OPERATIONS RESEARCH. Industrial Engineering

OPERATIONS RESEARCH

Industrial Engineering

TRANSPORTASI

METODE ANALISA TRANSPORTASI PROGRAMA LINEAR

Metode transportasi programa linear merupakan metode yang cukup sederhana dalam memecahkan permasalahan alokasi. Metode ini mempresentatifkan

permasalahan ke dalam bentuk tabel yang terdiri dari beberapa parameter/variabel perhitungan:

Sumber (Source)

• Sumber disini ditunjukkan dengan kapasitas supply dari masing-masing sumber tersebut untuk periode waktu tertentu. Sumber ditunjukkan dengan notasi F_i. Dan kapasitas sumber dinotasikan dengan S_i.

Tujuan alokasi (Destination)

• Tujuan alokasi menunjukkan lokasi dimana supply akan didistribusikan. Tujuan alokasi dinotasikan sebagai A_j dengan jumlah permintaan dari masing-masing tujuan alokasi dinotasikan dengan D_j.

METODE ANALISA TRANSPORTASI PROGRAMA LINEAR

Biaya Transportasi per unit (Unit shipping cost).

• Biaya pengiriman untuk 1 unit produk (bisa juga dimasukkan sebagai biaya produksi per unit) dari sumber i ke tujuan j, dinotasikan sebagai C_ij.

Alokasi pasokan (distribusi)

• Besarnya jumlah pengiriman barang (alokasi) per route/sel adalah variabel yang akan ditentukan dalam analisa ini. Besarnya alokasi dinotasikan sebagai X_ij.

Total biaya transportasi.

• Total biaya transportasi merupakan kriteria pokok dalam analisa alokasi ini, Total biaya transportasi diformulasikan sebagai : Z =C_ij x X_ij

PERMASALAHAN ALOKASI

Besarnya jumlah permintaan yang mengakibatkan terbatasnya supply yang dapat diberikan oleh sumber-sumber pemasok, merupakan

permasalahan utama dalam analisa alokasi ini.

Seperti yang dideskripsikan pada slide berikut, jumlah supply sebesar 9.900 ton/minggu sedangkan jumlah pemintaan lebih banyak yaitu sebesar 11.400 ton/bulan. Sehingga diperlukan suatu analisa

pengalokasiaan supply tersebut ke beberapa demand, sehingga menimbulkan total biaya yang paling minimal.

PERMASALAHAN ALOKASI

3000 ton/minggu S1

2500 ton/minggu S2

S3 4400 ton/minggu

D1 2700 ton/minggu D2 3400 ton/minggu

D3 3100 ton/minggu

D4 2200 ton/minggu

SUPPLY DEMAND

METODE PENYELESAIAN

Metode yang akan digunakan untuk memecahkan

permasalahan alokasi adalah metode programa linear.

Aplikasi metode-metode program linear dapat digunakan untuk permasalahan sbb:

• Distribusi supply dari beberapa sumber untuk beberapa lokasi tujuan (permintaan)

• Pemilihan lokasi atau penempatan fasilitas

• Penentuan pemenuhan demand (estimasi) terhadap kapasitas produksi.

MATRIKS NOTASI

SUMBER TUJUAN Kapasitas

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁ X₁₁ ?

$ C₁₁

X₁₂ ?

$ C₁₂

X₁₃ ?

$ C₁₃

X₁₄ ?

$ C₁₄

S₁

F₂ X₂₁ ?

$ C₂₁

X₂₂ ?

$ C₂₂

X₂₃ ?

$ C₂₃

X₂₄ ?

$ C₂₄

S₂

F₃ X₃₁ ?

$ C₃₁

X₃₂ ?

$ C₃₂

X₃₃ ?

$ C₃₃

X₃₄ ?

$ C₃₄

S₃

Permintaan D₁ D₂ D₃ D₄ S_i= D_j

Z

_min

=  C

_ij

x X

_ij

SEL MATRIK

Untuk lebih memperjelas notasi-notasi variabel diatas, dibawah ini ditampilkan sel matrik untuk penyelesaian permasalahan alokasi dengan programa linear.

SYARAT KONDISI

Kondisi yang harus terpenuhi dalam metode program linear :

• Pengalokasian harus feasible, sesuai dengan batasan supply & demand,

• Alokasi memenuhi seluruh kemungkinan alokasi (sel matrik)(i+j-1)

• Alokasi pada sel matrik tidak membentuk lintasan

tertutup

FORMULASI

j i

X

j D

X

i S

X ST

X C

z

ij

j m

i

ij

i n

j

ij

m

i

n

j

ij ij

, ...

...

...

0

..

...

...

..

...

...

min

1 1

1 1

























 

CONTOH SOAL

Pada sel matrik di slide berikut, diketahui

adanya permintaan sebesar 10,000 ton dari 4 buah lokasi permintaan dengan kemampuan

supply yang sama besar dari 3 buah sumber.

CONTOH SOAL :

SUMBER TUJUAN

Kapasitas

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁

$ 10 $ 8 $ 5 $ 6

2400 ton

F₂

$ 5 $ 2 $ 6 $ 3

4000 ton

F₃

$ 9 $ 7 $ 4 $ 7

3600 ton

Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton

METODE HEURISTIC

Least Cost

Assignment Routine Method (Matrix Minimum Method)

Metode

Northwest-Corner Rule

Metode Vogel’s

Approximation

LEAST COST ASSIGNMENT ROUTINE METHOD

Metode ini bertujuan untuk meminimumkan biaya total untuk alokasi/distribusi supply produk untuk setiap tujuan alokasi.

Metode ini cukup sederhana dan cepat dalam penyelesaian alokasi, namun hasil dari metode ini tidak seoptimal hasil dari metode lainnya.

Prinsip metode Least Cost adalah alokasi demand sebesar-besarnya pada lokasi

sumber yang memberikan biaya transportasi yang sekecil-kecilnya secara berturut-turut.

Berdasarkan contoh soal, dengan menggunakan metode Least Cost akan ditentukan besarnya alokasi ke sel tertentu sbb:

LANGKAH PENYELESAIAN DENGAN LEAST COST:

SUMBER

TUJUAN

Kapasitas

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁ 1200

$ 10 $ 8 $ 5

1200

$ 6

2400 ton

(6) (4)

F₂

$ 5

3400

$ 2 $ 6

600

$ 3

4000 ton

(1) (2)

F₃ 1100

$ 9 $ 7

2500

$ 4 $ 7

3600 ton

(5) (3)

Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton

TOTAL BIAYA LC

Z = (1200x$10) + (1100x$9) + (3400x$2) + (2500x$4) + (1200x$6) + (600x$3)

= $47700

METODE NORTHWEST- CORNER RULE

Prinsip dari metode ini adalah :

• “alokasi pertama pada sel kiri atas, kemudian alokasi horizontal ke sel kanan dan kemudian vertikal ke bawah, dst....”

Dengan menggunakan contoh persoalan yang sama pada metode heuristic, akan dilakukan

penyelesaian dengan metode Northwest:

METODE NORTHWEST- CORNER RULE

SUMBER TUJUAN

Kapasitas

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁ 2300

$ 10

100

$ 8 $ 5 $ 6

2400 ton

(1) (2)

F₂

$ 5

3300

$ 2

700

$ 6 $ 3

4000 ton

(3) (4)

F₃

$ 9 $ 7

1800

$ 4

1800

$ 7

3600 ton

(5) (6)

Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton

TOTAL BIAYA NWC

Z = (2300x$10) + (100x$8) + (3300x$2) + (700x$6) + (1800x$4) + (1800x$7)

= $ 54400

METODE VOGEL’S APPROXIMATION

Metode ini lebih panjang prosesnya dibandingkan dengan metode

sebelumnya namun hasil (Z

_ij

) dari proses metode ini umumnya jauh lebih optimal dibanding metode-metode sebelumnya.

Prinsip dari metode ini adalah :

• “Alokasi ditentukan berdasarkan selisih terbesar antara 2 unit biaya (Cij) terkecil dalam satu kolom atau satu baris, Perhitungan selisih biaya terbesar berlanjut sebanyak iterasi yang dilakukan, Alokasi suplai maksimal pada sel yg terpilih”

Dengan menggunakan permasalahan yang sama dengan metode

sebelumnya, penyelesaian permasalahan dengan metode Vogel

LANGKAH 1 :

SUMBER TUJUAN

Kapasitas C_ij

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁

$ 10 $ 8 $ 5 $ 6

2400 ton (6-5) 1

F₂

$ 5

3400

$ 2 $ 6 $ 3

4000 ton (3-2) (1) 1

F₃

$ 9 $ 7 $ 4 $ 7

3600 ton (7-4) 3

Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton

10000 ton

C_ij (9-5) 4

(7-2) 5

(5-4) 1

(6-3) 3

LANGKAH 2 :

SUMBER TUJUAN

Kapasitas C_ij

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁

$ 10 $ 8 $ 5 $ 6

2400 ton (6-5) 1

F₂ 600

$ 5

3400

$ 2 $ 6 $ 3

600 ton (5-3) (2) (1) 2

F₃

$ 9 $ 7 $ 4 $ 7

3600 ton (7-4) 3

Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton

6600 ton

C_i (9-5)

4

(5-4) 1

(6-3) 3

LANGKAH 3 :

SUMBER TUJUAN Kapasita

s C_ij

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁

$ 10 $ 8 $ 5 $ 6

2400 ton (6-5) 1

F₂ 600

$ 5

3400

$ 2 $ 6 $ 3

600 ton (5-3) (2) (1) 2

F₃

$ 9 $ 7

2500

$ 4 $ 7

3600 ton (7-4) (3) 3

Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton

6000 ton

C_i (10-9) 1

(5-4) 1

(7-6) 1

LANGKAH 4 :

SUMBER TUJUAN

Kapasitas C_ij

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁

$ 10 $ 8 $ 5

1800

$ 6

2400 ton ^(10-6) ₄ (4)

F₂ 600

$ 5

3400

$ 2 $ 6 $ 3

600 ton ^{(5-3) 2}

(2) (1)

F₃

$ 9 $ 7

2500

$ 4 $ 7

1100 ton ^(9-7) ₂ (3)

Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton

3500 ton

C_ij (10-9) 1

(5-4) 1

(7-6) 1

LANGKAH 5 :

SUMBER TUJUAN

Kapasitas C_ij

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁ 600

$ 10 $ 8 $ 5

1800

$ 6

600 ton 4

(5) (4)

F₂ 600

$ 5

3400

$ 2 $ 6 $ 3

600 ton (5-3) (2) (1) 2

F₃ 110

0

$ 9 $ 7

2500

$ 4 $ 7

1100 ton 9

(5) (3)

Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton

1700 ton

C_i (10-9) 1

(5-4) 1

(7-6) 1

HASIL AKHIR :

SUMBER TUJUAN

Kapasitas

A₁ A₂ A₃ A₄

F₁ 600

$ 10 $ 8 $ 5

1800

$ 6

1600 ton

(5) (4)

F₂ 600

$ 5

3400

$ 2 $ 6 $ 3

600 ton

(2) (1)

F₃ 1100

$ 9 $ 7

2500

$ 4 $ 7

1100 ton

(5) (3)

Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 1700 ton

TOTAL BIAYA VOGEL

Z = (600x$10) + (600x$5) + (1100x$9) + (3400x$2) + (2500x$4) + (1800x$6)

= $46500

HASIL AKHIR

Nilai total cost yang dihasilkan dari metode Vogel ini lebih minimal dibandingkan dengan kedua metode sebelumnya.

Sehingga alokasi terbaik yang dapat ditentukan adalah sesuai dengan hasil dari metode Vogel ini yaitu dengan alokasi sbb:

• Alokasi dari Sumber F1 ke Lokasi Tujuan A1 sebesar 600 ton/minggu.

• Alokasi dari Sumber F1 ke Lokasi Tujuan A4 sebesar 1800 ton/minggu.

• Alokasi dari Sumber F2 ke Lokasi Tujuan A1 sebesar 600 ton/minggu.

• Alokasi dari Sumber F2 ke Lokasi Tujuan A2 sebesar 3400 ton/minggu.

• Alokasi dari Sumber F3 ke Lokasi Tujuan A1 sebesar 1100 ton/minggu.

• Alokasi dari Sumber F3 ke Lokasi Tujuan A3 sebesar 2500 ton/minggu.

PERBANDINGAN HASIL

METODE HASIl (Z)

LEAST COST $47700

NORTHWEST $ 54400

VOGEL $46500

Dari tabel diatas diketahui bahwa metode VOGEL dapat mencapai hasil terbaik.

Untuk menguji apakah hasil yang didapat telah mencapai titik optimal, diperlukan

langkah selanjutnya yaitu

dengan menggunakan metode

Stepping Stone

CONTOH 1

CONTOH 1

1 2 3 4 5 6

1 10 12 13 8 14 19 18

2 15 18 12 16 19 20 22

3 17 16 13 14 10 18 39

4 19 18 20 21 12 13 14

10 11 13 20 24 15 ∑Si = ∑Dj = 93

Dj

Si

source

destination

cij

NORTHWEST CORNER RULE

cij

10 12 13 8 14 19

1 2

15 18 12 16 19 20

3 4 5

17 16 13 14 10 18

6 7 8

19 18 20 21 12 13

9

∑Si = ∑Dj = 93

14 24 1

14

13 6

24 15

10 8

3 source

Dj

18 22 39 14

10 11 13 20

2 3 4 5 6 Si

xij

1 2 3 4

destination 1

Total Cost = 10(10) + 8(12) + 3(18) + 13(12) + 6(16) + 14(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)

= 1138

LEAST COST/

MATRIX MINIMUM METHOD

cij

10 12 13 8 14 19

1

15 18 12 16 19 20

6 3

17 16 13 14 10 18

8 7 5 2 9

19 18 20 21 12 13

4

∑Si = ∑Dj = 93 15

14 14

Dj 10 11 13 20 24

22

3 1 11 2 24 1 39

18

2 9 13

source

1 18

4

xij destination

1 2 3 4 5 6 Si

Total Cost = 18(8) + 9(15) + 13(12) + 1(17) + 11(16) + 2(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)

= 1096

VOGEL APPROXIMATION

cij

10 12 13 8 14 19

1

15 18 12 16 19 20

6 4

17 16 13 14 10 18

7 8 5 3 9

19 18 20 21 12 13

2

∑Si = ∑Dj = 93 15

14 14

Dj 10 11 13 20 24

22

3 1 11 2 24 1 39

18

2 9 13

source

1 18

4

xij destination

1 2 3 4 5 6 Si

Total Cost = 18(8) + 9(15) + 13(12) + 1(17) + 11(16) + 2(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)

= 1096

MENCARI OPTIMAL SOLUTION

CONTOH 1 (NCR), TOTAL COST = 1138

1 2 3 4 5 6

1 10 12 13 8 14 19 14

2 15 18 12 16 19 20 20

3 17 16 13 14 10 18 18

4 19 18 20 21 12 13 13

4 2 8 4 8 0

cij destination

ui

source

vj

ZIJ – CIJ = UI – VJ – CIJ

z46 – c46 = u4 – v6 – c46 0 = u4 - 0 - 13 u4 = 13

z36 – c36 = u3 – v6 – c36 0 = u3 - 0 - 18 u3 = 18

z35 – c35 = u3 – v5 – c35 0 = 18 – v5 - 10 v5 = 8

z34 – c34 = u3 – v4 – c34 0 = 18 – v4 - 14 v4 = 4

z24 – c24 = u2 – v4 – c24 0 = u2 - 4 - 16 u2 = 20

z23 – c23 = u2 – v3 – c23 0 = 20 – v3 - 12 v3 = 8

z22 – c22 = u2 – v2 – c22 0 = 20 – v2 - 18 v2 = 2

z12 – c12 = u1 – v2 – c12 0 = u1 - 2 - 12 u1 = 14

z11 – c11 = u1 – v1 – c11 0 = 14 – v1 - 10 v1 = 4

z13 – c13 = u1 – v3 – c13

= 14 - 8 - 13

= -7

MENGHITUNG (ZIJ – CIJ)

1 2 3 4 5 6

1 0 0 -7 2 -8 -5 14

2 1 0 0 0 -7 0 20

3 -3 0 -3 0 0 0 18

4 -10 -7 -15 -12 -7 0 13

4 2 8 4 8 0

source

vj

zij - cij destination

ui

1 2 3 4 5 6

1 10 8 (-θ) +θ

2 3 (+θ) 13 6 (-θ)

3 14 24 1

4 14

xij destination

source

SOLUSI BARU 1

1 2 3 4 5 6

1 10 2 6

2 9 13

3 14 24 1

4 14

xij destination

source

Total Cost = 10(10) + 2(12) + 6(8) + 9(18) + 13(12) + 14(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)

= 1126

1 2 3 4 5 6

1 10 12 13 8 14 19 12

2 15 18 12 16 19 20 18

3 17 16 13 14 10 18 18

4 19 18 20 21 12 13 13

2 0 6 4 8 0

ui

source vj

cij destination

1 2 3 4 5 6

1 0 0 -7 0 -10 -7 12

2 1 0 0 -2 -9 -2 18

3 -1 2 -1 0 0 0 18

4 -8 -5 -13 -12 -7 0 13

2 0 6 4 8 0

zij - cij destination

ui

source

vj

1 2 3 4 5 6

1 10 2 (-θ) 6 (+θ)

2 9 13

3 +θ 14 (-θ) 24 1

4 14

source

xij destination

SOLUSI BARU 2

1 2 3 4 5 6

1 10 8

2 9 13

3 2 12 24 1

4 14

xij destination

source

Total Cost = 10(10) + 8(8) + 9(18) + 13(12) + 2(16) + 12(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)

= 1122

1 2 3 4 5 6

1 10 12 13 8 14 19 12

2 15 18 12 16 19 20 20

3 17 16 13 14 10 18 18

4 19 18 20 21 12 13 13

2 2 8 4 8 0

cij destination

ui

source

vj

1 2 3 4 5 6

1 0 -2 -9 0 -10 -7 12

2 3 0 0 0 -7 0 20

3 -1 0 -3 0 0 0 18

4 -8 -7 -15 -12 -7 0 13

2 2 8 4 8 0

source vj

zij - cij destination

ui

1 2 3 4 5 6

1 10 (-θ) 8 (+θ)

2 +θ 9 (-θ) 13

3 2 (+θ) 12 (-θ) 24 1

4 14

xij destination

source

SOLUSI BARU 3

1 2 3 4 5 6

1 1 17

2 9 13

3 11 3 24 1

4 14

xij destination

source

Total Cost = 1(10) + 17(8) + 9(15) + 13(12) + 11(16) + 3(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)

= 1095

1 2 3 4 5 6

1 10 12 13 8 14 19 12

2 15 18 12 16 19 20 17

3 17 16 13 14 10 18 18

4 19 18 20 21 12 13 13

2 2 5 4 8 0

ui

source

vj

cij destination

1 2 3 4 5 6

1 0 -2 -6 0 -10 -7 12

2 0 -3 0 -3 -10 -3 17

3 -1 0 0 0 0 0 18

4 -8 -7 -12 -12 -7 0 13

2 2 5 4 8 0

zij - cij destination

ui

source

vj

Tidak ada (zij – cij) yang positif  Solusi baru 3 = solusi optimal

CONTOH 2

1 2 3 4

1 2 3 4 9 20

2 14 12 5 1 30

3 12 15 9 3 40

10 10 20 50 ∑Si = ∑Dj = 90 Dj

Si

cij destination

source

SOLUSI AWAL CONTOH 2 (MMM)

cij

2 3 4 9

2 3 6

14 12 5 1

1

12 15 9 3

5 4

∑Si = ∑Dj = 90

Dj 10 10 20 50

30

3 20 20 40

20

2 30

source

1 10 10 0

xij destination

1 2 3 4 Si

CONTOH 3

1 2 3 4

1 2 3 4 9 20

2 14 12 5 1 50

3 12 15 9 3 40

10 10 20 50 ∑Si = 110 ≠ ∑Dj = 90

Si

Dj

cij destination

source

SOLUSI AWAL CONTOH 3 (MMM)

cij

2 3 4 9 0

3 4 7

14 12 5 1 0

2 1

12 15 9 3 0

6 5

∑Si = ∑Dj = 110

xij destination

1 2 3 4 5 Si

20

2 30 20 50

1 10 10 0

40

Dj 10 10 20 20

20 50 source

3 20

CONTOH 4

1 2 3 4

1 2 3 4 9 20

2 14 12 5 1 30

3 12 15 9 3 40

10 20 20 50 ∑Si = 90 ≠ ∑Dj = 100

cij destination

Si

source

Dj

SOLUSI AWAL CONTOH 4 (MMM)

cij

2 3 4 9

2 3 6

14 12 5 1

1

12 15 9 3

5 4

M M M M

7

∑Si = ∑Dj = 100

20 20

3

Dj 10 20 20 50

30

4 10 10

20

2 30

40 source

1 10 10 0

xij destination

1 2 3 4 Si

END