• Tidak ada hasil yang ditemukan

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang"

Copied!
21
0
0

Teks penuh

(1)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Kegiatan Belajar 2

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat :

a. Menentukan jarak titik dan garis dalam ruang

b. Menentukan jarak titik dan bidang dalam ruang

c. Menentukan jarak antara dua garis dalam ruang

B. Uraian Materi 2

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

a. Jarak Titik ke Titik

Jarak antara dua titik adalah dengan menarik garis hubung terpendek antara kedua titik

tersebut, jadi jarak antara titikAdanBadalah panjang garisAB

Jika titik dalam koordinat cartesius maka jarak kedua titik adalah

Panjang AB=

(

a1b1

)

2 +

(

a2b2

)

2 +

(

a3b3

)

2

B(b1, b2, b3)

A (a1,a2,a3)

B
(2)

Contoh :

1. Tentukan jarak antara titik P (2, 5, 6) dengan titik R (6, 8, 6)

Penyelesaian

Jarak PR=

(

2−6

)

2 +

(

5−8

)

2 +

(

6−6

)

2

(

)

(

)

( )

5 9 16

0 3

4 2 2 2

= + =

+ − + − =

PR PR PR

Jadi jarak titik P dan R adalah 5 satuan panjang

2. KubusABCDEFGHmemiliki panjang rusuk 6 cm, titik P merupakan perpotongan

diagonal bidang atas, hitunglah jarak titikPdanA

Penyelesaian

Untuk mencari panjang garisAPmaka perhatikan segitigaAEPyang terbentuk,

segitigaAEPadalah segitiga siku-siku, dengan siku-siku diE,

Sehingga dengan teorema pythagoras panjangAP adalah

(

)

6 3

54 2 3 36

2 1 6

2 2 2

2 2

= =

+ =

+ =

+ =

EG EP AE AP

Jadi jarak titikAke titikPadalah 3 6

A B

C D

E

F G H

(3)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd b. Jarak titik ke Garis

Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis, jarak terdekat diperoleh

dengan menarik garis yang tegak lurus dengan garis yang dimaksud.

Jarak titik B dengan garis g adalah panjang garis BB’

Contoh :

1. KubusABCDEFGHmemiliki panjang rusuk 8 cm, titikPmerupakan perpotongan

diagonal bidang atas, hitunglah jarak titikPdengan garisAD

Penyelesaian

Jarak antara titikPdan garisADadalah garisPQ, sehingga

5 4

80 64 16

8

42 2

2 2

= =

+ =

+ =

+ = PR PQ PQ

Jadi jarak titikPKe garisADadalah 4 5 cm

2. Sebuah kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk 6 cm. tentukan jarak titikAke

garisCEadalah…

Penyelesaian

Jarak titikApada garisCEadalah garisAP

B

B’ g

A B

C D

E F

G H

P R

Q

A B

C F

G

D E

H

6 cm

P

E

P

A 62 C

3 6

6

R 4 P

(4)

(

) (

)

(

)(

)

3 6 cos

6 72

36 108 72 cos

cos 3 6 2 6 2 3 6 2 6

62 2 2

=

− + =

− +

=

C C

C

maka 3

3 1 sinC=

6 2

2 6 3

3 sin

= = =

AP AP

AC AP C

Jadi jarak titik A ke garis CE adalah 2 6

c. Jarak Titik dengan bidang

Untuk menentukan jarak sebuah titik pada suatu bidang, maka terlebih dahulu ditarik garis

lurus yang terdekat dari titik ke bidang, sehingga memotong bidang dan garis tersebut

harus tegak lurus dengan bidang.

Misalkan titik B terletak di luar bidangαmaka jarak titik B ke bidangαdapat ditentukan sebagai berikut :

B

α

B’
(5)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Contoh :

1. Suatu limas segitiga beraturan, panjang rusuk tegaknya 8 cm dan panjang rusuk

alasnya 6 cm. Jarak titik D ke bidang ABC adalah….

Penyelesaian

Jarak titik D ke bidang ABC adalah panjang garis DE

Dengan aturan cosinus maka

(

) (

)

( )

(

)

( )

13 4 1 sin 3 4 1 cos 3 48 36 cos cos 48 64 27 55 cos 8 3 3 2 8 3 3

55 2 2 2

= = = − + = − + = C C C C C

Dengan definisi sinus maka

13 2 4 13 8 8 4 13 sin = = = = DE DE DE DC DE C

Jadi jarak titik D ke bidang ABC adalah 2 13

(6)

2. Tentukan jarak titik B ke bidang AFC, pada kubusABCDEFGH, jika panjang rusuk

kubus adalah 6 cm.

Penyelesaian

Jarak titik B ke bidang AFC adalah BR

(

) (

)

(

)(

)

6 3 1 sin 3 3 1 cos 3 36 36 72 cos cos 3 36 54 18 36 cos 6 3 2 3 2 54 2 3

62 2 2

= = − = − + = − + = p maka p p P P

Dengan definisi sinus maka didapat panjang BR

3 2 2 3 3 6 sin = = = BR BR BP BR p

Jadi jarak titik B ke bidang AFC adalah 2 3 cm

d. Jarak Dua Garis Sejajar

Jika ada dua garis yang sejajar, maka jarak kedua garis

dengan menarik garis yang tegak lurus dengan kedua garis

tersebut. Seperti tampak pada gambar di samping, dimana

garisgdanhadalah dua garis yang sejajar, maka jarak kedua

garis tersebut adalah garisPR.

(7)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Contoh

Diketahui sebuah balokABCD.EFGH, dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm dan tinggi 3 cm,

tentukan jarak antara garisABdengan garisGH

Penyelesaian

Jadi jarak garisABke garisGHadalah panjang garisPR

5 3

45 3

62 2

2 2

= =

+ =

+ = PQ QR PR

Jadi jarak garis AB ke garis GH adalah 3 5cm

e. Jarak Antara Dua Garis yang Bersilang

Dua garis dikatakan saling bersilang jika kedua garis tersebut tidak sejajar dan terletak

pada dua bidang yang berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah

garisAHbersilangan dengan garisFC.

Untuk menentukan jarak kedua garis tersebut di atas lakukan langkah berikut :

a. Buatlah bidangαdan yang sejajar, dengan ketentuan garis AH pada bidang αdan garisFCpada bidang seperti pada gambar di bawah

A B

C D

E

H G

F

A

H F

C α D

E

B

G

A B

C D

E

H G

F α

P

Q

A B

C D

E

H G

F

8

6 3

P

Q

R

P Q

R

3

(8)

b. Carilah jarak antara dua bidangADHEdan bidangBCGF.Sehingga jarak antara garis

AHdanFCadalah garisPQ.

Jadi jarak garisgdan garishadalahPQ

Contoh

Suatu kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuknya a cm, tentukan jarak garisBD

denganFCadalah….

Penyelesaian

Jarak antaraBDdanFCadalahPR

2 2

4 2

2 2

) ( ) (

2

2 2

2 2

a a

a a

QR PQ

PR

= =

+ =

+ =

Jadi jarak antaraBDdanFCadalah 2 2

a

cm.

α

g’ h

g

P

Q

A B

C D

E F

G H

P

Q

R

2

a Q

R

P

2

(9)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd f. Jarak Garis ke bidang yang sejajar

Untuk mengukur jarak garis ke bidang yang sejajar, maka terlebih dahulu kita tentukan

titik sembarang pada garis kemudian kita tarik garis lurus dari titik tersebut ke bidang

sehingga garis yang terbentuk tegak lurus terhadapa bidang. Seperti tampak pada gambar

di bawah.

Jarak garisgke bidangαadalah garikPP’.

Contoh :

Suatu kubusABCD.EFGHdengan rusuk 4 cm, jarakAEdengan bidangBDHFadalah….

Penyelesaian

JarakAEke bidangBDHFadalah AC

2 1

PanjangACadalah 4 2, sehingga

(

)

2 2

2 4 2 1

= =

AE

Jadi jarakAEke bidangBDHFadalah 2 2

g. Jarak Bidang ke Bidang

untuk mengukur jarak dua bidang, pilihlah sembarang titik pada salah satu bidang

kemudian ditarik garik luruh dari titik yang telah ditentukan ke bidang lainya, sehingga

α g

P

P’

A B

C D

E F

G H

(10)

garis yang terbentuk tegak lurus terhadap kedua bidang. Seperti tampak pada gambar

berikut :

Jarak antara bidang danαadalah garisAB.

Contoh

Diketahui kubusABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2a cm, tentukan jarak antara AFH

danDBG.

Penyelesaian

Jarak bidangAFHdan bidangDBGadalah garisPQ

(

)

( )

6

2

2 2 2

(11)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

KarenaCE = EP + PQ + QC

MakaPQ = CE – EP – QC

CE adalah diagonal ruang maka panjang CE adalah 2a 3

3 3 2

3 3 2 3 3 2 3 2

a

a a

a PQ

=

− −

=

Sehingga jarak bidang AFH dan DBG adalah 3

3 2a

cm

C. Lembar Kerja 2

1. Diketahui limas segiempat beraturanT.ABCDdenganAB = 6 cm, danTA = 5 cm

a. Jarak T ke AB adalah…

Perhatikan gambar di atas

Buatlah garis tinggi limas yakni dengan menarik garis dari titik…. Ke titik…

Tentukan titik tengah garis AB adalah E

Perhatikan garis TP dengan segitiga ABT, kemudian tariklah garik dari titik T ke titik E,

sehingga terbentuk segitiga siku-siku …… dengan siku di titik……

Jarak titik T ke garis AB adalah garis……….

Panjang TP dapat kita tentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, pada segitiga TPB

(

)

(

)

... ...

... ... ...

.. ... ...2 2

= =

+ =

TP TP TP

Panjang antara titik P ke E adalah

(

...

)

2

1

.

A B

C T

D

(12)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com

Jarak titik T dengan garis AB dapat di tentukan yakni

(

)

(

)

... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 = = + = TP

b. jika dari limas di atas titik F adalah titik tengah AD, maka jarak titik F ke bidang TBC adalah..

Tentukan daluhu titik tengah garis BC adalah G

Panjang TF = ……….= TG

Buatlah segitiga TFG

Pada segitiga TFG buatlah garis tinggi dari F ke garis TG, titik potong garis tinggi dengan garis

TG di titik…..

Jarak titik F ke bidang TBC adalah………

Dengan menggunakan aturan kosinus maka di dapat nilai cos∠G

(

)

(

)(

)

... ... .. ... cos .. ... ... ... . ... ... cos cos .... ... ... ... .... ... . ... 2 = − + = − + = G G G TF

Dari nilai cos G tentukan nilai sinG

... ... ... ... sin ... ... ... ... ... ... ... .. ... cos = = − = − = = G nilai maka y y y G

Dengan menggunakan definisi sinus maka dapat ditentukan panjang garis tinggi

... ... ... ... ... .. ... . ... sin = = = FG G

Jadi jarak titik F ke bidang TBC adalah...

2. Sebuah kubusABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

C D

E F

(13)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

a. Jarak garis HD dan BC adalah..

Tentukan titik P adalah titik tengah garis HD, dan titik Q adalah titik tengah garis BC, maka

panjang garis DP = ……… dan panjang garis CQ = …………

Buatlah segitiga dari titik P, Q dan D, sehingga terbentuk segitiga siku-siku ………. Dengan

siku di titik ………..

Jarak antara garis HD dan BC adalah…………..

Dengan teorema Pythagoras maka panjang PQ dapat ditentukan

(

)

(

)

... ... ... ... .... ... .. ...

...2 2

= + = + = PQ

jadi jarak antara garis HD dan BC adalah ...

b. Pada kubus di atas jarak antara bidang BDE dan CFH adalah...

buatlah diagonal ruang AG

Tentukan titik tengah garis BD adalah R dan titik tengah garis FH adalah S

Buatlah garis tinggi pada bidang BDE dari titik E ke BD sehingga terbentuk dua segitiga

siku-siku yaitu segitiga …….. dan ……., begitu juga pada bidang CFH di buat garis tinggi

dari C ke FH sehingga terbentuk dua segitiga siku-siku, yakni segitida …….. dan…….

Tentukan titik potong diagonal ruang AG dengan ER adalah P dan titik potong AG dengan

CS adalah Q

Jarak antara bidang BDE dan CFH adalah……..

Dengan teorema Pythagoras maka kita tentukan panjang ER dan CS

(

)

(

)

.. ... .. ... ... . ... 2 2 = + = + = ER ER EA ER

Dengan menggunakan sinus maka kita dapat menentukan panjang

(14)

CE = CQ +pq+pe…… +…….

PQ = CE – ………… – ……

Jadi jarak antara bidang BDE dan CFH adalah...

D. Rangkuman 2

1. Jarak antara dua titik adalah jarak terpendek dari kedua titik tersebut.

2. Jarak antara dua titik pada bidang, untuk A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2) adalah

(

)

(

)

(

)

2

2 1 2 2 1 2 2

1 x y y z z

x

AB = − + − + −

E. Tugas 2

1. Pada kubusABCD.EFGHyang mempunyai panjang rusuk 5 cm, jarak antaraAGdan

BD adalah

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2. Diketahui kubusABCDEFGHmemiliki panjang rusuk 8 cm. Misalkan titik T terletak

diperpanjangan CG sehingga CG = GT. Tentukan jarak titik C terhadap bidang TBD

(15)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

3. Sebuah prisma segitiga sama kaki di bawah,ABE danCDFmerupakan segitiga sama

kaki. Jika AB = 8 cm, tinggi segitiga ABE = 3 cm dan panjang BC adalah 5 kali

panjang BE, tentukan jarak titik E ke C.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

A

B C

(16)

4. Sebuah kamar berbentuk balok seperti gambar di bawah. Sebuah lampu terletak

ditengah-tengah atap kamar, sedangkan saklarnya terletak di pojok dinding. Jika

panjang kamar adalah 12 m, lebarnya 8 m, sedangkan ketinggian saklar dari lantai

adalah 1,5 m. Apabila seutas kabel dipasang untuk menghubungkan lampu dan saklar

dengan arah dari A (lampu) kemudian ke B dan selanjutnya ke C (saklar), perkirakan

panjang kabel tersebut

...

...

...

...

...

...

...

...

...

F. Tes Formatif

1. Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk 8 cm, Kadalah titik tengah

rusukAB. Jarak titikKke garisHCadalah...

a. 4 6 cm d. 9 2 cm

b. 6 3cm e. 6 5 cm

c. 5 6 cm

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jika titik Q adalah

titik potong diagonal bidangABCD, jarakBkeQFadalah....

a. 2cm

2 3

d. 3 2 cm

A (lampu)
(17)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

b. 7 cm

2 3

e. 2 3cm

c. 3 6 cm

3. Limas segitiga T.ABC dengan panjang rusuk AB = 4 cm dan rusuk TA = 6 cm.

jarak titikAke garisTBadalah….

a. 2 3 cm d. 2 cm

3 4

b. 2 cm

3 7

e. 2 cm

3 5

c. 2 cm

3 8

4. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, jika titik K, L dan M

berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD danCG, jarak antara bidang AFH

danKLMadalah...

a. 2 3 cm d. 6 3 cm

b. 4 3 cm e. 7 2 cm

c. 5 3 cm

5. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk a, jarakAkeBHadalah...

a. 6

2

a

d. 6

5

a

b. 6

3

a

e. 6

6

a

c. 6

4

a

6. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk12 3 cm jarak titikHke bidang

EGDadalah...

a. 24 3 d. 12

b. 24 e. 8 3

(18)

7. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a, jika S merupakan proyeksi

titikCpada bidangAFH, jarak titikSkeAadalah…..

a. 3

3 1

a d. a 3

b. 6

3 1

a e. a 2

c. 6

3 2

a

8. PQRSadalah sebuah bidang empat beraturan yang panjang rusuknya 6 cm. jarak

titikQke bidangPRSadalah…

a. 2 3 d. 3 6

b. 2 6 e. 4 3

c. 3 3

9. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk 4 cm, jarakACdanDFadalah...

a. 2 2 d. 6

3 2

b. 2 3 e. 6

4 3

c. 6

3 1

10. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuka, jarakAHpadaBDadalah….

a. a 3 d. 2

2 1

a

b. a 2 e. 3

3 1

a

c. 3

2 1

a

11. Diketahui bidang empat beraturan D.ABC dengan rusuk 7 2 jarak D ke ABC

adalah…

a. 3

3 14

d. 6

(19)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

b. 7 3 e. 6

6 7

c. 6

3 7

12. Diketahui kubusABCD.EFGHdengan rusuk 6 cm. TitikPdanQmasing-masing

terletak pada pertengahan CG dan HG. Jarak titik D dengan bidang BPQE

adalah ….

a 2 3 d. 4,5

b 3

3 8

e. 3

3 16

c 4

13. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik E ke bidang AFH adalah

…cm.

a. 34 2

b. 38 2

c. 34 3

d. 38 3

e. 34 6

14. Diketahui limas segienam beraturanT.ABCDEF, AB= 4 cm danTA= 8 cm. JarakTke bidang alas = … cm.

a. 4 3 d. 4 5

b. 2 15 e. 6 3

c. 2 17

15. Diketahui kubus ABCD.EFGH, Ptitik tengah EG, Qtitik tengah AC, dan HQ = 6 2 cm. JarakPke bidangACHsama dengan….

a. 4 cm d. 4 3 cm

F E

H G

B C D

A

(20)

b. 2 6 cm e. 8 cm

c. 6 cm

16. Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm . M adalah titik tenganh HE

jarak titik M dengan garis AG adalah……..

a. 3 6 cm d. 3 2 cm

b. 3 5 cm e. 3 cm

c. 3 3 cm

17. Diketahui KubusABCD.EFGHdengan rusuk 4 cm. Jarak titik Hke bidangACF

adalah …cm.

a. 34 2 d. 83 3

b. 38 2 e. 6

3 4

c. 34 3

18. Diketahui prisma segiempat beraturanABCD.EFGH dengan panjang rusukAB = 3 2 cm danAE= 4 cm. JikaPtitik tengah bidang alasABCD, maka jarak titikCke garisPG

adalah … cm.

a. 203 d. 2

b. 13 3 e. 3

c. 21 2

19. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 6 cm. jarak titik T ke bidangABCadalah…

a. 2 6 cm d. 3 2 cm

b. 2 3 cm e. 3 cm

c. 3 3 cm

20. Limas segiempat beraturan T.ABCDmemiliki panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk

(21)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

a. 3 6 cm d. 2 2 cm

b. 2 3 cm e. 6 3 cm

Referensi

Dokumen terkait

<p><font color="#003300">Dengan adanya sistem informasi ini juga akan semakin meningkatkan <em>image </em>dari sekolah yang memakai

Jadi DBMS merupakan software (dan hardware) yang khusus didesain untuk melindungi dan memanage Database atau dapat diartikan sebagai suatu sistem inFormasi yang

- objek multimedia dalam server dapat digunakan oleh user - Sistem hybrid analog-digital dapat digunakan, tetapi biaya besar - Dengan jaringan digital dapat dikembangkan

Peneliti melakukan pengolahan data dan analisis data dalam bentuk statistika dan di analisis, untuk mengetahui adanya peningkatan atau penurunan yang dihasilkan

Muhammadiyah dengan berlandaskan pandangan filosofisnya mengenai pendidikan “mendidik anak-anak dan pemuda-pemuda supaya kelaknya menjadi orang Islam yang berarti” yang tertera dalam

Saya mendapatkan perhatian yang menyenangkan dari rekan sekerja ketika berhasil melakukan pekerjaan dengan baik..

Tanda hamzah atau tanda hambat glotal dalam ortografi bahasa Arab melambangkan bunyi hambat glotal tersebut, demikian juga dengan huruf vokal ganda di tengah-tengah kata seperti

Kemasan Acara Yang Ditawarkan Koleksi Lagu Kualitas Pemberitaan Request Time Kualitas Penyiar Citra Merek.. kualitas yang dapat menaikan citra terhadap perusahaan