BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang
Dalam memepelajari bidang matematika memang dibutuhkan kemampuan memahami dan menganalisis sebuah masalah dalam soal.
Keterkaitan antara materi satu dengan yang lain identik dengan karakteristik matematika. Tidak bisa berdiri sendiri dalam sebuah materi, tapi memerlukan pengetahuan materi sebelumnya yang sudah dipelajari. Kreativitas guru juga akan mempengaruhi dalam menyampaikan atau menjelaskan materi maupun dalam mengembangan sebuah teorema. Apabila guru mampu mengembangkan dan menjelaskan dengan benar maka siswa akan termotivasi dan mudah untuk mengajak siswa untuk berfikir kritis dalam menganalisis.
Salah satunya teorema vieta (sifat simetri akar) untuk dipelajari dalam matematika di bab polinomial (suku banyak), teorema ini sering sekali dilewati atau tidak dibahas dalam mempelajari materi polinomial. Mungkin sebab tidak diajarkannya materi ini ke siswa karena teorema vieta biasanya hanya diajarkan ke siswa yang akan mengikuti olimpiade matematika. Untuk itu penulis akan membahas tentang teorema vieta baik itu pembuktian rumus dan aplikasi untuk mecari akar-akar persamaan polinomial, khususnya polinomial mulai pangkat tiga dan seterusnya dalam seminar matematika.
Teorema vieta biasanya digunakan pada persamaan polinomial pangkat tiga dan seterusnya, sebab untuk pangkat dua dalam mencari akarnya bisa dengan cara faktor. Dengan menggunakan teorema vieta untuk mencari akar- akar persamaan polinomial tentu akan lebih mudah. Dari uraian di atas tersebut maka penulis menyusun makalah yang berjudul “Aplikasi Teorema Vieta untuk mencari akar-akar persamaan polinomial”.
2. Rumusan Masalah
Berdasarkan dari latar belakang di atas maka dirumuskan suatu masalah sebagai berikut:
1) Bagaimana bentuk umum teorema vieta ? 2) Bagaimana pembuktian teorema vieta ?
3) Bagaimanakah cara mengaplikasikan teorema vieta dalam menyelesaikan soal ?
3. Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah seminar matematika ini ialah:
1) Menjelaskan bentuk umum dari teorema vieta.
2) Menunjukan pembuktian teorema vieta.
3) Menjelaskan langkah-langkah menyelesaikan soal dengan menggunakan teorema vieta.
4. Manfaat
Manfaat dari pembuatan makalah seminar matematika mengenai aplikasi teorema vieta untuk mencari akar-akar persamaan polinomial ialah membantu pembaca dalam mendalami teorema vieta tentang bentuk umum, pembuktiannya, dan penggunaan teorema vieta untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan persamaan suku banyak dan akar-akarnya.
BAB II PEMBAHASAN 1. Landasan teori
a. Hubungan Akar-Akar Suku Banyak dengan Koefisien-Koefisien Suku Hubungan akar-akar suku banyak dengan koefisien-koefisien suku- sukunya adalah bentuk simetri akar-akar suku banyak seperti yang telah dipelajari pada persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Jika akar-akarnya 𝑥1
dan 𝑥2 maka 𝑥2+𝑏𝑎𝑥 +𝑐𝑎= 0
i) Jumlah akar-akarnya: 𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏𝑎 ii) Hasil kali akar-akarnya: 𝑥1𝑥2 =𝑎𝑐
Dari hal tersebut bagaimanakah jika persamaan suku banyak berderajat tiga, empat dan seterusnya. Misalnya ada persamaan suku banyak 𝑥3+ 9𝑥2 + 26𝑥 + 24 = 0, akar-akarnya 𝑥1 = −2, 𝑥2 = −3, dan 𝑥3 = −4.
Untuk mencari jumlah dan hasil kali akar-akarnya tentu kita bisa karena sudah tau akar-akarnya. Namun apabila ada soal persamaan suku banyak dan belum diketahui akar-akarnya, dan kita ingin mencari jumlah dan hasil kali akar-akarnya maka langkah pertama kita harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu.
Dari permasalahan tersebut, muncullah teorema vieta dimana kita bisa menentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya tanpa harus mencari terlebih dahulu nilai dari akar-akarnya itu.
b. Teorema Vieta
Jika *𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛+ adalah akar-akar dari persamaan polinomial 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+ 𝑎𝑛−3𝑥𝑛−3+ . . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0 maka berlaku :
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ . . . +𝑥𝑛−1+ 𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3+ . . . +𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4+ . . . +𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = +𝑎𝑛−2
𝑎𝑛
𝑥1𝑥2𝑥3+ 𝑥1𝑥3𝑥4+ . . . +𝑥2𝑥3𝑥4+ 𝑥2𝑥4𝑥5+ . . . +𝑥𝑛−2𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−3 𝑎𝑛
… 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎 𝑥1𝑥2𝑥3 . … . 𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = (−1)𝑛.𝑎0
𝑎𝑛
c. Manfaat rumus Teorema Vieta
Teorema vieta digunakan pada persamaan suku banyak dan manfaat dari teorema ini adalah sebagai berikut:
1) Mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan atau akar- akarnya.
2) Menentukan konstanta atau koefisien suatu persamaan.
3) Membentuk suatu persamaan suku banyak dari akar-akarnya.
2. Analisis Pemecahan Masalah a. Bentuk umum Teorema Vieta
Jika *𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛+ adalah akar-akar dari persamaan suku banyak (polinomial) 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+
𝑎𝑛−3𝑥𝑛−3+ . . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0 maka berlaku :
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ . . . +𝑥𝑛−1+ 𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−1 𝑎𝑛
𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3+ . . . +𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4+ . . . +𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = +𝑎𝑛−2
𝑎𝑛
𝑥1𝑥2𝑥3+ 𝑥1𝑥3𝑥4+ . . . +𝑥2𝑥3𝑥4+ 𝑥2𝑥4𝑥5+ . . . +𝑥𝑛−2𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−3
𝑎𝑛
… 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎 𝑥1𝑥2𝑥3 . … . 𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = (−1)𝑛.𝑎0
𝑎𝑛
Apabila persamaan suku banyak derajat n di atas dengan 𝑎𝑛 = 1 dan akar-akarnya 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 maka berlaku hubungan sebagai berikut:
1) Jumlah akar-akarnya = −(𝑎𝑛−1)
2) Jumlah hasil kali setiap dua akar = 𝑎𝑛−2 3) Jumlah hasil kali setiap tiga akar = −(𝑎𝑛−3) 4) Jumlah hasil kali setiap empat akar = 𝑎𝑛−4 , dst
5) Hasil kali semua akar-akarnya = (−1)𝑛. 𝑎0
Jadi bisa disimpulkan untuk mempermudah menentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya persamaan suku banyak sebagai berikut:
a. Suku banyak berderajat dua: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 1) 𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏𝑎
2) 𝑥1𝑥2 =𝑎𝑐
b. Suku banyak berderajat tiga: 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 1) 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = −𝑏𝑎
2) 𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = 𝑐𝑎 3) 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑𝑎
c. Suku banyak berderajat empat: 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥3+ 𝑐𝑥2+ 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0 1) 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4 = −𝑏𝑎
2) 𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥4+ 𝑥2𝑥3+ 𝑥2𝑥4+ 𝑥3𝑥4 = 𝑐𝑎 3) 𝑥1𝑥2𝑥3+ 𝑥1𝑥2𝑥4+ 𝑥1𝑥3𝑥4+ 𝑥2𝑥3𝑥4 = −𝑑𝑎 4) 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 = 𝑒𝑎
b. Pembuktian Rumus Teorema Vieta Bukti teorema vieta:
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 adalah akar-akar dari persamaan kubik 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 maka
𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)
= 𝑎,(𝑥 − 𝑥1)(𝑥2+ (𝑥2+ 𝑥3)𝑥 + 𝑥2𝑥3)-
= 𝑎,𝑥3 − (𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3)𝑥2+ (𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3)𝑥 − 𝑥1𝑥2𝑥3-
= 𝑎𝑥3− 𝑎(𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3)𝑥2+ 𝑎(𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3)𝑥 − 𝑎𝑥1𝑥2𝑥3 Maka:
(i) −𝑎(𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3)𝑥2 = 𝑏𝑥2 ↔ 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = −𝑏𝑎
(ii) 𝑎(𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3+ 𝑥2𝑥3)𝑥 = 𝑐𝑥 ↔ 𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3+ 𝑥2𝑥3 = 𝑐𝑎 (iii) −𝑎𝑥1𝑥2𝑥3 = 𝑑 ↔ 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑𝑎
Untuk cara pembuktian persamaan suku banyak derajat empat dan seterusnya sama dengan cara seperti di atas.
c. Aplikasi Teorema Vieta pada Soal
Teorema vieta biasanya digunakan untuk mencari akar-akar atau jumlah dan hasil kali akar-akarnya dan konstanta dari persamaan suku banyak (polinomial) mulai berderajat dua dan seterusnya.
Berikut adalah soal dan pembahasan :
Soal 1:
Persamaan kuadrat 𝑥2+ 5𝑥 − 7 = 0 memiliki akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2. Tentukanlah nilai dari 𝑥13+ 𝑥23.
Penyelesaian:
𝑛 = 2, 𝑎𝑛 = 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛−1 = 𝑎1 = 5, 𝑎0 = −7 i) 𝑥1+ 𝑥2 = −𝑎𝑎1
2 = −51= −5 ii) 𝑥1𝑥2 =𝑎𝑎0
2 =−71 = −7 Sehingga diperoleh
𝑥13+ 𝑥23 = (𝑥1+ 𝑥2)3− 3𝑥12𝑥2− 3𝑥1𝑥22
= (𝑥1+ 𝑥2)3− 3𝑥1𝑥2(𝑥1+ 𝑥2)
= (−5)3− 3(−7)(−5)
= −125 − 105
= −230
Soal 2:
Diketahui 𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 adalah akar-akar persamaan 2𝑥3 − 𝑏𝑥2− 18𝑥 + 36 = 0. Tentukan:
a. 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3
b. 𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3
c. 𝑥1𝑥2𝑥3
d. Nilai b, jika 𝑥2 adalah lawan dari 𝑥1
e. Nilai masing-masing 𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 untuk b tersebut.
Penyelesaian:
a. 2𝑥3− 𝑏𝑥2 − 18𝑥 + 36 = 0
𝑎 = 2 𝑏 = −𝑏 𝑐 = −18 𝑑 = 36 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = −𝑏𝑎=𝑏2… … … (1)
b. 𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑎𝑐 =−182 = −9 … … … (2) c. 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑𝑎= −362 = −18 … … … (3)
d. Dari (1):
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 =𝑏 2 𝑥1+ (−𝑥1) + 𝑥3 =𝑏 2 𝑥3 =𝑏 2 Dari (2):
𝑥1(−𝑥1) + 𝑥1𝑥3 + (−𝑥1)𝑥3 = −9
−𝑥12+ 𝑥1𝑥3− 𝑥1𝑥3 = −9
−𝑥12 = −9 𝑥12 = 9
𝑥12 = 9 → 𝑥1 = 3 atau 𝑥1 = −3
Dari (3):
𝑥1𝑥2𝑥3 = −18 Untuk 𝑥1 = 3, maka 𝑥2 = −3 → 𝑥1𝑥2𝑥3 = −18
3. (−3). 𝑥3 = −18
−9𝑥3 = −18 𝑥3 = 2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =𝑏 2 3 + (−3) + 2 =𝑏 2
2 =𝑏 2 𝑏 = 4 Untuk 𝑥1 = −3, maka 𝑥2 = 3 → 𝑥1𝑥2𝑥3 = −18
(−3). 3. 𝑥3 = −18
−9𝑥3 = −18 𝑥3 = 2, Maka:
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = 𝑏 2 (−3) + 3 + 2 = 𝑏 2 2 = 𝑏 2 𝑏 = 4
e. Jadi 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −3, dan 𝑥3 = 2 untuk 𝑏 = 4, atau 𝑥1 = −3, 𝑥2 = 3, dan 𝑥3 = 2 untuk 𝑏 = 4
Soal 3:
Diketahui persamaan suku banyak 𝑥3− 9𝑥 + 𝑚 = 0. Tentukan m jika dua akar- akarnya kembar.
Penyelesaian:
Misalkan 𝑥3− 9𝑥 + 𝑚 = 0, mempunyai akar-akar 𝑥1, 𝑥2, dan 𝑥3
↔ 𝑥3+ 0𝑥2− 9𝑥 + 𝑚 = 0 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −9, dan 𝑑 = 𝑚 Karena 𝑥1 = 𝑥2, maka:
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = −𝑏𝑎↔ 2𝑥1 + 𝑥3 = 0 ... (1)
𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑎𝑐 ↔ 𝑥12 + 2𝑥1𝑥3 = −9 ...(2) 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑𝑎↔ 𝑥12𝑥3 = −𝑚 ...(3)
Dari (1) dan (2):
2𝑥1+ 𝑥3 = 0 ↔ 𝑥3 = −2𝑥1 disubstitusikan ke pers (2):
𝑥12+ 2𝑥1𝑥3 = −9 ↔ 𝑥12+ 2𝑥1(−2𝑥1) = −9 𝑥12− 4𝑥12 = −9
−3𝑥12 = −9 𝑥12 = 3
𝑥1 = ±√3 Untuk 𝑥1 = ±√3, maka:
2𝑥1 + 𝑥3 = 0 ↔ 𝑥3 = −2𝑥1
𝑥3 = ±2√3 Dari (3):
𝑥12𝑥3 = −𝑚 ↔ 𝑚 = −(±√3)2. (±2√3) 𝑚 = ±6√3
Jadi nilai 𝑚 = ±6√3.
Soal 4:
Diketahui { 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = 3 𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3+ 𝑥2𝑥3 = −10
𝑥1𝑥2𝑥3 = −24
Tentukanlah persamaan suku banyak dari jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut !
Penyelesaian:
Jika akar-akar dari persamaan suku banyak 𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 maka 𝑥3+𝑏𝑎𝑥2 +
𝑐
𝑎𝑥 +𝑑𝑎= 0
1) 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = −𝑏𝑎
3 = −𝑏𝑎 ↔ 𝑎𝑏= −3 2) 𝑥1𝑥2+ 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑎𝑐
−10 =𝑐𝑎 3) 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑𝑎
−24 = −𝑑𝑎 ↔ 𝑑𝑎= 24
Jadi persamaan suku banyak: 𝑥3+𝑏𝑎𝑥2 +𝑎𝑐𝑥 +𝑑𝑎 = 0 𝑥3− 3𝑥2− 10𝑥 + 24 = 0
