Analisis Vektor dan Fasor

24 

Teks penuh

(1)

EE

EE

2823

2823

ELEKTROMAGNETIKA I

ELEKTROMAGNETIKA I

Analisis Vektor dan

Fasor

Modul #02

Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi

Jurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Bandung – 2006

Outline

„

Pendahuluan

„

Aljabar Skalar

„

Aljabar Vektor

„

Sistem Koordinat

„

Transformasi Koordinat

„

Jarak Antara 2 Titik

„

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

(2)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

3

A. Berbagai Terminologi

Vektor

Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam

magnitudo (besar) dan arah

Contoh

: medan, gaya, kecepatan mobil , angin

percepatan, dsb

Skalar

Besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dalam

magnitudo (besar) saja

Contoh

: temperatur, massa, kelembaban, massa,

panjang, berat jenis, resistivitas, dsb

Keterampilan dalam

me mbaca vektor dan fasor

sangat diperlukan dalam

elektromagnetika. Analisa vektor adalah tool matematika yang sangat penting

dikuasai dalam kuliah ini. Hal ini disebabkan besaran-besaran dalam Medan

Elektromagnetik terutama adalah besaran-besaran vektor.

Definisi vektor dan skalar,

Berbagai Terminologi

Medan

Medan secara definitif berarti

daerah pengaruh

.

Secara lebih luas, medan kemudian menjadi besaran fisis dan merupakan

daerah pengaruh besaran fisis.

Dilihat dari penyebabnya, vektor atau skalar, maka medan dibagi menjadi 2

( dua ), yaitu :

ƒ

Medan skalar, daerah pengaruh besaran skalar

ƒ

Medan vektor, daerah pengaruh besaran vektor

Notasi

Vektor

A

r

atau

A

Fasor

A

pengganti, A cos(wt+

A

θ

θ

)

atau,

A

e

j(ωt+θ)

(3)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

5

B. Aljabar Skalar

Skalar ada 2 macam :

a.

Skalar biasa,

Dinyatakan dengan bilangan riil

b.

Skalar kompleks, atau FASOR

Memerlukan 2 angka riil sebagai bagian riil dan khayal. Biasa juga

dinyatakan dalam amplituda dan sudut .

Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal

.

¾

Bentuk skalar kompleks

Ada 2 macam bentuk

:

ƒ

Bentuk

rectangular

ƒ

Bentuk

polar

jb

a

A

A

=

=

+

dimana,

1

j

=

)

(

j

A

A

e

A

A

A

=

φ

=

φ

Aljabar Skalar

Misal diketahui

dalam

,

ƒ

Rectangular

ƒ

Polar

jb

a

A

=

+

dan

B

=

c

+

jd

A

j A

A

e

A

A

=

φ

=

φ

dan

j B

B

B

e

B

B

=

φ

=

φ

ƒ

Penjumlahan dan

pengurangan

Rectangular,

A + B = (a + jb) + (c + jd) = (a+c) + j(b+d)

A - B = (a + jb) - (c + jd) = (a-c) + j(b-d)

Polar

Ubah dulu ke bentuk rectangular

, operasikan spt diatas

,

kembalikan lagi ke bentuk polar

ƒ

Pangkat dan akar

pangkat

Polar

A

jn A

n n

e

A

n

A

A

=

φ

=

φ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ φ

=

⎛φ

=

n A n j n

n

A

e

A

n

A

A

Rectangular

Lebih baik diubah dalam bentuk polar dulu

(4)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

7

ƒ

Perka lian

ƒ

Pem bagi an

Rectangula r

Ubah dulu kebentuk polar,

operasikan spt di bawah

,

kembal ikan lagi kebentuk rectangular

Polar

B A j j

B

A

.

B

A

e

.

B

e

A

AB

=

φ

φ

=

φ φ

) ( j B

A

)

A

B

e

A B

(

B

A

φ

+

φ

=

φ +φ

=

B A j j

B A

e

B

e

A

B

.

A

B

A

φ φ

=

φ

φ

=

A B j( ) B A

e

B

A

)

(

B

A

φ φ

=

φ

φ

=

¾

Identitas Euler

3

2

1

3

2

1

ajiner Im al

Re jm

)

m

sin(

j

)

m

cos(

e

±

=

±

¾

Integrasi dan diferensiasi fungsi sinusoidal

(...)

j

dt

(...)

d

=

ω

(...)

j

1

dt

(...)

ω

=

dan

Aljabar Skalar

[ ]

cos(

)

Re

e

±jm

=

m

[ ]

sin(

)

Im

e

±jm

=

±

m

C. Aljabar Vektor

Aljabar vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan pada

besaran vektor. Dalam hal ini perlu diketahui kaidah-kaidah yang

berlaku dalam aljabar vektor.

¾

Vektor Satuan

¾

Notasi Vektor Dalam Koordinat

w w v v u

u

D

D

D

D

r

=

+

+

dimana,

w v

u

a

dan

a

a

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

adalah vektor satuan masing

masing sumbu koordinat

Misal :

¾

Representasi Vektor (anah panah)

• Panjang anak panah mewakili magnitudo vektor

• Arah anak panah mewakili arah vektor

A

a

A

A

r

=

r

ˆ

maka,

(5)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

9

Aljabar Vektor

¾

Operasi vektor

Sifat-sifat yang dimiliki penjumlahan vektor adalah :

a. Memenuhi Hukum Komutatif

A

B

B

A

r

r

r

r

+

=

+

A

B

A

(

B

)

(

B

)

A

r

r

r

r

r

r

+

=

+

=

b. Memenuhi Hukum Asosiatif

A

(

B

C

)

(

A

B

)

C

r

r

r

r

r

r

+

+

=

+

+

Penjumlahan vektor berarti penjumlahan komponen-komponen vektor

Br

Ar A B

r r

+

Ar

B r

B Ar+r

Tanda minus (-) pada vektor berarti

besarnya sama, arah berlawanan

Penjumlahan vektor

w w v v u

u

A

A

A

A

=

+

+

r

jika

, maka

2 w 2 v 2 u A

A

A

A

A

A

A

+

+

=

=

r

r

r

Lanjutan….(vektor satuan).

Aljabar Vektor

Perkalian Dengan Skalar

(

)

z z y

y x

x

z z y

y x

x

mA

mA

mA

A

A

A

m

A

m

+

+

=

+

+

=

r

A

r

(6)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

1 1

Aljabar Vektor

Scalar product

α

cos

B

A

B

A

r

r

=

r

r

a. Memenuhi hukum komutatif

A

B

B

A

r

r

=

r

r

b. Memenuhi hukum distribusi

)

C

A

(

)

B

A

(

)

C

B

(

A

r

r

+

r

=

r

r

+

r

r

α

B

r

A

r

α

cos

B

r

α

B

r

A

r

α

cos

A

r

Vector (cross) product of two vectors

c c

A

B

sin

C

B

A

r

×

r

=

=

r

r

α

Dengan,

Adalah vektor satuan berarah

sesuai vektor C, dan tegaklurus

terhadap vektor A dan vektor B

c

α

B

r

A

r

C

r

Arah vektor C

sesuai dengan arah

sekrup yang

diputar dari vektor

A ke vektor B

Aljabar Vektor

Vector (cross) product of two vectors (lanjutan…)

w w v v u

u

A

A

A

A

r

=

+

+

dan

B

r

=

B

u

u

+

B

v

v

+

B

w

w

Jika

Maka,

u

v

w

u

v

u

A

A

v

A

w

A

u

A

v

u

B

B

v

B

w

B

u

B

v

=

×

=

A

B

C

r

r

r

+

+

+

-w u v v u v

w u u w u

v w w

v

B

A

B

)

(

A

B

A

B

)

(

A

B

A

B

)

A

(

C

r

=

+

+

Pada cross product tidak berlaku hukum komutatif, jika :

C

B

A

r

r

r

=

(7)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

1 3

Aljabar Vektor

Hubungan yang sering digunakan dalam manipulasi ...

( ) ( )

b

c

c

a

b

b

(

c

a

)

¾

Berbagai Identitas Vektor

Aljabar Vektor

(8)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

1 5

D. Sistem Koordinat

¾

Posisi titik P dalam suatu sistem koordinat 3 dimensi

dinyatakan sebagai :

P(u, v, w)

¾

Notasi vektor D dalam koordinat 3 dimensi dinyatakan :

w w v v u

u

a

D

a

D

a

D

D

r

=

ˆ

+

ˆ

+

ˆ

¾

3 macam sistem koordinat yang diperkenalkan :

• Koordinat Kartesian

• Koordinat Tabung ( Silindris )

• Koordinat Bola ( Spheris )

x

y

z

a

x

a

y

a

z

x

y

z

P

φ

1

ρ

1

z

1

a

z

a

φ

a

ρ

x

y

z

P

a

φ

a

r

a

θ

θ

φ

r

x

y

z

a

x

a

y

a

z

x

y

z

P

φ

1

ρ

1

z

1

a

z

a

φ

a

ρ

x

y

z

P

a

φ

a

r

a

θ

θ

φ

r

Sistem Koordinat

(9)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

1 7

Sistem Koordinat

Variabel

Faktor skala

Sistem koordinat

u

v

w

h

u

h

v

h

w

Kartesian

x

y

z

1

1

1

Silindris

ρ

φ

z

1

ρ

1

Spheris

r

θ

φ

1

r

r sin

θ

Panjang sisi volume diferensial

dL

u

=

h

u

d

u

;

dL

v

=

h

v

d

v

;

dL

w

=

h

w

d

w

Vektor lintasan diferensial

d

L

r

=

h

u

d

u

u

+

h

v

d

v

v

+

h

w

d

w

w

;

Luas sisi diferensial

dS

uv

=

h

u

h

v

d

u

d

v

;

dS

vw

=

h

v

h

w

d

v

d

w

;

dS

uw

=

h

u

h

w

d

u

d

w

Vektor normal luas diferensial

d

S

r

uv

=

dS

uv

w

;

d

S

r

vw

=

dS

vw

u

;

d

S

r

uw

=

dS

uw

v

Volume diferensial

dV

=

h

u

h

v

h

w

d

u

d

v

d

w

Sistem Koordinat

Gradien dari skalar G

Divergensi dari suatu vektor D

(

)

(

)

(

)

Laplacian dari suatu skalar G

Kurl (pusaran) dari vektor D

(10)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

1 9

Sistem Koordinat

Representasi elemen volume dalam gambar

dxdy

dxdz

x

y

z

a

x

a

y

a

z

dydz

x

y

z

φ φ+dφ

z

z+dz

ρ ρ+dρ

dρ

ρdφ dz

x

y

z

θ

φ

r

φ

+d

φ

θ

+d

θ

r+dr

dr

r sin

θ

d

φ

r d

θ

E. Transformasi Koordinat

¾

Koordinat Silindris

←→

Koordinat Kartesian

Transformasi Variabel

)

z

,

y

,

x

(

A

r

A

r

(

ρ

,

φ

,

z

)

Silindris

Kartesian

Kartesian

Silindris

φ

ρ

=

cos

x

2 2

y

x

+

=

ρ

φ

ρ

=

sin

y

=

φ

x

y

tan

1

z = z

z = z

Dot Product Vektor Satuan

ρ

φ

z

x

cos

φ

sin

φ

0

y

sin

φ

cos

φ

0

Tabel 1

(11)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

2 1

Transformasi Koordinat

Langkah 1,

Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

z

Ubah variabel !! Lihat tabel 1

Transformasi Koordinat

Koordinat Silindris

←→

Koordinat Kartesian...

Lihat bahwa komponen

vektor tergantung pada

posisi angular

φ

!

Lihat bahwa komponen

vektor tergantung pada

posisi angular

φ

!

(12)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

2 3

¾

Koordinat Spheris

←→

Koordinat Kartesian

Transformasi Koordinat

Transformasi Variabel

)

Dot Product Vektor Satuan

a

ˆ

r

a

ˆ

θ

φ

Tabel 1

Tabel 2

Transformasi Vektor

A

r

(

x

,

y

,

z

)

A

r

(

r

,

θ

,

φ

)

Transformasi Koordinat

Langkah 1,

Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

φ

Langkah 2,

Ubah variabel !! Lihat tabel 1

(13)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

2 5

Transformasi Koordinat

Koordinat Spheris

←→

Koordinat Kartesian...

θ

Mencari A

r

φ

Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :

φ

proyeksikan vektor satuan

a

r

pada bidang

x-y

, lalu proyeksikan

sekali lagi pada vektor satuan

a

x

(atau sumbu-x)

r

φ

Dapatkan pengertian bahwa

notasi dot adalah proyeksi !!!

Dapatkan pengertian bahwa

notasi dot adalah proyeksi !!!

F. Jarak Antara Dua Titik

Jarak antara 2 titik P dan Q

(14)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

2 7

G. Integrasi dan Diferensiasi Vektor

¾

Integral Garis

a

b

i

l

countour

c

A(l

i

)

• Konsep mengenai integral garis dapat dilihat kembali pada

kuliah

Matematika Teknik

atau

Kalkulus

Untuk Skalar,

=

∞ →→

=

N

1 i

i i N

0 l b

a

l

)

l

(

A

lim

dl

)

l

(

A

i

Pada kurva /

countor c

pada gambar di

samping, kurva dipotong-potong

dalam sejumlah N elemen panjang

l

i

Dapat dibayangkan bahwa integrasi

disamping berarti adalah luas daerah di

bawah contour c

a

b

c

i

l

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

Untuk Vektor,

= ∞ →→

=

=

dl

lim

l

ab

N

1 i

i N

0 l b

a i

• Integral garis komponen vektor

tangensial

terhadap countour

C

dl

)

z

,

y

,

x

(

t

)

z

,

y

,

x

(

(15)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

2 9

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

Integral garis sering dijumpai

dalam persoalan

elektromagnetika.

Sebagai contoh :

Energi medan didefinisikan

sebagai integral garis dari

gaya-gaya yang diderita

sepanjang countour

=

θ

=

b

a

b

a

dl

cos

F

l

d

F

W

r

r

l

d

r

adalah vektor garis singgung terhadap countour

l

d

r

Baik

dan

tergantung pada

posisi-nya

l

d

r

F

r

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

¾

Integral Luas

Untuk skalar,

z

2

z

1

y

1

y

2

x

z

y

S

∫ ∫

=

∫∫

=

=

∆ ∆

2

1 2

1

y

y z

z S y z

dz

dy

dydz

dS

S

Luas

Untuk Vektor,

Komponen vektor yang menembus suatu

permukaan/ bidang (fluks) dapat

dinyatakan :

α

=

=

F

S

F

S

cos

fluks

r

r

r

Total fluks yang menembus suatu bidang dapat dinyatakan :

=

S

S

d

F

total

fluks

r

r

Ingat, selalu

tegaklurus

terhadap permukaan dS !!

(16)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

3 1

H. Gradien, Divergensi, dan Curl

¾

Gradien

Gradien dari suatu medan skalar adalah suatu vektor yang

magnitudonya menunjukkan perubahan maksimum medan dan

arahnya menunjukkan

arah dari

peningkatan tercepat

medan

skalar tersebut

Sumber

Api

A

r

B

r

X

Ilustrasi ...

Suhu adalah medan skalar = f (jarak thd sumber)

Jika terukur suhu pada suatu titik X, maka

gradien terhadap suhu di X adalah vektor

A

,

dan bukan vektor

B

Gradien ....

• Jika

φ

adalah suatu fungsi skalar, maka didefinisikan :

φ

=

φ

=

φ

Grad

r

Gradien

x y

z

z

y

x

+

+

=

r

operator Del

sehingga,

z y

x

z

y

x

φ

+

φ

+

φ

=

φ

r

( untuk koordinat kartesian )

dimana,

• Dalam medan elektromagnetika, fungsi skalarnya biasanya adalah

potensial listrik ( V ).

Jika

φ

diganti V, maka :

E

V

r

r

=

( untuk medan statis )

atau ,

E

r

=

r

V

ilustrasi….

arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor

yang berarah menuju potensial yang lebih besar (

arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor

yang berarah menuju potensial yang lebih besar (

Gradien, Divergensi, dan Curl

(17)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

3 3

Gradien, Divergensi, dan Curl

+

Arah gradien terhadap potensial

menghasilkan vektor yang

berarah menuju kearah potensial

yang lebih besar

menuju

kearah sumber itu sendiri

Jika sumber itu adalah API, maka

gradien terhadap SUHU akan mengarah

kepada suhu yang lebih besar, yaitu api

itu sendiri.

x

y

z

Jika misalkan suhu berubah terhadap x,

maka komponen gradien terhadap x

ada, …..dst.

Lihat gambar di samping !

Gradien, Divergensi, dan Curl

[

]

Contoh :

3

Misalkan,

maka,

Jadi, jika x, y, z, diketahui pada suatu titik tertentu, maka medan

listrik E dapat langsung diketahui

(18)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

3 5

Untuk mengestimasi dan meng-kuantisasi medan-medan vektor,

sering dengan cara mengukur / kuantisasi aliran medan vektor

tersebut ( atau netto aliran masuk dan keluar ).

Flux

: adalah netto aliran yang menembus permukaan dengan

arah normal terhadap permukaan

¾

Divergensi

Gradien, Divergensi, dan Curl

∫∫

=

∫∫

θ

=

Ψ

S S

dS

cos

F

S

d

F

r

r

dS

S

d

r

=

Vektor dS selalu tegaklurus

terhadap elemen permukaan

dS

Gradien, Divergensi, dan Curl

Sehingga,

Jumlah fluks total yang menembus suatu permukaan tertutup

pasti adalah sama dengan sumber medan yang dilingkupi

oleh permukaan tertutup tersebut

∫∫

=

Ψ

S

S

d

F

r

r

Ilustrasi ...

(19)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

3 7

Gradien, Divergensi, dan Curl

Definisi divergensi

Divergensi mengamati unsur volume tertentu yang sangat kecil,

mengamati apakah ada

‘sumber’

atau tidak di dalam volume

tersebut

Definisi dan Simbol

V

S

d

D

lim

S

0

V

→ ∆

r

r

D

r

r

simbol

x

y

z

Pada Koordinat Kartesian,

[

]

z

D

y

D

x

D

D

D

D

z

y

x

D

z y

x

z z y y x x z

y x

+

+

=

+

+

φ

+

+

=

r

r

Skalar Product !!

Tugas : Silakan cari rumus divergensi untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!

Hasil operasi divergensi

adalah SKALAR, karena

Dot Product

• Jika misalkan medan vektor yang diamati adalah

D

r

, maka :

Jumlah vektor keluar > jumlah vektor masuk

Artinya : Di dalam ruang

ada sumber

Jumlah vektor keluar < jumlah vektor masuk

Artinya :

Ada kekosongan

dalam volume dan

bersifat menyerap, contoh :

Black Hole

Jumlah vektor keluar = jumlah vektor masuk

Hasil divergensi (+)

Hasil divergensi (-)

Hasil divergensi = 0

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Sumbe r

Kekosongan

(20)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

3 9

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Bentuk persamaan diatas,

diturunkan secara langsung dari

definisi operator divergensi

V

S

d

F

lim

S

0

V

→ ∆

r

r

F

r

r

=

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Divergensi rapat

fluks listrik, D,

terhadap suatu

volume, maka akan

diketahui

sumbe r

muatan

didalam

volume itu

v

D

=

ρ

r

r

=

(21)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

4 1

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Sekarang,

....bandingkan ekspresi berikut !

V

S

d

D

lim

S

0

V

→ ∆

r

r

D

r

r

dilambangkan sebagai

=

ρ

v

=

ρ

v

S

S

d

D

r

r

= Q

Rapat fluks listrik yang

me nembus permukaan tertutup

adalah sama dengan total muatan

yang dilingkupi permukaan itu

sendiri

Æ

disebut

Hk Gauss

Kesimpulan...

Adanya suatu muatan / distribusi muatan akan menyebabkan

adanya rapat fluks listrik

D

, dan menimbulkan suatu daerah yang

terpengaruh karena adanya muatan listrik tersebut,

E

.

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Penurunan Teorema Divergensi ….

=

S

Q

S

d

D

r

r

: Rapat muatan yang menembus permukaan

tertutup adalah total muatan itu sendiri

(1)

Q

dv

v

v

=

ρ

: Integrasi rapat muatan volume dalam volume

tertentu adalah muatan didalam volume itu

(2)

Q

dv

)

D

(

v

=

r

r

: Integrasi rapat muatan volume dalam volume

tertentu adalah muatan didalam volume itu

(3)

v

D

=

ρ

r

r

dengan substitusi

maka,

dengan mempersamakan persamaan (1) dan (3) didapat

Teorema

Divergensi,

( )

=

=

S

v

Q

dv

D

S

d

(22)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

4 3

Gradien, Divergensi, dan Curl

Contoh

Aliran Penyelesaian Kasus Dalam Medan Statis...

V

E

r

=

r

(1)

Jika V(x,y,z) diketahui, maka medan listrik (E) didapat….

E

D

r

=

ε

r

(2)

Jika medan listrik (E) didapat, maka rapat fluks (D) bisa dicari

…..

ε

= konstanta permitivitas bahan

D

v

r

r

=

ρ

(3)

Kemudian rapat muatan volume didapatkan….

ρ

=

dv

Q

v

(4)

Muatan dalam volume tertentu didapatkan ….

V

Q

C

=

(5)

Akhirnya ….kita dapatkan kapasitansinya….

Gradien, Divergensi, dan Curl

¾

Curl / Pusaran

Curl adalah integral garis yang membatasi luas yang sangat kecil

Definisi dan Simbol

S

L

d

H

lim

L

0

S

→ ∆

r

r

H

r

r

×

simbol

• Curl adalah

Cross Product,

sehingga hasilnya adalah

Vektor

dS

J

r

H

r

dL

H

r

H

r

H

r

Curl digunakan untuk mengetahui medan

vektor menembus permukaan diferensial

yang sangat kecil, yang menyebabkan

pusaran medan lain

(23)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

4 5

Pada Koordinat Kartesian,

[

]

z x y

y z x

x y z

z y x

z y x

z z y y x x z

y x

y

H

x

H

x

H

z

H

z

H

y

H

H

H

H

x

x

x

H

H

H

z

y

x

H

+

⎥⎦

⎢⎣

+

=

=

+

+

×

φ

+

+

=

×

r

r

Vector Product !!

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

Rumus umum untuk pusaran ...

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

(24)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

4 7

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

Penurunan

Teorema Stokes ….

=

S

I

L

d

H

r

r

(1)

=

S

I

S

d

J

r

r

(2)

J

H

r

r

r

=

×

dari persamaan (1) dan (2), dan dari definisi :

maka didapat

Teorema Stokes,

Bandingkan dengan

Teorema Divergensi,

( )

=

=

S v

Q

dv

D

S

d

D

r

r

r

r

( )

=

×

L S

S

d

H

L

d

H

r

r

r

r

r

Figur

Tabel 1Silindris ⇒ Kartesianx= cosρ
Tabel 1Silindris Kartesianx cos . View in document p.10
Tabel 2•aˆρ
Tabel 2 a . View in document p.10
A(x,Tabel 1r≥
A x Tabel 1r . View in document p.12
•  aˆ  raˆ  Tabel 2θaˆφ
Tabel 2 a . View in document p.12

Referensi

Memperbarui...

Related subjects : Analisis Vektor