Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Kegiatan Belajar 2
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat :
a. Menentukan jarak titik dan garis dalam ruang
b. Menentukan jarak titik dan bidang dalam ruang
c. Menentukan jarak antara dua garis dalam ruang
B. Uraian Materi 2
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
a. Jarak Titik ke Titik
Jarak antara dua titik adalah dengan menarik garis hubung terpendek antara kedua titik
tersebut, jadi jarak antara titikAdanBadalah panjang garisAB
Jika titik dalam koordinat cartesius maka jarak kedua titik adalah
Panjang AB=
(
a1−b1)
2 +(
a2−b2)
2 +(
a3−b3)
2•
B(b1, b2, b3)•
A (a1,a2,a3)•
BContoh :
1. Tentukan jarak antara titik P (2, 5, 6) dengan titik R (6, 8, 6)
Penyelesaian
Jarak PR=
(
2−6)
2 +(
5−8)
2 +(
6−6)
2(
)
(
)
( )
5 9 16
0 3
4 2 2 2
= + =
+ − + − =
PR PR PR
Jadi jarak titik P dan R adalah 5 satuan panjang
2. KubusABCDEFGHmemiliki panjang rusuk 6 cm, titik P merupakan perpotongan
diagonal bidang atas, hitunglah jarak titikPdanA
Penyelesaian
Untuk mencari panjang garisAPmaka perhatikan segitigaAEPyang terbentuk,
segitigaAEPadalah segitiga siku-siku, dengan siku-siku diE,
Sehingga dengan teorema pythagoras panjangAP adalah
(
)
6 3
54 2 3 36
2 1 6
2 2 2
2 2
= =
+ =
+ =
+ =
EG EP AE AP
Jadi jarak titikAke titikPadalah 3 6
A B
C D
E
F G H
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd b. Jarak titik ke Garis
Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis, jarak terdekat diperoleh
dengan menarik garis yang tegak lurus dengan garis yang dimaksud.
Jarak titik B dengan garis g adalah panjang garis BB’
Contoh :
1. KubusABCDEFGHmemiliki panjang rusuk 8 cm, titikPmerupakan perpotongan
diagonal bidang atas, hitunglah jarak titikPdengan garisAD
Penyelesaian
Jarak antara titikPdan garisADadalah garisPQ, sehingga
5 4
80 64 16
8
42 2
2 2
= =
+ =
+ =
+ = PR PQ PQ
Jadi jarak titikPKe garisADadalah 4 5 cm
2. Sebuah kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk 6 cm. tentukan jarak titikAke
garisCEadalah…
Penyelesaian
Jarak titikApada garisCEadalah garisAP
•
B•
B’ gA B
C D
E F
G H
•
P R•
Q
•
A B
C F
G
D E
H
6 cm
•
PE
P
A 62 C
3 6
6
R 4 P
(
) (
)
(
)(
)
3 6 cos
6 72
36 108 72 cos
cos 3 6 2 6 2 3 6 2 6
62 2 2
=
− + =
− +
=
C C
C
maka 3
3 1 sinC=
6 2
2 6 3
3 sin
= = =
AP AP
AC AP C
Jadi jarak titik A ke garis CE adalah 2 6
c. Jarak Titik dengan bidang
Untuk menentukan jarak sebuah titik pada suatu bidang, maka terlebih dahulu ditarik garis
lurus yang terdekat dari titik ke bidang, sehingga memotong bidang dan garis tersebut
harus tegak lurus dengan bidang.
Misalkan titik B terletak di luar bidangαmaka jarak titik B ke bidangαdapat ditentukan sebagai berikut :
•
Bα
•
B’Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Contoh :
1. Suatu limas segitiga beraturan, panjang rusuk tegaknya 8 cm dan panjang rusuk
alasnya 6 cm. Jarak titik D ke bidang ABC adalah….
Penyelesaian
Jarak titik D ke bidang ABC adalah panjang garis DE
Dengan aturan cosinus maka
(
) (
)
( )
(
)
( )
13 4 1 sin 3 4 1 cos 3 48 36 cos cos 48 64 27 55 cos 8 3 3 2 8 3 355 2 2 2
= = = − + = − + = C C C C C
Dengan definisi sinus maka
13 2 4 13 8 8 4 13 sin = = = = DE DE DE DC DE C
Jadi jarak titik D ke bidang ABC adalah 2 13
2. Tentukan jarak titik B ke bidang AFC, pada kubusABCDEFGH, jika panjang rusuk
kubus adalah 6 cm.
Penyelesaian
Jarak titik B ke bidang AFC adalah BR
(
) (
)
(
)(
)
6 3 1 sin 3 3 1 cos 3 36 36 72 cos cos 3 36 54 18 36 cos 6 3 2 3 2 54 2 362 2 2
= = − = − + = − + = p maka p p P P
Dengan definisi sinus maka didapat panjang BR
3 2 2 3 3 6 sin = = = BR BR BP BR p
Jadi jarak titik B ke bidang AFC adalah 2 3 cm
d. Jarak Dua Garis Sejajar
Jika ada dua garis yang sejajar, maka jarak kedua garis
dengan menarik garis yang tegak lurus dengan kedua garis
tersebut. Seperti tampak pada gambar di samping, dimana
garisgdanhadalah dua garis yang sejajar, maka jarak kedua
garis tersebut adalah garisPR.
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Contoh
Diketahui sebuah balokABCD.EFGH, dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm dan tinggi 3 cm,
tentukan jarak antara garisABdengan garisGH
Penyelesaian
Jadi jarak garisABke garisGHadalah panjang garisPR
5 3
45 3
62 2
2 2
= =
+ =
+ = PQ QR PR
Jadi jarak garis AB ke garis GH adalah 3 5cm
e. Jarak Antara Dua Garis yang Bersilang
Dua garis dikatakan saling bersilang jika kedua garis tersebut tidak sejajar dan terletak
pada dua bidang yang berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah
garisAHbersilangan dengan garisFC.
Untuk menentukan jarak kedua garis tersebut di atas lakukan langkah berikut :
a. Buatlah bidangαdan yang sejajar, dengan ketentuan garis AH pada bidang αdan garisFCpada bidang seperti pada gambar di bawah
A B
C D
E
H G
F
A
H F
C α D
E
B
G
A B
C D
E
H G
F α
•
P•
QA B
C D
E
H G
F
8
6 3
•
P•
Q•
RP Q
R
3
b. Carilah jarak antara dua bidangADHEdan bidangBCGF.Sehingga jarak antara garis
AHdanFCadalah garisPQ.
Jadi jarak garisgdan garishadalahPQ
Contoh
Suatu kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuknya a cm, tentukan jarak garisBD
denganFCadalah….
Penyelesaian
Jarak antaraBDdanFCadalahPR
2 2
4 2
2 2
) ( ) (
2
2 2
2 2
a a
a a
QR PQ
PR
= =
+ =
+ =
Jadi jarak antaraBDdanFCadalah 2 2
a
cm.
α
g’ h
g
•
P•
QA B
C D
E F
G H
•
P•
Q•
R2
a Q
R
P
2
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd f. Jarak Garis ke bidang yang sejajar
Untuk mengukur jarak garis ke bidang yang sejajar, maka terlebih dahulu kita tentukan
titik sembarang pada garis kemudian kita tarik garis lurus dari titik tersebut ke bidang
sehingga garis yang terbentuk tegak lurus terhadapa bidang. Seperti tampak pada gambar
di bawah.
Jarak garisgke bidangαadalah garikPP’.
Contoh :
Suatu kubusABCD.EFGHdengan rusuk 4 cm, jarakAEdengan bidangBDHFadalah….
Penyelesaian
JarakAEke bidangBDHFadalah AC
2 1
PanjangACadalah 4 2, sehingga
(
)
2 2
2 4 2 1
= =
AE
Jadi jarakAEke bidangBDHFadalah 2 2
g. Jarak Bidang ke Bidang
untuk mengukur jarak dua bidang, pilihlah sembarang titik pada salah satu bidang
kemudian ditarik garik luruh dari titik yang telah ditentukan ke bidang lainya, sehingga
α g
•
P•
P’A B
C D
E F
G H
garis yang terbentuk tegak lurus terhadap kedua bidang. Seperti tampak pada gambar
berikut :
Jarak antara bidang danαadalah garisAB.
Contoh
Diketahui kubusABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2a cm, tentukan jarak antara AFH
danDBG.
Penyelesaian
Jarak bidangAFHdan bidangDBGadalah garisPQ
(
)
( )
6
2
2 2 2
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
KarenaCE = EP + PQ + QC
MakaPQ = CE – EP – QC
CE adalah diagonal ruang maka panjang CE adalah 2a 3
3 3 2
3 3 2 3 3 2 3 2
a
a a
a PQ
=
− −
=
Sehingga jarak bidang AFH dan DBG adalah 3
3 2a
cm
C. Lembar Kerja 2
1. Diketahui limas segiempat beraturanT.ABCDdenganAB = 6 cm, danTA = 5 cm
a. Jarak T ke AB adalah…
Perhatikan gambar di atas
Buatlah garis tinggi limas yakni dengan menarik garis dari titik…. Ke titik…
Tentukan titik tengah garis AB adalah E
Perhatikan garis TP dengan segitiga ABT, kemudian tariklah garik dari titik T ke titik E,
sehingga terbentuk segitiga siku-siku …… dengan siku di titik……
Jarak titik T ke garis AB adalah garis……….
Panjang TP dapat kita tentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, pada segitiga TPB
(
)
(
)
... ...
... ... ...
.. ... ...2 2
= =
+ =
TP TP TP
Panjang antara titik P ke E adalah
(
...)
21
.
A B
C T
D
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Jarak titik T dengan garis AB dapat di tentukan yakni
(
)
(
)
... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 = = + = TPb. jika dari limas di atas titik F adalah titik tengah AD, maka jarak titik F ke bidang TBC adalah..
Tentukan daluhu titik tengah garis BC adalah G
Panjang TF = ……….= TG
Buatlah segitiga TFG
Pada segitiga TFG buatlah garis tinggi dari F ke garis TG, titik potong garis tinggi dengan garis
TG di titik…..
Jarak titik F ke bidang TBC adalah………
Dengan menggunakan aturan kosinus maka di dapat nilai cos∠G
(
)
(
)(
)
... ... .. ... cos .. ... ... ... . ... ... cos cos .... ... ... ... .... ... . ... 2 = − + = − + = G G G TFDari nilai cos G tentukan nilai sinG
... ... ... ... sin ... ... ... ... ... ... ... .. ... cos = = − = − = = G nilai maka y y y G
Dengan menggunakan definisi sinus maka dapat ditentukan panjang garis tinggi
... ... ... ... ... .. ... . ... sin = = = FG G
Jadi jarak titik F ke bidang TBC adalah...
2. Sebuah kubusABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
C D
E F
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
a. Jarak garis HD dan BC adalah..
Tentukan titik P adalah titik tengah garis HD, dan titik Q adalah titik tengah garis BC, maka
panjang garis DP = ……… dan panjang garis CQ = …………
Buatlah segitiga dari titik P, Q dan D, sehingga terbentuk segitiga siku-siku ………. Dengan
siku di titik ………..
Jarak antara garis HD dan BC adalah…………..
Dengan teorema Pythagoras maka panjang PQ dapat ditentukan
(
)
(
)
... ... ... ... .... ... .. ......2 2
= + = + = PQ
jadi jarak antara garis HD dan BC adalah ...
b. Pada kubus di atas jarak antara bidang BDE dan CFH adalah...
buatlah diagonal ruang AG
Tentukan titik tengah garis BD adalah R dan titik tengah garis FH adalah S
Buatlah garis tinggi pada bidang BDE dari titik E ke BD sehingga terbentuk dua segitiga
siku-siku yaitu segitiga …….. dan ……., begitu juga pada bidang CFH di buat garis tinggi
dari C ke FH sehingga terbentuk dua segitiga siku-siku, yakni segitida …….. dan…….
Tentukan titik potong diagonal ruang AG dengan ER adalah P dan titik potong AG dengan
CS adalah Q
Jarak antara bidang BDE dan CFH adalah……..
Dengan teorema Pythagoras maka kita tentukan panjang ER dan CS
(
)
(
)
.. ... .. ... ... . ... 2 2 = + = + = ER ER EA ERDengan menggunakan sinus maka kita dapat menentukan panjang
CE = CQ +pq+pe…… +…….
PQ = CE – ………… – ……
Jadi jarak antara bidang BDE dan CFH adalah...
D. Rangkuman 2
1. Jarak antara dua titik adalah jarak terpendek dari kedua titik tersebut.
2. Jarak antara dua titik pada bidang, untuk A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2) adalah
(
)
(
)
(
)
22 1 2 2 1 2 2
1 x y y z z
x
AB = − + − + −
E. Tugas 2
1. Pada kubusABCD.EFGHyang mempunyai panjang rusuk 5 cm, jarak antaraAGdan
BD adalah
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. Diketahui kubusABCDEFGHmemiliki panjang rusuk 8 cm. Misalkan titik T terletak
diperpanjangan CG sehingga CG = GT. Tentukan jarak titik C terhadap bidang TBD
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Sebuah prisma segitiga sama kaki di bawah,ABE danCDFmerupakan segitiga sama
kaki. Jika AB = 8 cm, tinggi segitiga ABE = 3 cm dan panjang BC adalah 5 kali
panjang BE, tentukan jarak titik E ke C.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
A
B C
4. Sebuah kamar berbentuk balok seperti gambar di bawah. Sebuah lampu terletak
ditengah-tengah atap kamar, sedangkan saklarnya terletak di pojok dinding. Jika
panjang kamar adalah 12 m, lebarnya 8 m, sedangkan ketinggian saklar dari lantai
adalah 1,5 m. Apabila seutas kabel dipasang untuk menghubungkan lampu dan saklar
dengan arah dari A (lampu) kemudian ke B dan selanjutnya ke C (saklar), perkirakan
panjang kabel tersebut
...
...
...
...
...
...
...
...
...
F. Tes Formatif
1. Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk 8 cm, Kadalah titik tengah
rusukAB. Jarak titikKke garisHCadalah...
a. 4 6 cm d. 9 2 cm
b. 6 3cm e. 6 5 cm
c. 5 6 cm
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jika titik Q adalah
titik potong diagonal bidangABCD, jarakBkeQFadalah....
a. 2cm
2 3
d. 3 2 cm
•
A (lampu)Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
b. 7 cm
2 3
e. 2 3cm
c. 3 6 cm
3. Limas segitiga T.ABC dengan panjang rusuk AB = 4 cm dan rusuk TA = 6 cm.
jarak titikAke garisTBadalah….
a. 2 3 cm d. 2 cm
3 4
b. 2 cm
3 7
e. 2 cm
3 5
c. 2 cm
3 8
4. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, jika titik K, L dan M
berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD danCG, jarak antara bidang AFH
danKLMadalah...
a. 2 3 cm d. 6 3 cm
b. 4 3 cm e. 7 2 cm
c. 5 3 cm
5. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk a, jarakAkeBHadalah...
a. 6
2
a
d. 6
5
a
b. 6
3
a
e. 6
6
a
c. 6
4
a
6. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk12 3 cm jarak titikHke bidang
EGDadalah...
a. 24 3 d. 12
b. 24 e. 8 3
7. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a, jika S merupakan proyeksi
titikCpada bidangAFH, jarak titikSkeAadalah…..
a. 3
3 1
a d. a 3
b. 6
3 1
a e. a 2
c. 6
3 2
a
8. PQRSadalah sebuah bidang empat beraturan yang panjang rusuknya 6 cm. jarak
titikQke bidangPRSadalah…
a. 2 3 d. 3 6
b. 2 6 e. 4 3
c. 3 3
9. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuk 4 cm, jarakACdanDFadalah...
a. 2 2 d. 6
3 2
b. 2 3 e. 6
4 3
c. 6
3 1
10. Pada kubusABCD.EFGHdengan panjang rusuka, jarakAHpadaBDadalah….
a. a 3 d. 2
2 1
a
b. a 2 e. 3
3 1
a
c. 3
2 1
a
11. Diketahui bidang empat beraturan D.ABC dengan rusuk 7 2 jarak D ke ABC
adalah…
a. 3
3 14
d. 6
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
b. 7 3 e. 6
6 7
c. 6
3 7
12. Diketahui kubusABCD.EFGHdengan rusuk 6 cm. TitikPdanQmasing-masing
terletak pada pertengahan CG dan HG. Jarak titik D dengan bidang BPQE
adalah ….
a 2 3 d. 4,5
b 3
3 8
e. 3
3 16
c 4
13. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik E ke bidang AFH adalah
…cm.
a. 34 2
b. 38 2
c. 34 3
d. 38 3
e. 34 6
14. Diketahui limas segienam beraturanT.ABCDEF, AB= 4 cm danTA= 8 cm. JarakTke bidang alas = … cm.
a. 4 3 d. 4 5
b. 2 15 e. 6 3
c. 2 17
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH, Ptitik tengah EG, Qtitik tengah AC, dan HQ = 6 2 cm. JarakPke bidangACHsama dengan….
a. 4 cm d. 4 3 cm
F E
H G
B C D
A
b. 2 6 cm e. 8 cm
c. 6 cm
16. Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm . M adalah titik tenganh HE
jarak titik M dengan garis AG adalah……..
a. 3 6 cm d. 3 2 cm
b. 3 5 cm e. 3 cm
c. 3 3 cm
17. Diketahui KubusABCD.EFGHdengan rusuk 4 cm. Jarak titik Hke bidangACF
adalah …cm.
a. 34 2 d. 83 3
b. 38 2 e. 6
3 4
c. 34 3
18. Diketahui prisma segiempat beraturanABCD.EFGH dengan panjang rusukAB = 3 2 cm danAE= 4 cm. JikaPtitik tengah bidang alasABCD, maka jarak titikCke garisPG
adalah … cm.
a. 203 d. 2
b. 13 3 e. 3
c. 21 2
19. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 6 cm. jarak titik T ke bidangABCadalah…
a. 2 6 cm d. 3 2 cm
b. 2 3 cm e. 3 cm
c. 3 3 cm
20. Limas segiempat beraturan T.ABCDmemiliki panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
a. 3 6 cm d. 2 2 cm
b. 2 3 cm e. 6 3 cm