunya yang berjudul “The Wealth of Nation” pada tahun 1776, para pakar ekonomi berusaha untuk menjawab faktor-faktor apa yang menentukan tingkat pertumbuhan ekonomi jangka panjang suatu negara. Model pertumbuhan pada tahun 1960-an menunjukk1960-an per1960-an signifik1960-an investasi swasta dalam modal fisik. Pertumbuhan jangka panjang pada model ini sepenuhnya didasarkan pada pertumbuhan pengetahuan teknologi yang dianggap sebagai faktor eksogen terhadap model ini. Model-model pertumbuhan pada tahun 1980-an dan 1990-an menghasilkan pertumbuhan jangka panjang secara endogen dari tindakan-tindakan individu dalam perekonomian. Pemahaman ini muncul sebagai respon terhadap perkembangan teknologi yang dapat meningkatkan kinerja dalam proses produksi. Model pertumbuhan alternatif ini menjelaskan bahwa perubahan teknologi, suku bunga, dan perubahan populasi merupakan variabel endogen, begitu juga dengan model yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini (Glomm and Ravikumar 1997).
Salah satu faktor yang mempengaruhi pertumbuhan ekonomi adalah pengeluaran pemerintah, di mana pemerintah berperan sebagai penyedia dana dalam pembangunan di berbagai bidang sarana dan prasarana. Pakar ekonomi mulai mempelajari pengaruh
pengeluaran pemerintah pada keputusan konsumsi dan simpanan terhadap model-model yang memungkinkan terjadinya peluang pertumbuhan yang berkelanjutan. Perkembangan ini memberi dampak signifikan terhadap kebijakan pengeluaran pemerintah dalam model keseimbangan umum dinamis yang mempengaruhi tingkat pertumbuhan dan kesejahteraan jangka panjang. Model pertumbuhan jangka panjang yang digunakan pada karya ilmiah ini mengasumsikan pemerintah sebagai pengumpul pajak dan menggunakan penerimaan pajak tersebut untuk memperoleh dan mendistribusikan sumber daya guna meningkatkan pertumbuhan ekonomi.
Terdapat banyak cara di mana pemerintah dapat mendistribusikan pendapatan pajak, namun pada karya ilmiah ini difokuskan pada dua tipe. Tipe yang pertama adalah pengeluaran pemerintah berupa investasi terhadap infrastruktur, seperti jalan, bandara, pelabuhan, atau sektor publik penelitian dan pengembangan, yang dianggap sebagai input dalam fungsi produksi untuk menghasilkan output akhir. Pada tipe selanjutnya, pengeluaran pemerintah berupa investasi terhadap teknologi, di mana pengeluaran ini juga dianggap sebagai input dalam fungsi produksi. Pengeluaran pemerintah pada pendidikan merupakan contoh nyata dari tipe pengeluaran pemerintah yang kedua.
1.2 Tujuan
1. Menganalisis pengaruh pengeluaran pemerintah pada investasi infrastruktur terhadap pertumbuhan ekonomi jangka panjang.
2. Menganalisis pengaruh pengeluaran pemerintah pada investasi pendidikan terhadap pertumbuhan ekonomi jangka panjang.
2
II.
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
2.1 Definisi Istilah Ekonomi
Pembahasan mengenai pertumbuhan ekonomi tidak lepas dari beberapa istilah ekonomi. Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa istilah ekonomi yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi (economic growth) adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menujukkan persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu, dibandingkan pada pendapatan riil pada tahun sebelumnya.
(Sukirno 2004)
Jalur Pertumbuhan Ekonomi yang Berimbang (Balanced Growth Path)
Balanced growth path adalah suatu keadaan di mana variabel dalam model tumbuh pada tingkat yang tetap. Dalam balanced growth path pertumbuhan output per kapita ditetukan oleh tingkat kemajuan teknologi.
(Romer 1996)
Kondisi Tunak (Steady State)
Ekonomi pada kondisi tunak (steady state) adalah suatu keadaan di mana modal per kapita pada periode sekarang sama dengan modal per kapita pada tahun sebelumnya.
(Zhang 2006)
Return to Scale
Return to scale adalah keadaan ketika output meningkat sebagai respon adanya kenaikan proposional dari seluruh input.
(Nicholson 2002)
Pengeluran Pemerintah
Pengeluaran pemerintah adalah pembelian barang dan jasa oleh seluruh lembaga dan tingkatan pemerintah (pusat, daerah, dan sebagainnya).
(Mankiw 2006)
Konsumsi
Konsumsi adalah pengeluaran oleh rumah tangga dan perusahaan atas berbagai barang dan jasa.
(Mankiw 2006)
Investasi
Investasi adalah pembelian alat-alat modal, persediaan dagang (inventori), dan struktur usaha.
(Mankiw 2006)
Suku Bunga Riil
Suku bunga riil adalah suku bunga yang telah dikoreksi terhadap dampak inflasi, untuk menyesuaikan perubahan dalam daya beli uang. Jadi dapat dikatakan bahwa, suku bunga riil berkaitan dengen pertumbuhan daya beli.
(Kunarjo 2003)
Fungsi Produksi
Fungsi produksi memberikan gambaran yang menunjukan hubungan antara tingkat produksi suatu barang dengan jumlah faktor produksi utuk menghasilkan barang tersebut, biasanya dinyatakan sebagai
Banyaknya total produksi yang dihasilkan dinyatakan dengan , banyaknya tenaga kerja, banyaknya sumber daya alam yang digunakan, banyaknya modal, dan tingkat teknologi yang digunakan dalam proses produksi.
(Sukirno 2004)
Faktor-Faktor Produksi
Faktor-faktor produksi adalah sejumlah input yang digunakan untuk memproduksi barang atau jasa.
(Mankiw 2006)
Eksternalitas
Eksternalitas adalah dampak dari tindakan-tindakan seseorang terhadap orang-orang disekelilingnya.
(Mankiw 2006)
Ekskludabilitas
Ekskludabilitas adalah sifat suatu barang yang dapat mencegah seseorang untuk mendapatkannya.
Bersaing (Rivalness)
Bersaing adalah sifat suatu barang dimana pemanfaatannya oleh seseorang akan mengurangi kesempatan bagi orang lain untuk memanfaatkannya juga.
(Mankiw 2006)
Barang Publik
Barang publik adalah barang-barang yang tidak memiliki sifat ekskludabilitas. Contoh untuk barang publik adalah pertahanan nasional.
(Mankiw 2006)
Barang Swasta
Barang swasta adalah barang-barang yang memiliki sifat ekskludabilitas dan bersaing. Contoh untuk barang swasta adalah peralatan elektronik.
(Mankiw 2006)
Sumber Daya Milik Bersama
Sember daya milik bersama adalah barang barang yang memiliki sifat bersaing, namum tidak memiliki sifat eksludabilitas. Contoh barang sumber daya milik bersama adalah ikan-ikan di laut.
(Mankiw 2006)
Variabel Endogen
Variabel endogen adalah variabel yang sifat-sifatnya diterangkan dalam teori, di mana nilai variabel endogen ditentukan oleh simulasi model tersebut.
(Mankiw 2003)
Variabel Eksogen
Variabel eksogen adalah variabel yang dianggap oleh model sudah ditentukan (given). Nilai variabel eksogen ditentukan di luar model atau independen dari solusi model.
(Mankiw 2003)
Model Pertumbuhan tanpa Perkembangan Teknologi
Fungsi produksi pada model ini secara umum ditulis sebagai berikut :
.
Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenga kerja.
(Mankiw 2003)
Model Pertumbuhan dengan Perkembangan Teknologi
Fungsi produksi pada model ini secara umum ditulis sebagi berikut:
.
Nilai dan masing masing adalah elastisitas terhadap modal dan tenaga kerja, serta adalah parameter perkembangan teknologi.
(Mankiw 2003)
2.2 Definisi Istilah Matematis
Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa istilah matematis yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
Definisi Himpunan Konveks
Himpunan dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di , maka ruas garis yang menghubungkan dan juga terletak di Dengan kata lain himpunan dikatakan himpunan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di dan untuk setiap dengan , maka vektor juga terletak di .
(Peressini et al. 1988)
Definisi Fungsi Konkaf dan Konkaf Sempurna
Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks di
, maka:
1. Fungsi dikatakan konkaf di jika Untuk setiap x, y di dan untuk setiap dengan .
2. Fungsi dikatakan konkaf sempurna di jika:
Untuk setiap x, y di dan untuk setiap dengan .
(Peressini et al. 1988)
Turunan
Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel tak bebas jika terjadi perubahan yang sangat kecil dalam variabel bebas. Turunan fungsi pada bilangan dinyatakan dengan adalah:
, Jika limit ada.
4
Jika , maka dan mendekati 0 jika dan hanya jika mendekati . Sehingga dapat ditulis:
, Jika limit ada.
(Stewart 1998)
Prinsip Maksimum dan Minimum Fungsi
Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah dengan menguji nilai maksimum dan minimum (terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan Uji Turunan Kedua. Andaikan kontinu di sekitar, maka:
a) Jika dan , maka mempunyai nilai minimum lokal pada .
b) Jika dan , maka mempunyai nilai maksimum lokal pada .
(Stewart 1998)
Kemonotonan Fungsi
Andaikan fungsi terdefinisi pada selang (terbuka, tertutup, atau bukan keduanya). Dikatakan bahwa:
i. adalah naik pada jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam
ii. adalah turun pada jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam
iii. monoton murni pada jika ia naik pada atau turun pada .
III.
PEMBAHASAN
3.1 Siklus Kehidupan Individu
Karya ilmiah ini menggunakan model sederhana dari akumulasi modal sebagai kerangka dasarnya, dengan pengeluaran pemerintah dimasukkan ke dalam fungsi produksi untuk menghasilkan output akhir. Dengan mempertimbangkan model overlapping generation, diasumsikan setiap individu hanya hidup selama dua periode. Setiap individu menggunakan dua periode tersebut untuk memenuhi kebutuhan hidupnya, individu bekerja dan menabung pada periode pertama dan pensiun pada periode kedua. Tabungan dari periode pertama digunakan untuk pembayaran pengeluaran pada periode kedua. Setiap individu dilahirkan pada waktu ke- , 0, 1, 2, dan seterusnya. Semua individu memiliki perlakuan dan mendapatkan hak yang sama. Kelompok individu yang lahir pada waktu ke-t disebut sebagai generasi ke- , di mana ukuran generasi dinormalkan dalam sebuah satuan. Individu yang lahir pada generasi ke- disebut muda pada periode dan disebut tua pada periode .
Setiap individu memaksimumkan utilitas waktu hidupnya dengan bergantung pada pemenuhan kebutuhan dalam dua periode kehidupan tersebut. Utilitas waktu hidup setiap individu dinyatakan sebagai berikut:
, (3.1) dengan
c
tj adalah konsumsi dari individu yang lahir di periode t pada periode ke- , dengan dan sebagai diskonto waktu.Individu dari awal generasi tua diberikan modal fisik sebesar unit. Individu-individu dalam generasi berikutnya diberi waktu luang di masa muda dan diberikan unit modal manusia dan ditetapkan sebagai kondisi awal dari modal manusia. Modal manusia diakumulasikan sesuai dengan fungsi produksi sebagai berikut:
. (3.2) Pengeluaran publik untuk pendidikan pada periode dinotasikan dengan . Salah satu cara untuk mengilustrasikan pemberian modal manusia adalah pembelajaran terhadap individu pada awal periode pertama sebelum individu tersebut bekerja. Pembelajaran dalam contoh yang nyata ialah pembelajaran yang
terjadi pada sekolah formal. Selama proses pembelajaran, individu mengakumulasi modal manusia sesuai dengan teknologi pembelajaran seperti yang diformulasikan pada persamaan (3.2). Pada persamaan ini waktu yang tersedia intuk belajar dialokasikan secara inelastis. Persediaan modal manusia dari orang tua yang bersangkutan dinotasikan dengan dan dapat juga diartikan sebagai kualitas sekolah umum.
Satu unit individu merupakan satu unit tenaga kerja yang menerima upah sebesar , serta tabungan yang disimpan oleh tiap individu pada periode ke- sebesar . Kendala yang dihadapi oleh perwakilan individu muda dari generasi ke- adalah sebagai berikut: { (3.3)
Tingkat suku bunga nyata dari periode ke- sampai sebesar , serta tingkat pajak sebesar . Satu unit pekerja secara inelastis disediakan oleh setiap individu muda dan diasumsikan tidak ada individu tua yang menabungkan uangnya.
Kendala yang harus diselesaikan oleh individu muda adalah memaksimumkan tingkat utilitas dengan kendala (3.3). Berdasarkan kendala-kendala yang ada, dapat dijelaskan bahwa konsumi dan tabungan pada periode ke- tidak lebih besar dari upah yang didapatkan setelah dikenakan dengan pajak. Upah yang didapatkan pada periode ke- sangat mempengaruhi besarnya konsumsi dan tabungan setiap individu pada peridode ke- . Upah yang diterima pada periode ke- juga mempengaruhi besarnya konsumsi pada periode , hal ini dikarenakan tingkat konsumsi pada periode sangat bergantung oleh tingkat suku bunga dan besarnya tabungan pada periode ke- yang telah dikenakan pajak.
3.2 Pertumbuhan Ekonomi
Fungsi produksi menggambarkan hubungan antara input yang meliputi modal, tenaga kerja, dan teknologi untuk menentukan output yang diproduksi dalam perekonomian. Setiap perusahaan menghasilkan output pada waktu , dengan output perusahaan dinyatakan dengan persamaan berikut:
6 { (3.4)
Parameter pertumbuhan teknologi dinotasikan dengan , adalah jumlah modal yang dipinjam oleh perusahaan atau dapat dikatakan juga sebagai modal swasta. Jumlah input pekerja efektif sebesar dan adalah persediaan agregrat dari modal publik yang tersedia untuk semua perusahaan pada waktu ke- .
Faktor publik adalah input eksternal bersama untuk setiap fungsi produksi perusahaan, dengan adalah barang publik murni. Pada model perekonomian ini ada peluang terjadinya efek skala yang disebabkan oleh modal publik yang bersifat tidak bersaing. Pendapatan dikenakan pajak pada tingkat yang seragam untuk membiayai investasi publik pada infrastruktur dan pendidikan. Kendala perusahaan bersifat statis di mana setiap perusahaan menyewa modal dan mempekerjakan pekerja efektif untuk memaksimumkan laba. Fungsi laba direpresentasikan oleh persamaan berikut:
.
(3.5) Tingkat sewa modal dinotasikan dengan , merupakan elastisitas modal publik, dan adalah elastisitas modal swasta. Persamaan ini menunjukkan tingkat pengembalian konstan pada faktor swasta sehingga tidak ada keuntungan dalam keseimbangan.
Modal swasta diasumsikan terdepresiasi pada tingkat dan modal publik terdepresiasi pada tingkat , sehingga akumulasi modal publik digambarkan oleh persamaan:
. (3.6) Investasi publik pada periode ke- dinotasikan dengan . Anggaran pemerintah diasumsikan juga dalam keadaan seimbang.
Kondisi awal dari modal swasta, modal manusia dan modal publik telah ditetapkan sebelumnya yaitu sebesar , , dan , di mana keseimbangan untuk ekonomi adalah
rangkaian dari alokasi
{ } dan harga dari { } sehingga,
i. dan ditetapkan, dengan alokasi digunakan untuk menyelesaikan kendala individu muda generasi ke- .
ii. dan telah ditetapkan, dengan alokasi digunakan untuk memaksimumkan laba perusahaan dengan kendala teknologi produksi.
iii. dan . iv. .
v. . vi. dan
berkembang sesuai dengan persamaan (3.1).
Poin i sampai poin iv merupakan asumsi dasar. Pada poin iii diasumsikan bahwa besarnya modal yang dipinjam perusahaan pada periode sama dengan tabungan dari individu dari generasi ke- dan diasumsikan jumlah pekerja yang dikerjakan pada periode ke- adalah satu. Pada poin iv diasumsikan tingkat suku bunga pada periode ke- mempunyai nilai yang sama dengan selisih dari tingkat peminjaman modal dengan tingkat modal pinjaman yang terdepresiasi.
Poin v menggambarkan bahwa anggaran yang berimbang, di mana total investasi infrastruktur dan pengeluaran pemerintah untuk pendidikan sama dengan besarnya pajak terhadap jumlah upah yang diterima individu dengan besarnya modal pinjaman yang dikenakan tingkat bunga. Hal ini dapat dijelaskan bahwa tingkat pajak berbanding lurus dengan besarnya pengeluaran pemerintah untuk investasi publik pada infrastruktur dan pendidikan, semakin besar tingkat pajak yang ditetapkan maka semakin besar juga biaya investasi yang dikelurkan pemerintah begitu pula sebaliknya.
Poin vi menjelaskan evolusi dari modal publik dan modal manusia. Setiap anggota awal generasi tua diasumsikan menghabiskan semua kekayaannya dan diasumsikan tidak ada individu dari generasi tua yang menabung. Poin vi mengasumsikan, bahwa besarnya modal publik pada periode merupakan akumulasi dari investasi publik oleh pemerintah dan modal publik pada periode yang terdepresiasi pada tingkat .
3.3 Investasi pada Infrastruktur
Ketersediaan infrastruktur dan pertumbuhan ekonomi terkait sangat erat. Pembangunan infrastruktur diyakini mampu menggerakkan sektor riil, menyerap tenaga kerja, meningkatkan konsumsi masyarakat dan pemerintah. Infrastruktur merupakan salah satu faktor produksi yang dapat meningkatkan kegiatan produksi dan pertumbuhan ekonomi jangka panjang. Mengingat begitu pentingnya keberadaan infrastruktur, sudah sewajarnya jika investasi
pemerintah dalam infrastruktur mendapatkan prioritas dalam pembangunan nasional.
Untuk mempelajari pengaruh investasi infrastruktur terhadap pertumbuhan jangka panjang, teknologi pembelajaran diasumsikan yang berarti bahwa hibah modal manusia akan tetap sama pada setiap periode. Pada versi diasumsikan juga untuk semua , sehingga penerimaan pajak hanya digunakan untuk membiayai investasi publik pada infrastruktur. Pertumbuhan jangka panjang dalam model ini bergantung terhadap pengembalian faktor yang bersifat augmentable seperti modal publik ) dan modal swasta ( ).
Fungsi utilitas pada persamaan (3.1) dapat ditulis kembali dengan mensubsitusi kendala (3.3), sehingga didapatkan fungsi utilitas sebagai berikut:
[ ]
. (3.7) Fungsi utilitas diasumsikan kontinu, maka turunan pertama fungsi utilitas terhadap adalah sebagai berikut:
[ ]
Untuk memaksimumkan utilitas individu muda pada generasi ditetapkan , sehingga didapatkan:
. (3.8)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.8)
merupakan tabungan yang memaksimumkan fungsi utilitas. Penyelesaian persamaan (3.8) dan uraian turunan kedua terhadap dapat dilihat pada Lampiran 1.
Laba perusahaan dapat mencapai maksimum jika perusahaan memberikan upah dan menetapkan tingkat modal swasta pada proporsi yang tepat. Besarnya upah yang dapat memaksimumkan laba perusahaan dapat ditentukan dengan melihat turunan pertama dan turunan kedua fungsi laba perusahaan terhadap . Turunan pertama fungsi laba perusahaan terhadap adalah sebagai berikut:
.
Untuk memaksimumkan laba perusahan pada periode ke- ditetapkan , maka didapatkan:
. (3.9) Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.9)
merupakan besarnya upah yang dapat memaksimumkan laba perusahaan. Penyelesaian persamaan (3.9) dan uraian turunan kedua terhadap dapat dilihat pada Lampiran 2.
Besarnya tingkat modal pinjaman yang dapat memaksimumkan laba perusahaan dapat ditentukan dengan melihat turunan pertama fungsi laba perusahaan ( ) terhadap modal swasta . Turunan pertama fungsi laba perusahaan ( ) terhadap modal swasta adalah sebagai berikut:
. Untuk memaksimumkan laba perusahan pada periode ke- ditetapkan , maka didapatkan:
. (3.10)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.10)
merupakan besarnya tingkat modal swasta yang dapat memaksimumkan laba perusahaan. Penyelesaian persamaan (3.10) dan uraian turunan kedua terhadap dapat dilihat pada Lampiran 3.
Setiap individu dari awal generasi diasumsikan memiliki modal swasta sebesar dan total modal pada periode sama dengan tabungan saat periode ke- . Modal swasta pada periode adalah sebagai berikut:
. (3.11) Penyelesaian persamaan (3.11) dapat dilihat pada Lampiran 4.
Kondisi awal dari modal publik ditetapkan sebesar , hibah modal manusia akan tetap sama pada setiap periode dan penerimaan pajak hanya digunakan untuk membiayai investasi publik pada infrastruktur. Tingkat
8
depresiasi pada modal publik diasumsikan dan tingkat depresiasi pada modal swasta , maka didapatkan modal publik pada periode adalah sebagai berikut:
. (3.12)
Penyelesaian persamaan (3.12) dapat dilihat pada Lampiran 5.
Rasio dari modal publik dengan modal swasta didapatkan dengan membagi persamaan (3.12) dengan persamaan (3.11), sehingga rasio modal publik dengan modal swasta adalah sebagai berikut :
. (3.13)
Penyelesaian persamaan (3.13) terdapat pada Lampiran 6.
Pada model ini tingkat pertumbuhan ekonomi dinotasikan dengan dan pertumbuhan ekonomi difokuskan pada jalur pertumbuhan yang seimbang. Dalam model ini diasumsikan serta konsumsi, modal swasta, output, dan modal publik semuanya akan tumbuh pada tingkat pertumbuhan yang sama, sehingga untuk memperoleh tingkat pertumbuhan ekonomi dapat dengan melihat tingkat pertumbuhan salah satunya saja. Dalam hal ini dipilih modal swasta untuk melihat tingkat pertumbuhan ekonomi, diketahui bahwa pertumbuhan modal swasta ialah sebagai berikut:
.
Oleh karena itu tingkat pertumbuhan ekonomi adalah sebagai berikut:
( ),
. (3.14) Penyelesaian persamaan (3.14) dapat dilihat pada Lampiran 7.
Besarnya tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi jangka panjang dapat ditentukan dengan melihat turunan pertama tingkat pertumbuhan ekonomi ( terhadap pajak ( ). Turunan pertama tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap pajak adalah sebagai berikut:
Untuk memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi ditetapkan , sehingga didapatkan
. (3.15)
Penyelesaian persamaan (3.15) dapat dilihat pada Lampiran 8. Tingkat pertumbuhan ekonomi berbentuk konkaf di , sehingga merupakan besarnya tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi.
Pajak pendapatan tidak hanya memengaruhi insentif swasta namun juga meningkatkan investasi dalam modal publik yang mengarah ke output yang lebih tinggi. Dinamika ekonomi ini menghasilkan pertumbuhan konstan pada periode awal, kemudian dihasilkan pertumbuhan ekonomi yang berkelanjutan di bawah hasil konstan pada periode berikutnya. Jika parameter dan preferensi teknologi berbeda-beda di berbagai negara, maka tingkat pertumbuhan jangka panjang di seluruh negara biasanya akan berbeda. Jika parameter yang mendasari sama di seluruh negara, maka masih memungkinkan terdapat perbedaan tingkat pendapatan per kapita secara teoritis, hal ini dikarenakan pada perbedaan kondisi awal.
3.4 Investasi pada Pendidikan
Investasi pada pendidikan sama pentingnya dengan investasi pada infrastruktur. Investasi pada pendidikan ditujukkan untuk meningkatkan modal manusia. Sejumlah pakar ekonomi berpendapat bahwa modal manusia sangat penting bagi pertumbuhan ekonomi, karena modal manusia membawa eksternalitas positif. Di negara-negara berkembang yang langka akan modal manusia, jurang antara pekerja berpendidikan dengan pekerja yang tidak berpendidikan terlihat jelas. Salah satu cara untuk meningkatkan standar kehidupan adalah dengan menyediakan sekolah-sekolah yang baik dan mendorong masyarakat terus belajar sehingga diharapkan tercipta sumber daya manusia yang berkualitas.
Pada bagian ini akan dibahas satu versi model dimana pengeluaran pemerintah ditujukan hanya pada pendidikan. Teknologi pembelajaran diformulasikan sesuai dengan persamaan sebagai berikut:
,
, . (3.16) Parameter teknologi pembelajaran dinotasikan dengan , adalah elastisitas modal manusia, dan diasumsikan dan untuk semua . Pertumbuhan jangka panjang merupakan akibat dari modal swasta maupun modal manusia yang bersifat augmentable.
Fungsi utilitas dapat ditulis kembali berdasarkan persamaan (3.7) sebagai berikut:
.
Fungsi utilitas diasumsikan kontinu, maka turunan pertama fungsi utilitas terhadap adalah sebagai berikut:
[ ]
Untuk memaksimumkan utilitas individu muda pada generasi ke- , ditetapkan , sehingga didapatkan:
. (3.17)
Turunan kedua terhadap ,
,
sehingga persamaan (3.17) merupakan tabungan yang memaksimumkan fungsi utilitas. Penyelesaian persamaan (3.17) dan uraian turunan kedua terhadap dapat dilihat pada Lampiran 9.
Laba perusahan mencapai maksimum jika besar upah yang diberikan dan tingkat modal swasta ditetapkan pada proporsi yang proporsional. Besarnya upah yang dapat memaksimumkan fungsi laba perusahaan dapat ditentukan dengan melihat turunan pertama dan turunan kedua fungsi laba perusahaan terhadap . Turunan pertama fungsi laba perusahaan terhadap adalah sebagai berikut:
.
Untuk memaksimumkan laba perusahan pada periode ke- ditetapkan
, maka
didapatkan:
. (3.18)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.18)
merupakan besarnya upah yang dapat memaksimumkan laba perusahaan. Penyelesaian persamaan (3.18) dan uraian turunan kedua terhadap dapat dilihat pada Lampiran 10.
Besarnya tingkat modal pinjaman yang dapat memaksimumkan laba perusahaan dapat ditentukan dengan melihat turunan pertama dan turunan kedua fungsi laba perusahaan terhadap modal swasta . Turunan pertama fungsi laba perusahaan ( ) terhadap modal swasta adalah sebagai berikut:
. Untuk memaksimumkan laba perusahan pada periode ke- ditetapkan , maka didapatkan:
. (3.19) Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.19)
merupakan besarnya tingkat modal swasta yang dapat memaksimumkan laba perusahaan. Penyelesaian persamaan (3.19) dan uraian turunan kedua terhadap dapat dilihat pada Lampiran 11.
Setiap individu dari awal generasi diasumsikan memiliki modal swasta sebesar . Total modal pada periode sama dengan tabungan saat periode seperti yang ditetapapkan pada asumsi poin iii bahwa:
.
Modal swasta pada periode dapat ditulis sebagai berikut:
. (3.20)
Uraian persamaan (3.20) terdapat pada Lampiran 12.
Pengeluaran pemerintah diasumsikan hanya pada pendidikan, dengan , untuk semua dan tingkat depresiasi pada modal swasta ialah . Pengeluaran publik untuk pendidikan pada periode adalah sebagai berikut :
10
Uraian persamaan (3.21) terdapat pada Lampiran 13.
Oleh karena itu, dengan mensubsitusikan persamaan (3.21) kedalam persamaan
didapatkan akumulasi modal manusia pada periode sebagai berikut:
. (3.22) Uraian persamaan (3.22) terdapat pada Lampiran 14.
Rasio modal manusia pada modal swasta dikembangkan berdasarkan pada persamaan sebagai berikut:
( ) . (3.23) Uraian persamaan (3.23) terdapat pada Lampiran 15.
Rasio modal manusia dengan modal swasta konvergen secara monoton pada keadaan steady state yang unik dengan nilai sebesar . Agar persamaan ini berada dalam keadaan steady state, maka
.
Subsitusi kondisi steady state tersebut ke dalam persamaan (3.23) sehingga didapatkan
sebagai berikut:
.
Persamaan tersebut memiliki solusi sebagai berikut:
( ) . (3.24) Uraian persamaan (3.24) terdapat pada Lampiran 16.
Seperti yang dijelaskan sebelumnya, bahwa konsumsi, modal swasta, modal manusia, output, dan pengeluaran publik untuk pendidikan semua akan berkembang pada tingkat pertumbuhan yang sama, sehingga untuk memperoleh tingkat
pertumbuhan ekonomi dapat dengan melihat tingkat pertumbuhan salah satunya saja. Dalam hal ini dipilih modal swasta untuk melihat tingkat pertumbuhan ekonomi, diketahui bahwa pertumbuhan modal swasta ialah sebagai berikut:
.
Sehingga tingkat pertumbuhan ekonomi adalah sebagai berikut:
. (3.25)
Uraian persamaan (3.25) terdapat pada Lampiran 17. Dengan mensubstitusikan dari persamaan (3.24) ke dalam persamaan (3.25), dapat ditentukan tingkat pajak yang memaksimumkan pertumbuhan ekonomi, yaitu dengan melihat turunan pertama tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat pajak . Turunan pertama tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat pajak adalah sebagai berikut: .
Untuk memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi ditetapkan , sehingga didapatkan:
. (3.26)
Penyelesaian persamaan (3.26) dapat dilihat pada Lampiran 18. Tingkat pertumbuhan ekonomi berbentuk konkaf di , sehingga merupakan besarnya tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi dengan merupakan elastisitas output modal swasta.
Dinamika dalam perekonomian ini tidak konvergen ke tingkat steady state melainkan ke jalur pertumbuhan yang berkelanjutan seperti dengan literatur pertumbuhan endogen.
IV.
SIMULASI
Pada bagian ini akan dibahas simulasimodel pertumbuhan ekonomi jangka panjang yang dipengaruhi oleh investasi pemerintah pada infrastruktur dan pengeluaran pemerintah pada pendidikan.
4.1 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang yang Dipengaruhi oleh Investasi pada Infrastrukstur
Solusi dari persamaan (3.14) yang diperoleh, dapat dituliskan sebagai berikut:
.
Tingkat pertumbuhan ekonomi dalam model ini dipengaruhi oleh tingkat pajak ( ), elastisitas modal publik ( ), diskonto waktu ( ), dan tingkat perkembangan teknologi ( ).
Simulasi yang pertama ialah untuk melihat pengaruh pajak terhadap pertumbuhan ekonomi dalam persamaan (3.14), di mana besarnya tingkat pajak berada pada selang . Parameter-parameter lain yang digunakan dalam model ini telah ditentukan sebelumnya, yaitu , dan menggunakan tiga paremeter yang berbeda yaitu , , dan . Hasil dari simulasi pertama direpresentasikan pada Gambar 1.
Gambar 1 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi olehtingkat pajak ( ) dengan preferensi elastisitas modal publik yang berbeda-beda.
Gambar 1 menunjukkan bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap pajak memiliki kurva konkaf. Tingkat pertumbuhan ekonomi akan meningkat sampai tingkat pajak tertentu dan kemudian akan turun kembali. Pada parameter , kurva tingkat pertumbuhan ekonomi condong kearah kiri, meningkat ketika . Tingkat pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum ketika nilai pajak ( ) sebesar 25% dengan tingkat pertumbuhan ekonomi parameter sebesar 0.67, kemudian tingkat pertumbuhan ekonomi turun ketika . Pada parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum ketika nilai pajak ) sebesar 50% dengan tingkat pertumbuhan ekonomi sebesar 0.97. Kurva yang dihasilkan berbentuk parabolik sempurna dengan puncak di tengah. Tingkat pertumbuhan ekonomi meningkat ketika dan menurun ketika . Pada parameter , kurva tingkat
pertumbuhan ekonomi meningkat pada saat , setelah itu menurun saat . Kurva pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum ketika nilai pajak ( ) sebesar 75% dengan tingkat pertumbuhan ekonomi sebesar 1.30. Dari hasil diatas dapat dibuat beberapa kesimpulan. Pertama, tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dipengaruhi oleh elastisitas modal publik ( . Semakin besar maka nilai maksimum dari tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) semakin besar pula. Kedua, tingkat pertumbuhan mencapai maksimum ketika tingkat pajak ( sama dengan nilai elastisitas modal publik ( , hal tersebut seperti yang dinyatakan pada persamaan (3.19) bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum terjadi ketika .
Simulasi yang selanjutnya ialah untuk melihat pengaruh diskonto waktu dan perkembangan teknologi terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dalam persamaan (3.14). Untuk melihat pengaruh diskonto
𝜃
𝜃
12
waktu , ditetapkan parameter-parameter yang lain sebagai berikut: , , dan di mana diskonto waktu berada
pada selang Hasil dari simulasi ini direpresentasikan pada Gambar 2.
Gambar 2 Kurva pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh diskonto waktu . Simulasi selanjutnya ialah untuk
mengetahui pengaruh perkembangan teknologi terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dalam persamaan (3.14). Simulasi dapat dilakukan dengan menetapkan
parameter-parameter yang lain sebagai berikut: , , dan di mana 0 . Hasil dari simulasi ini direpresentasikan pada Gambar 3.
Gambar 3 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap perkembangan teknologi . Gambar 2 dan 3 menjelaskan bahwa
tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terus meningkat seiring bertambahnya tingkat diskonto waktu dan tingkat perkembangan teknologi ( . Hal ini dapat disimpulkan bahwa diskonto waktu dan perkembangan teknologi berbanding lurus dengan tingkat pertumbuhan ekonomi .
Simulasi yang terakhir pada model ini untuk melihat pengaruh investasi pemerintah pada infrastruktur ( ) terhadap pertumbuhan ekonomi jangka ( ). Diketahui bahwa , Subsitusi persamaan tersebut kedalam persamaan (3.14), maka didapatkan persamaan tingkat pertumbuhan ekonomi baru yaitu:
. Dari persamaan baru tersebut dapat terlihat pengaruh dari investasi infrastruktur ( ) terhadap pertumbuhan ekonomi jangka panjang . Pada simulasi ini ditetapkan parameter-parameter yang lain adalah sebagai berikut: , , satuan dan satuan, selain itu dalam simulasi ini digunakan tiga parameter yang berbeda yaitu , , dan . Hasil dari simulasi tersebut direpresentasikan pada Gambar 4.
Gambar 4 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi infrastruktur ( dengan preferensi elastisitas modal publik yang berbeda. Gambar 4 menujukkan bahwa tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap investasi infrastuktur ( ) memiliki kurva konkaf, di mana tingkat pertumbuhan ekonomi akan meningkat sampai tingkat investasi tertentu dan kemudian akan turun kembali. Pada parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum ketika nilai investasi ( ) sebesar 161.70 satuan dengan tingkat pertumbuhan ekonomi sebesar 0.67. Pada parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika nilai investasi ( ) sebesar 332.04 satuan dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 0.97. Saat parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum ketika investasi ( ) sebesar 511.35 satuan dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 1.30.
Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi infrastruktur ( ) yang ditampilkan pada Gambar 4 memiliki kemiripan pola yang dihasilkan oleh kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat pajak yang ditampilkan pada Gambar 1. Kemiripan pola tersebut dikarenakan besarnya investasi infrastruktur sangat dipengaruhi oleh tingkat pajak . Persamaan ini menjelaskan bahwa besarnya investasi pada infrastruktur bergantung pada besarnya tingkat pajak yang ditetapkan. Semakin besar tingkat pajak yang ditetapkan pemerintah maka semakin besar pula investasi
pemerintah terhadap infrastruktur ( , begitu pula dengan sebaliknya.
4.2 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang yang Dipengaruhi oleh Investasi pada Pendidikan
Persamaan (3.25) yang diperoleh, dapat dituliskan sebagai berikut:
) [ ].
Tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dalam model ini dipengaruhi oleh tingkat pajak ( ) serta beberapa parameter lain seperti elastisitas modal swasta ( ), diskonto waktu ( ), elastisitas modal manusia ( ), tingkat perkembangan teknologi ( ), dan tingkat teknologi pembelajaran ( ).
Simulasi yang pertama pada model ini ialah untuk mengetahui pengaruh pajak terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dalam persamaan (3.25), dengan parameter-parameter yang lain telah ditentukan yaitu , , , . Pada simulasi ini digunakan tiga paremeter yang berbeda yaitu , , dan . Hasil dari simulasi tersebut direpresentasikan pada Gambar 5.
𝜃
𝜃
14
Gambar 5 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat pajak ( ) dengan preferensi elastisitas modal swasta yang berbeda.
Gambar 5 menujukkan bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap pajak memiliki kurva konkaf. Tingkat pertumbuhan ekonomi akan meningkat sampai tingkat pajak ( ) tertertu dan kemudian akan turun kembali. Pada parameter , kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) cenderung condong ke arah kanan, meningkat ketika . Tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika nilai pajak ( ) sebesar 75%, kemudian turun ketika . Tingkat maksimum pertumbuhan ekonomi ( ) yang dihasilkan dengan menggunakan parameter adalah sebesar 3.22. Pada parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika nilai pajak ( ) sebesar 50% dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 2.90. Kurva yang dihasilkan berbentuk parabolik dengan puncak di tengah-tengah, di mana tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) meningkat ketika dan menurun ketika . Saat parameter , kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) meningkat pada saat setelah itu menurun saat . Kurva mencapai maksimum ketika nilai pajak ( ) sebesar 75% dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 2.32.
Dari hasil diatas diperoleh beberapa kesimpulan. Pertama, tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dipengaruhi oleh parameter , semakin besar parameter maka nilai
maksimum dari tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) akan semakin kecil. Kedua, tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika tingkat pajak ( ) sama dengan nilai , hal ini membenarkan persamaan (3.26) yang menyatakan tingkat pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum ketika .
Simulasi yang selanjutnya ialah untuk melihat pengaruh parameter diskonto waktu ( ), elastisitas modal manusia ( ), parameter teknologi ( ), dan parameter teknologi pembelajaran ( ) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh pengeluaran pemerintah pada pendidikan. Untuk mengetahui pengaruh , maka ditetapkan parameter-parameter yang lain sebagai berikut: , , , , dan di mana . Persamaan (3.25) digunakan untuk mendapatkan sebuah solusi. Solusi dari persamaan tersebut direpresentasikan pada Gambar 6.
Selanjutnya simulasi pengaruh parameter terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ). Dengan menggunakan persamaan (3.33) dan diasumsikan parameter-parameter yang lain sebagai adalah berikut: , , , , dan , di mana , sehingga diperoleh sebuah solusi yang ditampilkan pada Gambar 7.
𝛼
𝛼
Gambar 6 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh diskonto waktu ).
Gambar 7 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh teknologi . Untuk melihat pengaruh tingkat
perkembangan teknologi pembelajaran terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ), digunakan persamaan (3.35) dan ditentukan
parameter-parameter yang lain sebagai berikut: , , , , dan . Solusi yang diperoleh ditampilkan pada Gambar 8.
Gambar 8 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat perkembangan teknologi pembelajaran .
Pengaruh elastisitas modal manusia terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dapat dilihat pada gambar 9, di mana
ditetapkan parameter parameter yang lain sebagai berikut: , , , dan .
16
Gambar 9 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap elastisitas modal manusia ( . Gambar 6, 7, dan 8 menjelaskan bahwa
tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) pada model ini terus meningkat. Dari hasil tersebut disimpulkan bahwa diskonto waktu , teknologi pembelajaran dan teknologi berbanding lurus dengan tingkat pertumbuhan ekonomi. Semakin besar parameter , , dan maka tingkat pertumbuhan ekonomi akan semakin besar, begitu pula dengan sebaliknya. Sedangkan hal yang berbeda ditunjukan oleh Gambar 9, di mana dalam gambar tersebut menjelaskan bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) semakin kecil seiring dengan membesarnya nilai elastisitas modal manusia atau dapat dikatakan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) berbanding terbalik dengan elastisitas modal manusia .
Simulasi yang terakhir dalam model ini ialah untuk melihat pengaruh investasi pendidikan pada terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi jangka panjang. Diketahui bahwa , maka dengan mensubsitusikan persamaan tersebut ke dalam persamaan (3.25) diperoleh
persamaan tingkat pertumbuhan ekonomi baru sebagai berikut: ( ) [ ( ) ( )].
Dengan demikian dapat terlihat pengaruh dari investasi pendidikan terhadap pertumbuhan ekonomi ( ). Untuk melihat hubungan keduanya ditetapkan nilai parameter yang lain yaitu sebagai berikut: , , , , satuan dan satuan. Dengan menggunakan tiga parameter yang berbeda yaitu , , dan maka diperoleh sebuah solusi, di mana solusi dari persamaan tersebut direpresentasikan pada Gambar 10.
Gambar 10 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi pendidikan ) dengan preferensi elastisitas modal swasta yang berbeda.
𝛼
𝛼
Gambar 10 menunjukkan bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap investasi pendidikan memiliki kurva konkaf di mana tingkat pertumbuhan akan meningkat sampai tingkat investasi tertentu dan kemudian akan turun kembali setelahnya. Pada parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika nilai investasi sebesar 511.35 satuan dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 3.22. Pada parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika nilai investasi sebesar 332.04 satuan dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 2.90. Pada parameter , tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika investasi sebesar 161.70 satuan dengan tingkat pertumbuhan ekonomi sebesar 2.32. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi
oleh investasi infrastruktur yang ditampilkan pada Gambar 10 memiliki kemiripan pola dengan kurva tingkat pertumbuhan ekonomi yang dipengaruhi oleh tingkat pajak yang ditampilkan Gambar 5. Hal ini dikarenakan
persamaan yang
menunjukkan bahwa besarnya pengeluaran pemerintah pada investasi pendidikan sangat dipengaruhi oleh tingkat pajak , di mana besarnya investasi pada pendidikan berbanding lurus terhadap besarnya tingkat pajak .
Untuk membandingkan kedua model tersebut, dilakukan simulasi lebih lanjut yaitu dengan memisalkan parameter yang digunakan sebagai berikut , , , , , , satuan satuan dan satuan. Dengan menggunakan persamaan (3.14) untuk model pertama dan persamaan (3.25) untuk model kedua, diperoleh sebuah solusi yang direpresentasikan pada Gambar 11.
.
Gambar 11 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi infrastruktur ( ) dan investasi pendidikan ).
Gambar 11 menujukkan bahwa investasi pada pendidikan ) memiliki output tingkat pertumbuhan ekonomi jangka panjang ( ) yang lebih besar dibandingkan dengan investasi pada infrastruktur ( ) untuk semua investasi yang ditanamkan. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi pendidikan mencapai maksimum ketika investasi pada pendidikan ) sebesar 332.04 satuan dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 2.90. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi infrastruktur mencapai maksimum ketika investasi pada infrastruktur ( ) sebesar
332.04 satuan dengan tingkat pertumbuhan ( ) sebesar 0.97.
Pada kedua model tersebut dapat dilihat bahwa semakin besar investasi yang ditanamkan pemerintah terhadap infrastruktur maupun pada pendidikan belum tentu akan menghasilkan tingkat pertumbuhan ekonomi yang besar, begitu juga dengan sebaliknya. Untuk mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi yang maksimum dibutuhkan investasi pada proporsi yang tepat dengan terlebih dahulu mempertimbangkan semua aspek yang memengaruhi tingkat pertumbuhan ekonomi jangka panjang ( ).
Investasi Infrastruktur
18
V.
KESIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini dibahas tentang pengaruh pengeluaran pemerintah pada investasi infrastruktur ( ) dan pendidikan ) terhadap pertumbuhan ekonomi jangka panjang ( ). Dari pembahasan yang telah dilakukan diperoleh beberapa kesimpulan: 1. Pada model tingkat pertumbuhan ekonomi
yang dipengaruhi oleh investasi pemerintah pada infrastruktur, pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh beberapa parameter yaitu tingkat pajak ), elastisitas output terhadap modal ( ), elastisitas utilitas ( ) dan tingkat teknologi ( ). Semakin besar parameter dan maka semakin besar tingkat pertumbuhan ekonomi serta semakin besar akan menyebabkan tingkat maksimum pertumbuhan ekonomi semakin besar. 2. Pada model pertumbuhan ekonomi yang
dipengaruhi oleh investasi pemerintah pada pendidikan, pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh beberapa parameter yaitu tingkat pajak ( ), elastisitas output
terhadap modal ( ), elastisitas output terhadap teknologi pembelajaran ( ), diskonto waktu fungsi utilitas ( ), tingkat teknologi ( ), teknologi pembelajaran ( . Semakin besar parameter , , dan maka semakin besar tingkat pertumbuhan ekonomi, tetapi semakin besar parameter akan membuat tingkat pertumbuhan ekonomi semakin rendah. Selain itu, penggunaan parameter yang semakin besar akan menyebabkan tingkat maksimum pertumbuhan ekonomi semakin rendah.
3. Hasil perbandingan simulasi kedua model tersebut dengan menggunakan parameter , , , , , , satuan
satuan dan satuan, dapat disimpulkan bahwa investasi pada pendidikan memiliki output tingkat pertumbuhan ekonomi jangka panjang yang lebih besar bila dibandingkan dengan investasi pada infrastruktur.
DAFTAR PUSTAKA
Glomm G, Ravikumar B. 1997. ProductiveGovernment Expenditure and Long-Run Growth. Journal Of Economic Dynamics and Control 21,183-204.
Kunarjo. 2003. Ekonomi, Keuangan, dan Pembangunan. Universitas Indonesia (UI-Press), Jakarta.
Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Edisi Kelima. I Nurmawan. Penerjemah; WC Kristiaji. Editor. Erlangga, Jakarta. Terjemahan dari: Macroeconomics 5th Edition.
Mankiw NG. 2006. Pengantar Ekonomi Jilid 2. H Munandar, E Salim. Penerjemah; Y Sumiharti, WC Kristiaji. Editor. Erlangga, Jakarta. Terjemahan dari: Principles of Economics.
Nicholson W. 2002. Mikroekonomi Intermediate. Edisi kedelapan. Mahendra IB, Aziz A, Penerjemah. Jakarta.
Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. Springer-Verlag, New York.
Purcell EJ, Varberg D. 1999. Kalkulus dan Geometri Analisis. Edisi ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila dan Kawan-kawan. Erlangga Jakarta.
Romer D. 1996. Advance Macroeconomics. McGraw Hill, New York.
Stewart RM. 1998. Kalkulus Jilid 1. Edisi Keempat. IN Susila, H Gunawan. Penerjemah; N Mahanani, W Hardani. Editor. Erlangga, Jakarta. Terjemahan dari: Calculus 4th Edition.
Sukirno S. 2004. Teori Pengantar Makroekonomi. PT Raja Grafindo Persada, Jakarta.
Zhang WB. 2006. Discrete Dynamical Systems, Bifurcation and Chaos in Economics. Elsevier, Amsterdam.
20
Lampiran 1 Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 1
Tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.8)
Fungsi utilitas Dari persamaan (3.3) bahwa
dapat dibuat sehingga ,
(a)
Dan pesamaan
(b)
Dengan mensubsitusi pertaksamaan (a) dan (b) kedalam fungsi utilitas, maka [ ]
Turunan fungsi utilitas terhadap [ ] [ ]
Agar utilitas maksimum maka , sehingga [ ] [ ] Karena maka
Uji turunan kedua fungsi utilitas terhadap
[ ] Karena , maka
.
Berdasarkan uji turuna pertama dan kedua maka,
merupakan tabungan yang memaksimumkan fungsi utilitas.
Lampiran 2 Mendapatkan upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1
Upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.9 ).
Fungsi keuntungan perusahan Turunan fungsi keuntungan perusahaan terhadap
22
Agar keuntungan perusahann maksimum maka , sehingga
Karena dan , maka
Uji turunan kedua
Karena , , , , dan maka
Sehingga, merupakan upah pekerja yang memaksimumkan laba perusahaan.
Lampiran 3 Mendapatkan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1
tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.10).
Fungsi keuntungan perusahan Turunan fungsi keuntungan perusahaan terhadap
Agar keuntungan perusahann maksimum maka , sehingga
Karena , dan ,maka
Uji turunan kedua
Karena , , , , dan maka
Sehingga, merupakan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan.
Lampiran 4 Mendapatkan modal swasta pada kasus 1
Modal swasta pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.11).
Asumsi poin III, bahwa ,
subsitusi persamaan (3.8),maka
Dengan mensubsitusi persamaan (3.9) maka
Lampiran 5 Mendapatkan modal publik
Modal publik didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.12).
Diketahui bahwa dari asumsi poin VI
diasumsikan bahwa , maka
Dari asumsi poin IV diasumsikan maka
sehingga maka,
Dengan mensubsitusi persmaan (3.11) dan dari asumi poin IV maka [ ]
Karena dan ,maka [ ] Subsitusi persamaan 3.13 [ ] [ ] [ ]
Lampiran 6 Mendapatkan rasio modal publik dengan modal swasta
Rasio modal publik dengan modal swasta didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.13).
dan ,maka
Lampiran 7 Mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 1
Tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.14). Diketahui tingkat pertumbuhan adalah ,maka
24
Dengan mensubsitusikan persamaan (3.14)
Diasumsikan ,maka atau ( )
Karena rasio modal publik sama dengan rasio modal swasta sehingga , maka Subsitusi , maka didapatkan ( ) Diasumsikan , maka ( ) [ ]
Lampiran 8 Mendapatkan tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 1
Tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.15).
Diketahui tingkat pertumbuhan adalah ,maka
Turunan tingkat pertubuhan terhadap
Agar tingkat pertumbuhan maksimum maka , sehingga
Lampiran 9 Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 2
Tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 2 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.17).
Fungsi utilitas Dari pertaksamaan (3.3)
dapat dibuat sehingga ,
(a)
Dan pesamaan
(b)
Dengan mensubsitusi pertaksamaan (a) dan (b) kedalam fungsi utilitas, maka [ ]
Turunan persamaan utilitas tersebut terhadap [ ] [ ]
Agar utilitas maksimum maka , sehingga [ ] [ ]
Uji turunan kedua fungsi utilitas terhadap
[ ] Karena , maka
.
Berdasarkan uji turuna pertama dan kedua maka,
