http://meetabied.wordpress.com
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan
orang tidak menyadari betapa dekatnya mereka
dengan keberhasilan, saat mereka menyerah
(Thomas Alfa Edison)
[
RUMUS CEPAT MATEMATIKA
]
Persamaan Kuadrat
1Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan
dari akar-akar ax2+bx +c =
kebalikan akar-akarnya berbantuk :
2
Persamaan kuadrat yang akarnya kebalikan dari
akar-akar persamaan 2x
2-3x +5 = 0 adalah..
@
Perhatikan terobosannya2x -3x +5 = 0 2
5x -3x +2 = 0 2
1 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
BERLAWANAN dari akar-akar ax2+bx +c = 0 adalah : ax2 -bx +c = 0
(Kunchi : Tanda b
berubah)
1 Jika akar-akar yang diketahui x1 dan x2 maka, Lawan akar-akarnya berbntuk –x1 dan -x2
r Missal akar-akar :
5x2 -8x +6 = 0 , x1 dan x2 .
maka Persamaan baru akar-akarnya –x1 dan –x2
r α = -x1dan β = -x2
a+β = -x1 –x2
= -(x1 +x2)
= -
5 8 -= =
-a b a
b
a. β = -x1 .(-x2) = x1 .x2
=
5 6 =
a c
r Gunakan Rumus : x2 –(a+β)x + a.β = 0
x2 -5
8
-x + 5 6
= 0
5x2 +8x +6 = 0
Jawaban : D
2.
Prediksi UAN/SPMB
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya berlawanan dengan
akar-akar persamaan 5x
2-8x +6 = 0 adalah..
A.
2x
2-5x +3 = 0
B.
2x
2+3x +5 = 0
C.
5x
2-6x +8 = 0
D.
5x
2+8x +6 = 0
E.
5x
2-8x -6 = 0
@
Perhatikan terobosannya :5x -8x +6 = 0 2
5x +8x +6 = 0 2
1Persamaan kuadrat yang akar-akarnya n kali (artinya : nx1 dan nx2)
akar-akar persamaan ax2+bx +c = 0 adalah : ax2 +n.bx +n2.c = 0
@
Tiga kali, maksudnya :3x1 dan 3x2
r Missal akar-akar : x2 +px +q = 0
x1 dan x2 . maka Persamaan
baru akar-akarnya 3x1 dan
3x2
r Misal : α = 3x1dan β = 3x2
a+β = 3x1 +3x2
= 3(x1 +x2)
= 3. p p a
b
3 1 3
-= -=
-a. β = 3x1 .3x2 =9( x1 .x2)
= 9. q q a
c
9 1 9
= =
r Gunakan Rumus : x2 –(a+β)x + a.β = 0 x2 –(-3p)x + 9q= 0 x2 +3px +9q = 0
Jawaban : E
3.
UMPTN 2001/B
Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali
dari akar-akar persamaan kuadrat x
2+px+q = 0 adalah….
A. 2x
2+3px +9q = 0
B. 2x
2-3px +18q = 0
C. x
2-3px+9q = 0
D. x
2+3px -9q = 0
E. x
2+3px +9q = 0
@
Perhatikan terobosannya x +px +q =02n = 3
3 32
kalikan
@
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya k lebihnya (x1 +k) dan (x2 +k) dariakar-akar persamaan ax2+bx +c = 0 adalah :
a(x-k)2 +b(x-k) +c = 0
@
Dua lebih besar,maksudnya : x1+2 dan x2 +2
r Missal akar-akar : 3x2 -12x +2 = 0 adalah x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya x1+2 dan x2+2
r α = x1+2 dan β = x2+2 a +β = x1+2 +x2+2
= (x1 +x2) +4 =
8 4 3 12 4=-- + =
+
-a b
a . β = (x1+2)(x2+2) = (x1.x2) +2(x1+x2) +4
= +2(- )+4
a b a c
=
3 38 4 3 24 3
2+ + =
r Gunakan Rumus : x2 –(a+β)x + a.β = 0
x2 –8x +
3 38
= 0
3x2 -24x +38 = 0
Jawaban : A
4.
UMPTN 1997
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar
dari akar-akar persamaan kuadrat 3x
2-12x+2=0 adalah….
A. 3x
2-24x+38=0
B. 3x
2+24x+38=0
C. 3x
2-24x-38=0
D.3x
2-24x+24=0
E. 3x
2-24x-24=0
@
Perhatikan terobosannya :3(x -2)2 -12(x -2) +2 = 0
3(x2 -4x +4) -12x +24 +2 = 0
@
akar-akar
BerlawananBerkebalikan
5.
PREDIKSI UAN/SPMBPersamaan kuadrat 2x2 -3x+5=0 akar-akarnya a dan β, maka
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya a
@
Perhatikan terobosannya :2x2 -3x +5 = 0
Berkebalikan :
5x2 -3x +2 = 0
Berlawanan :
1 ax2 +bx +c = 0 D ³ 0 à syarat kedua akarnya Nyata, D = b2 -4.a.c
1 ³ 0 ,artinya :bil.kecil
“atau” bil.besar 1Persamaan kuadrat :
x2 +(m -2)x +9 = 0 a =1
b = m -2 c = 9
mempunyai dua akar nyata, maka D ≥ 0
b2-4ac ≥ 0
(m -2)2 -4.1.9 ³0
m2 -4m -32 ³ 0 (m -8)(m +4) ³ 0
Pembuat nol : m = 8 atau m =-4 Garis Bilangan :
Jadi : m £ -4 atau m ³ 8
Jawaban : A 6. EBTANAS 2002/P1/No.1
Persamaan kuadrat x2 +(m -2)x +9 = 0 akar-akarnya nyata. Nilai m yang memenuhi adalah…
A. m £ -4 atau m ³ 8 B. m £ -8 atau m ³ 4 C. m £ -4 atau m ³ 10 D. -4 £ m £ 8
E. -8 £ m £ 4
1x2 +(m -2)x +9 = 0 D ≥ 0 Þ b2-4ac ≥ 0 (m -2)2 -4.1.9 ³0
m2 -4m -32 ³ 0 (m -8)(m +4) ³ 0
Karena Pertidaksamaannya
≥ 0, maka :
Jadi : m ≤ -4 atau m ≥ 8
+
-
+
+
1 ax2 +bx +c = 0 D = 0 à syarat kedua akar- nya Nyata dan sama
1 Jumlah akar-akarnya :
a b x
x1+ 2 =
-1 (k +2)x2 -(2k -1)x +k -1 = 0
a = k+2 b = -(2k-1) c =k-1 D = 0 , syarat
b
2-4.a.c = 0
(
2k-1)2-4(k +2)(k -1) = 0 4k2 -4k +1 -4k2-4k +8 = 0ð k = 8 9
7.
EBTANAS 2003/P2/No.1
Persamaan kuadrat (k +2)x
2-(2k -1)x +k -1 = 0
akar-akarnya nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan
tersebut adalah…
A.
8 9B.
9 8D.
5 2C.
2 5E.
5 11
5 2 25 10
1 1
1 1 2
8 9 4 9
2
1 = =
+ -= +
-= -= +
k k a b x
x
1 Jika akar-akar x1 dan
x2 , maka yang
dimaksud “ Jumlah Kebalikan “ adalah
c
1 Jumlah Kuadrat
maka yang dimaksud “ Jumlah kuadrat “ adalah x1
9. PREDIKSI UAN/SPMB
Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan :
x
2- (2m +4)x +8m = 0 sama dengan 52 maka salah satu
nilai m adalah….
1 Jika Persamaan : ax2 +bx +c = 0, mempunyai perban -dingan m : n, maka ;
2 2
) (
) . (
n m a
n m b c
+ = 1 Persamaan x2 -8x +k = 0
x1 : x2 = 3 : 1 atau
x1 = 3x2 …….(i)
@
1+ 2 =- =8a b x x
3x2+x2 = 8
4x2 = 8 berarti x2 = 2
@
x2 = 2 substitusi ke (i)x1 = 3.2 = 6
@
ka c x x1. 2 = =
6.2 = k berarti k = 12
JAWABAN : B
10.
EBTANAS 2000
Persamaan x
2-8x +k = 0 mempunyai akar-akar yang
berbanding seperti 3 : 1, harga k adalah…
A. 10
B. 12
C. 16
D. 8
E. -8
1
x
2-8x +k = 0
.Perbandingan 3 : 1
12 16
3 . 64
) 1 3 .( 1
) 1 . 3 .( ) 8 (
2 2
= = + -=
k
1 Jika akar-akar
11.
PREDIKSI UAN/SPMB
1 Jika ax2 +bx +c = 0, Kedua akarnya berlainan maka : D > 0 atau b2 -4ac > 0
1 ≥ 0
> 0, artinya terpisah
Jadi : kecil “atau”besar
1 x2 +ax +a = 0 kedua akar berlainan, syarat D > 0 atau : b2 -4ac > 0
a2 -4a > 0 a(a -4) >0 Karena > 0 artinya terpisah.
Jadi : a < 0 atau a > 4 Mudeh……. .!
JAWABAN : C
12.
PREDIKSI UAN/SPMB
Supaya persamaan x
2+ax +a = 0 mempunyai dua akar
berlainan, harga a harus memenuhi…
1 Jika akar-akar : ax2 +bx +c = 0, tidak sama tandanya , maka :
( i ) x1 .x2 < 0 dan
( ii ) D > 0 1 x2 -2ax +a +2 = 0
berlainan tanda, syaratnya : ( i ) x1 .x2 < 0
a +2 < 0 , berarti a < -2 ( ii ) D > 0
4a2-4.1.(a +2) > 0 4a2 -4a -8 >0
a2 –a -2 > 0 (a -2)(a +1) > 0
a < -1 atau a > 2
Jadi : a < -2
JAWABAN : E
13.
PREDIKSI SPMB
Jika akar-akar persamaan kuadrat x
2-2ax +a -2 = 0 tidak
sama tandanya, maka….
A. a < -1 atau a > 2
B. -1 < a < 2
C. -2 < a < 2
D. -2 < a < 1
E. a < -2
-2
-1 2
1 Supaya kedua akar ax2+bx +c = 0 imajiner atau tidak real ,maka : D < 0 1 D = b2-4ac
1 < 0
≤ 0 , artinya terpadu
Jadi :
kecil
“tengahnya”
besar
1 x2+(m +1)x +2m -1 = 0D < 0
(m +1)2 -4.1.(2m -1) < 0 m2 +2m +1 -8m +4 < 0
m2 -6m +5 < 0
(m -1)(m -5) < 0 < 0, artinya terpadu
Jadi : 1 < m < 5
kecil besar
tengahnya
JAWABAN : E
14.
PREDIKSI UAN/SPMB
Agar supaya kedua akar dari x
2+(m +1)x +2m -1= 0 tidak
real, maka haruslah…
A. m < 1 atau m > 5
B. m
£
1 atau m
³
5
C. m > 1
1 Jika akar-akarPersamaan ax2 +bx +c = 0, mempu- nyai perbandingan m : n,
maka 2
akarnya dua kali akar yang lain, artinya : x1 = 2x2
15.
PREDIKSI SPMB
1 ax2 +bx +c = 0,
maka
a c x x1. 2 = 1 Persamaan ax2 +5x -12 = 0
salah satu akarnya x1 = 2,
maka : a(2)2 +5.2 -12 = 0 4a +10 -12 = 0
a = 2 1
1 x1.x2 =
-2 1 12 e 2x
2 = -24
x2 = -12
JAWABAN : A
16.
PREDIKSI UAN/SPMB
Jika salah satu akar persamaan ax
2+5x -12 = 0 adalah 2,
maka ….
1 Jika akar-akar : ax2 +bx +c = 0, x1 dan
x2 maka Persamaan baru
yang akar-akarnya x1 2
dan x2 2
adalah :
a2x2 –(b2-2ac)x + c2 = 0
1 x2 -5x +2 = 0, akar p dan q
p +q =
a b
- = 5
p.q =
a c
= 2
missal akar-akar baru a
dan β
1 a = p2dan β = q2 a+β = p2
+q2 = (p +q)2 -2pq = 25-2.2 = 21 a.β = p2
.q2 = (p.q)2 = 22 = 4
1 Gunakan Rumus : x2 –(a+β)x +a.β = 0 x2 -21x +4 = 0
JAWABAN : B
17. Persamaan kuadrat x
2-5x +2 = 0 mempunyai akar p dan q.
Persamaan kuadrat dengan akarr-akar p
2dan q
2adalah…
A. x
2+21x +4 = 0
B. x
2-21x +4 = 0
C. x
2-21x -4 = 0
D. x
2+x -4 = 0
E. x
2+25x +4 = 0
1 x2 -5x +2 = 0 a = 1, b = -5, c = 2 1 Persamaan K.Baru : 12x2 –(25-2.1.2)x +22= 0 x2 -21x +4 = 0
1 Selisih akar-akar
persa-1 Jumlah akar-akar : x1+x2 = n = ! 11
JAWABAN : A
18.
PREDIKSI UAN/SPMB1 Ingat... “ Nilai Max/min “ arahkan pikiran anda ke “TURUNAN = 0”
19.
PREDIKSI UAN/SPMB1 ax2+bx +c =0, akar-akar mempunyai perbandingan :
na = mb , maka :
akarnya mempunyai perbandingan : a = 3β 20. PREDIKSI UAN/SPMB
p Jumlah akar-akar = 0, maksudnya adalah : x1 +x2 = 0, berarti :
-a b
= 0
Sehingga b = 0
@
x2+(2p-3)x +4p2-25 = 0diketahui : x1 +x2 = 0
-a b
= 0
- 0
1 3 2
=
-p
, berarti :
2p -3 = 0 atau p = 2 3
@
untuk p = 2 3substitusi keper
samaan kuadrat , di dapat : x2 + 0.x +4(3/2)2-25 = 0
x2 +9 -25 = 0 x2 = 16 x = ! 4
JAWABAN : D 21. PREDIKSI UAN/SPMB
Jika jumlah kedua akar persamaan :
x
2+(2p-3)x +4p
2-25 = 0, sama dengan nol, maka akar-akar
itu adalah….
A.
3/2 dan – 3/2
B.
5/2 dan – 5/2
C.
3 dan 3
D.
4 dan -4
E.
5 dan -5
1
x2+(2p-3)x +4p2-25 = 0 b =0 (syarat jumlah = 0) 2p -3 = 0 e p = 3/2 x2 +0.x+4(3/2)2-25 = 0 x2 +9 -25 = 0
p Jika akar-akar persaman x1 dan x2 ,maka
akar-akar yang n lebih besar
maksudnya x1+n dan
x2+n
p Persamaan kuadrat yang akar-akarnya n lebih besar (x1+n dan x2+n)
dari akar-akar persamaan :
ax2 +bx +c = 0 adalah : a(x-n)2 +b(x-n) +c = 0 13x2 -12x +2 = 0
x1 +x2 = 4
3 12
= -=
-a b
x1.x2 =
3 2 =
a c
1Persamaan baru yg akar-akarnya dua lebih besar, artinya : x1 +2 dan x2 +2
missal
a = x1 +2 dan β = x2 +2
a+β = x1 +x2 +4
= 4 + 4 = 8 a.β = (x1 +2)( x2 +2)
= x1.x2 +2(x1+x2) +4
= 3 2
+2.4 +4 = 12+ 3 2
= 3 38
1Gunakan Rumus : x2 –(a+β)x +a.β = 0
x2 -8x + 3 38
= 0 --- kali 3
3x2 -24x +38 = 0
JAWABAN : A
22.
PREDIKSI UAN/SPMBPersamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari
akar-akar persamaan :
3x
2-12x +2 = 0 adalah…..
A.
3x
2-24x +38 = 0
B.
3x
2+24x +38 = 0
C.
3x
2-24x -38 = 0
D.
3x
2-24x +24 = 0
E.
3x
2-24x -24 = 0
1 Perhatikan terobosannya n = 2 à 3x2 -12x +2 = 0 3(x -2)2-12(x -2) +2 = 0
3(x2-4x+4) -12x+24 +2 = 0
1 Salah satu akar ax2+bx+c = 0
adalah k lebih besar dari akar yang lain,
maksudnya :
x1 = x2 +k, di dapat :
diketahui salah satu akarnya 5 lebih besardari akar yang lain,maksudnya x1 = x2 +5
23.
PREDIKSI UAN/SPMBSalah satu akar persamaan x
2+ax -4 = 0 adalah lima lebih
besar dari akar yang lain. Nilai a adalah….
A. -1 atau 1
B. -2 atau 2
C. -3 atau 3
D. -4 atau 4
E. -5 atau 5
2 (a +b)2=a2 +2ab +b2
2 (a -b)2 = a2 -2ab +b2 = (a +b)2-4ab
2 x2 +ax -4 = 0 x1+x2 = -a
x1.x2 = -4
2 x1
2
-2x1x2 +x2 2
= 8a (x1+x2)
2
-4x1x2 = 8a
a2 -4.(-4) = 8a a2 +16 = 8a a2 -8a +16 = 0 (a -4)(a -4) = 0 a = 4
JAWABAN : B
24.
PREDIKSI UAN/SPMBAkar persamaan x
2+ax -4 = 0 adalah x
1dan x
2, jika x
12-2x
1x
2+x
22= 8a, maka nilai a adalah….
1 Ingat...!
25.
PREDIKSI UAN/SPMB1 Ingat....!
3 3 3 2 3 1
3
a abc b
x
x + =- +
atau
) ( 3 )
( 1 2 3 1 2 1 2 3
2 3
1 x x x xx x x
x + = + - +
Stasioner e TURUNAN = NOL 1 x2 –(a -1)x + a = 0
x1 +x2 = - =a-1
a b
x1.x2 = a
a a
c = =
1 1 missal :
z = x1 3
+ x2 3
+3x1x2
= (x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)+3x1x2
= (a -1)3-3a(a -1) +3a = (a -1)3 -3a2 +6a z’ = 3(a -1)2-6a +6 = 3(a2-2a+1) -6a +6 = 3a2 -12a +9 0 = 3a2-12a +9 a2 -4a + 3 = 0 (a -3)(a -1) = 0 a = 3 atau a = 1
JAWABAN : B
26.
PREDIKSI UAN/SPMBJika x
1dan x
2merupakan akar persamaan :
x
2–(a -1)x + a = 0. Nilai stasioner dari x
13+3x
1x
2+ x
23dicapai untuk a = ….
A.
1 dan 2
B.
1 dan 3
C.
3 dan 2
D.
-1
1 Jika kedua akar : ax2+bx +c = 0 saling berkebalikan, maka : a = c
1 p2x2-4px +1 = 0 kedua akarnya saling berkebalikan, artinya :
2 1
1
x x = atau
x1 .x2 = 1
1 1 1 1
1
2 2
± =
= = =
p p p a c
1 Jadi p = -1 atau p = 1
JAWABAN : E
27.
PREDIKSI UAN/SPMBKedua akar persamaan p
2x
2-4px +1 = 0 berkebalikan,
maka nilai p adalah….
A. -1 atau 2
B. -1 atau -2
C. 1 atau -2
D. 1 atau 2
E. -1 atau 1
1
p
2x
2-4px +1 = 0
a = c
p
2= 1
1 Persamaan kuadrat Baru :
x2 + Jx + K = 0 J = Jumlah akar-akarnya K = Hasil kali akar-akarnya
1
x2 +6x -12 = 0Persamaan baru yang akar-akarnya
1
x
2+
(
x
12+
x
22)
x
+
4
=
0
a = 1b = x12 +x22
c = 4
1 2
2 2 2 2 1
2
a ac b
x
x + =
-1 x2+(x12+x22)x+4=0 akar-akarnya u dan v
u+v = -u.v , artinya :
4 ) ( 12 + 22 = -- x x
4 2 2 2 1 +x =
x
1 x2 +6x +c = 0, 4 2 2 2 1 +x =
x
16 32 2
4 2 36
4 1
. 1 . 2 36
2
= =
=
-=
-c c
c c
1 x13x2+x1x32=x1.x2(x12+x12)
= c. 4 = 4c = 4.16 = 64
JAWABAN : E 29. SPMB 2003//420-IPA/No.11
Akar-akar persamaan kuadrat x2 +6x +c = 0 adalah x1 dan x2.
Akar-akar persamaan kuadrat
x
2+
(
x
12+
x
22)
x
+
4
=
0
adalah u dan v.Jika u+v = -u.v, makax
13x
2+
x
1x
23= ….1 ax2 +bx +c = 0, tidak mempunyai akar real artinya : b2 -4ac < 0
O
2x(mx -4) = x
2-8
2mx
2-8x = x
2-8 atau
(1-2m)x
2+8x -8 = 0
D < 0 (syarat )
b
2-4ac < 0
8
2-4(1-2m)(-8) < 0
64 +32(1-2m) < 0
2 + 1 -2m <0
3 < 2m
m >
2 3
.
berarti m bulat adalah :
2,3,4,5,…..
Jadi m bulat terkecil adalah : 2 30. UAN 2003/P-1/No.1
Bilangan bulat m terkecil yang memenuhi persamaan
2x(mx -4) = x
2-8 agar tidak mempunyai akar real
adalah….
1 Persamaan kuadrat, dapat di susun
menggunakan rumus : x2 –Jx +K = 0
dengan :
J = Jumlah akar K = hasil kali akar 1 Diketahui akar-akarnya 5
dan -2, berarti : x1 = 5 dan x2 = -2
1 x1 +x2 = 5 +(-2) = 3
x1 .x2 = 5.(-2) = -10
1 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2
rumusnya adalah : x2 –(x1+x2)x +x1.x2 = 0
x2 -3x -10 = 0
JAWABAN : E
31.
UAN 2004/P-1/No.1
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah…
A.
x
2+7x +10 = 0
B.
x
2-7x +10 = 0
C.
x
2+3x +10 = 0
D.
x
2+3x -10 = 0
E.
x
2-3x -10 = 0
1 Akar-akar 5 dan -2, maka :
x2 –Jx +K = 0