commit to user
4BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bagian pertama bab ini berisi penelitian-penelitian sebelumnya dan beberapa teori yang melandasi penyelesaian rumusan masalah. Pada bagian kedua berisi alur pemikiran penelitian.
2.1 Tinjauan Pustaka
Penduga rasio klasik untuk rata-rata populasi variabel penelitian pada pengambilan sampel acak sederhana telah diuraikan oleh Cochran [4]. Kadilar dan Cingi [9] menemukan penduga rasio yang lebih baik dibandingkan penduga rasio klasik, menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi. Penduga rasio tersebut adalah penggabungan dari penduga rasio menggunakan koefisien variasi variabel bantu yang ditemukan oleh Sisodia dan Dwivedi serta penduga rasio menggunakan koefisien regresi yang ditemukan oleh Ray dan Singh. Kemudian Kadilar et al. [10] menemukan penduga rasio untuk rata-rata populasi variabel penelitian menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi robust.
Penduga rasio tersebut digunakan untuk mengurangi pengaruh outlier terhadap koefisien regresi. Regresi robust yang digunakan oleh Kadilar et al. [10] adalah estimasi-M. Jika memenuhi kondisi tertentu, maka penduga rasio Kadilar et al.
[10] adalah penduga yang paling baik daripada penduga sebelumnya karena memiliki rata-rata kuadrat sesatan terkecil.
Berikut diberikan definisi dan teori mengenai pengambilan sampel acak sederhana, model regresi linear sederhana, koefisien korelasi, koefisien variasi, deret Taylor, rata-rata kuadrat sesatan, median absolute deviation (MAD), estimasi-M, penduga rasio, outlier dan identifikasi outlier menggunakan DFFITS.
2.1.1 Pengambilan Sampel Acak Sederhana
Menurut Cochran [4] pengambilan sampel acak sederhana adalah suatu metode untuk memilih sampel dari populasi sehingga tiap sampel mempunyai kesempatan sama untuk dipilih. Dalam praktek pengambilan sampelnya dilakukan tiap observasi. Observasi dalam populasi diberi nomor Tiap observasi diambil dengan cara mengacaknya atau menggunakan
commit to user
acak sistematis dan kluster sederhana kadang lebih baik daripada metode acak sederhana karena meningkatkan ketelitian. Kelebihan pengambilan sampel acak sederhana adalah lebih mudah cara pengambilan sampelnya dibandingkan metode yang lain. Jika observasi sampel yang sudah terambil dikeluarkan dari populasi untuk pengambilan selanjutnya, maka pengambilan sampel ini dinamakan tanpa pengembalian. Pada pengambilan sampel acak dengan pengembalian, setiap observasi sampel mempunyai kesempatan sama untuk terambil dan tidak tergantung pada jumlah sampel terambil.
Pengambilan sampel mempunyai tujuan yang berbeda. Namun sering terpusat pada empat ringkasan data populasi yaitu rata-rata, total, rasio dan proporsi.
Notasi untuk observasi populasi variabel ditulis Sedangkan notasi untuk observasi sampel variabel ditulis Rata-rata populasi variabel dirumuskan dengan
sedangkan rata-rata sampelnya dituliskan sebagai
Dapat dibuktikan bahwa . Nilai harapan matematis dari dituliskan sebagai
Berdasarkan sifat nilai harapan matematis, persamaan dapat diubah menjadi
karena , diperoleh
commit to user
Karena , sehingga rata-rata sampel adalah penduga tak bias untuk rata- rata populasi.
Variansi rata-rata sampel dapat diperoleh berdasarkan definisi variansi popu- lasi dan koreksi populasi berhingga. Koreksi populasi berhingga ada dua jenis, yaitu untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian dan untuk pengambilan sampel dengan pengembalian. Yamane [15] menyatakan bahwa variansi variansi dan kovariansi antara dan pada pengambilan sampel acak sederhana tanpa pengembalian dirumuskan sebagai
dengan adalah fraksi pengambilan sampel, adalah banyaknya sampel, adalah banyaknya populasi, adalah variansi populasi variabel adalah variansi populasi variabel dan adalah kovariansi populasi antara variabel dan .
2.1.2 Model Regresi Linear Sederhana
Model regresi linear sederhana adalah model dengan satu variabel independen yang memiliki hubungan terhadap variabel dependen berbentuk garis lurus (Montgomery dan Peck [11]). Model regresi linear sederhana dapat dituliskan sebagai
dengan adalah perpotongan garis regresi linear sederhana dengan sumbu , adalah koefisien model regresi linear sederhana dan adalah kesalahan acak.
Diasumsikan bahwa Parameter dan tidak diketahui nilainya sehingga perlu diduga menggunakan sampel. Salah satu metode yang digunakan untuk menduga parameter regresi adalah metode kuadrat terkecil (MKT).
Misalkan terdapat pasang sampel , model regresi linear sederhana untuk sampel dapat dituliskan sebagai
commit to user
Menurut Montgomery dan Peck [11], prinsip MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat sesatan. Jumlah kuadrat sesatan ini dirumuskan dengan
Penduga kuadrat terkecil (KT) dari adalah yang diperoleh dengan memi- nimumkan jumlah kuadrat sesatan
Penduga diperoleh dari penyelesaian persamaan (Sembiring [12]).
Berdasarkan hal tersebut persamaan dapat dituliskan kembali menjadi = 0
= 0 = 0
(2.6)
Penduga KT dari adalah yang diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat sesatan
Penduga adalah penyelesaian dari persamaan dengan mensubstitusikan persamaan untuk a (Sembiring [12]). Berdasarkan hal tersebut persamaan
dapat dituliskan sebagai
commit to user
Penduga untuk adalah b, yang dituliskan dalam bentuk
dengan untuk
Sebelum membuktikan bahwa merupakan penduga tak bias untuk
terlebih dahulu dibuktikan bahwa dan .
Selanjutnya dibuktikan
commit to user
Selanjutnya dibuktikan Nilai harapan matematis dari dituliskan sebagai
Berdasarkan persamaan dan diperoleh
Karena , sehingga merupakan penduga tak bias untuk 2.1.3 Koefisien Korelasi
Menurut Johnson dan Bhattacaryya [8], koefisien korelasi yang dinotasikan dengan adalah ukuran kekuatan dari hubungan linear antara dua variabel. Nilai koefisien korelasi berkisar pada interval . Jika koefisien korelasi bernilai positif, maka hubungan antara dua variabel bersifat searah. Sebaliknya, jika koefisien korelasi bernilai negatif, maka hubungan antara dua variabel bersifat berlainan arah. Jika koefisien korelasi bernilai maka tidak terdapat hubungan linear antara dua variabel. Koefisien korelasi antara variabel X dan Y dirumuskan sebagai
dengan adalah ukuran populasi dari variabel X atau Y.
commit to user
2.1.4 Koefisien VariasiDajan [5] menyatakan bahwa koefisien variasi merupakan perbandingan antara standar deviasi dengan rata-rata. Koefisien variasi berguna untuk membandingkan sebaran dua atau lebih kelompok data berdasarkan rata-rata hitungnya. Koefisien variasi merupakan ukuran yang tidak memiliki satuan.
Semakin besar nilai koefisien variasi maka semakin heterogen data tersebut.
Koefisien variasi variabel atau dinotasikan dirumuskan dengan
dengan adalah nilai harapan matematis dari variabel , adalah standar deviasi variabel dan adalah rata-rata variabel .
2.1.5 Median Absolute Deviation (MAD)
Misalkan adalah sampel acak yang berasal dari populasi berdistribusi tertentu didefinisikan dengan
dengan (median) adalah ukuran pemusatan data yang robust terhadap pengaruh outlier.
Jika simetris maka , sehingga dan
berlaku
berdasarkan sifat sama dengan , persamaan dapat diubah menjadi
commit to user
Jadi, penduga standar deviasi yang robust terhadap outlier adalah
2.1.6 Estimasi-M
Metode estimasi-M pertama kali diperkenalkan oleh Huber (1973). Menurut Chen [3], metode estimasi-M merupakan pendekatan yang paling sederhana secara komputasi dan teoritis. Estimasi-M adalah metode estimasi yang robust untuk menduga parameter yang dipengaruhi outlier. Estimasi-M adalah perluasan dari maximum likelihood estimation (MLE). Diasumsikan bahwa sesatan dari persamaan regresi saling independen dan berdistribusi identik, Penduga
maximum likelihood dari adalah yang
memaksimalkan dengan Untuk menyederhanakan
perhitungan, perkalian dari fungsi sesatan diubah menjadi penjumlahan dari logaritma fungsi sesatan. Oleh karena itu, memaksimalkan sama
dengan memaksimalkan Dimisalkan fungsi
memaksimalkan sama halnya dengan meminimalkan Fungsi dari sesatan tersebut diduga dengan Penduga diperoleh dengan meminimalkan yang dirumuskan dengan
Nilai terdapat pada persamaan . Untuk meminimalkan , turunan parsial dari terhadap disamakan dengan nol, sehingga menghasilkan
Penduga merupakan penyelesaian persamaan
commit to user
Dimisalkan adalah turunan parsial dari terhadap , berdasarkan hal tersebut persamaan dapat dituliskan menjadi
Secara umum penyelesaian eksak persamaan sukar untuk diperoleh, sehingga dibutuhkan penyelesaian numerik. Beaton dan Tukey (Draper dan Smith [6]) mendefinisikan fungsi pembobot
Berdasarkan fungsi pembobot tersebut, persamaan dapat dituliskan sebagai
Persamaan jika dituliskan dalam notasi matriks menjadi .
Penyelesaian iteratif untuk dirumuskan sebagai
Iterasi tersebut akan berhenti jika cukup kecil, misalnya . Nilai diperoleh dari koefisien regresi yang diduga menggunakan metode kuadrat terkecil. Huber mendefinisikan fungsi objektif dan fungsi pembobot pada tiap interval seperti pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Fungsi objektif dan pembobot Interval
atau
commit to user
regresi robust estimasi-M menurut Draper dan Smith [6] adalah 1. menghitung dengan metode kuadrat terkecil 2. menghitung nilai sesatan (ei),
3. mencari median dari sesatan,
4. menghitung MAD = median |ei -median(ei)|, 5. menghitung nilai
6. menghitung nilai ,
7. melakukan pembobotan dengan rumus
atau
atau
8. menduga koefisien regresi robust dengan pemberian bobot , 9. mengulangi tahap 2-8 sehingga diperoleh konvergen.
2.1.7 Deret Taylor
Atkinson [1] menyatakan bahwa sebagian besar fungsi tidak dapat dievaluasi secara sederhana. Untuk mengevaluasi fungsi tersebut dapat digunakan fungsi sebagai pendekatan dari fungsi . Jenis pendekatan yang paling sering digunakan adalah deret Taylor. Jika f adalah fungsi dari x dan terdapat titik
disekitar x, maka ekspansi deret Taylor untuk dinyatakan dengan
Ekspansi deret Taylor dari fungsi dua variabel dituliskan sebagai
dengan pendekatan pada orde pertama deret Taylor dirumuskan dengan
commit to user
2.1.8 Rata-rata Kuadrat Sesatan
Rata-rata kuadrat sesatan dapat digunakan untuk membandingkan dua penduga. Suatu penduga dikatakan lebih baik daripada penduga yang lain jika memiliki rata-rata kuadrat sesatan yang lebih kecil. Misalkan dan adalah penduga parameter tertentu ( ) dengan adalah penduga tak bias dan adalah penduga bias dengan variansi lebih kecil dari . Jika bias kecil, maka adalah penduga yang lebih baik daripada . Jadi penduga bias dapat lebih baik daripada penduga tak bias, tergantung dari besarnya variansi dan bias (Yamane [15]).
Misalkan merupakan penduga parameter , rata-rata kuadrat sesatannya dirumuskan sebagai
Berdasarkan hal tersebut, rata-rata kuadrat sesatan untuk dan dapat dirumuskan dengan
dan
Variansi dan dituliskan sebagai
dan
Jika adalah penduga tak bias untuk , maka sehingga diperoleh
Dengan demikian rata-rata kuadrat sesatan penduga tak bias sama dengan variansinya.
Jika sebagai penduga bias untuk , maka sehingga diperoleh
commit to user
Dengan demikian rata-rata kuadrat sesatan penduga bias sama dengan penjumlahan variansi dan kuadrat biasnya.
Persamaan dapat digunakan untuk menghitung sesatan dari penduga rasio. Rasio dan penduga rasio merupakan fungsi dari dua variabel yaitu dan serta dan . Sesatan penduga rasio adalah selisih dari rasio dengan penduganya.
Sesatan tersebut dirumuskan sebagai
dengan adalah rasio rata-rata dua populasi dan adalah penduga rasio rata-rata dua populasi.
2.1.9 Penduga Rasio
Rasio adalah perbandingan dari dua nilai. Pada metode survei sampel, rasio merupakan perbandingan dari rata-rata atau total dua populasi. Penduga rasio rata- rata dua populasi digunakan untuk menduga rata-rata populasi karena memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan rata-rata sampel. Penduga rasio memanfaatkan korelasi antara variabel bantu dan variabel penelitian. Jika korelasi antara kedua variabel tersebut positif, maka penduga rasio baik digunakan untuk menduga rata-rata populasi variabel penelitian (Tailor et al. [14]). Informasi pada variabel bantu seperti koefisien variasi dan regresi dapat digunakan untuk meningkatkan ketelitian dari penduga rasio.
Menurut Cochran [4], penduga rasio klasik untuk menduga rata-rata populasi dari variabel penelitian dirumuskan dengan
Diasumsikan bahwa rata-rata populasi dari variabel bantu ) diketahui, merupakan rata-rata sampel dari variabel penelitian dan merupakan rata-rata
commit to user
sampel dari variabel bantu. Berdasarkan persamaan , rata-rata kuadrat sesatan penduga rasio klasik untuk menduga rata-rata populasi variabel penelitian dirumuskan sebagai
dengan adalah rasio rata-rata dua populasi, adalah variansi populasi variabel bantu, adalah variansi populasi variabel penelitian dan adalah kovariansi populasi antara variabel bantu dan penelitian.
Penduga rasio yang lebih baik daripada penduga rasio klasik ditemukan oleh Kadilar dan Cingi [9]. Penduga rasio tersebut merupakan penggabungan dari penduga rasio menggunakan koefisien variasi variabel bantu yang dinyatakan dengan
serta penduga rasio menggunakan koefisien regresi yang dituliskan sebagai
Penduga rasio Kadilar dan Cingi [9] menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi dirumuskan sebagai
dengan
Penambahan hasil kali koefisien regresi (b) dengan selisih rata-rata populasi dan sampel dari variabel bantu dimaksudkan agar nilai semakin dekat dengan serta penambahan koefisien variasi pada rata-rata populasi dan sampel variabel bantu bertujuan agar nilai semakin dekat dengan
Penduga rasio untuk menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi robust yang ditemukan oleh Kadilar et al. [10] dirumuskan sebagai
commit to user
rasio tersebut, penggunaan dimaksudkan untuk mengurangi pengaruh outlier pada estimasi parameter regresi. Penduga rasio menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi robust lebih baik daripada penduga rasio menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi jika memenuhi kondisi tertentu. Untuk mengetahui pada kondisi apa hal tersebut dapat terjadi, dibandingkan rata-rata kuadrat sesatan kedua penduga.
2.1.10 Outlier
Chatterjee dan Price [2] menyatakan bahwa outlier adalah titik-titik observasi yang mempunyai sesatan besar. Suatu observasi disebut outlier jika memiliki sesatan yang relatif lebih besar dibandingkan observasi yang lain. Adanya outlier akan mengurangi ketelitian estimasi koefisien regresi menggunakan metode kuadrat terkecil. Hal tersebut terjadi karena metode kuadrat terkecil tidak robust terhadap outlier. Permasalahan yang muncul akibat adanya outlier antara lain
1. sesatan dari model regresi menjadi besar,
2. variansi dari penduga koefisien regresi akan menjadi besar, 3. estimasi interval akan memiliki rentang yang besar.
2.1.11 Identifikasi Outlier Menggunakan DFFITS
Identifikasi outlier perlu dilakukan untuk mengetahui seberapa besar pengaruhnya terhadap estimasi parameter regresi. Difference in fit observasi ke-i ( merupakan ukuran pengaruh dengan melihat selisih hasil estimasi dari observasi ke-i dengan hasil estimasi dari observasi ke-i jika observasi tersebut dikeluarkan dari penelitian . Jadi dapat dirumuskan sebagai
Difference fitted values fits observasi ke-i ( ) merupakan yang dibagi dengan sesatan standarnya. Menurut Montgomery dan Peck [11], DFFITS adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi outlier yang berpengaruh terhadap koefisien regresi. Perhitungan DFFITS dirumuskan dengan
commit to user
dengan adalah variansi sampel dari sesatan jika observasi ke-i dikeluarkan dari penelitian dan adalah leverage dari observasi ke-i. Dalam model regresi linear dirumuskan sebagai
dan
dengan p adalah banyaknya parameter model regresi. Suatu observasi dikatakan outlier jika memenuhi kondisi
Pada kasus regresi linear sederhana, banyaknya parameter regresi ada dua yaitu dan , sehingga suatu observasi dikatakan outlier jika memenuhi
2.2 Kerangka Pemikiran
Jika variabel bantu dan penelitian berkorelasi positif, maka penduga rasio klasik baik digunakan untuk menduga rata-rata populasi karena meningkatkan ketelitian (Cochran [4]). Penduga rasio lebih baik daripada rata-rata sampel untuk menduga rata-rata populasi variabel penelitian karena penggunaan variabel bantu mampu memperkecil nilai rata-rata kuadrat sesatan suatu penduga. Berdasarkan variabel bantu dihitung koefisien variasi dan koefisien regresi yang diduga dengan metode kuadrat terkecil untuk menduga rasio pada pengambilan sampel acak sederhana. Namun hal tersebut tidak cukup baik karena adanya outiler. Oleh karena itu digunakan penduga rasio menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi robust. Kemudian dicari kondisi dimana penduga rasio menggunakan
commit to user
sebelumnya dengan cara membandingkan rata-rata kuadrat sesatan pada penduga tersebut dengan penduga rasio menggunakan koefisien variasi variabel bantu dan regresi. Untuk menunjang teori yang telah ada, kedua penduga rasio tersebut diterapkan untuk menduga rata-rata populasi serta menginterpretasikannya.
