1.1 Latar Belakang Masalah
Teori mengenai gravitasi mengalami perkembangan yang cukup signifikan dari waktu ke waktu. Dipelopori oleh Newton dalam buku Principia Mathemati-ca, gravitasi mulai menjadi salah satu bidang kajian yang menarik dalam ranah fisika teori. Dengan menggunakan hukum gravitasi yang telah dicetuskan oleh Newton in-ilah banyak gejala-gejala fisis dalam ruang dan waktu dapat dijelaskan. Hukum Ke-pler, gerak bulan mengelilingi Bumi, ataupun pergerakan planet-planet dalam meng-intari bintang induknya merupakan beberapa contoh kasus sederhana yang sangat sukses dijelaskan dengan menggunakan hukum gravitasi Newton.
Perkembangan teori gravitasi tidak berhenti di tangan Newton dalam Princip-ia. Teori gravitasi Newton yang telah mapan selama kurang lebih dua ratus tahun itu mulai terusik tatkala Einstein berhasil merumuskan Teori Relativitas Khususnya pada tahun 1905. Dalam pandangannya, Einstein menyampaikan bahwa ruang dan waktu adalah dua hal yang manunggal dalam satu kesatuan yang membentuk sebuah ruang-waktu. Dalam pandangan Einstein, tak ada lagi pandangan berupa Ruang mutlak maupun waktu mutlak.
Ketidakpuasan Einstein terhadap teori gravitasi yang tidak sesuai dengan pan-dangannya dalam TRK (Teori Relativitas Khusus) ini menuntunya untuk menda-patkan teori gravitasi yang lebih konsisten dengan pandangan TRK. Usaha untuk merumuskan sebuah teori gravitasi yang lebih konsisten dengan pandangan TRK ia tuangkan ke dalam bentuk rumusan teori gravitasi yang lebih umum, yakni Teori Rel-ativitas Umum (TRU).
Teori Relativitas Umum (TRU) merupakan teori yang membahas interaksi ru-ang, waktu dan juga gravitasi. Teori relativitas umum ini sendiri dirumuskan oleh Albert Einstein pada tahun 1915. Teori relativitas umum merupakan salah satu soko guru dalam perkembangan fisika dan kosmologi. Teori relativitas umum merupakan perluasan dari teori gravitasi Newton. Teori relativitas umum meninjau teori gravitasi dalam ranah relativistik.
Dalam perkembangannya, tidak sedikit yang menyatakan bahwa teori relativ-itas umum merupakan salah satu teori yang cukup rumit. Baik itu dipandang dari segi
fenomena fisis maupun ketika dipandang dari struktur bangunan fondasai matematis yang melandasinya. Strukur pondasi utama bangunan matematis bagi teori relativitas umum adalah geometri differensial yang merupakan objek yang tidak begitu akrab di kalangan para fisikawan. Terlepas dari adanya kesulitan dalam usaha memahami teori relativitas umum, teori ini merupakan sebuah teori mengenai struktur ruang-waktu yang cukup elegan, anggun dan juga indah.
Keindahan teori relativitas umum tampak dalam penggambaran yang luar bi-asa mengenai konsep gravitasi yang diungkapkan ke dalam bentuk struktur pondasi matematis yang elegan, yakni geometri differensial dalam ranah ruang-waktu me-lengkung. Penggambaran teori gravitasi yang diungkapkan ke dalam bahasa geometri berupa ruang-waktu melengkung, memberikan prediksi-prediksi luar biasa yang telah teruji oleh beberapa pengamatan. Beberapa prediksi yang terkait dengan teori rela-tivitas umum antara lain adalah keberadaan lubang hitam dan juga peristiwa ledakan akbar dalam pembentukan alam semesta. Kedua prediksi tersebut menjadi hal yang menarik dalam kajian terhadap teori relativitas umum.
Teori relativitas umum menjadi bidang kajian yang menarik semenjak akhir tahun 1950-an semisal dalam (Wald [1984]). Secara terpisah, terdapat dua kelompok berbeda yang menjadi pionir dalam bidang penelitan dan kajian terhadap teori rela-tivitas umum. Kelompok pertama berbasis di Princeton dan dipimpin oleh fisikawan bernama John Wheeler, sedangkan kelompok yang lain berbasis di London dipimpin oleh Herman Bondi. Dalam perkembangannya, kajian terhadap teori relativitas umum memiliki keterkaitan dengan perkembangan astrofisika dan juga astronomi. Objek temuan pertama yang terkait dengan astronomi dan menjadi bagian dari kajian teori relativitas umum adalah objek antap dengan pancaran radiasi tingkat tinggi. Dalam kajian terhadap objek-objek antap, maka pemahaman terhadap teori relativitas umum menjadi hal yang sangatlah penting. Hal ini dikarenakan bahwa untuk objek-objek antap maka interaksi gravitasi yang terkait adalah interaksi yang melibatkan medan gravitasi kuat. Oleh sebab itu pemahaman dan kajian terhadap teori relativitas umum menjadi penting guna memahami objek-objek tersebut.
Teori relativitas umum maujud ke dalam suatu bentuk persamaan matema-tis yang biasa disebut sebagai persamaan medan Einstein. Persamaan medan Ein-stein mengaitkan antara keberadaan sebaran materi-energi dengan kelengkungan ge-ometri ruang-waktu. Persamaan medan gravitasi Einstein merupakan objek yang cukup menarik bagi kalangan fisikawan teoritis. Dalam kajian terhadap teori rela-tivitas umum, banyak usaha yang telah dilakukan oleh para fisikawan guna
mendap-atkan jawaban bagi persamaan medan Einstein. Penyelesaian analitik menjadi begitu menarik karena penyelesaian analitik persamaan medan Einstein dapat digunakan un-tuk melakukan penelaahan dalam ranah astrofisika maupun kosmologis.
Dengan mengetahui bahwa teori relativitas umum merupakan salah satu pilar penting dalam fisika teori, maka pemahaman terhadap teori relativitas umum men-jadi salah satu hal yang penting untuk para mahasiswa fisika yang menggeluti ranah fisika teoritis. Salah satu hal penting dalam usaha memahamoi teori relativitas umum adalah mendapatkan bentuk jawaban analitik bagi persamaan medan Einstein yang dapat digunakan untuk menelaah fenomena-fenomena fisis yang terjadi dalam alam semesta.
Berdasarkan pemaparan sekilas di atas, maka penyelesaian analitik bagi per-samaan medan Einstein merupakan hal yang penting dalam teori relativitas umum. Selain dikarenakan tidak adanya bentuk jawaban tunggal dari persamaan medan Ein-stein, pengembangan metode untuk mendapatkan jawaban bagi persamaan Einstein menjadi hal yang menarik kerena melibatkan pencarian jawaban bagi persamaan tak-linier.
Dari pemaparan di atas, maka dalam karya ini penulis akan mencoba untuk mengaji dan menelaah teori relativitas umum dalam pendekatan geometri differensial dan juga usaha pencarian jawaban analitik bagi persamaan medan Einstein. Dalam studi ini, selain teori relativitas umum, akan dibahas pula metode alih-ragam Bäck-lund yang digunakan untuk mencari jawaban bagi persamaan medan Einstein pada kasus medan stasioner vakum setangkup gandar rotasi.
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang menjadi dasar dari penyusunan karya ini adalah: 1. Bagaimanakah bentuk fisis dan matematis dari Teori Relativitas Umum
Ein-stein?
2. Bagaimanakah Transformasi Bäcklund dapat diterapkan dalam menyelesaikan persamaan medan gravitasi stasioner vakum setangkup gandar rotasi?
1.3 Batasan Masalah
Agar pembasahan pada penulisan Skripsi ini menjadi lebih terarah maka akan dikemukakan beberapa batasan berupa :
1. Konsep jet yang dikembangkan dalam bahasan ini adalah konsep jet yang dis-usun dengan berdasarkan pada adanya kesetaraan tampang lintang lokal dari suatu untingan.
2. Alihragam Bäcklund yang digunakan hanya sebatas sampai pada pencarian potensial Ernst yang terkait dengan penyelsaian Kerr-NUT.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan masalah-masalah di atas maka cakupan tujuan penelitian ini se-cara rinci dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Mencari bentuk perumusan matematis bagi persamaan medan Einstein.
2. Memahami alihragam Bäcklund sebagi salah satu metode yang telah dikem-bangkan sebagai salah satu alternatif metode untuk mendapatkan jawaban per-samaan Medan Gravitasi Einstein.
3. Memaparkan contoh penggunaan alihragam Bäcklund pada persamaan medan gravitasi stasioner vakum setangkup gandar rotasi.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan akan memberikan sumbangsih berupa :
1. Menambah daftar perbendaharaan bacaan yang berkaitan dengan teori rela-tivitas umum Einstein khususnya di lingkungan akademik FMIPA Universitas Gadjah Mada.
2. Mengenalkan teori relativitas umum dan alihragam Bäcklund kepada para calon-calon fisikawan muda terutama yang memiliki minat kepada fisika teori dan fisika matematik.
1.6 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah berupa kajian literatur dari berbagai sumber yang memiliki keterkaitan dengan teori relativitas umum Einstein, penyelesaian analitik bagi persamaan medan gravitasi Einstein, geometri Riemann
dan teori juga penerapan dari alihragam Bäcklund dalam menyelesaikan permasala-han fisis termasuk dalam relativitas umum Einstein. Kajian teoritik ini diawali den-gan mempelajari berbagai hal yang terkait denden-gan teori relativitas umum Einstein yang di dalamnya melibatkan studi terhadap masalah tensor dan juga geometri tak-Euclid. Langkah berikutnya adalah dengan mempelajari alihragam Bäcklund. Di-awali dengan pengertian dan manfaat dari alihragam Bäcklund secara umum, metode pembangkitan alihragam Bäcklund dalam usaha untuk menyelesaikan beberapa ka-sus fisis, hingga pada akhirnya dilakukan telaah terhadap penerapan alihragam Bäck-lund dalam teori relativitas umum Einstein, terutama dalam medan stasioner vakum setangkup gandar rotasi. Guna mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam men-genai penyelesaian analitik dari persamaan medan gravitasi Einstein, telah pula di-lakukan studi terhadap berbagai jenis penyelesaian analitik yang telah ditemukan dan dikembangkan oleh para pakar relativitas umum. Dalam kajian teoritis ini tidak terda-pat hal yang baru. Penelitian ini hanya penulisan ulang dari berbagai sumber pustaka yang terkait dengan teori relativitas umum Einstein, alihragam Bäcklund dalam rel-ativitas umum. Meskipun karya ini hanyalah sebatas review, namun tidak mudah untuk menyusun dan menyelesaikan karya ini. Diperlukan kerja keras dalam mema-hami dan juga mempelajari berbagai materi yang terkait dengan ranah bidang kajian teoritis karya ini.
1.7 Sistematika Penulisan
Dalam penulisan ini, setelah diawali dengan sedikit pemaparan berupa latar belakang masalah, maka pada bab II akan disajikan mengenai teori relativitas umum dan penurunan persamaan medan Einstein dalam teori relativitas umum. Bagian se-lanjutnya, yakni bab III akan dilakukan studi mengenai persamaan medan stasioner yang memiliki kesetangkupan gandar rotasi. Pembahasan pada bab III, akan diawali dengan pembahasan mengenai medan vektor Killing dan persamaan Killing yang akan digunakan untuk memberikan gambaran mengenai medan stasioner vakum den-gan kesetangkupan den-gandar rotasi. Tidak lupa, pada bagian ini akan pula disajikan pembahasan dan penurunan kembali persamaan Ernst yang terkait dengan medan sta-sioner vakum dengan kesetangkupan gandar rotasi, akan pula disajikan beberapa con-toh kasus sederhana dari penyelesaian persamaan Ernst.
Pada bagian selanjutnya, yakni bab IV disajikan pembahasan mengenai alih-ragam Bäcklund. Diawali dengan penyusunan konsep-konsep yang akan digunakan
sebagai landasan untuk mempelajari alih ragam Bäcklund. Dimulai dengan pemba-hasan mengenai konsep keragaman, untingan dan tampang lintang, maka pada bagian ini akan berisi landasar geometri yang akan digunakan untuk meletakkan dasar-dasar dari alih-ragam Bäcklund. Dilanjutkan dengan pembahasan terhadap konsep jet yang akan berperan sebagi ruang bagi turunan parsial berderajat sembarang. Pada pem-bahasan lebih lanjut, disajikan pula metode penyusunan alih-ragam Bäcklund seperti metode yang telah dikembangkan oleh (Clairin), (Wahlquist-Estabrook), (Chen) dan perkalian langsung opertor biner (Hirota).
Pada bab V, akan disajikan mengenai pembahasan terhadap alih-ragam Bäck-lund yang diterapkan pada ranah teori relativitas umum. Dengan menggunakan benih jawaban berupa penyelesaian Minkowski, akan diterapkan metode alih-ragam Bäck-lund untuk mendapatkan bentuk penyelesaian lain berupa penyelesaian Kerr. Pada bagian bab ini, akan menjadi inti dari karya ini, yakni penggunaan alih-ragam Bäck-lund sebagai salahs satu metode untuk menyelesaikan persamaan medan Einstein un-tuk kasus medan vakum dengan keadaan stasioner yang memiliki kesetangkupan gan-dar rotasi.
1.8 Tinjauan Pustaka
Teori gravitasi pertama kali dikembangkan oleh Newton pada sekitar abad ke-17. Berangkat dari teori gravitasi yang dikembangkan oleh Newton, maka berbagai gejala yang teramati pada sistem tata surya dapat dijelaskan secara memuaskan. Ger-ak Bulan dalam mengitari Bumi, Hukum Kepler, maupun pergerGer-akan planet-planet dalam mengitari bintang induknya merupakan beberapa contoh kasus yang dapat di-jelaskan secara memadai dengan menggunakan hukum gravitasi Newton.
Dalam fisika Newton, gravitasi merupakan gaya tarik antar dua buah benda bermassa disepanjang garis lurus yang mengaitkan kedua massa tersebut (Natário [2011]). Setiap pasangan partikel di alam semesta, akan saling memengaruhi den-gan cara saling menarik denden-gan besar gaya yang berbanding lurus denden-gan perkalian antar kedua massa partikel dan akan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang memisahkan sepasang partikel tersebut.
Teori gravitasi Newton yang telah mapan selama hampir dua abad lamanya itu mulai terusik seiring dengan perkembangan teori relativitas khusus yang diprakar-sai oleh A. Einstein. Keterusikan teori gravitasi Newton tersebut muncul akibat adanya masalah mengenai kecepatan tak-terbatas dari interaksi gravitasi yang tentu
saja berlawanan dengan prinsip dasar dalam teori relativitas khusus.
Adanya ketidak-selarasan antara teori gravitasi Newton dengan teori relativi-tas khusus telah menuntun Einstein untuk mengembangkan teori gravirelativi-tasi yang lebih mapan dan selaras dengan teori relativitas khususnya. Usaha untuk mendapatkan teori gravitasi yang selaras dengan teori relativitas khusus telah menuntun Einstein pada pengembangan teori relativitas yang bersifat lebih umum apabila dibandingkan dengan teori relativitas khusus. Teori tersebut memadu-padankan pengejawantahan gravitasi dalam bentuk geometri ruang-waktu.
Teori tersebut untuk selanjutnya dikenal sebagai teori relativitas umum (TRU). Teori relativitas umum atau juga yang dikenal sebagai teori gravitasi umum, maujud ke dalam sebuah persamaan matematis tunggal yang biasa dikenal sebagai Persamaan Medan Einstein (PME). Persamaan medan Einstein dalam teori relativitas umum, memberikan gambaran keterkaitan antara sumber-sumber medan gravitasi dengan ge-ometri dari ruang-waktu.
Persamaan medan Einstein merupakan sebuah persamaan yang menarik. Per-samaan medan Einstein merupakan sistem perPer-samaan differensial parsial tak linier, namun jawaban bagi persamaan medan tersebut berkaitan dengan model geometri ruang-waktu yang terkait dengan sebaran sumber-sumber medan gravitasi.
Dalam teori relativitas umum, Einstein telah mengungkapkan bahwa gravitasi merupakan bentuk pengejawantahan adanya kelengkungan ruang-waktu sebagai aki-bat dari adanya sumber-sumber medan gravitasi. Teori relativitas umum bersesuaian dengan teori relativitas khusus. Pada tataran selanjutnya, teori relativitas umum dapat dipandang sebagai sebuh model baru untuk penggambaran alam semesta. Semen-jak kemunculan teori relativitas umum yang dikembangkan oleh Einstein tersebut, banyak teori gravitasi lain yang telah dikembangkan. Meskipun telah banyak teori mengenai gravitasi yang telah dikembangkan, namun teori relativitas umum Einstein dipandang sebagai satu yang paling mapan dan sesuai dalam rentang keadaan yang lu-as. Meskipun teori relativitas umum dipandang sebagai satu teori yang cukup mapan di antara teori gravitasi yang lainnya, namun belum semua prediksi yang diungkapkan oleh teori tersebut dikonfirmasi oleh data-data pengamatan.
Hal mendasar dalam teori relativitas umum termuat dalam sistem persamaan medan Einstein. Sistem persamaan medan Einstein memberikan gambaran terhadap interaksi antara medan-medan fisis dan objek-objek serta ruang-waktu itu sendiri. Meskipun sistem persamaan medan Einstein merupakan bentuk persamaan yang lebih rumit, namun dalam kasus medan gravitasi lemah, persamaan tersebut akan memuat
bentuk persamaan medan gravitasi Newton.
Sistem persamaan medan Einstein merupakan sekumpulan persamaan yang tidak linier. Ke-tidak-linier-an pada sistem persamaan Einstein muncul dikarenakan gravitasi itu sendiri memuat energi. Bentuk persamaan Einstein yang berupa sis-tem persamaan tak-linier, menjadikan sissis-tem persamaan tersebut cukup sulit untuk didapatkan penyelesaiannya. Bahkan Einstein sendiri pun mengira bahwa sistem per-samaan tersebut tidak dapat diperoleh bentuk penyelesaiannya. Hal ini mengingat bahwa sistem persamaan tersebut merupakan sistem persamaan tak linier yang cukup kompleks sehingga tida terdapat bentuk jawaban umum bagi persamaan tersebut.
Meskipun persamaan Einstein merupakan sekumpulan sistem persamaan tak-linier yang kompleks, jawaban analitik bagi persamaan tersebut muncul tak lama sete-lah Einstein menyebar-luaskan teori relativitas umumnya. Karl Schwarzschild, pada tahun 1916, merupakan orang pertama yang mengajukan jawaban analitik bagi sis-tem persamaan Einstein untuk kasus dengan kesetangkupan permukaan bola. Penye-lesaian itu untuk selanjutnya disebut sebagai penyePenye-lesaian Schwarzschild atau metrik Schwarzschild. Penyelesaian Schwarzschild menggambarkan medan gravitasi akibat keberadaan sebaran sumber-sumber medan gravitasi yang memiliki kesetangkupan permukaan bola (Hobson, et-al [2006]).
Semenjak Schwarzschild berhasil merumuskan bentuk jawaban analitik ba-gi sistem persamaan Einstein, maka jawaban baba-gi persamaan Einstein pun banyak diperkenalkan dan diajukan. Jawaban-jawaban tersebut bersifat kasuistik. Adanya sifat ke-tidak-linier-an pada sistem persamaan Einstein, mengakibatkan ketiadaan jawaban umum yang berlaku untuk berbagai kasus sebaran sumber-sumber medan gravitasi.
Banyak usaha yang telah dikembangkan oleh para fisikawan dalam rangka un-tuk mendapatkan benun-tuk-benun-tuk jawaban analitik dari sistem persamaan medan Ein-stein. Beberapa metode penyelesaian untuk sistem persamaan Einstein telah dikem-bangkan dalam rangka untuk mendapatkan jawaban analitik dari sistem persamaan Einstein. Penyelesaian analitik dari sistem persamaan Einstein menjadi suatu hal yang sangat penting. Berangkat dari diperolehnya bentuk jawaban analitik dari sis-tem persamaan Einstein, diharapkan akan dapat dilakukan pengkajian dan penelaahan secara lebih mendalam terhadap fenomena-fenomena astrofisika dan juga kosmologi. Dalam rangka mendapatkan jawaban bagi persamaan Einstein, maka penyele-saian yang dapat diperoleh adalah berupa jawaban analitik, jawaban numerik, jawa-ban dari sistem-sistem yang di-linierkan (linearized) ataupun dengan sistem
gang-guan (perturbed). Dalam studi ini, hendak dilakukan pengkajian terhadap bentuk jawaban analitik dari persamaan Einstein untuk kasus berupa medan vakum stasioner dengan kesetangkupan gandar rotasi (stasionary axially symmetric vacuum space-time). Berbagai jawaban dan metode pencarian jawaban bagi persamaan medan Ein-stein dapat dilihat antara lain dalam (Stephani, et-al [2003]).
Pada kasus medan vakum stasioner dengan setangkup gandar rotasi, sistem persamaan Einstein dapat diungkapkan kembali ke dalam sistem persamaan turunan parsial yang melibatkan potensial kompleks. Sistem persamaan turunan parsial terse-but biasa dikenal sebagai persamaan Ernst dan bentuk potensial kompleks yang ter-libat pada persamaan tersebut dikenal sebagai potensial Ernst (?)
Penyelesaian analitik dari persamaan Einstein menjadi suatu hal yang sangat-lah penting. Dalam ranah astrofisika dan kosmologis secara umum, jawaban analitik dari sistem persamaan Einstein dapat dipandang sebagai wujud penggambaran dari bentuk struktur ruang-waktu. Oleh karena itu, guna mendapatkan bentuk-bentuk jawaban dari persamaan Einstein yang tak-linier pun telah banyak dikem-bangkan oleh berbagai ahli fisika dan kosmologi.
Selama dekade 1960-an, sebuah metode baru yang cukup ampuh telah dikem-bangkan untuk membangkitkan bentuk jawaban analitik dari sistem persamaan Ein-stein. Metode itu biasa dikenal sebagai metode hamburan balik (inverse scattering methods). Metode hamburan balik tersebut dikembangkan dalam rangka untuk mem-bangkitkan berbagai bentuk jawaban anlitik dari sistem persamaan turunan pasrsial tak-linier. Pembangkitan jawaban tersebut didasarkan pada kesetangkupan grup dari sistem persamaan turunan parsial tersebut. Sifat kesetangkupan tersebut, akan mem-berikan akibat berupa terdapatnya sebuah persamaan sistem linier yang setara dengan terhadap bentuk sistem persamaan awal yang tak-linier. Hal ini dipenuhi bahwa ben-tuk persamaan tak-linier tersebut adalah dapat dilakukan integrasi (integrable).
Ablowitz dkk telah mengembangkan sebuah metode umum yang dapat digu-nakan untuk mendapatkan bentuk penyelesaian daei sekumpulan sistem persamaan turunan parsial tak-linier yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ham-buran balik (inverse scattering methods). Skema penyelesaian umum tersebut meli-batkan keberadaan bentuk syarat integrabilitas untuk sistem-sistem persamaan tu-runan parsial linier.
Syarat integrabilitas untuk sistem-sistem persamaan turunan parsial linier da-pat dituliskan sebagai
∂A1
∂x2 −
∂A2
dengan A adalah fungsi sembarang berupa A = A(x1, x2). Bentuk-bentuk
per-samaan yang dapat memberi jawaban penyelesaian berupa soliton, akan dapat disele-saikan dengan menggunakan metode hamburan balik (Belinski & Verdaguer [2004]). Beberapa contoh persamaan tak-linier yang memiliki bentuk penyelesaian berupa soliton antara lain adalah persamaan Korteg-de Vries (persamaan KdV), persamaan Korteg-de Vries termodifikasi (persamaan mKdV), persamaan Sine-Gordon dan per-samaan Schrödinger tak-linier.
Persamaan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode hamburan balik juga akan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode alih-ragam Bäck-lund. Begitu juga dengan sistem persamaan Ernst, dapat diselesaikan dengan meng-gunakan metode alih-ragam Bäcklund dan juga metode hamburan balik.
Persamaan Ernst merupakan sistem persamaan tak-linier berderajat dua yang terdiri atas dua buah persamaan yang memiliki kegayutan terhadap bagian riil dan bagian imajiner dari suatu potensial kompleks Ernst. Persamaan Ernst tersebut meru-pakan persamaan yang dapat diintegrasi. Persamaan Ernst yang dapat di-integrasi ini maujud dalam bentuk Hamiltonian, yakni terdapatnya suatu kesetangkupan yang akan memberikan akibat berupa terdapatnya sejumlah besaran-besaran yang lestarai dengan jumlah yang sama dengan derajat kebebasan yang dimiliki oleh sistem. Ke-setangkupan yang terkait dengan Hamiltonan tersebut membentuk sebuah grup yang biasa disebut sebagai grup Gerock berdimensi tak-berhingga(Klein, C).
Kajian persamaan Ernst, dengan menggunakan metode alihragam Bäcklund ataupun dengan menggunakan metode penyelesaian soliton, memunculkan berbagai bentuk penyelesaian baru. Harrison (Harrison [1978]) telah menunjukkan bahwa den-gan menggunakan metode semi-potensial Wahlquist-Estabrook, dapat disusun alih-ragam Bäcklund untuk persamaan Ernst dalam teori relativitas umum.
Dengan menggunakan alih-ragam Bäcklund, memungkinkan untuk mendap-atkan berbagai jenis penyelesaian baru dengan berangkat dari bentuk penyelesaian yang sudah ada (seed solution). Bentuk penyelesaian baru tersebut bisa saja memiliki bentuk berupa penyelesaian aljabar (algebraic), bentuk penyelesaian berupa fungsi-fungsi eksponensial, atau juga dapat memuat sejumlah tak-hingga parameter (neuge-bauer).
Banyaknya jumlah parameter yang mungkin muncul pada penyelesaian baru, memberikan akibat bahwa seiring dengan meningkatnya jumlah parameter yang ter-libat, maka akan membuat penyelesaian baru itu sendiri bersifat terkesan rumit dan bahkan tak realistis. Dilain pihak, bentuk-bentuk penyelesaian yang rumit dan tak
re-alistis tersebut membuatnya sulit untuk dilakukan pangkajian. Oleh karena itu, hingga saat ini bentuk-bentuk penyelesaian baru yang terkesan rumit dan tidak realitistis itu hanya sedikit yang telah dapat dikaji secara matang.
Tidak banyaknya bentuk penyelesaian baru yang dapat dikaji secara terperin-ci, salah satunya diakibatkan oleh tidak adanya hubungan antara bentuk penyelesaian tersebut dengan gejala fisis yang teramati pada alam semesta. Seperti telah diketahui, bahwa dalam ilmu fisika, setiap bentuk jawaban/penyelesaian dari suatu sistem per-samaan, tidak hanya harus benar secara matematis, namun juga diharuskan mewakili suatu gejala fisis yang teramati pada ranah ruang-waktu.
Bentuk penyelesaian dari persamaan Ernst menjadi objek yang cukup menarik bagi kalangan fisikawan. Hal ini dikarenakan bahwa bentuk penyelesaian dari per-samaan Ernst dapat digunakan untuk mengkaji sebaran gravitasi pada objek-objek ber-rotasi, seperti bintang. Menurut(Chinea [1981]) persamaan Ernst juga dapat di-pandang sebagai sebuah syarat lenyapnya kelengkungan pada suatu koneksi dalam untingan dengan struktur grup SU(2) atau SU(1,1). Dengan bentuk pengungkapan ini juga akan dapat dilakukan penyusunan alih-ragam Bäcklund untuk penyelesaian persamaan Ernst.
Kajian terhadap penggunaan alih-ragam Bäcklund dan penyelesaian solitonik telah banyak dilakukan. Dalam karya ini akan telah dilakukan studi literatur terhadap alih-ragam dan penggunaanya untuk menyelesaikan persamaan Ernst yang terkait dengan medan vakum stasioner dengan kesetangkupan gandar rotasi. Dengan di-lakukannya kajian terhadap penyelesaian analitik terhadap persamaan medan Einstein pada kasus medan vakum stasioner dengan kesetangkupan gandar rotasi diharapkan akan dapat memperdalam pengetahuan mahasiswa terhadap salah satu pilar penting dalam ranah fisika teoritik yakni teori relativitas umum.
